第二章 隨機變1.2.3節(jié)

1、第二章第二章 隨機變量隨機變量第一節(jié)第一節(jié) 隨機變量及其分布函數(shù)隨機變量及其分布函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布第三節(jié)連續(xù)型隨機變量及其分布第三節(jié)連續(xù)型隨機變量及其分布第四節(jié)隨機變量函數(shù)的分布第四節(jié)隨機變量函數(shù)的分布第一節(jié)第一節(jié) 隨機變量及其分布函數(shù)隨機變量及其分布函數(shù).),(,)(, 隨隨機機變變量量稱稱之之為為上上的的單單值值函函數(shù)數(shù)得得到到一一個個定定義義在在這這樣樣就就與與之之對對應應有有一一個個實實數(shù)數(shù)中中每每一一個個元元素素如如果果對對空空間間為為是是隨隨機機試試驗驗，它它的的樣樣本本設設eXXeXeE 定義定義2.1:)(xXPxF 稱為隨機變量稱為

2、隨機變量X的分布的分布函數(shù)。函數(shù)。定義定義2.2:設設X是一隨機變量，是一隨機變量，x為任意實數(shù)，函數(shù)為任意實數(shù)，函數(shù)上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回用隨機變量表示事件用隨機變量表示事件n若若X X是隨機試驗是隨機試驗E E的一個隨機變量，的一個隨機變量，S SRR，那那么么 XS S可表示可表示E E中的事件中的事件 如在擲骰子試驗中，用如在擲骰子試驗中，用X X表示出現(xiàn)的點數(shù)表示出現(xiàn)的點數(shù), ,則則 “ “出現(xiàn)偶數(shù)點出現(xiàn)偶數(shù)點”可表示為：可表示為： X=2X=2 X=4X=4 X=6X=6 “出現(xiàn)的點數(shù)小于出現(xiàn)的點數(shù)小于”可表示為：可表示為： X 4X 4 或或XX 3 3 n E中的事件

3、通常都可以用中的事件通常都可以用X的不同取值來表示的不同取值來表示.某個燈泡的使用壽命某個燈泡的使用壽命X X。 某電話總機在一分鐘內收到的呼叫次數(shù)某電話總機在一分鐘內收到的呼叫次數(shù)Y.Y.在在00，11區(qū)間上隨機取點，該點的坐標區(qū)間上隨機取點，該點的坐標X.X.X X 的可能取值為的可能取值為 0,+0,+ ) )Y Y 的可能取值為的可能取值為 0 0，1 1，2 2，3 3，.,.,X X 的可能取值為的可能取值為 00，11上的全體實數(shù)。上的全體實數(shù)。隨機變量的實例隨機變量的實例隨機變量的類型隨機變量的類型n 離散型離散型n 非離散型非離散型隨機變量的所有取值是有限個或可列個隨機變量的

4、所有取值是有限個或可列個隨即變量的取值有無窮多個，且不可列隨即變量的取值有無窮多個，且不可列其中連續(xù)型隨機變量是一種重要類型其中連續(xù)型隨機變量是一種重要類型 ，有有實實數(shù)數(shù)是是右右連連續(xù)續(xù)的的。即即對對任任意意且且是是一一個個單單調調不不減減函函數(shù)數(shù)；xxFxFxFxFxFxx)3(; 1lim, 0lim, 10)2()1( xFxF 0證明：證明：:,)1(2121得得則則如如xXxXxx 21xXPxXP :分分布布函函數(shù)數(shù)的的性性質質 21xFxF 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回(2) 可直觀理解補（4） 隨機變量在某一點的概率 P29例：2.1.3 P29練習練習，1.口袋里裝有口

5、袋里裝有3個白球個白球2個紅球，從中任取三個球，個紅球，從中任取三個球，求取出的三個球中的白球數(shù)的分布函數(shù)求取出的三個球中的白球數(shù)的分布函數(shù) 2: 考慮如下試驗：在區(qū)間考慮如下試驗：在區(qū)間0，1上任取一點，記錄它的上任取一點，記錄它的坐標坐標X。那么。那么X是一隨機變量，根據(jù)試驗條件可以認為是一隨機變量，根據(jù)試驗條件可以認為X取到取到0，1上任一點的可能性相同。求上任一點的可能性相同。求X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。例例1： 口袋里裝有口袋里裝有3個白球個白球2個紅球，從中任取三個球，個紅球，從中任取三個球，求取出的三個球中的白球數(shù)的分布函數(shù)求取出的三個球中的白球數(shù)的分布函數(shù)解：解： 設設X表示取

