第1章概率論基礎

1、隨機信號分析 2隨機信號分析 3隨機信號分析 4隨機信號分析 5隨機信號分析 6隨機信號分析 7隨機信號分析 8隨機信號分析 9隨機信號分析 10隨機信號分析 11i 表示為隨機實驗的隨機實驗的樣本點基本可能結(jié)果隨機信號分析 12隨機信號分析 13 ()AAnP Ann試驗中 出現(xiàn)的次數(shù)總試驗次數(shù)很大隨機信號分析 14 0P A =1P AB =P ABP AP B隨機信號分析 15=0P 01P A ABP AP B如果， 則 P ABP AP AB隨機信號分析 16ABB A 事件 發(fā)生條件下的事件 0P ABP B AP AP A，隨機信號分析 17 P ABP A P B12,nA A

2、A 1212mmkkkkkkP A AAP AP AP A隨機信號分析 18隨機信號分析 19(, )H T 隨機信號分析 20 1/2,P HP T ,FHT 0,1PP 隨機信號分析 212( ,0,1,2,3)is i 隨機信號分析 221PN小球放入任一格子kkPN小球放入任意 個格子隨機信號分析 23 12121312121nnnP A AAP A P A A P A A AP A A AA隨機信號分析 241,2,iA in,ij ;ijA A 1niiA 1niiiP BP B A P AiiiP ABP B A P A隨機信號分析 2511,2,kkkniiiP AP B AP

3、 A BknP B A P A()iP A(|)kP B A(|)kP ABkkkP B AP AP A BPB隨機信號分析 2600.9P X 10.1P X 0.9 0.29010.9 0.20.1 0.813P XY0.1 0.84110.9 0.20.1 0.813P XY0X10Y1(0|0)0.8P(1|0)P(0|1)P(1|1)0.8P(0)0.9P(0)0.1P隨機信號分析 27( , )sin()tAWW t st隨機信號分析 28111sin()at222sin()at333sin()at隨機信號分析 29事件事件樣本點樣本點值域空間值域空間出現(xiàn)出現(xiàn)“1”點面點面11出現(xiàn)

4、出現(xiàn)“2”點面點面22出現(xiàn)出現(xiàn)“6”點面點面66隨機信號分析 30值域空間值域空間1 2 3 4 5 6隨機信號分析 31 Xx X ( )XFxP Xx隨機信號分析 321122iiX()X X2 2X Xi iX X1 1樣本空間樣本空間隨機變量隨機變量X()隨機變量值域隨機變量值域隨機信號分析 33隨機信號分析 34. .r v X概率分布函數(shù)分布率（概率特性）概率密度函數(shù)矩特性（數(shù)字特征）隨機信號分析 35123456. .123456xxxxxxr v Xpppppp611ipi61( )()XiiFxP XxPU xxi( )XFxP Xx隨機信號分析 36F(x)pkxkx3x2

5、x1xp1P1 P21隨機信號分析 37()1()0FP XFP X (0)( ) ()( )F aF aF aF a或隨機信號分析 38122112211211221221()( )()( )()()()( )()( )P xxxF xF xP xxxF xF xP xxF xF xP xxxF xF xP xxF xF x2121()( )xxF xF x若，則隨機信號分析 39( )Xfx( )f x( )( )XdfxF xdx隨機信號分析 40123456. .123456xxxxxxRV Xpppppp61( )()XiiiFxP XxPU xx61( )( )()XXiiidfx

6、FxPxxdx隨機信號分析 41x1x2x3xkpkf(x)xp1p2 p3隨機信號分析 42iiP Xxp ,iiiF xpu xxi為整數(shù) ,iiifxpxxi為整數(shù)( )( )u與隨機信號分析 43( , ( )( )baAP Xa bf x dxP XAf x dx ( )0f x 隨機信號分析 44( )1f x dx( )( )xXXFxfd隨機信號分析 45隨機信號分析 46 XFx Xfx隨機信號分析 47隨機信號分析 4812( ),( ),.,( )nXXX( )( ),1,2, )iX sXin隨機信號分析 491122iiX1()X2()Xi()X X1()1()多維映

