2019-2020年高中數(shù)學(xué)《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教案11新人教A版必修2

1、2019-2020年高中數(shù)學(xué) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案11新人教A版必修2（一）教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能（1）在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的 圓心半徑，掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0表示圓的條件（2） 能通過(guò)配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能用待定系數(shù)法求圓的方程（3）培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力2.過(guò)程與方法通過(guò)對(duì)方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的 實(shí)際能力3情感態(tài)度與價(jià)值觀滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索（二）教學(xué)

2、重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D E、F.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用（三）教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)r教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題：求過(guò)三點(diǎn)A（0,0）,B（1,1),C(4,2)的圓的方程課題引入,利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問(wèn)題顯設(shè)疑 激趣導(dǎo)入課題然有些麻煩，得用直線的知識(shí)解決又有 其簡(jiǎn)單的局限性，那么這個(gè)問(wèn)題有沒(méi)有 其它的解決方法呢？帶著這個(gè)問(wèn)題我 們來(lái)共同研究圓的方程的另一種形式讓學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)行思考圓的一般方程請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-整個(gè)探索過(guò)程由學(xué)生完通過(guò)2 2 2a) + (y-b) =r，圓心(a,

3、b)，半成，教師只做引導(dǎo)，得出圓的學(xué)生對(duì)圓徑r.一般方程后再啟發(fā)學(xué)生歸納的一般方把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)，并整理：圓的一般方程的特點(diǎn)：程的探究，2 22 . 2（1x2和y2的系數(shù)相使學(xué)生親-r2=0.冋，不等于0身體會(huì)圓概2:取D=-2a, E=-2b,F=a+沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng)的一般方念形b2-r2得x2+y2+Dx+Ey+F= 0（2）圓的一般方程中有三程的特點(diǎn)，成與這個(gè)方程是圓的方程個(gè)特定的系數(shù)D E、F,因此及二元二深化反過(guò)來(lái)給出一個(gè)形如x2+y2+Dx+只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方次方程表Ey+F= 0的方程，它表示的曲線一定程就確定了示圓所滿(mǎn)是圓嗎？（3）與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比足的條件.2

4、 2把x+y+Dx+Ey+F= 0配較，它是一種特殊的二兀二次方得方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)(.D)2卄.E)2D2+E24F準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半（x+2）+（y+2）-4徑大小，幾何特征較明顯(配方過(guò)程由學(xué)生去完成)這個(gè)方程疋不疋表示圓？(1) 當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，方 程表示以為圓心，為半徑的圓；(2) 當(dāng)D) +E2-4F= 0時(shí)，方 程只有實(shí)數(shù)解，即只表示一個(gè)點(diǎn)；(3) 當(dāng)D2+E2-4FV0時(shí)，方 程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形綜上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0表示的曲線不一定是圓.只有當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，它表 示的曲線才是圓，我們把形如x2+y2+Dx+

5、Ey+F= 0的表示圓的方程稱(chēng)為 圓的一般方程應(yīng)用舉例例1判斷下列二兀二次方程是否 表示圓的方程？如果是，請(qǐng)求出圓的圓 心及半徑/ 、2 2(1)4X+ 4y-4X+ 12y+ 9 = 02 2(2)4x+ 4y-4x+ 12y+ 11 =0解析：(1)將原方程變?yōu)?2c八x+y-x+ 3y+= 0D=-1,E=3,F=./ D2+E2-4F= 10此方程表示圓，圓心(，)，半 徑r=.:(2)將原方程化為*2 2x+y-x+ 3y+= 0D=-1,E=3,F=.D2+E2-4F=-1v0此方程不表示圓學(xué)生自己分析探求解決途 徑：用配方法將其變形化成 圓的標(biāo)準(zhǔn)形式運(yùn)用圓的一 般方程的判斷方法求

6、解但是， 要注意對(duì)于(1)4x2+ 4y2-4x+ 12y+ 9 = 0來(lái)說(shuō)，這里的D=-1,E= 3，而不是D=-4,E= 12,F=9.通過(guò)例題 講解使學(xué) 生理解圓的一般方 程的代數(shù) 特征及與標(biāo)準(zhǔn)方程 的相互轉(zhuǎn) 化更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué) 生探索發(fā) 現(xiàn)及分析解決問(wèn)題 的能力例2求過(guò)三點(diǎn)A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓 的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)分析：據(jù)已知條件，很難直接寫(xiě)出 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確 定三個(gè)系數(shù)，而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo)， 不妨試著先寫(xiě)出圓的一般方程解：設(shè)所求的圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F= 0-A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圓上，所

