直線與圓方程例題(總結(jié)版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上【考試大綱要求】1理解直線的斜率的概念，掌握兩點的直線的斜率公式掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線的方程 2掌握兩條直線平行與垂直的條件和點到直線的距離公式；能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系 4了解解析幾何的基本思想，了解坐標法5掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.6掌握直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，能利用直線和圓的位置關(guān)系解決相關(guān)問題.直線方程考察的重點是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距）有關(guān)問題，可與三角知識聯(lián)系；圓的方程，從軌跡角度講，可以成為解答題，尤其是參數(shù)問題，在對參數(shù)的討論中確定

2、圓的方程【基礎(chǔ)知識歸納】1直線方程（1）直線的傾斜角 直線傾斜角的取值范圍是：.（2）直線的斜率.傾斜角是90°的直線沒有斜率；傾斜角不是90°的直線都有斜率，斜率的取值范圍是（，+）.(3)直線的方向向量設(shè)F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直線上不同的兩點，則向量=（x2x1，y2y1）稱為直線的方向向量向量=（1，）=（1，k）也是該直線的方向向量，k是直線的斜率.特別地，垂直于軸的直線的一個方向向量為(0,1) .說明：直線的傾斜角、斜率、方向向量都是刻劃、描述直線的傾斜程度的每一條直線都有傾斜角和方向向量，但不是每一條直線都有斜率，要注意三者之間的內(nèi)在聯(lián)系（4

3、）直線方程的五種形式點斜式：，(斜率存在) 斜截式： (斜率存在)兩點式：，(不垂直坐標軸) 截距式： (不垂直坐標軸,不過原點)一般式：.引申：過直線, 交點的直線系方程為：（R）(除l2外)2兩條直線的位置關(guān)系（1）直線與直線的位置關(guān)系存在斜率的兩直線；.有： 且； ；與相交 0與重合 且.一般式的直線,.有；且; ;與相交;與重合；且 （2）點與直線的位置關(guān)系若點在直線上，則有；若點不在直上，則有，此時點到直線的距離為平行直線與之間的距離為 （3）兩條直線的交點直線,的公共點的坐標是方程 的解相交方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解；平行方程組無解.重合方程組有無數(shù)解.3曲線與方程4.

4、 圓的方程(1)圓的定義 (2)圓的方程標準式：，其中為圓的半徑，為圓心一般式：（）.其中圓心為，半徑為參數(shù)方程:，是參數(shù)）. 消去可得普通方程5. 點與圓的位置關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系代入方程看符號.6.直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系有：相離、相切和相交.有兩種判斷方法： （1）代數(shù)法：（判別式法）時分別相離、相交、相切. （2）幾何法：圓心到直線的距離 時相離、相交、相切. 7弦長求法（1）幾何法：弦心距d，圓半徑r，弦長l，則 （2）解析法：用韋達定理，弦長公式.8圓與圓的位置關(guān)系題型1：直線的傾斜角1（07·上海）直線的傾斜角 答案：解析：直線可化為， 題型2 ：直線

5、的斜率2（08·安徽卷）若過點的直線與曲線有公共點，則直線的斜率的取值范圍為 （ ） A BC D答案：C解析：記圓心為,記上、下兩切點分別記為，則，的斜率即.題型3 直線的方程3（07·浙江）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是 （ ）答案：D解析：(利用相關(guān)點法)設(shè)所求直線上任一點(x,y),則它關(guān)于對稱點為(2-x, y)在直線上,即，化簡得答案D.題型4：直線與直線的位置關(guān)系4（06·福建）已知兩條直線和互相垂直，則等于 ( )A2 B1 C0 D答案 D解析：兩條直線和互相垂直，則， a=1，選D.題型5：點與直線的位置關(guān)系5（06·湖南）圓上的點到直

6、線的最大距離與最小距離的差是 ( )A36 B. 18 C. D. 答案C解析：圓的圓心為(2，2)，半徑為3，圓心到直線的距離為>3，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6，選C.題型6：圓的方程6. (06·重慶)以點（2，1）為圓心且與直線相切的圓的方程為 （ ）A BC D答案 C解析 3，故選C.10.。（08·福建)若直線3x+4y+m=0與圓 （為參數(shù)）沒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是 .解析：將圓化成標準方程得，圓心，半徑. 直線與圓相離， .題型7：直線與圓的位置關(guān)系7.（09遼寧）已知圓C與直線xy0 及xy40都相切，圓心在直線xy0

