中學數(shù)學實際問題與一元二次方程教學案例

1、實際問題與一元二次方程教學案例第一課時 教學背景本節(jié)課學習的內(nèi)容是在討論過解一元二次方程的幾種方法，并且已有由實際問題列出一元二次的基礎上進行教學的。教學內(nèi)容學習一元二次方程的應用，對實際問題中的數(shù)量關系有一個認識。教學目標 1、使學生會用列一元二次方程的方法解決有關增長率問題。2、進一步培養(yǎng)學生化實際問題為數(shù)學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識。3、進一步使學生深刻分體會轉化及設未知數(shù)列方程的思想方法。重、難點與關鍵：1、重點：學會用列方程的方法解決有關增長率問題。2、難點與關鍵：有關增長率之間的數(shù)量關系。下列詞語的異同：增長，增長了，增長到；擴大，擴大到，擴大了。教學

2、過程一、設問題情景1.復習舊知識：（1）原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實際產(chǎn)量。（2）單位時間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率。（3）實際產(chǎn)量=原產(chǎn)量×（1+增長率）。（4）列方程解應用題問題的步驟：審題；設未知數(shù)；列方程；解方程；答。（5）兩個連續(xù)奇數(shù)的表示方法是：2N+1，2N-1；2N-3；（N表示整數(shù)）。課堂活動：教師引導、板書、學生回答。二、探究新知1.問題牽引力：兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323，求這兩個數(shù)。教師引導學生觀察、比較、分析解決下面三個問題：（1）三種不同的設元，列出三種不同的方程，得出不同的X值，影響最后的結果嗎？（2）解題中的X出現(xiàn)了負值，為什么不舍去？（3）選出三種方法中最簡

3、單的一種。課堂活動：在教師的引導下分析，學生回答：有三種設法，就有三種列法；找三位學生使用三種方法，然后進行比較、鑒別，選出最簡單解法。課堂演練：兩個連續(xù)整數(shù)的積是210，求這兩個數(shù)。三個連續(xù)奇數(shù)的各是321，求這三個數(shù)。已知兩個數(shù)的和是12，積為23，求這兩個數(shù)。學生板書，練習，回答，評價，深刻體會方程的思想方法。2.問題牽引2：有一個兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個位數(shù)字小2，求這兩位數(shù)。課堂活動：分析，解答，教師引導，板書，學生回答，體會，評價。注意：在求得解之后，要進行實際題意的檢驗。課堂演練：（1）有一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為8，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換后

4、，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求原來的兩位數(shù)。（2）一個兩位數(shù)，其兩位數(shù)字的差為5，把個位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換后所得的數(shù)與原數(shù)這積為976，求這個兩位數(shù)。教師引導，啟發(fā)，學生筆答，板書，評價，體會。3.問題牽引3：某鋼鐵廠去年1月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？思路分析：設平均每月的增長率為X，則2月份的產(chǎn)量是5000+5000X=5000（1+X）（噸）。3月份的產(chǎn)量是5000（1+X）+5000（1+X）X=5000（1+X）2（噸）。模型理解：（1）為計算簡便、直接求得，可以直接設增長的百分率為X。（2）認真審題，弄清基

5、數(shù)、增長了、增長到等詞語的關系。（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開。課堂活動：教師引導、點拔、板書，學生回答。三、鞏固練習1.某產(chǎn)品原來每件600元，由于連續(xù)兩次降價，現(xiàn)價為384元，如果兩個降價的百分數(shù)相同，求每次降價百分之幾？2.某公司2003年繳稅60萬元，2005年繳稅80萬元，設該公司這兩年繳稅的年平均增長率為X，則得到方程（ ）。A 60+2X=80 B 60（X+1）=80 C 60X²=80 D 60（X+1）²=80 3.某廠1月份的總產(chǎn)量為500噸，3月份的總產(chǎn)量達到720噸。若平均每月增長率是X，則可以列方程（ ）。A 500（1+2X）=72

