...將輸入的模擬信號xa(t)轉(zhuǎn)換為b位二進(jìn)制數(shù)字信號的器件

1、第7章數(shù)字信號處理中的有效字長效應(yīng) 前言數(shù)字信號處理的實質(zhì)：一組數(shù)值運算。從設(shè)計的角度來討論：認(rèn)為數(shù)字是無限精度的。從實現(xiàn)的角度考慮：數(shù)字的精度就是有限的n數(shù)字系統(tǒng)中的每一個數(shù)總是用有限字長的二進(jìn)制數(shù)碼表示，運算過程中需要的數(shù)字信號的值、系統(tǒng)的系數(shù)和運算過程中的結(jié)果都是存儲在有限字長的存儲單元中的，此時數(shù)字的精度就是有限的。從設(shè)計時的無限精度到實現(xiàn)時的有限精度，會產(chǎn)生相對于原設(shè)計系統(tǒng)的誤差，嚴(yán)重時會導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰。在數(shù)字系統(tǒng)中三種因有限字長的影響而引起誤差的因素nA/D變換的量化效應(yīng)n系數(shù)的量化效應(yīng)n數(shù)字運算過程中的有限字長效應(yīng)7.1 二進(jìn)制數(shù)的表示與量化誤差 1、定點數(shù)的表示 n所有數(shù)據(jù)小數(shù)點

2、的位置是固定不變的 2、浮點數(shù)的表示 n浮點數(shù)的小數(shù)點位置是不固定的，它隨每個數(shù)的大小而變化 PRMNM是數(shù)的尾數(shù)部分，R是數(shù)的基數(shù)，P是階 基數(shù)確定后，浮點數(shù)就完全由尾數(shù)和階決定7.1.1 二進(jìn)制數(shù)的表示一個浮點數(shù)可以表示如下： ：階P的符號位； ：階碼，階P的絕對值部分 ：尾數(shù)M或浮點數(shù)N的符號位，尾符或數(shù)符； ：尾數(shù)的絕對值部分，尾碼。 pSnPmSrMpSnPmSrM3、IEEE浮點數(shù) 規(guī)格化浮點數(shù)的小數(shù)點在數(shù)符Sm的后面，且小數(shù)點前有一個隱含“1”。其階碼連同階符統(tǒng)一編碼，浮點數(shù)的基數(shù)為2。IEEE浮點數(shù)格式分單精度和雙精度兩種，單精度數(shù)為32位，雙精度數(shù)是64位。 單精度浮點數(shù)格式

3、： 雙精度浮點數(shù)格式： 數(shù)符階碼（8位）尾數(shù)（23位）b31b22b23b0b30數(shù)符階碼（8位）尾數(shù)（23位）b63b51b52b0b62帶符號數(shù)的表示 設(shè)任意數(shù)x的(b十1)位碼的形式為 a0a1 a2 a3 ab a0表示符號位 1、原碼： a0是符號位， a1 ab是小數(shù)的絕對值 01)1(110 xxxxxx或原biiiaax12) 1(0表達(dá)式（a0a1 a2 a3 ab）表示的十進(jìn)制數(shù)x為 (2)反碼 正數(shù)的反碼表示與其原碼相同，即x反x（x0）負(fù)數(shù)的反碼由其絕對值按位求反后得到 x反2-x原 表達(dá)式（a0a1 a2 a3 ab）表示的十進(jìn)制數(shù)x為 biiibaax10221(3

4、)補碼 正數(shù)的補碼表示與其原碼相同，即x補x（x0） 負(fù)數(shù)的補碼由它的絕對值求反加1后得到： 01110 xxxxx反補biiibiiiaaax110212表達(dá)式（a0a1 a2 a3 ab）表示的十進(jìn)制數(shù)x為 7.1.2 量化誤差 一、定點運算中的截尾誤差和舍入誤差 1、截尾誤差 對于正小數(shù)x0：原碼、反碼、補碼的表示法相同，因而量化影響也相同。 截尾前x有b1位，有 112biiiax截尾后x有b位，記做 ，有 xQT biiiTaxQ12以ET表示截尾誤差，則有 11111222bbiiibiiibiiiTTaaaxxQE 正小數(shù)截尾后數(shù)值變小，故截尾誤差總是負(fù)的。當(dāng)被截位ai (ib1