6、出的表示取出的3個球中的白球數(shù)。個球中的白球數(shù)。X的可能的可能取值為取值為1，2，3。而且由古典概率可算得。而且由古典概率可算得3 . 0/1351322 CCCXP6 . 0/2352312 CCCXP1 . 0/33533 CCXP 0 xXPxF 3 . 01 XPxXPxF是是不不可可能能事事件件，因因而而時時當當1xXx ，因因而而時時，當當121 XxXx上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 9 . 021 XPXPxXPxF因因而而且且時時當當,21,21 ,32 XXXXxXx為一必然事件，因而為一必然事件，因而時，時，當當3xXx 1 xF于是，于是，X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為

7、： 31329 . 0213 . 010 xxxxxF上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 例例2: 考慮如下試驗：在區(qū)間考慮如下試驗：在區(qū)間0，1上任取一點，記錄它上任取一點，記錄它的坐標的坐標X。那么。那么X是一隨機變量，根據(jù)試驗條件可以認為是一隨機變量，根據(jù)試驗條件可以認為X取到取到0，1上任一點的可能性相同。求上任一點的可能性相同。求X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 當當x0時時 0 xF時時當當10 x xxXPxXPxF 0時時當當1 x 110 XPxXPxF解解 ： 由幾何概率的計算不難求出由幾何概率的計算不難求出X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 1 110 0 0 xxxxxF所以：所以：上一頁

8、上一頁下一頁下一頁返回返回.21概概率率還還能能算算出出其其它它各各事事件件的的的的概概率率，計計算算事事件件利利用用分分布布函函數(shù)數(shù)，不不僅僅能能xXx 0 0 0 1 :1221 xFxXPxFxFxXxPxFxFxXPxFxXP例例如如上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回計算概率的公式計算概率的公式 第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布分布律常用表格分布律常用表格形式表示如下：形式表示如下：X x1x2xkpkp1p2pk 如果隨機變量所有的可能取值為有限個或可列無如果隨機變量所有的可能取值為有限個或可列無限多個，則稱這種隨機變量為限多個，則稱這種隨機變量為離散型隨機變

9、量離散型隨機變量。,.2 , 1 kpxXPkk 設離散型隨機變量設離散型隨機變量X的可能取值為的可能取值為xk (k=1,2,),事事件件 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為pk ,即即稱為稱為隨機變量隨機變量X的概率或分布律的概率或分布律。kxX 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回內的概率為內的概率為區(qū)間區(qū)間落入落入離散型隨機變量離散型隨機變量為實軸上一區(qū)間，那么為實軸上一區(qū)間，那么設設IXI IxiipIXP的的分分布布函函數(shù)數(shù)的的計計算算公公式式量量由由此此可可得得離離散散型型隨隨機機變變X xxiipxXPxF 。跳跳躍躍的的高高度度為為處處的的在在的的第第一一類類間間斷斷點點，而而且且是是，值

10、值的的可可能能，的的分分布布函函數(shù)數(shù)是是階階梯梯函函數(shù)數(shù)離離散散型型隨隨機機變變量量iipxxFxFxxXX21分布律的兩條分布律的兩條基本性質基本性質： 11)2(kkp0)1( kp, 2 , 1 k上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回的分布律為的分布律為設隨機變量設隨機變量例例X:3（）確定常數(shù)（）確定常數(shù)a的值的值;（）求（）求的分布函數(shù)的分布函數(shù)因此因此61 aa 31211解：（）由分布律的性質知解：（）由分布律的性質知機機變變量量的的分分布布情情況況。隨隨布布函函數(shù)數(shù)都都能能描描述述離離散散型型分分布布律律。用用分分布布律律和和分分的的的的分分布布函函數(shù)數(shù)，也也能能確確定定已已知知離