7、以它們的坐標(biāo)是方程的解把它們的坐標(biāo)代入上面的方程， 可以得例2講完后學(xué)生討論交流，歸納得出 使用待定系數(shù)法的一般步驟：1根據(jù)題設(shè)，選擇標(biāo)準(zhǔn)方 程或一般方程2根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D E、F的方程組；3.解出a、b、r或D E、F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程到關(guān)于D E、F的三兀一次方程組：F =0即gD +E +F +2 =0fD +2E +F +20 =0解此方程組，可得：D=-8,E=6,F= 0所求圓的方程為：x2+y2-8x+ 6y= 0;得圓心坐標(biāo)為（4，-3）.2 2或?qū)+y-8x+ 6y= 0左邊 配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，（x-4） + （y+ 3）2= 25，從而求出圓的半徑

8、r= 5, 圓心坐標(biāo)為（4，-3）.例3已知線段A是（4,3），端點(diǎn)A在圓=4運(yùn)動(dòng)，求線段AB白 程.解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo) 的坐標(biāo)是（xo,yo）由于3）且M是線段AB中重，于是有X。= 2x因?yàn)辄c(diǎn)A在圓（上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐1）2+y2= 4,即（X0+把代入，得（2x-4 + 1）2+整理得所以， 點(diǎn)M的軌跡 徑長(zhǎng)為1的圓.B的端點(diǎn)B的坐標(biāo)2 2K上（x+ 1） +y勺中點(diǎn)M的軌跡方示是（x,y），點(diǎn)A點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4, 點(diǎn)，所以4,y= 2y-3x+ 1）2+y2= 4直標(biāo)滿(mǎn)足方程（X+2 21） +y。= 4（2y-3）2= 4,F是以為圓心，半y教師和學(xué)生一起分析解題 思路， 再由教師板

9、書(shū).分析：如圖點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起 點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程（x+ 1）2+y2= 4.建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系， 就可以建立 點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件，求出 點(diǎn)M的軌跡方程.課堂練習(xí)：課堂練習(xí)題.丿x習(xí)P130第1、2、3歸納總結(jié)1.圓的一般方程的特征12與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化3用待定系數(shù)法求圓的方程4求與圓有關(guān)的點(diǎn)的軌跡教師和學(xué)生共同總結(jié)讓學(xué) 生更進(jìn)一步（回顧） 體會(huì)知識(shí)的形成、發(fā) 展、完善的 過(guò)程.課后作業(yè)1布置作業(yè)：見(jiàn)習(xí)案4.1的第二課時(shí)學(xué)生獨(dú)立完成鞏固深化備選例題例1下列各方程表示什么圖形？若表示圓，求出圓心和半徑(1)X+y2+x+ 1 = 0；/ 、2 2 2(2)

10、x+y+ 2ac+a= 0 (az0)；2 2(3)2x+ 2y+ 2ax-2ay= 0(az0).【解析】(1)因?yàn)镈=1,E=0,F=1, 所以D2+E2-4Fv0方程(1)不表示任何圖形；(2)因?yàn)镈=2a,E=0,F=a2,所以D2+E2-4F=4a2-4a2= 0,所以方程(2)表示點(diǎn)(-a,0)；（3）兩邊同時(shí)除以2，得x2+2y+ax-ay= 0,所以D = a,E=-a,F= 0.所以D+E2-4F0,所以方程（3）表示圓，圓心為，半徑r JjD2+E2-4F|a22點(diǎn)評(píng)：也可以先將方程配方再判斷例2已知一圓過(guò)P（4，-2）、Q-1,3）兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為，求圓的方

11、程【分析】涉及與圓的弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，則利用垂徑直徑定理和由半弦長(zhǎng)、弦心距、半 徑所構(gòu)成的三角形解之【解析】法一：設(shè)圓的方程為：2 2x+y+Dx+Ey+F= 0將P、Q的坐標(biāo)分別代入得令x= 0，由，得y2+E）+F= 0由已知|y1-y2| =，其中y1,y2是方程的兩根./ （y1y2）2= （y1+y2）-4 yy =E2-4F= 48解聯(lián)立成的方程組，得= -2fD=-10E =0或E=-8F - -12F=4故所求方程為：x+y-2x-12 = 0或x+y-10 x-8y+ 4 = 0.法二：求得PQ的中垂線方程為x-y-1 = 0所求圓的圓心C在直線上，故設(shè)其坐標(biāo)為（

