63Urysohn引理和Tietze擴(kuò)張定理

1、 6.3 Urysohn引理和Tietze擴(kuò)張定理 定理6.3.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g， 是一個(gè)閉區(qū)間，則X是一個(gè)正規(guī)空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于X中的任意兩個(gè)無交的閉集A和B，存在一個(gè)連續(xù)映射 使得當(dāng) 時(shí) 和當(dāng) 時(shí) , a b: , fXa bxAxB( )f xa( )f xb證明:充分性充分性 由于 ,因此我們只要證明a,b=0,1的情形即可.必要性必要性 設(shè)X是一個(gè)正規(guī)空間，A和B是X的兩個(gè)無交的閉集, . 不妨設(shè)r(1)=1和 r(2)=0 , 0,1a b 0,1IQQ (1), (2), (3)IQrrrAB01fX下面我們要做的工作是對(duì)每一個(gè)有理數(shù)r(n)QI,對(duì)應(yīng)著A的一個(gè)開鄰域Ur(n

2、),使得滿足條件： (1) ; (2) 若 ,則 . 接下來我就用歸納的方法定義A的這些開鄰域：(1)rUB( )( )r nr m( )()r nr mUUAB令max ( | ( )( ),1,1sr ir ir n inmax ( | ( )( ),1,1br ir ir n in(1)rUB(2)(1)rrUU取 ， , 滿足 ， 則 滿足(1)和(2),設(shè)對(duì)于n2,A的開鄰域 已經(jīng)定義.(2)rU(1)(2),rrUU(1)(1),rr nUU由定理6.2.2，選取Ur(n)為 的一個(gè)開鄰域使得 ，從 Ur(n)的取法可知A的諸開鄰域仍然滿足條件(1)和(2).根據(jù)歸納原則，A的諸開

3、鄰域已經(jīng)全部定義，且滿足條件(1)和(2).( )r nbUUsU 定義映射： 使得對(duì)任意 ,:0,1fX xXinf|( )rrrQxUxBf xxB 如果 1 如果顯然如果 ,則 ，所以f(x)=0 ；若 ，則 f(x)=1 .xA(2)rxUxB下面證明 f 的連續(xù)性，我們知道：是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)子基，從而0,1的一個(gè)子基為則事實(shí)上 還是0,1的一個(gè)子基.( ,)|, )|aaRbbR S =10,1 SS |1( ,1|0,1)0, )|(0,1 ,0,1aabbS1 ,0,1SS因此我們只需證明 的每一個(gè)元素在 f 下的原象是開集就可以了.即證對(duì)于任意 ， 是X中的開集;對(duì)于任意 ， 是X中的開集.S0,1)a1( ,1)fa(0,1b1(0, )fb111213 定理定理6.3.2 空間中的任何一個(gè)連通子集如果包含多于一點(diǎn),則它一定是一個(gè)不可數(shù)集.4T15 引理引理6.3.3 設(shè)X是一個(gè)正規(guī)空間,A是X中的一個(gè)閉子集, 是一個(gè)正數(shù),則對(duì)于任何一個(gè)連續(xù)映射:存在一個(gè)連續(xù)映射使得對(duì)于任何 有:, g A 1133:,gA aA*23|( )( )|g aga171819 定理定理6.3.4 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,a,b是一個(gè)閉區(qū)間,則X是一個(gè)正規(guī)空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于X中的任何一個(gè)閉集A和任何