7、射多維映射X X2()2()X Xi()i()隨機信號分析 50( )( , ),ZXYFzFx yP Xx Yy ( )XF x( )YF y( , )XYFx y隨機信號分析 51yxXx,Y y隨機信號分析 52, ( , )( , )( , )( , )P aXb c YdF b dF b cF a dF a c(,),1(,),0(, )0( ,)0FP XYFP XYFyF x 隨機信號分析 53( , )xyF x y 是 、 的單調(diào)非減函數(shù)( ,)( )(, )( )XYXXYYFxFxFyFy 隨機信號分析 542( )( , )( , )( , )ZXYfzfx yf x

8、yF x yx y ( )Xf x( )Yf y( , )XYfx y隨機信號分析 55()(, ,(, ( , )( , )( , )( , )xyDP Xx YyF x yf x y dxdyP X YDf x y dxdy ( , )0XYfx y 隨機信號分析 56( , )1f x y dxdy ( )(,)()(,)( )( ,)( ,)()(,)( ,)xXyYXYFxfddFyfddfxFxfx y dyxfyFyfx y dxy 隨機信號分析 57,1ijijijijP Xx Yypp( , )(,)XYijijijfx ypxx yy( , )(,)XYijijijFx y

9、p u xx yy隨機信號分析 58123,nXXXXX121122121212( ,),( ,)( ,)XnnnnXnXnnFx xxP Xx XxXxFx xxfx xxx xx 隨機信號分析 59隨機信號分析 60(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)JS 隨機信號分析 61隨機信號分析 62隨機信號分析 63x2F(x1,x2)x1(1,0)(0,0)(0,1)(1,1)0.00020. 010.021隨機信號分析 64隨機信號分析 65隨機信號分析 66221122211 222 ()()12(1)2121( , )21xxyyf x ye 221122(,; )N 隨機信號

10、分析 6722112221122()()1 22(1)xxyy 221212222211()()12(1)2xxy 22212122121()1(1)2(1)xyx 隨機信號分析 68221221221212()2(1()22)211( )e21e21xyxXdyfx 21211()1( )exp22Xxfx22222()1( )exp22Yyfy隨機信號分析 69|XA XB|Xx YB1111,|,nnnnXxXxYBYB1111,|, nnnnXxXxYyYy點事件隨機信號分析 70|,( |)|( |)( |)X YX YP Xx YBFx YBP Xx YBPYBF x YBfx Y

11、Bx|0,( | )limX YyP Xx yYyyFx yP yYyy |( , )( | )( | )( )XYX YX YYfx yfx yFx yxfy( , )( )xXYYfu ydufy隨機信號分析 71( )( | ) ( )f xf x y f y dy( | ) ( )( | )( | ) ( )f y x f xf x yf y x f x dx12121312121()( ) (|) (|)(|)nnnf x xxf xf xxf xx xf xx xx隨機信號分析 72Independence XXYY隨機變量 與隨機變量 與 取統(tǒng)計獨立值事件統(tǒng)計獨立( , )( )

12、( )( , )( )( )XYXYXYXYFx yFx Fyfx yfx fy或 隨機信號分析 7312,.,kXXX121121(,.,)( )(,.,)( )kkiikkiiF x xxF xf x xxf x隨機信號分析 7422112221122()()122(1)2121( , )e21xxyyf x y 隨機信號分析 75( , )( | )( )f x yf y xf x2122221212(1)221e21xy 0( , )( ) ( )f x yf x f y隨機信號分析 761 4,02,| 2( , )0,xyxf x y其它1|01P XYP X與隨機信號分析 771

13、(, )( , )2( | )( )0X YDf x yyf x yf y其它 2,2y (|)X Yy(0,2)Uy1/20,2)( |0)0 xf x y其它(|0)X Y (0,2)U隨機信號分析 78110111|0( |0)22P XYf x ydxdx110131( )(1)24P Xf x dxx dx隨機信號分析 79隨機信號分析 800( )X t000( )( )( )Y tX tN t0( )N t000( )( )( )X tY tN t隨機信號分析 81隨機信號分析 82xyyh(y)( )( )( )( )( ) ( )( )h yYXYXFyP YyP Xh yf