5、到ib1)均為l時，為最大截尾誤差 11111222bbiiibiiibiiiTTaaaxxQE111max222bbbbiiTE0221TbbE有021TbEqq00 xEqT或令 量化間距或量化步階，因此下式成立 bq 2對于負(fù)小數(shù)x0，由于a00，不同碼制x的表示法各不相同，因而產(chǎn)生的量化誤差也不相同。 i）原碼:截尾后負(fù)小數(shù)的絕對值變小，截尾誤差為正： 11110221biiibiiiaaax biiiTaxQ12 112bbiiiTTaxxQE所以1220bbTE得00 xqET滿足ii）對于補碼， 11110212biiibiiiaaax biiiTaxQ121 112bbiiiT

6、TaxxQE所以00 xEqT有iii）對于反碼： 111110221221biiibbiiibaaax biiibTaxQ1221 111222bbiiibbTTaxxQE所以00 xqET有結(jié)論：原碼與反碼的截尾誤差與數(shù)的正負(fù)有關(guān)：n正數(shù)時誤差為負(fù)，當(dāng)x0時，qET0n負(fù)數(shù)時誤差為正，當(dāng)x0時，0ET q補碼的截尾誤差皆為負(fù)數(shù)n對所有的x，qET0。 定點制截尾處理的量化特性（q2b） qqxQTxqqxQTx(a)補碼 (b)原碼、反碼2、舍入誤差 xQR舍入誤差總是處在q/2之間，用 表示對x作舍入處理，ER表示舍入誤差，有： xxQERR22qEqR定點制舍入處理的量化特性 qqxQ

7、Rx定點運算中的截尾和舍入誤差（q2b） 截尾誤差舍入誤差正數(shù)q ET0q /2ERq /2負(fù)數(shù)原碼0ET q反碼0ET q補碼q 0時，a00，三種碼制的截尾誤差均為qET0 得，取由于,222/21mincccxx002xxqRc002xqR2、浮點截尾 當(dāng)x0時，a01，原碼和反碼的截尾誤差為0ETq 得，取由于,22/221mincccxx020 xqxcR002xqR對于補碼，截尾誤差為qET0，相應(yīng)的，可得 020 xqR浮點運算中的相對誤差（q2b） qqR02RqqqRqR20 截尾舍入正數(shù)qET0負(fù)數(shù)原碼反碼補碼02Rq7.2 A/D轉(zhuǎn)換器中的量化誤差 A/D轉(zhuǎn)換器n將輸入的

8、模擬信號xa(t)轉(zhuǎn)換為b位二進(jìn)制數(shù)字信號的器件。nb的數(shù)值可以是8，12或高至20。A/D變換器前一般都加一個前置模擬低通濾波器n濾除高于折疊頻率(抽樣頻率之半)的頻率，模擬輸入信號必須乘一個比例因子nA/D變換器總是定點制的，必須使信號不超過A/D變換的動態(tài)范圍A/D轉(zhuǎn)換器包括抽樣n產(chǎn)生抽樣序列x(n)xa(t)|t=nTxa(nT)，nx(n)： 可看成是一個無限精度的數(shù)字信號n在滿足抽樣定理的前提下，模擬信號時間離散化的過程是可逆的。量化n對抽樣序列進(jìn)行幅度上的離散化之后，用某種格式的數(shù)字代碼來表示。n量化過程是不可逆的n必定要引入量化誤差或量化噪聲。n量化噪聲的大小決定了A/D轉(zhuǎn)換器

9、的動態(tài)范圍，是恒量A/D轉(zhuǎn)換器性能的一個最重要指標(biāo)。 7.2.1 量化誤差的統(tǒng)計分析 設(shè)量化器的輸入信號為隨機(jī)序列x(n)，其量化誤差也為隨機(jī)序列e(n)：e(n)=Qx(n)-x(n) 假設(shè)e(n)具有下列特性：we(n)是一個平穩(wěn)隨機(jī)序列we(n)與信號也不相關(guān)we(n)本身的任意兩個值之間不相關(guān)，具有白噪聲性質(zhì)we(n)在其誤差范圍內(nèi)均勻等概分布。 A/D轉(zhuǎn)換原理圖 采樣量化編碼)(txa)(nTxa)( nx理想A/DC)(txa nx +)(nx)(neA/D轉(zhuǎn)換的統(tǒng)計模型 e(n)的兩個最重要的統(tǒng)計參數(shù) n均值me ：代表噪聲的直流分量 e2：代表了除去直流分量后量化噪聲的平均功率

10、 mE e nep e dee ( )( )eeeE e nmemp e de222( ( ) ()( )其中 :E表示取數(shù)字期望 p(e)是誤差值e(n)的概率密度 三種誤差范圍的概率密度函數(shù) 1、舍入處理 舍入誤差：q /2e(n)q /2e(n)的概率分布密度為1/q 可得均值me 及方差e20211)(22222qqqqReeqedeqdeeepm222322222121311)(qeqdeeqdeepmeqqqqRee2、截尾處理 對于x0的三種碼制和x0的補碼 ：ne(n)的誤差為q e(n)0n概率分布密度為1/q 可得均值me 及方差e2qeqedeqdeeepmqqTe212