11、離散散型型隨隨機機變變量量XX p31a21上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回（2 2）由分布函數(shù)計算公式易得的分布函數(shù)為：）由分布函數(shù)計算公式易得的分布函數(shù)為： 1 1 21 65 10 21 0 0 xxxxxF上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回1.兩點分布（也稱兩點分布（也稱0-1分布）分布） 若在一次試驗中若在一次試驗中X只可能取只可能取x1 或或x2 兩值兩值(x1x2),它的概率分布是它的概率分布是則稱則稱X服從兩點分布。服從兩點分布。 ,1),(0 121pxXPppxXP 當規(guī)定當規(guī)定x1=0,x2=1時兩點分布稱為（時兩點分布稱為（01）分布。）分布。簡記為簡記為X(0-1)分布

12、。分布。X 0 1pk 1-p p上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 , 1 , 0)1(nkppCkXPknkkn 若離散型隨機變量若離散型隨機變量X的分布律為的分布律為2.二項分布二項分布其中其中0p0是一常數(shù)，是一常數(shù)，n是任意整數(shù)，是任意整數(shù)，設設npn=，則對任意一固定的非負整數(shù)，則對任意一固定的非負整數(shù)k，有，有 ekppCkknnknknn!1limknknnkknnn 1!)1()1(時時，當當對對于于固固定定的的 nk證明證明knknnnknnk 111121111!11111121n111 knnennkn 有有由由npn knnknknppC 1上一頁上一頁下一頁下一頁返回

13、返回定理的條件定理的條件npn=，意味著，意味著n很大很大時候時候pn必定很小必定很小。因此當因此當n很大，很大，p很小時有近似公式很小時有近似公式 ekppCkknkkn!1其中其中=np。 ekk!在實際計算中，當在實際計算中，當 時用時用 （=np）作為作為 的近似值效果很好。的近似值效果很好。而當而當 時效果更佳。時效果更佳。 05. 020n p， knnknknppC 110np100n ， ekk!的值有表的值有表2-5可查?？刹?。 ekppCkknnknknn!1lim從而從而上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例5： 有同類設備有同類設備300臺，各臺工作狀態(tài)相互獨立。已臺，各

14、臺工作狀態(tài)相互獨立。已知每臺設備發(fā)生故障的概率為知每臺設備發(fā)生故障的概率為0.01，若一臺設備發(fā)生故，若一臺設備發(fā)生故障需要一人去處理，問至少需要配備多少工人，才能保障需要一人去處理，問至少需要配備多少工人，才能保證設備發(fā)生故障而不能及時修理的概率小于證設備發(fā)生故障而不能及時修理的概率小于0.01？ 130001. 0!3!1111NkkNkkNkknkknkekeppCNXPNXP 查表可知，滿足上式最小的查表可知，滿足上式最小的N是是8。至少需配備至少需配備8個工人才能滿足要求。個工人才能滿足要求。 解：解： 設設X表示同一時刻發(fā)生故障的設備臺數(shù)，依題意知表示同一時刻發(fā)生故障的設備臺數(shù)，依

15、題意知X(300,0.01)，若配備，若配備N位維修人員，所需解決的問題是位維修人員，所需解決的問題是確定最小的確定最小的N，使得：，使得：PXN0為常數(shù)為常數(shù),則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，記的泊松分布，記為為X ( )。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回泊松分布的特點：泊松分布的特點：1、平穩(wěn)性、平穩(wěn)性2、無后效性、無后效性3、普通性、普通性 P34 例例2.2.5服務臺在某時間段內接待的服務次數(shù)服務臺在某時間段內接待的服務次數(shù)X X；交換臺在某時間段內接到呼叫的次數(shù)交換臺在某時間段內接到呼叫的次數(shù)Y;Y;礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù)礦井在某段時

16、間發(fā)生事故的次數(shù); ;顯微鏡下相同大小的方格內微生物的數(shù)目；顯微鏡下相同大小的方格內微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目 體積相對小的物質在較大的空間內的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù) 可以由觀測值的平均值求出。n 實際問題中若干實際問題中若干R.v.XR.v.X是服從或近似服從是服從或近似服從 PoissonPoisson分布的分布的實際應用中實際應用中當當n n較大較大,p,p較小，較小，npnp適中時，即適中時，即可用泊松公式近似替換二項概率公式可用泊松公式近似替換二項概率公式ekppCkknkkn!)1 (二項分布的泊松近似二項分布的泊松

