《二次函數(shù)的圖像》典型例題1

1、二次函數(shù)的圖像典型例題例1 已知二次函數(shù)，當x4時有最小值-3，且它的圖象與x軸交點的橫坐標為1，求此二次函數(shù)解析式。例2 如果以y軸為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖13-25所示，那么代數(shù)式b+c-a與零的關(guān)系是                               

2、        Ab+c-a=0；           Bb+c-a0；Cb+c-a0；            D不能確定。例3 二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=ax+c在同一坐標系中的圖象大致是      例4 如果拋物線y=-x2+2(m-1)x+m+1與x軸交于A、B兩點，且A點在x

3、軸的正半軸上，B點在x軸的負半軸上，OA的長是a，OB的長是b。(1)求m的取值范圍；(2)若ab=31，求m的值，并寫出此時拋物線的解析式；(3)設(shè)(2)中的拋物線與y軸交于點C，拋物線的頂點是M，問：拋物線上是否存在點P，使PAB的面積等于BCM面積的8倍？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由。例5 已知二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點，頂點B的縱坐標是3.（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）若一次函數(shù)的圖像與x的軸相交于，且經(jīng)過此二次函數(shù)的圖像的頂點B，當時，（）求的取值范圍；（）求（O為坐標原點）面積的最小值與最大值.例6 求函數(shù)解析式的題目(1)已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（-1，-6）

4、，（1，-2）和（2，3），求這個二次函數(shù)的解析式.(2)已知拋物線的頂點為，與軸交點為，求此拋物線的解析式.(3)已知拋物線與軸交于，并經(jīng)過點，求拋物線的解析式.參考答案例1 分析：因為二次函數(shù)當x=4時有最小值-3，所以頂點坐標為(4，-3)，對稱軸為x=4，拋物線開口向上圖象與x軸交點的橫坐標為1，即拋物線過(1，0)點又根據(jù)對稱性，圖象與x軸另一個交點的坐標為(7，0)有下面的草圖：解：此題可用以下四種方法求出解析式。方法一：因為拋物線的對稱軸是，拋物線與軸的一個交點為（，），由對稱性可知另一點為（，），同例1，拋物線y=ax2bxc通過(4，-3)、(1，0)、(7，0)三點，由此列

5、出一個含a、b、c的三元一次方程組，可解出a、b、c來。方法二：由于二次函數(shù)當x=4時有最小值-3，又拋物線通過(1，0)點，所以由上面的方程組解出a、b、c。方法三：由于拋物線的頂點坐標已知，可以設(shè)二次函數(shù)式為y=a(x+h)2+k，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一個待定系數(shù)a，再利用拋物線通過(1，0)或通過（7，0）求出a來. 即得出. 所求二次函數(shù)解析式為方法四：由于拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x1=1，x2=7可以采用雙根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系數(shù)a，再把頂點(4,-3)代

6、入上式得:所求二次函數(shù)解析式為.例2 解： 從圖13-25上看出拋物線開口向下，所以a0當x=0時，y的值為正，所以c0又因為拋物線以y軸為對稱軸，所以b=0。綜上分析知b+c-a0，應(yīng)選B。注意：這個題考察了二次函數(shù)中三個系數(shù)a、b、c的含義，二次項系數(shù)a決定拋物線開口方向，c為拋物線在y軸上的截距即拋物線與y軸交點的縱坐標，拋物線的對稱軸方程為，要根據(jù)圖象具體分析才能得出正確結(jié)論。例3 解：圖象大致是D。分析： 這一類題是考察數(shù)學邏輯推理能力題目中a，b，c均是變量，字母多不知從何下手考慮考慮問題應(yīng)該是有層次的，首先抓住兩個函數(shù)共性的東西，如兩個圖象的交點中有一個是(0，c)，也就是說兩個

7、圖象的交點中有一個應(yīng)在y軸上，從而否定了A和B，且c0其次考慮完字母c后，再考慮a的取值若a0，則直線y=ax+c與x軸交點應(yīng)在原點左邊，這樣否定了C；再檢驗D，從二次函數(shù)圖象知a0，且c0，直線y=ax+c與x軸交點應(yīng)在原點右邊，所以D是正確的考慮變量的取值范圍要先考慮第一個再考慮第二個、第三個有次序地進行，切忌無頭緒地亂猜，思維混亂。例4 解：(1)設(shè)A、B兩點的坐標分別為(x1，0)，(x2，0)因為A、B兩點在原點的兩側(cè)，所以x1·x20，即-(m+1)0。當m-1時，0，所以m的取值范圍是m-1。(2)因為ab=31，設(shè)a=3k，b=k(k0)，則x1=3k，x2=-k，所

8、以所以m=2。所以拋物線的解析式是y=-x2+2x+3。(3)易求拋物線y=-x2+2x+3與x軸的兩個交點坐標是A(3，0)，B(-1，0)；拋物線與y軸交點坐標是C(0，3)；頂點坐標是M(1，4)設(shè)直線BM的解析式為y=px+q，所以直線BM的解析式是y=2x+2設(shè)直線BM與y軸交于N，則N點坐標是(0，2)所以設(shè)P點坐標是(x，y)，因為SABP=8SBCM所以所以y=4，由此得y=±4。當y=4時，P點與M點重合，即P(1，4)；所以滿足條件的P點存在。注意：這一類題是探索性的，需要獨立思考，前兩問是為第三問作鋪墊的，都是常規(guī)的思路不太難第三問是假設(shè)條件成立可導出什么結(jié)果，

9、在求BCM的面積時要用分割法，因為BCM是任意三角形，它的面積不好求，而BCN和CMN的面積都好求，底都為CN=1，高都是1SBCM=SBCN+SCMN這樣就化難為易了方程-x2+2x+3=±4有解則P點存在，如果方程無解則P點不存在，探索性題的思路都是這樣的。例5 分析：（1）由已知條件可知，拋物線的頂點坐標是（3，3），所以可設(shè)出拋物線的頂點式，再把已知點的坐標代入解析式，即可求得。（2）因為當取最小值時，也取最小值；當取最大值時，也取最大值。所以把的最大值和最小值代入直線的解析式，即可求出的取值范圍。解：（1）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點O（0，0）與點A（6，0），它的對稱軸是.它

10、的頂點B的坐標是（3，3）.設(shè)此二次函數(shù)為，把（6，0）代入解析式得，故所求二次函數(shù)的解析式為 .（2）（）令得直線的解析式為，把（3，3）代入得，故直線的解析式為.令，得.令得直線的解析式為，把（3，3）代入得，故直線的解析式為，令，則得.故的取值范圍是.（）的OD邊上的高（即B點的縱坐標的絕對值）為定值3，故OD最小，則面積最小，OD最大，則面積最大.OD最小為1，最大為2，故的面積最小是，最大為3.例6 （1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為將（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）分別代入，得 解得所以二次函數(shù)的解析式為（2）解：因為拋物線的頂點為，設(shè)其解析式為將代入得，所求拋物線的解析式為即（3）解：因為點，是