11、11)(0202022212121)(qdeqeqdeepmeqTee對于x0的原碼和反碼：ne(n)的誤差為0ET qn概率分布密度為1/q 可得均值me 及方差e2qeqedeqdeeepmqqTe21211)(0202022212121)(qdeqeqdeepmeqTee結(jié)論：各種情況的方差 均為 ，e22121q220qq、不同的只是均值me，分別為 。 另：由于截尾噪聲具有直流分量，將影響信號的頻譜結(jié)構(gòu)，因此一般采用舍入處理。量化噪聲的方差 與量化間隔的平方 成正比， ：量化間隔，信號處理時選用的字長信號處理時選用的字長b1越長，量化噪聲的方差越小。越長，量化噪聲的方差越小。e22q

12、bq 27.2.2 量化信噪比與所需字長的關(guān)系 量化的信噪比 信號的平均功率 與量化噪聲的平均功率 之比 2xe222222221212xbxexq信噪比用對數(shù)表示時記作SNR，單位dB )lg(1079.1002. 6lg10)(222xexbdBSNR信號功率 越大，信噪比越高；隨著字長b的增加，信噪比也增大，字長b每增加一位，則信噪比增加約6dB。字長越長，A/D變換的信噪比越高 2x 為了使信號不超過定點制運算所允許的動態(tài)范圍，用一個小于1的正數(shù)A（0A1去乘x(n) 信號的平均功率 與量化噪聲的平均功率 之比 2xAe2AbAdBSNRxexlg20)lg(1079.1002. 6l

13、g10)(2222選擇A值：使 12xA25. 102. 6)lg(2079.1002. 6lg10)(222bAbAdBSNRxex若需得到信噪比大于70dB，至少需要滿足b12bit字長過長也無必要：n輸入信號xa(t)本身也有一定的信噪比，字長長到A/D變換器的量化噪聲比xa(t)的噪聲電平更低則沒有意義為提高信噪比，n可以增大輸入信號，但這受到A/D變換器動態(tài)范圍的限制，n還可以增加字長b，但這又受到輸入信號xa(t)信噪比的限制 7.2.3 量化噪聲通過線性非時變系統(tǒng) 量化噪聲通過線性系統(tǒng) +)()(zHnh)(nx)( nx)()()( nenynyf)(ne)()()()()()

14、()( )( nenynhnenxnhnxnyf設(shè)e(n)是定點補碼舍入誤差，e(n)的均值為me 、方差為 e2則系統(tǒng)量化噪聲的輸出 的均值mf和方差 計算如下： 2f)(nef0)()()()(0meffmhmnhneEneEm022222)()()(meffffmhneEmneE根據(jù)Parseval定理， 也可以用下式表示： 2f或者在單位圓上計算 cemefzdzzHzHjmh)()(2)(120222deHdeHeHjejjef2222| )(|2)()(2如果e(n)是補碼截尾白噪聲：輸出噪聲的方差 不變，輸出的均值mf如下： 2f)()()()()()()(000jememffe

15、HmmhmmnemhEnhneEneEm7.3 系數(shù)量化對數(shù)字濾波器的影響 7.3.1 極點位置靈敏度 n每個極點位置對各系數(shù)偏差的敏感程度n決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性n對系統(tǒng)性能的影響亦較大 理想數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 )()(1)(10zAzBzazbzHNiiiMiiiNiiiMiiizazbzH101)( 其中 是系數(shù)ai、bi的量化結(jié)果：iiba、對系數(shù)ai、bi量化后，其實際傳遞函數(shù)為：，iiiaaaiiibbb下面討論系數(shù)量化誤差對極點的影響：NkkNiiizzzazA111)1 (1)(N21，kzzkz N21，kzzzkk系數(shù)量化后的極點為：原系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分母多項式為令A(yù)(z)

16、0，得到H(z)的極點：極點位置的偏差量，由各個系數(shù)偏差 引起的，因此kziaN211，kaazziNiikk結(jié)論：v 就是極點 對系數(shù) 變化的靈敏度v 越大， 對 的影響也越大v 越小， 對 的影響就越小iakzkzikaziakzikaziaikaz下面根據(jù)A(z)來求這個極點位置靈敏度 的表達(dá)式： ikazkkzziikzzkazAazzzA)()(kzzkiikzzAazAaz)()(iizazA)(NklllNNklllkzzzzzzzzA1111)()1 ()(而：得極點位置靈敏度為：NklllkiNkikzzzaz1)(分母中的每一個因子 代表著某一極點 指向當(dāng)前極點 的矢量，而