17、近似The Poisson Approximation to the Binomial Distributionnp若某人做某事的成功率為若某人做某事的成功率為1%，他重復努力，他重復努力400次，次，則至少成功一次的概率為則至少成功一次的概率為400110 =1 0.990.9820P XP X 成功次數(shù)服從二項概率成功次數(shù)服從二項概率 (400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 例例設一個袋中裝有設一個袋中裝有3 3個紅球和個紅球和7 7個白球，現(xiàn)在從中個白球，現(xiàn)在從中隨機抽取一球，如果每個球抽取的機會相等，隨機抽取一球，如果每個球抽

18、取的機會相等，并且用數(shù)并且用數(shù)“1”1”代表取得紅球，代表取得紅球，“0”0”代表取得代表取得白球，則隨機抽取一球所得的值是一個離散型白球，則隨機抽取一球所得的值是一個離散型隨機變量隨機變量10X（取得紅球）（取得白球）其概率分布為其概率分布為3(1)10P X 7(0)10P X 即即X X服從兩點分布。服從兩點分布。 練習：練習： 從一批由從一批由9 9件正品、件正品、3 3件次品組成的產品中件次品組成的產品中, ,有放回地抽取有放回地抽取5 5次次, ,每次抽一件每次抽一件, ,求恰好抽到兩次次品的求恰好抽到兩次次品的概率概率. . 從一批由從一批由9 9件正品、件正品、3 3件次品組成

19、的產品中件次品組成的產品中, ,有放回有放回地抽取地抽取5 5次次, ,每次抽一件每次抽一件, ,求恰好抽到兩次次品的概率求恰好抽到兩次次品的概率. . 有放回地抽取有放回地抽取5 5件件, ,可視為可視為5 5重重BernoulliBernoulli實驗實驗記記X X為共抽到的次品數(shù)，則為共抽到的次品數(shù)，則)41,5( BX25 225112144P XC A=“A=“一次實驗中抽到次品一次實驗中抽到次品”，P(A)=3/12,P(A)=3/12,n=5 pn=5 p=1/4=1/4練習練習解：解： 練習 一大批種子一大批種子發(fā)芽率為發(fā)芽率為90%，今從中任取，今從中任取10粒粒.求播種后求

20、播種后, 求求（1 1）恰有）恰有8 8粒發(fā)芽的概率；（粒發(fā)芽的概率；（2 2）不小于不小于8 8粒發(fā)芽的概率。粒發(fā)芽的概率。例例 一大批種子一大批種子發(fā)芽率為發(fā)芽率為90%，今從中任取，今從中任取10粒粒.求播種后求播種后, 求求（1 1）恰有）恰有8 8粒發(fā)芽的概率；（粒發(fā)芽的概率；（2 2）不小于不小于8 8粒發(fā)芽的概率。粒發(fā)芽的概率。解解XB（10, 0.9）(1) P(X=8)=1937. 01 . 09 . 028810 C2( ) P(x8)= 8829910101010100.90.10.90.10.90.9298CCCP(X=8)+P(X=9)+P(X=10) 已知某電話交換

21、臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)X X服從服從4 的泊松分布，分別的泊松分布，分別 求（求（1 1）每分鐘內恰好接到）每分鐘內恰好接到3 3次呼喚的概率；（次呼喚的概率；（2 2）每分鐘不超過）每分鐘不超過4 4次的概率次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)P XP XP XP XP XP X4,3k()!kP Xkek344(3)3!P Xe例例解解0.195630.628838第三節(jié)第三節(jié) 連續(xù)隨機變量及其分布連續(xù)隨機變量及其分布0)()1( xf 1)()2(dxxf 21)()3(21xxdxxfxXxP（4）若）若x為為f(x)的連續(xù)點，則有的連續(xù)點，

22、則有 xfxF 概率密度概率密度f(x)具有以下具有以下性質性質：定義定義2.3: 設隨機變量設隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x)，若存在非，若存在非負函數(shù)負函數(shù)f(t),使得對于任意實數(shù)使得對于任意實數(shù)x，有，有 xdttfxF)(則稱則稱X為連續(xù)型隨機變量，稱為連續(xù)型隨機變量，稱f(t)為為X的概率密度函數(shù)，的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或分布密度。簡稱概率密度或分布密度。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回由性質（由性質（2）知：）知：介于曲線介于曲線y=f(x)與與Ox軸之間的面積等于軸之間的面積等于1（見圖（見圖1）。）。由性質（由性質（3）知：）知： X落在區(qū)間（落在區(qū)間（x1,