14、x dxfyfh yh y對兩邊求導數(shù)，隨機信號分析 83xyyh(y)( )( )( ) 1( )1( )( ) ( )( )Yh yXYXFyP YyP Xh yP Xh yfx dxfyfh yh y 對兩邊求導數(shù)，( ) ( )( )YXfyfh yh y隨機信號分析 8422()221( )2XXx mXXfxe隨機信號分析 85( )/, ( )1/YaXbh YYbaXh Ya是單調(diào)函數(shù)而22(,)XXYN amb a22222()22()2221( )( )21 2XXXXy bmaYXy b amaXfyeh Yea 隨機信號分析 86結(jié)論：結(jié)論：n若隨機變量若隨機變量1(

15、)YXybfyfaa隨機信號分析 872112212, , 0( ), ( )( )( )( )YYXXYYXYh YXYh YFyP YyP Xh yP Xhy 令xy隨機信號分析 881122( ) ( )( )( )( ) ()()2 0()()20( )0XXYXXXYXfyfh yh yfhyhyfyfyyfyfyyyfyotherwisey隨機信號分析 89?隨機信號分析 90隨機信號分析 91隨機信號分析 92121211121222121111222111222122. .,( ,),(,)( ,)( ,)(2). .,);(,)(,)(,)Xr v XXfx xYg XXr

16、v Y YYgXXYg XXYgXXXh Y YXh Y Y(1)存在唯一的反函數(shù)（逆變設 （）的聯(lián)合概率密度函數(shù)是如換果二元連續(xù)函數(shù)確定二維(若，滿足下）有連續(xù)的一列條件：階偏導數(shù)隨機信號分析 93111212121122222121(3) ,(, )(,)(,) ,0YXhhyyJhY Yfy yJfh y yhyhyyy則二維隨機變換行列式（雅可比行列式）Jacob變量（）的聯(lián)合概率ian密度函數(shù)是隨機信號分析 94隨機信號分析 95變換！變換！隨機信號分析 961111112212221212( ,) ( ,)YXXYh Y YYXXXYYh Y Y令則 1112221210111hh

17、yyJhhyy隨機信號分析 9712112212121(,)(,),(,) ,YXXfy yJfh y yh y yfy yy21211211()( ,),YYXfyfy y dyfy yy dy211111,( ),YXyy xyfyfx yx dx隨機信號分析 9812121111,()()XXXXXfx xyfxfyx若與獨立，則12( )( )( )YXXfyfyfy12111111( ), ()()YXXXfyfxyx dxfxfyx dx隨機信號分析 991212( )( )( )RRRfrfrfr隨機信號分析 100隨機信號分析 101隨機信號分析 102隨機信號分析 103r0

18、(Rayleigh)隨機信號分析 104隨機信號分析 1051kiiiE Xx P Xx(XE XX（所有可能取值）取該值的可能取值）的概率( )E Xxf x dx隨機信號分析 10612(,)kXX XX12( , , )kE XE XE XE X隨機信號分析 107隨機信號分析 108kmkkmE X 1kkkiiiE Xx P Xx( )kkE Xx f x dx隨機信號分析 109k() kkE XEX222() E XEXVar X22()EXEX隨機信號分析 110,X Yk rm( )( )( , )krkrk rxymE X Yx y f x y dxdy 11XYmE XY

19、R,X Y隨機信號分析 111(moment of inertia),X Yk r() () krk rXYE XmYm11()() XYE X mY mCov XYE XYE X EY,X Y隨機信號分析 1121212, | 1XXCov XX 且 隨機信號分析 1131X2X12XaXb1X2X| 1隨機信號分析 114121222122122222122212222122|, () 10,10|1XXXXXXXXXXE XaE XbVar Xa Var XaaCov XXE a XmaaaCov XXaaaa 而隨機信號分析 115( , )( )( )XYXYXYfx yfx fy與

20、 統(tǒng)計獨立12121212( 1)( 2)111222( 1)( 2)12( ,)() xxxxE X Xx x f x x dx dxx f xdxx f x dxE X E X ）隨機信號分析 1161211221212,()()0Cov XXE XmXmE X Xm mXYXY與 獨立與 不相關隨機信號分析 117cos 0,2 )sinXUY其中1/20,2 )0,2 ) ( )0Ufotherwise隨機信號分析 118202020cos( )0 sin( )0(, ) =sin0cos( )0,XYE XfdE YfdCov X YE XYE X E YE XYfdXY即 與 不相