7、上，則圓C的方程為 （ ）A.B.C. D. 答案B解析：圓心在xy0上,排除C、D,再結(jié)合圖象,或者驗證A、B中圓心到兩直線的距離等于半徑即可.題型8：圓與圓的位置關(guān)系12（07·山東）與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標準方程是_答案 【解析】曲線化為，其圓心到直線的距離為所求的最小圓的圓心在直線上，其到直線的距離為，圓心坐標為標準方程為.【重點方法提煉】在解答有關(guān)直線的問題時，應(yīng)特別注意的幾個方面：（1）在確定直線的斜率、傾斜角時，首先要注意斜率存在的條件，其次要注意傾角的范圍（2）在利用直線的截距式解題時，要注意防止由于“零截距”造成丟解的情況.如題目條件中出現(xiàn)直線在兩坐標軸

8、上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上的截距的m倍（m0）”等時，采用截距式就會出現(xiàn)“零截距”，從而丟解.此時最好采用點斜式或斜截式求解（3）在利用直線的點斜式、斜截式解題時，要注意防止由于“無斜率”，從而造成丟解.如在求過圓外一點的圓的切線方程時或討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，或討論兩直線的平行、垂直的位置關(guān)系時，一般要分直線有無斜率兩種情況進行討論（4）有關(guān)圓的問題解答時，應(yīng)注意利用圓的平面幾何性質(zhì)，如圓與直線相切、相交的性質(zhì)，圓與圓相切的性質(zhì)，這樣可以使問題簡化 （5）對獨特的數(shù)學方法坐標法要引起足夠重視要注意學習如何借助于坐標系，用代數(shù)方法來研究幾何問題

9、，體會這種數(shù)形結(jié)合的思想 （6）首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何教學的始終典型例題1.（2004年湖北，文2）已知點M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx7與線段M1M2的交點M分有向線段M1M2的比為32，則m的值為A. B. C. D.4解析：設(shè)M（x，y），點M分M1M2所成比為=. 得x=3，y=5. 代入y=mx7，得m=4.答案：D2.（2003年遼寧）在同一直角坐標系中，表示直線y=ax與y=x+a正確的是解：根據(jù)a的符號和表示直線的位置特征

10、，顯見C正確，因為當a<0時，y=ax表示過原點且下降的直線，y=x+a表示縱截距小于零且上升的直線.故選C.答案：C3.（2005年春季北京，6）直線x+y2=0被圓（x1）2+y2=1所截得的線段的長為A.1 B. C. D.2解析：圓心（1，0），r=1到直線x+y2=0的距離d=. 則弦長=.弦長為.答案：C4.（2004年湖北，4）圓C1：x2+y2+2x+2y2=0與圓C2：x2+y24x2y+1=0的公切線有A.1條 B.2條 C.3條 D.4條答案：B5.（2004年天津，理7）若P（2，1）為圓（x1）2+y2=25的弦AB的中點，則直線AB的方程是A.xy3=0 B.

11、2x+y3=0C.x+y1=0 D.2xy5=0解：由（x1）2+y2=25知圓心為Q（1，0）.據(jù)kQP·kAB=1，kAB=1（其中kQP=1）.AB的方程為y=（x2）1=x3，即xy3=0.答案：A6.已知兩圓和相交于兩點，則直線的方程是 答案：7圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（） 答案C8圓心為且與直線相切的圓的方程是 9若x，y滿足約束條件，目標函數(shù)僅在點（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是(A) （，2 ） (B) （，2 ） (C) (D) 答案：B解析：根據(jù)圖像判斷，當a=0時，顯然成立；當a>0時，直線ax+2y-z=0的斜率k=-a/2>kAC= -

12、1,a<2;當a<0時，k=-a/2<kAB=2,a>-4,綜合得a的取值范圍是（，2 ）9（2008全國2，11）兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為（ ）A3B2CD10.（2010 福建，8）設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是，平面區(qū)域與關(guān)于直線3x-4y-9對稱。對于中的任意點A與中的任意點B，AB的最小值等于A. B. 4 C. D. 211（2010 浙江，7）若實數(shù)滿足不等式組且的最大值為9，則實數(shù)（A）-2（B）-1（C）1（D）212（2009 安徽 7）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是（

13、A） （B） （C） （D） 13. (2009 寧夏海南6)設(shè)滿足則（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，無最大值（C）有最大值3，無最小值 （D）既無最小值，也無最大值【答案】B【解析】畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由zxy，得yxz，令z0，畫出yx的圖象，當它的平行線經(jīng)過A（2,0）時，z取得最小值，最小值為：z2，無最大值，故選.B22（2009，上海，22）已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F，一條漸近線m:,設(shè)過點A的直線l的方向向量。（1） 求雙曲線C的方程；（2） 若過原點的直線，且a與l的距離為，求K的值；（3） 證明：當時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到