23、x2）的概率等于區(qū)間（）的概率等于區(qū)間（x1,x2）上曲線）上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積（見圖之下的曲邊梯形的面積（見圖2）。）。由性質（由性質（4）知：）知：若已知連續(xù)型隨機變量若已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)求導得概率密求導得概率密度度f(x)。)(xfxO1圖圖)(xfxO1x2x圖圖上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回(1)若若X為具有概率密度為具有概率密度f(x)的連續(xù)型隨機變量。的連續(xù)型隨機變量。則有則有 xxxdxxfxxxxXxP00)(100如果如果x0為為f(x)的連續(xù)點，有的連續(xù)點，有 )(lim0000 xfxxxXxPx f(x)在在x0處的函

24、數(shù)值處的函數(shù)值f(x0)反映了概率在反映了概率在x0點處的點處的“密密集程度集程度”，而不表示，而不表示X在在x0處的概率處的概率。設想一條極細。設想一條極細的無窮長的金屬桿，總質量為的無窮長的金屬桿，總質量為1，概率密度相當于各，概率密度相當于各點的質量密度。點的質量密度。 00 aFaFaXP aXP （2）若）若X為連續(xù)型隨機變量，由定義知為連續(xù)型隨機變量，由定義知X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)為連續(xù)函數(shù)（注意：反之不然）。為連續(xù)函數(shù)（注意：反之不然）。X取一個點取一個點a的的概率概率 為零，事實上為零，事實上 兩點說明兩點說明在計算連續(xù)型隨機變量在計算連續(xù)型隨機變量X落在某一區(qū)間的概率

25、時，可落在某一區(qū)間的概率時，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半開半閉區(qū)以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間，即有間，即有 badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)(事件事件X=a 并非不可能事件并非不可能事件概率為零的事件不一定是不可能事件概率為零的事件不一定是不可能事件；概率為概率為1的事件不一定是必然事件。的事件不一定是必然事件。 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回求：（求：（1）常數(shù)）常數(shù)a；（；（2） （3）X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F（x） 40P X（1）由概率密度的性質可知）由概率密度的性質可知 222cos)(1 axdxadxxf所以所以 a1/2 42cos2

26、1)(40)2(4400 xdxdxxfXP 其其他他20cos)( xxaxf例例1：設隨機變量：設隨機變量X具有概率密度具有概率密度 解：解：上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回22221)sin1(210)( xxxxxFX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為于是于是 xdttfxF)()(31cos212 xdxF(x)x22-時 當當0)(2 xFx時時當當 )sin1(21cos21)(222xxdxxFxx 時時當當上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)與分布函數(shù)F(x)的圖形可用圖示的圖形可用圖示abO xfabO xF1上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回其他

27、其他bxaabxf 01)(則稱則稱X在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為上服從均勻分布，記為XU(a,b)，bxbxaaxabaxxF 10)(1.均勻分布均勻分布設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ：上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回f(x)和和F(x)可用圖形表示可用圖形表示)(xfxO )(xfxO1上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度具有概率密度0( )(0)00 xxef xx為常數(shù)則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。0001)( xxexFx 2.指數(shù)分布

28、指數(shù)分布X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回利用利用 可以證明可以證明 ，,222 dxex 1)(dxxf3.正態(tài)分布正態(tài)分布 dxedxxfx 22221)( 設隨機變量設隨機變量X的概率密度為的概率密度為 xexfx222)(21)( 其中其中 , ( 0)為常數(shù)為常數(shù),則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 的正態(tài)分的正態(tài)分布或高斯分布布或高斯分布,記為記為XN( , 2).X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 dtexFxt 222)(21)( 則則令令tx 122121)(22 dtedxxft上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回（1） 最大值在最大值在x=處，最大值為處，最