21、關。XYXY 不一定與 不相關與 獨立隨機信號分析 1191X2X1X2X12120X XE X XR隨機信號分析 120 (, ) Cov X YE XYE X E Y(2) 0 (, ) 0 0 , 0 XYE XYCov X YE X E YE XE YCov X YXY 若 與 正交，則此時若 或 ， 則 ，即 與 不相關。(1) 0 0 0 0XYE XYE X E YE XYE X E YE XE YE XYXY若 與 不相關，則則此時若 或 ， 則 ，即 與 正交隨機信號分析 121統(tǒng) 計統(tǒng) 計獨立獨立互 不互 不相關相關相 互相 互正交正交任一隨機變量任一隨機變量均值為均值為0

22、(a)( , )( )( )XYXYfx yfx fy0(, )0XYCov X Y0XYR正態(tài)分正態(tài)分布除外布除外隨機信號分析 122互不互不相關相關統(tǒng)計統(tǒng)計獨立獨立隨機信號分析 123互不互不相關相關統(tǒng)計統(tǒng)計獨立獨立相互相互正交正交隨機信號分析 124Conditional expectation)隨機信號分析 125隨機信號分析 126n在一定條件下的數(shù)學期望，稱為在一定條件下的數(shù)學期望，稱為條件數(shù)學條件數(shù)學期望期望（或（或條件均值條件均值）。以二維為例，定義）。以二維為例，定義如下：如下：n對于離散型隨機變量，對于離散型隨機變量， 是是y的函數(shù)，即的函數(shù)，即( , )( | )( )X

23、YXYYfx yfx yfy|()()X YE X Yyxfx y dx()iijijjx pE X Yyp()E X Yy()E X y( , )( )XYYxfx y dxfy隨機信號分析 127。()E X Y ()()( )YE E X YE X y fy dy( , )()XYxfx y dxdyE X |( , )()()( )XYX YYxfx y dxE X Yyxfx y dxfy隨機信號分析 128隨機信號分析 129隨機信號分析 130隨機信號分析 131隨機信號分析 132隨機信號分析 133隨機信號分析 134隨機信號分析 135隨機信號分析 136隨機信號分析 13

24、7隨機信號分析 138隨機信號分析 139X()jvXXvE e( )Xv隨機信號分析 140X)(xf( )( )jvxXvf x edx1( )ikjvxXiivp e隨機信號分析 141( )()Xf xv F()( )Xfxv F F隨機信號分析 142傅立葉傅立葉變變 換換將將 換換為為 -v( )f x( )Xv將將x 換換為為-x 傅立葉傅立葉反變換反變換( )j xf x edx( )jvxf x edx隨機信號分析 143X( )jvvpeq)(xf。01( )X0, 1( )( )(1)jvjvjvvpeqqepeP Xq P Xpf xqxpx隨機變量 有解法解法1：隨機

25、信號分析 144( )( )( )(1)( )( )(1)vf xqxpxxxf xqxpx 此題亦可直接對進行反傅立葉變化得：將右端，有q p)(xf0 1隨機信號分析 14512()njvXjvXjvXjvnE eE eE eqpe例例1.20求二項分布求二項分布Binomial 的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。解：解：首先令首先令 ，其中，其中 是獨立同分布是獨立同分布的，服從的，服從01分布，且分布，且 所以：所以： 其中其中q=1-p。故。故,XB n p1niiXXiX(1)iP Xp ijvXvqpe 12()njv XXXjvXXvE eE e隨機信號分析 146( )( )xf xeu x0()0( )( )xjvxjv xveeu x dxedxjv1( ), 0ateu taaj 隨機信號分析 147隨機信號分析 14812()( )jv XXjvYYvE eE e221212 221211( ), ()22xxXXfxefxe2221222212222( ), ( )Note: 2 vvjvxXXXvE eeeeve 241( )2yYfye顯然，方法二比方法一簡單。1212,( )jvXjvXYXXvE ee獨立，12121(), ( )( )( )( )knnkkijv XXXjvYYYYYYXXvE eE ev