6、0 B 500（1+X）²=720C 500（1+X²）=720 D 720（1+X）²=5004.一商店1月份的利潤是2500元，3月份的利潤達到3025元，這兩個月的利潤平均月增長的百分率是多少？5.某型號的手機連續(xù)兩次降價，售價由原來的1185元降到了580元設平均每次降價的百分率為X，則列出方程正確的是（ ）。A 580（1+X）²=1185 B 1185（1+X）²=580C 580（1-X）²=1185 D 1185（1-X）²=5806、某電腦公司2003年的各項經(jīng)營收入中，經(jīng)營電腦配件的收入為600萬元，占全

7、年經(jīng)營總收入的40該公司預計2005年經(jīng)營總收入達到2160萬元，且計劃從2003年到2005年，每年經(jīng)營總收入的年增長率相同，問2004年預計經(jīng)營總收入為多少萬元？課堂活動：教師引導學生分析完畢，學生板書，筆答，評價，對比，總結。引導學生對比“增長”、“下降”的區(qū)別。如果設平均每次增長或下降為X，則產(chǎn)值a經(jīng)過兩次增長或下降到b，可列式為a（1+X）²=b或a（1-X）²=b。四、應用拓展拓展1：若設每年平均增長的百分數(shù)為X，分別列出下面幾個問題的方程。2 某工廠用二年時間把總產(chǎn)值增加到原來的b倍，求每年平均增長百分率。6 某工廠用二年時間把總產(chǎn)值由a萬元增加到b萬元，求每

8、年平均增長的百分數(shù)。8 某工廠用二年時間把總產(chǎn)值增加了原來的b倍，求每年增長的百分數(shù)。課堂活動：學生分析題意，板書，筆答，評價，教師點撥。引導學生總結下面的規(guī)律：設某產(chǎn)量原來的產(chǎn)值是a，平均每次增長的百分率為X，則增長一次后的產(chǎn)值為a（1+X），增長兩次后的產(chǎn)值為a（1+X）²增長N次后的產(chǎn)值為S=a（1+X）n。拓展2：某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池如右圖，由于地形限制，三級污水處理池的長、寬都不能超過16米。如果池的外圍墻建造單價為每米400元中間兩條隔墻建造單價為每米300元，池底建造單價為每平方米80元，（池墻的厚度忽略不計）（1）當三級污水

9、處理池的總造價為47200元時，求池長X。（2）如果規(guī)定總造價越低越合算，那么根據(jù)題目提供的信息，以47200元為總造價來修建三級污水處理是否合算？請說明理由。解：（1）根據(jù)題意得2（x）×4002××300200×8047200整理，得x²39x3500.解得x1=25，x2=14。x25156，x=25不合題意，舍去。x=1416，, 16，x14符合題意。池長為14米。（2）設池長為X米時造價為W元。則W=2（x）×4002××300200×80=800x+16000。當X=16時，W=12800+

10、17500+16000=4630047200。以47200元為總造價來修建三級污水處理池不合算。五、歸納小結1.善于將實際問題轉化為數(shù)學問題，嚴格審題，弄清各數(shù)據(jù)相互關系，正確布列方程。培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識以及滲透轉化和方程的思想方法。2.在解方程時，注意巧算；注意方程兩根的取舍問題上。3.我們只學習一元二次方程，一元二次方程的解法，所以只求到兩年的增長率。3年、4年N年，應該說按照規(guī)律我們可以列出方程，隨著知識的增加，我們也將會解這些方程。六、布置作業(yè)課本P48習題22.3第1、4題。教學反思本節(jié)課是在前面已經(jīng)討論過由實際問題列一元一次方程和解一元一次方程的基礎上，進一步以“探討”的形式討論如何解決實際問題。例題與實際聯(lián)系緊密，教學過程中要滲透數(shù)學建模的思想，培養(yǎng)解決實際問題的能力。第一課時的