17、整個分母正是所有極點指向當(dāng)前極點 的矢量積 )(lkzz lzkzkz高階直接型結(jié)構(gòu)濾波器對系數(shù)量化誤差的敏感性高于低階直接型結(jié)構(gòu)濾波器并聯(lián)型結(jié)構(gòu)及級聯(lián)型結(jié)構(gòu)每對極點只受與之有關(guān)的兩個系數(shù)的影響，且每個子系統(tǒng)的極點密集度要稀疏得多，因而極點位置受系數(shù)量化的影響比直接型結(jié)構(gòu)要小得多 RezImzj1-10RezImzj1-10a 極點間距離長b 極點間距離短極點位置靈敏度與極點間距離成反比 例1 設(shè)一低通濾波器的傳遞函數(shù)如下，分析計算系數(shù)量化對極點位置的影響。332211321119508. 08934. 29425. 211)(zazazazzzzH解 經(jīng)計算求得 的極點分別是)(zH0052

18、352198. 098. 099. 0jjezzezz，）（）（151510098. 0198. 0199. 011)(zezezzHjj于是：研究當(dāng) 時，僅僅由一個系數(shù) 的量化所引起的極點 的變化 031 aa2a1z1z）（00552312121198. 099. 098. 099. 099. 0)(jjeeazzzzazz若字長為8位，由量化引起的誤差q/2可達(dá)大約0.002，求得 ，于是2578. 01z248. 12578. 099. 0111 zzz極點遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出單位圓，這樣的變化顯然是太大了。再研究 ，即將極點移到單位圓上需要的字長 01. 01z00007578. 02計算得：

19、a510578. 7二進(jìn)制數(shù)中為2-14 2-13，字長至少要14位。510578. 72a510578. 7如果 2.945的量化誤差等于 ，就會使量化后系統(tǒng)的極點移到單位圓上可見一個三階系統(tǒng)對字長的要求已經(jīng)非常嚴(yán)格了，如果階數(shù)再高對量化誤差的要求將更加苛刻。考察用三個一階的環(huán)節(jié)級聯(lián)或并聯(lián)組成這個系統(tǒng)。n每一個環(huán)節(jié)中極點從0.99變到1.00，允許變化0.01n而且這個環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性并不受另一環(huán)節(jié)影響n所以其所需字長為7位結(jié)論：n系數(shù)量化對零、極點位置的影響與零、極點位置的分布以及濾波器的結(jié)構(gòu)均有密切的關(guān)系n高階濾波器：避免采用直接型的結(jié)構(gòu)，而應(yīng)分解為最低階的級聯(lián)結(jié)構(gòu)或并聯(lián)結(jié)構(gòu)n對于極點靈敏度

20、很高的場合，可以來用雙精度的系數(shù)，以便有效的達(dá)到精度的要求。7.3.2 系數(shù)量化對二階子系統(tǒng)極點位置的影響 高階系統(tǒng)n級聯(lián)型和并聯(lián)型優(yōu)于直接型。級聯(lián)型和并聯(lián)型的基本子系統(tǒng)是二階節(jié)n一個具有共軛極點的二階系統(tǒng)有各種不同的結(jié)構(gòu)n不同結(jié)構(gòu)對于系數(shù)量化的敏感度也不同 二階IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 221111)(zazazHjrez， 21221112211cos21)1)(1 (1zrzrzrezrezazajj2cos122arar，具有一對共軛對稱的復(fù)極點有得到共軛對稱極點對組成的基本二階網(wǎng)絡(luò)的直接型實現(xiàn))(zX)(zY1z1zcos2r2r221111)(zazazH2cos122arar，2c

21、os122arar，說明:對于二階網(wǎng)絡(luò)，其極點的半徑 完全由系數(shù) 決定，極點在實軸上的坐標(biāo)值 取決于系數(shù) 。2acosr1ar1a2a如果 、 用三位字長表示，b3(不算符號位)，r87cosr只能表達(dá)8種半徑 值和 之間的15種實軸坐標(biāo)值三位二進(jìn)碼1,2,3 所表達(dá)的的值 |a1 |極點橫坐標(biāo) a2三位二進(jìn)碼 所表達(dá)的a2的值 極點半徑0.000.000.0000.0000.0000.0000.010.250.1250.0010.1250.3540.100.500.2500.0100.2500.5000.110.750.3750.0110.3750.6121.001.000.5000.100