14、直線l的距離為.【解析】（1）設(shè)雙曲線的方程為 ，解雙曲線的方程為（2）直線，直線 由題意，得，解得（3）【證法一】設(shè)過原點且平行于的直線則直線與的距離當時， 又雙曲線的漸近線為 雙曲線的右支在直線的右下方， 雙曲線右支上的任意點到直線的距離大于。故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為【證法二】假設(shè)雙曲線右支上存在點到直線的距離為，則由（1）得設(shè)，當時，；將代入（2）得， 方程不存在正根，即假設(shè)不成立，故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為練習題一選擇題 1（09·湖南重點中學聯(lián)考）過定點作直線分別交軸、軸正向于A、B兩點，若使ABC（O為坐標原點）的面積最小，則的方

15、程是 （ ） A. B. C. D.2（09·湖北重點中學聯(lián)考）若P（2，1）為圓（x1）2+y2=25的弦AB的中點，則直線AB的方程是 （ ） A.xy3=0 B.2x+y3=0C.x+y1=0 D.2xy5=0 3.（09·陜西）過原點且傾斜角為的直線被圓學所截得的弦長為（ ）A. B.2 C. D.2 4.（09·寧夏海南）已知圓：+=1，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為 ( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=15.（09·重慶）直線與圓的位置關(guān)系為 （ ）A相切 B相交但直線不過圓心 C直線過圓心 D相離6.（09·重慶）

16、圓心在軸上，半徑為1，且過點（1，2）的圓的方程為 （ ）A B C D7（08·湖北）過點作圓的弦，其中弦長為整數(shù)的共有 （）A.16條 B. 17條 C. 32條 D. 34條8（08·北京）過直線上的一點作圓的兩條切線，當直線關(guān)于對稱時，它們之間的夾角為 （ ）A B C D二填空題9（07·上海）已知與，若兩直線平行，則的值為_.10.（08·天津）已知圓C的圓心與點關(guān)于直線對稱直線與圓C相交于兩點，且，則圓C的方程為_ 11.（09·四川）若與相交于A、B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是 w.12.（09

17、3;全國）若直線被兩平行線所截得的線段的長為，則的傾斜角可以是: 其中正確答案的序號是 .（寫出所有正確答案的序號）13.（09·天津）若圓與圓（a>0）的公共弦的長為，則a=_ .14（09·遼寧）已知圓C與直線xy0 及xy40都相切，圓心在直線xy0上，則圓C的方程為_.三解答題15 （09·廣西重點中學第一次聯(lián)考）設(shè)直線過點A（2，4），它被平行線xy +1=0與x-y-l=0所截得的線段的中點在直線x+2y-3=0上，求直線的方程.16（08·北京）已知菱形的頂點在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1（）當直線過點時，求直線的方程；（）當時，

18、求菱形面積的最大值17（08·江蘇）設(shè)平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C求：（）求實數(shù)b 的取值范圍；（）求圓C 的方程；（）問圓C 是否經(jīng)過某定點（其坐標與b 無關(guān)）？請證明你的結(jié)論參考答案一選擇題1【答案】D【解析】由題設(shè)，可知，且， 當且僅當時，. 的方程為： 應(yīng)選D. 2【答案】A【解析】由（x1）2+y2=25知圓心為Q（1，0）.據(jù)kQP·kAB=1，kAB=1（其中kQP=1）.AB的方程為y=（x2）1=x3，即xy3=0. 應(yīng)選A.3. 【答案】D【解析】直線方程,圓的方程為：圓心到直線的距離，由垂徑定理知所求

19、弦長為 ，選D.4.【答案】B【解析】設(shè)圓的圓心為（a，b），則依題意，有，解得，對稱圓的半徑不變，為1.5.【答案】B【解析】圓心為到直線，即的距離，而，選B.6.【答案】A【解法】設(shè)圓心坐標為，則由題意知，解得，故圓的方程為.7【答案】C【解析】由已知得圓心為P(-1，2)，半徑為13，顯然過A點的弦長中最長的是直徑，此時只有一條，其長度為26，過A點的弦長中最短的是過A點且垂直于線段PA的弦，也只有一條，其長度為10（PA的長為12，弦長=2=10），而其它的弦可以看成是繞A點不間斷旋轉(zhuǎn)而成的，并且除了最長與最短的外，均有兩條件弦關(guān)于過A點的直徑對稱，所以所求的弦共有2（26-10-1）+2=32故選C8【答案】C【解析】此圓的圓心為C（5，1），半徑.設(shè)直線上的點P符合要求，連結(jié)PC，則由題意知，又.設(shè)與切于點A，連結(jié)AC，則.在中，l1與l2的夾角為60°. 故選C.二填空題9【答案】 【解析】 .10.【答案】.【解析】圓C的圓心與P（2,1）關(guān)于直線y=x+1對稱的圓心為(0,-1),設(shè)該圓的方程為設(shè)AB中點為M，連結(jié)CM、CA，在三角形CMA中故圓的方程為11.【答