12、a,a-1）,又圓C的半徑由已知圓C截y軸所得的線段長(zhǎng)為，而圓C到y(tǒng)軸的距離為|a|.代入并將兩端平方，得a2-5a+ 5 = 0,解得a1= 1,a2= 5.故所求的圓的方程為：（x-1）2+y2= 13或（x-5）2+ （y-4）2= 37.【評(píng)析】（1）在解本題時(shí)，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，要避開(kāi)直接去求圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，否則計(jì)算要復(fù)雜得多（2）涉及與圓的弦長(zhǎng)有關(guān)問(wèn)題，常用垂徑定理和由半弦長(zhǎng)、弦心距及半徑所構(gòu)成的直角三角形解之, 以簡(jiǎn)化運(yùn)算例3已知方程x2+y2-2（t+ 3）x+ 2（1-t2）y+ 16t4+ 9 = 0表示一個(gè)圓，求（1）t的取值范圍；（2）該圓半徑r的取值范圍.【解析】原

13、方程表示一個(gè)圓的條件是D2+E2-4F= 4（t+ 3）2+ 4（1t2）24（16t4+ 9）0即7t2-6t-1V0 ,22 242=(t - 3)(1 t ) -(16t- 9) - -7t6t 12019-2020年高中數(shù)學(xué)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案2新人教A版必修2一、 教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫(xiě)出 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題， 并會(huì)推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)通過(guò)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生利用求曲線的方程的一般步驟解決一些實(shí)際問(wèn)題 的能力.（三）學(xué)科滲透點(diǎn)圓基于初

14、中的知識(shí)，同時(shí)又是初中的知識(shí)的加深，使學(xué)生懂得知識(shí)的連續(xù)性；通過(guò)圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程，可解決一些如圓拱橋的實(shí)際問(wèn)題，說(shuō)明理論既來(lái)源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐，可 以適時(shí)進(jìn)行辯證唯物主義思想教育.二、 教材分析1重點(diǎn)：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟；（2）根據(jù)具體條件正確寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（解決辦法：（1）通過(guò)設(shè)問(wèn)，消除難點(diǎn)，并詳細(xì)講解；（2）多多練習(xí)、講解.）2難點(diǎn)：運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.（解決辦法：使學(xué)生掌握分析這類(lèi)問(wèn)題的方法是先弄清題意，再建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,使圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式簡(jiǎn)單，最后解決實(shí)際問(wèn)題.）三、 活動(dòng)設(shè)計(jì)問(wèn)答、講授、設(shè)問(wèn)、演板、重點(diǎn)講解、歸納小結(jié)、閱讀.四、 教學(xué)過(guò)程（一

15、）復(fù)習(xí)提問(wèn)前面，大家學(xué)習(xí)了圓的概念，哪一位同學(xué)來(lái)回答？問(wèn)題1:具有什么性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為圓？平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為圓（教師在黑板上畫(huà)一個(gè)圓）.問(wèn)題2:圖2-9中哪個(gè)點(diǎn)是定點(diǎn)？哪個(gè)點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)？動(dòng)點(diǎn)具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反 映了圓的什么特點(diǎn)？D2E2-4F4圓心C是定點(diǎn)，圓周上的點(diǎn)M是動(dòng)點(diǎn)，它們到圓心距離等于定長(zhǎng)|MC|=r，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小.問(wèn)題3:求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？求曲線方程的一般步驟為：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x，y)表示曲線上任意點(diǎn)M的坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱(chēng)建系設(shè)點(diǎn)；圖2-9(2)寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合P=M|P(M