22、0.5000.7071.011.250.6250.1010.6250.7891.101.500.7500.1100.7500.8651.001.750.8750.1110.8750.9352cos1ar321、2ar極點位置如下圖中的網(wǎng)眼節(jié)點n如果所需要的極點位置不在這些網(wǎng)眼節(jié)點上時，就只能以最靠近的一個節(jié)點來代替這一極點位置，這樣就引入了極點位置誤差RexjImx10-1a1=1.751.501.251.000.750.500.25a1=0.250.500.751.001.251.501.75a2=0.1250.2500.3750.5000.6250.7500.875系數(shù)量化使零極點位置的取

23、值范圍由一個連續(xù)域變?yōu)橐粋€離散的平面點陣，從而造成零極點的漂移，導(dǎo)致系統(tǒng)特性的改變。在平面上量化位置的分布密度是不均勻的n在實軸附近分布得稀，在虛軸附近分布得密；n半徑小的地方分布得稀，半徑大的地方分布得密。這祥就會使實軸附近的極點(例加低通、高通濾波器)量化誤差較大、而對虛軸附近的極點(例如帶通濾波器)量化誤差較小這種分布只是二階直接型結(jié)構(gòu)的情況，不同結(jié)構(gòu)的濾波器，系數(shù)對零極點位置的影響是不一樣的 結(jié)論：)(nx)(ny1z1zcosrcosrsinrsinr該網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)為 ：221)(cos211)(zrzrzH當(dāng)系數(shù)量化時，是對 及 進(jìn)行量化，因而所得到的網(wǎng)格點子在z平面是均勻分布的

24、cosrsinr這里系數(shù)量化后對z平面的所有區(qū)域，所產(chǎn)生的誤差是相同的?；径A網(wǎng)絡(luò)的另一種實現(xiàn)具有共軛極點對的二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)耦合形式實現(xiàn)情況下，系數(shù)量化為三比特時極點的可能位置 7.3.3 頻率響應(yīng)偏差的統(tǒng)計分析 1、IIR數(shù)字濾波器系數(shù)量化的統(tǒng)計分析 N階IIR直接型結(jié)構(gòu)為例，其理想精度的系統(tǒng)函數(shù)為 )()(1)(10zAzBzazbzHNiiiMiii其中 是系數(shù)ai、bi的量化結(jié)果：iiba、對系數(shù)ai、bi量化后，其實際傳遞函數(shù)為：，iiiaaaiiibbb故系數(shù)量化后，實際的系統(tǒng)函數(shù)為NiiiMiiizazbzH101)( )()()()()()()()()()()()()()()(

25、)()()()()(11100zHzHzAzAzHzAzBzHzAzBzAzAzBzBzAzBzAzAzBzBzazazbzbzHENiiiNiiiMiiiMiii得到系統(tǒng)函數(shù)的偏差為 )()()()()()()()(zAzAzHzAzBzHzHzHENiiizazA1)( MiiizbzB0)( 式中)()()(jjjEeHeHeH系數(shù)量化造成的系統(tǒng)頻率響應(yīng)的偏差系數(shù)量化的統(tǒng)計分析模型 可以用頻響的均方偏差來描述系數(shù)量化所引起的頻率特性偏差 cEEjEzdzzHzHjdeH)()(21)(21122均方偏差 也是一個隨機(jī)變量它的均值即為頻響偏差 22cccNhkcMrrzdzzAzAzHzH

26、jNzdzzAzAjMqzdzzAzAzHzHjaEzdzzAzAjbE)()()()(2)()(12112)()()()(21)()(1211112111210222、FIR數(shù)字濾波器系數(shù)量化的統(tǒng)計分析 設(shè)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為NnnznhzH0)()( )(nh)(nh對各系數(shù) 進(jìn)行量化成為)()()(nenhnhN0N0N0)()()()(nnnnnnzneznhznhzH有：令 ， ，則N0)()(nnznezEjez )()()(zHzHzENnjnieneeE0)()(NnNnjnNnjnineeneeneeE000| )(|)(|)()(所以Nnne0|)(|FIR系數(shù)量化時，

27、系統(tǒng)函數(shù)產(chǎn)生的誤差不會超過2) 1(| )(|)(0qNneeENni所以當(dāng)作定點舍入處理時，因為2| )(|qne7.4 數(shù)字濾波器的運算量化效應(yīng) 為了便于用統(tǒng)計方法分析這些量化誤差的平均效應(yīng)，我們假定n所有這些噪聲都是平穩(wěn)的白噪聲序列；n所有噪聲都與信號不相關(guān)，并且各噪聲之間也互不相關(guān)n每個誤差噪聲都在其誤差范圍內(nèi)呈均勻等概率分布 7.4.1 IIR濾波器定點運算舍入誤差的統(tǒng)計分析a理想相乘 b實際相乘的非線性流圖 c統(tǒng)計模型的線性流圖)(nx)(nya)(nx)(nya )( ny)(nxa)( ny)(ne定點相乘運算的流圖表示采用統(tǒng)計分析方法后，實際的輸出可以表示為)()()( ne

