數(shù)格點_算面積

1、第第9 9篇篇 趣味方格趣味方格 -格點與面積格點與面積背景介紹背景介紹 皮克皮克，18591943年，奧地利數(shù)學(xué)家。“皮克定理皮克定理”被譽為有史以來“最重要最重要100100個數(shù)學(xué)個數(shù)學(xué)定理定理”之一。 1889年發(fā)現(xiàn)了格點與面積存在著一種非常有趣的關(guān)系。如果格點多邊形的面積為S，內(nèi)部格點數(shù)為N，邊上的格點數(shù)為L，那么他們之間存在如下關(guān)系：S=1/2L+N-1.該公式被稱為“皮克皮克定理定理”。第一層：皮克定理 自主探索： 下面多邊形的面積是多少(面積單位）？12mSn數(shù)一數(shù)，圖形內(nèi)部有幾個點（n）？圖形邊界上有幾個點（m）？解：由格點圖形面積公式 ,得12mSn1335140.52S 鞏

2、固拓展鞏固拓展：如下圖，計算下列各個格點多邊形的面積。如下圖，計算下列各個格點多邊形的面積。161510（1）（2）（3）解：第（1）圖是正方形，邊長是4，所以面積是44=16（面積單位）第（2）圖是矩形，長是5，寬是3，所以面積是53=15（面積單位） 第（3）圖是三角形，底是5，高是4，所以面積是542=10（面積單位）（4）15（5）12（6）18第（4）圖是平行四邊形，底是5，高是3，所以面積是53=15（面積單位）。第（5）圖是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面積是(3+5)32=12（面積單位）。第（6）圖是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面積是(3+6)42=18

3、（面積單位）。2、求下列各多邊形的面積，并統(tǒng)計圖形邊上格點數(shù)及圖形內(nèi)包含的格點數(shù)。(1)(2)（1）15解：此題不能直接由公式來求，因為這個多邊形不是凸多邊形 =15（2）20解：由格點面積公式，得：n=16，m=10，(3)(4)（3）14解：由格點面積公式，得：n=12，m=6，（4）17解：由格點面積公式，得：n=13，m=10，3、方格紙（圖）上有一只小蟲，從直線AB上的一點O出發(fā)，沿方格紙上的橫線或豎線爬行。方格紙上每小段的長為一厘米。小蟲爬過若干小段后仍然在直線AB上，但不一定回到O點。如果小蟲一共爬行2厘米，那么小蟲的爬行路線有幾種？如果小蟲一共爬行3厘米，那么小蟲爬行的路線有幾

4、種？ABO（2 2）小蟲爬過）小蟲爬過3 3厘米，可有厘米，可有2020種路線，種路線，分別是：上，左，下；上，右，下；下，分別是：上，左，下；上，右，下；下，左，上；下，右，上；上，下，左；上，左，上；下，右，上；上，下，左；上，下，右；下，上，左；下，上，右。下，右；下，上，左；下，上，右。（以上（以上8 8種都是先種都是先“上上”或先或先“下下”。）。）如果第一步為如果第一步為“左左”或或“右右”，那么轉(zhuǎn)，那么轉(zhuǎn)化為第（化為第（1 1）題，各有）題，各有6 6種路線。一共是種路線。一共是8+68+62=202=20（種）。（種）。 6，20解：為了方便，下面敘述中省去解：為了方便，下面敘

5、述中省去“上、下、左、右上、下、左、右”4個字前面?zhèn)€字前面的“向”。（1）小蟲爬過）小蟲爬過2厘米，可有以下厘米，可有以下6種路線，分別是：左，右；右，種路線，分別是：左，右；右，左；上，下；下，上；左，左；右，右。（以上前左；上，下；下，上；左，左；右，右。（以上前4種路線均回到種路線均回到O點）。點）。第二層：凹多邊形第二層：凹多邊形自主探索：自主探索：下圖是一個1010的正方形，求正方形內(nèi)的四邊形的面積是多少？EADCB 因為因為ABCDABCD不是凸四邊形，所以不是凸四邊形，所以如在原題圖上取格點如在原題圖上取格點E E，則三角形，則三角形BCEBCE 及四邊形及四邊形AECDAECD

6、就都是凸的圖形了。就都是凸的圖形了。請把自己的想請把自己的想法說給同學(xué)聽法說給同學(xué)聽聽。聽。ABCDS解：因為不是凸四邊形，所以如在原題圖上取格點，則三角形及四邊形都是凸的圖形，故： (4+62-1)+(21+82-1)=30(面積單位)ABCDS試一試：試一試： 下圖中每個小正方形的面積都是4平方厘米，求圖中陰影部分面積。格點中的圖形分別為格點中的圖形分別為凸多邊形和凹多邊形凸多邊形和凹多邊形要設(shè)法轉(zhuǎn)化為凸多邊要設(shè)法轉(zhuǎn)化為凸多邊形并利用公式計算。形并利用公式計算。解：把圖形分割四個三角形和一個正方形，所以圖形的面積為：484442144（平方厘米）鞏固拓展鞏固拓展：1、在一個96的長方形內(nèi)，

7、有一個凸四邊形（如圖），先用畢克定理先求出它的面積，再用拼割方法計算它的面積，看兩者是否一致。GDEHABF解：由畢克定理得：25+72-1=27.5(面積單位)。用拼割方法得： 的面積=長方形的面積-四角上的四個三角形的面積=96-(622+332+432+452)=54(6+4.5+6+10)=27.5(面積單位)ABCD2、下圖中每個小正方形的面積都是1，那么圖中這只“狗”多占的面積是幾？解：圖形內(nèi)部格點數(shù)為59，圖形周界上格點數(shù)為19。所以圖形的面積為：59+192-1=67.5(面積單位)。3、下圖中的正方形被分成9個相同的小正方形，它們一共有16個頂點（共同的頂點算一個），以其中不

8、在一條直線上的3個點為頂點，可以構(gòu)成三角形。在這三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個？解：設(shè)每個小正方形的邊長為1個長度單位，則陰影三角形面積為：232=3(面積單位)。 底為2，高為3 底為2，高為3 底為3，高為2 42=8(個) 42=8(個) 42=8(個) 底為底為3，高為，高為2 底為底為2，高為，高為3 底為底為3，高為，高為2 42=8(個） 222=8（個） 222=8（個）與陰影三角形面積相同的三角形有：8+8+8+8+8+8=48(個)。第三層：圖形的分割自主探索：自主探索：如右下圖，一個小三角形的面積為1，則圖形ABCD的面積是多少？請 把 自 己 的請 把

9、自 己 的想 法 說 給 同想 法 說 給 同學(xué)聽聽。學(xué)聽聽。如右圖將圖形分割成4塊進(jìn)行計算 解：把圖形分割成如下圖所示的四塊：圖形的面積是：3；圖形的面積是：3；圖形的面積是：3；圖形的面積是：9。圖形ABCDE的面積為3+3+3+9=18。試一試：如下圖，一個三角形的面積為1，計算ABCDE的面積多少？要學(xué)會將一些不規(guī)則圖形進(jìn)行合理分割后計算解：把圖形分割成如下圖所示的三塊：圖形的面積是：12；圖形的面積是：4；圖形的面積是：6。所以圖形ABCDE的面積為12+4+6=22。鞏固拓展：1、求下列各格點多邊形的面積（每相鄰三個點或“”成面積為1的等邊三角形）。（1）（2）（3）（1）19 解：由三角形格點面積公式得，解：由三角形格點面積公式得，n=8，m=5。（2）19 解：由三角形格點面積公式得，解：由三角形格點面積公式得，n=7，m=7。（3）18 解：由三角形