16、)|，簡(jiǎn)稱(chēng)寫(xiě)點(diǎn)集；(3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程f(x，y)=0，簡(jiǎn)稱(chēng)列方程；(4)化方程f(x，y)=0為最簡(jiǎn)形式，簡(jiǎn)稱(chēng)化簡(jiǎn)方程；(5)證明化簡(jiǎn)后的方程就是所求曲線的方程，簡(jiǎn)稱(chēng)證明.其中步驟(3)(4)必不可少.冋題4：當(dāng)a0叭二角f(刃二是同解方程嗎？當(dāng)臼0吋仗)二F二(肩-a)(+ a) = 0 O點(diǎn)分-a = 0Jf=九故當(dāng)爲(wèi)0時(shí)，= a是同解方程*下面我們用求曲線方程的一般步驟來(lái)建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(二)建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.建系設(shè)點(diǎn)由學(xué)生在黑板上畫(huà)出直角坐標(biāo)系，并問(wèn)有無(wú)不同建立坐標(biāo)系的方法教師指出：這兩 種建立坐標(biāo)系的方法都對(duì)，原點(diǎn)在圓心這是特殊情況，現(xiàn)在僅就一般情況推導(dǎo).因?yàn)?/p>

17、C是定 點(diǎn)，可設(shè)C(a,b)、半徑r,且設(shè)圓上任一點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,y).2.寫(xiě)點(diǎn)集根據(jù)定義，圓就是集合P=M|MC|=r.3.列方程由兩點(diǎn)間的距離公式得：4圓心在點(diǎn)C(3, 4),半徑是酉經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,1)，圓心在點(diǎn)C(8,-3);圓心在點(diǎn)C(1,3)，并且和直線3x-4y-7=0相切.2 2 2 2教師糾錯(cuò)，分別給出正確答案：X +y=9;(x-3)+(y-4) =5;(3)(x野+(y +掰二25； (4)仗-廳+仗筍指出：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長(zhǎng)熟練地寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2說(shuō)出下列圓的圓心和半徑：(學(xué)生回答)22(1)(x-3)+(y-2) =5；22(x+4) +(y+3) =7；2

18、 2(3)(x+2) +y =4教師指出：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑.4化簡(jiǎn)方程將上式兩邊平方得：2 2(x-a) +(y-b)=r2.(1)方程(1)就是圓心是C(a,b)、半徑是r的圓的方程我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這時(shí)，請(qǐng)大家思考下面一個(gè)問(wèn)題.問(wèn)題5:圓的方程形式有什么特點(diǎn)？當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，圓的方程是什么？這是二元二次方程，展開(kāi)后沒(méi)有xy項(xiàng)，括號(hào)內(nèi)變數(shù)x,y的系數(shù)都是1點(diǎn)(a,b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑.當(dāng)圓心在原點(diǎn)即C(0,0)時(shí)，方程為x2+y2=r2.教師指出：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a,b,r三個(gè)量確定了且r0，

19、圓的方程就給定了. 這就是說(shuō)要確定圓的方程，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件.注意，確定a、b、r，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來(lái)解決.(三)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用例1寫(xiě)出下列各圓的方程：(請(qǐng)四位同學(xué)演板)(1)圓心在原點(diǎn)，半徑是3；例3(1)已知兩點(diǎn)P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2為直徑的圓的方程；(2)試判斷點(diǎn)M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？解(1)：分析一：從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑，可用待定系數(shù)解決. 解法一：(學(xué)生口答)設(shè)圓心C(a,b)、半徑r，則由C為P1P2的中點(diǎn)得：宀又由兩點(diǎn)間的距離公式得:r=CPA=J(4護(hù)+(9-6)亍=師所

20、求圓的方程為：2 2(x-5) +(y-6)=10分析二：從圖形上動(dòng)點(diǎn)P性質(zhì)考慮，用求曲線方程的一般方法解決.解法二：(給出板書(shū))直徑上的四周角是直角，對(duì)于圓上任一點(diǎn)P(x,y)，有P P1丄P P2.化簡(jiǎn)得:2 2x +y -10 x-12y+51=0. 即(x-5)2+(y-6)2=10為所求圓的方程.解(2):(學(xué)生閱讀課本)分別計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離：|CM|= J(6-5尸+(96尸=710；|CN|= 7P-5)3+(3-6)3=10；|CQ|= 7(5+(3-6)2= 3r;(3)點(diǎn)在圓內(nèi)dvr.3.以A(xi,yj、B(X2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-xi)(x- x2)+(y- yi)(y- y2)=0(證明留作作業(yè))例4圖2-10是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB=20m拱高0P=4m在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長(zhǎng)度(精確到0.01m).此例由學(xué)生閱讀課本，教師巡視并做如下提示：(1)先要建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，使圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式簡(jiǎn)單，便于計(jì)算