28、nyny7.4.1 IIR濾波器定點運算舍入誤差的統(tǒng)計分析a理想相乘 b實際相乘的非線性流圖 c統(tǒng)計模型的線性流圖)(nx)(nya)(nx)(nya )( ny)(nxa)( ny)(ne定點相乘運算的流圖表示采用統(tǒng)計分析方法后，實際的輸出可以表示為)()()( nenyny方差 meceeefmhzdzzHzHj)()()(2221220)(neefnhmm Kffnene1)()( Kifif022)(nef而每一個噪聲源 所造成的輸出噪聲方差及均值：最后將所有的輸出噪聲線性疊加就得到總的輸出噪聲重要結(jié)論：有限字長效應(yīng)與濾波器的結(jié)構(gòu)型式有密切關(guān)系。例 2 已知一個IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如

29、下，用定點制算法，尾數(shù)舍入，分別求出直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型實現(xiàn)系統(tǒng)時量化誤差的方差 。2f)8 . 01)(9 . 01 (2 . 0)(11zzzH、 1、直接型結(jié)構(gòu))(172. 07 . 112 . 0)(21zAzzzH)(nx1z1z0.2)(0ne)(1ne)(2ne1.70.72)()(nenyf1z1z1.70.72)(nef)()()(210nenenea 相乘引入的舍入噪聲b 三個舍入噪聲通過相同的傳輸網(wǎng)絡(luò)直接型的舍入噪聲：系數(shù)0.2、1.7以及0.72相乘后的舍入噪聲)()()(210nenene、)(1)(1zAzH它們均經(jīng)過相同的傳輸網(wǎng)絡(luò) 輸出噪聲的方差是)()()()

30、()(1210nhnenenene4123222qqe 22222112245.2280.89)8 . 01)(8 . 09 . 01)(9 . 08 . 0(8 . 0)9 . 01)(9 . 08 . 01)(8 . 09.0(9 . 0)8 . 01)(9 . 01)(8 . 01)(9 . 01 (12qzdzzzzzjeecefd)(1)(2 . 08 . 0119 . 012 . 0)(2111zAzAzzzH)(nx1z1z0.2)(0ne)(1ne)(2ne0.90.8)()(nenyf2、級聯(lián)型：可以有幾種排列形式)9 . 01 ()(11zzA先令 ，并把0.2置于第一級，

31、即 )()(1)(211zAzAzH)(1)(21zAzH222112211212178. 280.89)8 . 01)(8 . 01 (12)8 . 01)(9 . 01)(8 . 01)(9 . 01 (12eececefezdzzzjzdzzzzzj)(0ne)(1ne)(1zH)(2ne)(2zH、 通過網(wǎng)絡(luò) 、 通過網(wǎng)絡(luò) 輸出噪聲的方差是 61222221qqe12222qe22102.15qfe第一級有兩個誤差源，第二級有一個誤差源，故有 所以 再令 ，并把0.2置于第二級，有 )8 . 01 ()(11zzA)(2 . 0)(19 . 012 . 08 . 011)(2111zA

32、zAzzzH)(nx1z1z0.2)(1ne)(2ne0.90.8)()(nenyf)(0ne)(0ne)(1ne)(1zH)(2ne)(2zH、 通過網(wǎng)絡(luò) 、 通過網(wǎng)絡(luò) 輸出噪聲的方差)(1)(11zAzH)()(1)(212zAzAzH2221122112212226. 5592. 3)9 . 01)(9 . 01 (12)8 . 01)(9 . 01)(8 . 01)(9 . 01 (2 . 02eececefezdzzzjzdzzzzzj第一級有兩個誤差源，第二級有一個誤差源，故有 所以 12221qe61222222qqe221176. 1qfe結(jié)論：系數(shù)bi和A(k)的排列不同，輸

33、出誤差也有所不同。 距單位圓遠(yuǎn)的極點和系數(shù)bi置于較后級的誤差會小些。3、并聯(lián)型 )(4 . 6)(2 . 78 . 014 . 69 . 012 . 7)(2111zAzAzzzH1z)(0ne)(1ne0.9)(nx7.2)()(nenyf1z)(2ne)(3ne0.86.4并聯(lián)型結(jié)構(gòu)需要4個系數(shù)，因此共有四個舍入噪聲 、 通過網(wǎng)絡(luò))(0ne)(1ne)(1zH)(2ne)(3ne)(2zH、 通過網(wǎng)絡(luò))(1)(11zAzH)(1)(22zAzH21221212)26. 578. 2()9 . 01)(9 . 01 (12)8 . 01)(8 . 01 (12ececefpzdzzzjzd