29、大值為 ; 21（3）曲線）曲線y=f(x)在在 處有拐點；處有拐點； x正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的的幾何特征幾何特征： hXPXhP （2） 曲線曲線y=f(x)關于直線關于直線x= 對稱，于是對于任對稱，于是對于任意意h0，有，有x（4）當）當 時，曲線時，曲線y=f(x)以以x軸為漸近線軸為漸近線 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回當當 固定，改變固定，改變 的值，的值，y=f(x)的圖形沿的圖形沿Ox軸平移而不軸平移而不改變形狀，故改變形狀，故 又稱為位置參數(shù)。若又稱為位置參數(shù)。若 固定，改變固定，改變 的的值，值，y=f(x)的圖形的形狀隨的圖形的形狀隨 的增大而變

30、得平坦。的增大而變得平坦。 越小，越小，X落在落在 附近的概率越大附近的概率越大。)(xfxO )(xfxO1h h 1 5 . 0 1 2 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回參數(shù)參數(shù) =0， =1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為XN(0,1)。其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別用。其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別用 和和 表示，即表示，即)(x )( x 2221)(xex dtexxt 2221)( 和和 的圖形如圖所示。的圖形如圖所示。 )(x )( x )(x xO)(x xO21aa 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回由正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性易知由正態(tài)密度函數(shù)的幾何

31、特性易知 )(1)(xx 一般的正態(tài)分布，其分布函數(shù)一般的正態(tài)分布，其分布函數(shù)F(x)可用標準正態(tài)分布可用標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表達。若的分布函數(shù)表達。若X , X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)為為),(2 NdtexFxt 222)(21)( 則則令令st )(21)(22 xdsexFxs因此，對于任意的實數(shù)因此，對于任意的實數(shù)a,b(ab)，有，有 abaFbFbXaP)()()(x 函數(shù)函數(shù) 寫不出它的解析表達式，人們已編制了它寫不出它的解析表達式，人們已編制了它的函數(shù)表，可供查用。的函數(shù)表，可供查用。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回)(1)(xx 5 . 0)0( 22()12xxxP

32、Xxedx標準正態(tài)分布的概率計算標準正態(tài)分布的概率計算n 分布函數(shù)分布函數(shù)( )yxX -x ( )( )P aXbba （）標準正態(tài)分布的概率計算標準正態(tài)分布的概率計算12PX（）1P X （）(1)( 1)2 (1) 10.6826 0()1( )xxx 時,0( )xx時，的值可以查表( )P Xbb （）1( )P Xaa （）n 公式公式n 查表查表n 例例(0,1)XN(2)(1)0.97720.84130.1359( 1)1(1)1 0.84130.1587 1P X （）一般正態(tài)分布的標準化一般正態(tài)分布的標準化2( ,),( )xXNF x 如果則n 定理定理()()()baP

33、 aXb 2( ,)XN 若查標準正態(tài)分布表n 概率計算概率計算()P aXb2( ,)XN 一般正態(tài)分布的區(qū)間概率一般正態(tài)分布的區(qū)間概率()P Xb()P Xa( )x為標準正態(tài)分布函數(shù)n 。n 。n 。()()ba ()b 1()a 設設XN（1，4），求），求 P(0X1.6)解解(0.3)1(0.5) ()()()baP aXb 例例1,2(01.6)PX1.6 10 1()()22(0.3)( 0.5)0.6179 1 0.6915 0.3094 正態(tài)分布的實際應用正態(tài)分布的實際應用2( ,)XN 已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若從高分人，若從高

34、分到低分依次錄取，某人成績?yōu)榈降头忠来武浫?，某人成績?yōu)?8分，問此人能否被錄分，問此人能否被錄??？?。?某單位招聘某單位招聘155155人，按考試成績錄用，共有人，按考試成績錄用，共有526526人報名，假設報名者的考試成績人報名，假設報名者的考試成績n 分析分析 首先求出首先求出和和然后根據(jù)錄取率或者分數(shù)線確定能否錄取然后根據(jù)錄取率或者分數(shù)線確定能否錄取解解 成績成績X服從服從 2,N 12900.0228526P X 83600.1588526P X 錄取率為錄取率為 1550.2947526可得可得 909011 0.02280.9772P X 60600.1588P X 601 0.15880.8412 得得 查表得查表得 601.0902.0解解 查表得查表得 601.0902.0. 解得解得 70 , 10故故 270,10XN設錄取的最低分為設錄取的最低分為 x則應有則