34、zzzj因此輸出的方差為則第一級、第二級都有兩個誤差源，故有 所以 61222222212qqeee2234. 1qfq由此得出結(jié)論：對IIR濾波器，從有限字長效應(yīng)來看，不論是哪一種型式的直接型結(jié)構(gòu)都是最差的，運算誤差最大，特別在高階時應(yīng)避免采用。級聯(lián)型結(jié)構(gòu)較好，而并聯(lián)型結(jié)構(gòu)具有最小的運算誤差。7.4.2 IIR濾波器定點加法運算的溢出問題 所有的相加運算，均可能產(chǎn)生溢出，應(yīng)避免使每個相加點的輸入端都引入比例因子A加以限制，使相加點的數(shù)值絕對值保持小于1。為使第k個相加節(jié)點上的輸出信號 yk(n)不發(fā)生溢出，需要在輸入端引入比例因子Ak。 mkkkmnxAmhny)()()(要使yk(n)不發(fā)

35、生溢出，則需使| yk(n) |1，所以 max| )(|xnxmkkkmhxAny)(| )(|maxmkkmhxA)(1maxmaxx若 表示輸入信號的最大幅度因此選擇其中最小的比例因子作為系統(tǒng)比例因子的最終選擇，即 min1kKkAA令A(yù)K=1，得到保證第k個節(jié)點上不出現(xiàn)溢出時的最大輸入值上限 mkmhx)(1|max7.4.3 極限環(huán)振蕩 IIR濾波器在無限精度的情況下，當(dāng)它的所有極點均位于單位圓內(nèi)時，系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的。n當(dāng)去掉輸入信號后隨著n的增加，系統(tǒng)輸出逐漸衰減趨向于零。在有限字長情況下，由于量化過程的非線性作用，系統(tǒng)輸出將不隨n的增加而趨于零零輸入極限環(huán)振蕩：系統(tǒng)輸出不隨n的增

36、加而趨于零，而是衰減到某一非零的范圍幅度后呈現(xiàn)振蕩特性以舍入處理的一階IIR濾波器為例來說明這一現(xiàn)象 設(shè)一階IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 在定點運算中，每次乘法運算以后均要對尾數(shù)進(jìn)行舍入處理。因此，實際的非線性差分方程可表示為 在無限精度運算下，其差分方程為111)(azzH)() 1()(nxnayny)() 1( )( nxnyaQnyR)(nx1za)( ny kQ一階IIR網(wǎng)絡(luò)的非線性流圖 在無限精度情況下，如果輸入信號)(87)(nnx只要|a|1，系統(tǒng)穩(wěn)定，y(n)將逐漸衰減為零。 nany87)(輸出有限精度運算時，系數(shù)a=0.5=0.100b的情況n00.1110.0000.0000

37、000.0000.87510.0000.1110.0111000.1000.50020.0000.1000.0100000.0100.25030.0000.0100.0010000.0010.12540.0000.0010.0001000.0010.125)(nx) 1( ny) 1( nyaRnya) 1( )( ny -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 n)( ny -2 -1 0 2 4 6 n)( ny 1 3 5時21ab時21aa以下也稱為“死帶”區(qū)域 81)( ny零輸入極限環(huán)振蕩 2q2| ) 1( )1( |qnyanyaQR2| ) 1( |)1( |qnyanya

38、QR2| ) 1( | ) 1( |qnyany下面分析振蕩幅度和字長的關(guān)系由于舍入誤差的絕對值在 以內(nèi)，因此可得或者表明：極限環(huán)幅度與量化間隔成正比， 增加字長(減小量化間隔)將使極限環(huán)振蕩減弱 如b=3，故有 ， ，有8123q5 . 0|a125. 05 . 01161| ) 1( | )( |nyny一階IIR網(wǎng)絡(luò)的死帶范圍與表7-4-1結(jié)果一致7.4.4 定點運算的溢出振蕩 溢出可能產(chǎn)生比之更大的誤差，并在輸出的最大幅度界限內(nèi)振蕩，稱為溢出極限環(huán)振蕩 溢出極限環(huán)振蕩產(chǎn)生的原因：定點加法運算存在著溢出1-10123)(vfv補碼加法運算的非線性 以定點補碼運算的二階IIR濾波器為例進(jìn)行

39、討論此二階濾波器的差分方程為)()2() 1()(21nxnyanyany2121222211)(11)(ppzppzzzazazH24221121aaap，系統(tǒng)函數(shù)為首先考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性1|21，p)(zH1p2p穩(wěn)定的條件是 的兩個極點 、 在單位圓內(nèi)1a2a可得 、 的值域為圖示的大三角形1a2a1|21，p即 、 落于大三角形之內(nèi)才能滿足 (0,1)(2,-1)(-2,-1)III1a2a其次，為了保證不溢出，即要滿足1| )2() 1(| )(|21nyanyany1|21 aa1| )(|ny1|21 aa如上圖中的陰影部分1a2a由此式求出 、 的關(guān)系若必定期足系統(tǒng)不產(chǎn)生溢出極限

40、環(huán)振蕩的充要條件由于溢出極限環(huán)的振蕩幅度為1，數(shù)字濾波器無法對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，可以通過飽和型加法運算的辦法加以消除。飽和加法器的特點是，當(dāng)相加器的輸入之和大于1或小于1時，就分別以1和1代表相加結(jié)果，其特性如圖所示，這樣就能克服溢出振蕩1-101輸出)(Vf輸入V-1補碼飽和加法器特性 7.4.5 浮點運算中的有限字長效應(yīng) 乘法和加法之后都需要進(jìn)行尾數(shù)量化。n流圖中乘法支路之后或加法節(jié)點處都將疊加個量化噪聲 舍入或截尾處理只影響尾數(shù)的字長，不影響階碼，但所產(chǎn)生的誤差值卻與階碼值有關(guān)。n分析中用相對誤差比用絕對誤差更適合 系統(tǒng)的輸出誤差大小與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)n本節(jié)上一部分系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對輸出誤差影響的結(jié)論

41、同樣成立 取相同的尾數(shù)字長時，浮點運算的誤差要比定點運算的誤差小。n浮點制中可以充分利用尾數(shù)的字長，使每一個數(shù)不論其數(shù)值大小，都能保持同樣的相對精度 浮點制系統(tǒng)的字長一定時，其輸出的信噪比為一常數(shù)；n定點制系統(tǒng)中，輸出噪聲的方差與信號無關(guān)，因此信號越大，輸出的信噪比越大 7.5 FFT算法的有限字長效應(yīng) 從運算的角度分析，F(xiàn)FT與數(shù)字濾波器一樣都是系統(tǒng)，因此，二者的有限字長效應(yīng)分析方法基本上是相同的不同的是FFT中的運算是一個復(fù)數(shù)運算，因此誤差源是一個復(fù)數(shù)，同時FFT運算有多個輸入端及多個輸出端，各誤差源對不同的輸出端的影響是不同的。以時間抽取DIT為例進(jìn)行有限字長效應(yīng)分析，并且針對的是舍入情

42、況，其他FFT算法及截尾運算結(jié)果是相似的7.5.1 蝶形運算的統(tǒng)計模型 )()()(1jXWiXiXmrNmm)()()(1jXWiXiXmrNmm定點制運算中只有乘法引入量化誤差，加法運算不引入誤差蝶形運算中只在乘系數(shù) 時引入一個誤差源rNWme)( jXm)(iXm)(1iXm)(1iXmrNWme-1 是復(fù)數(shù)相乘，所產(chǎn)生誤差 就是一個復(fù)數(shù)me)( jXWmrN4321,eeee一個復(fù)數(shù)相乘要由四個實數(shù)相乘來構(gòu)成、每個實數(shù)相乘都將引入一個相應(yīng)的誤差。因而共有四個誤差假設(shè)是舍入量化，則Re)(ImIm)(ReIm)(ImRe)(Re)()(4321eWjXeWjXjeWjXeWjXeWjXW

43、jXQrNmrNmrNmrNmmrNmrNmr)(4221eejeeem34|222423222122qeEeEeEeEeEemBme2B復(fù)數(shù) 的方差 為分析乘以 后的方差影響 rNW2222|BmrNrNmeEWWeE通過所有后級蝶形時，其方差保持不變 me每一個輸出端都與N1個蝶形相連，即有N1個量化噪聲源對每個輸出端有貢獻(xiàn) 在終端，在離散傅里葉變換)(kX上疊加的輸出噪聲的均方值為和FIR濾波器的直接型實現(xiàn)一樣，輸出噪聲的總方差正比于N3) 1(2222NqNNBBF=7.5.2 防止溢出和FFT輸出的信噪比 分析蝶形運算)()()(1jXWiXiXmrNmm+=+| )(| )(| )(| )(| )(|1jXiXjXWiXiXmmmrNmm| )(| )(| )(|1jXiXjXmmm|)(|