巧用圓錐曲線定義解有關最值問題

1、百度文庫1巧用圓錐曲線定義解有關最值問題廣東石油化工學院高州師范學院 309 數(shù)學（4）班 李國曉【摘要】 圓錐曲線涉及到兩大定義，圓錐曲線的第一定義和圓錐曲線的第 二定義。巧用圓錐曲線的定義，通過具體實例說明求最值的一些方法，如果能很 好地理解和掌握圓錐曲線的定義，也能用它來解決很多代數(shù)問題?！娟P鍵詞】圓錐曲線最值目標函數(shù)圓錐曲線是用代數(shù)方法來研究幾何問題，它處于代 數(shù)與幾何的交匯處。 如果能很好地 理解和掌握圓錐曲線的定義，也能用它來解決很多代數(shù)問題。圓錐曲線作 為高考必考內容，當一道題目涉及到線段距離、圓錐曲線位置關系等等，而且又與焦點有關 時，我們通常可考慮利用定義來求解。利用圓錐曲線

2、定義求解的基本特點是解題思路比較簡 單，規(guī)律性較強。而圓錐曲線的定義是由曲線上的點到焦點的距離來刻畫的，由此可對一些距離進行有效的轉化，因此在解題中凡涉及曲線上的點到焦點的距離時，應先想到利用定義 進行求解,這樣會有事半功倍之效。 下面談談如何巧用圓錐曲線的定義來求最值問題。一、圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）第一定義在最值問題中的巧用圓錐曲線的第一定義既是推導圓錐曲線標準方程的依據(jù)，又是用來解決一些問題的重要 方法，一般情況下，當問題涉及焦點或準線，且用其它方法不易求解時，可考慮運用定義求百度文庫2解。圓錐曲線中涉及到很多最值問題，如果方法不當，求解過程就很復雜。有些與焦點和準 線有關的問題

3、，從第一定義入手，就很容易解決問題，下面舉例說明圓錐曲線中常見的最值 問題。圓錐曲線第一定義在求最值的一般形式：|PA |PF 的最值。其中，在曲線C（橢圓、雙 曲線、拋物線）內一定點（異于焦點），P 是曲線C上的一個動點，F(xiàn)是曲線C的一個焦點。1.橢圓第一定義在最值問題中的巧用橢圓第一定義： 平面內到兩定點 F,、 F2的距離之和等于常數(shù)2a的動點M的軌跡叫橢圓，即 MFMF22a。1 上一點 P 到兩個焦點距離之積為 m，求 m 的最大值，并求出當 m 取259得最大值時 P 點的坐標。分析：此題求 P 點到兩焦點之積，由不等式性質和橢圓第一定義，可轉化為兩距離之和來求解。此題是動點到兩焦

4、點距離之積，從而聯(lián)系了第一定義：動點到兩定點距離之和等于定值 再結合不等式性質，把目標函數(shù)轉化為容易求解的函數(shù)，從而問題得解。2 2例 2：已知橢圓 仝 1 內有一點A（2, 1），F(xiàn)為橢圓的左焦點，P是橢圓上動點,2516解：設橢圓2x251 的左右焦點分別為 F,、F2, PF,PF210,PF,PF2PF,PF2225,當且僅當 PF1PF2時取等號，此時點 P 為短軸的端點。所以 P 的坐標為（0，3）或（0,-3）時，m 的最大值為 25。當圓錐曲線中的最值問題涉及到圓錐曲線的焦點時， 可以考慮應用圓錐曲線的定義解題。2a。求 PA PF 的最大值與最小值。分析：目標函數(shù) PA PF

5、,考慮用普通方法比較難解，則我們可作適當轉化，利用橢圓第一定義，把PF轉化為與另一焦點有關的線段，即PF2a PF ,再結合平面內三點共線百度文庫3時有最值，而點 P 在線段延長線的不同側時，會使目標函數(shù)取得最大值或最小值。解：如圖 1,設橢圓的右焦點為F，可知其坐標為F（3，0）,由橢圓的第一定義得：PF|PF|io ，則|PA|PF IO|PA PF|，可知，當P為AF的延長線與橢圓的交點 /時，PA |PF I 最大，最大值為，AF I 2，當 P 為 FA 的延長線與橢圓的交點時，| PA | PF 最小，最小值為 AF |42。故 PA PF 的最大值為1042，最小值為10 v 2

6、o本題中巧用第一定義解題：動點到兩定點距離之和等于定值2a，兩定點為焦點，a 為長半軸，利用這定義，把所要求的目標函數(shù)中的一個焦半徑轉化為另一焦半徑，考慮在什么情 況下所百度文庫4求函數(shù)值最大，把目標函數(shù)轉化為容易求解的函數(shù)。 在把 PA PF 轉化 10 |PA |PF百度文庫5時，即轉化為A、F、P三點共線進行討論，當P點在AF延長線時，所求函數(shù)有最大值, 當 P 點在FA 的延長線時，所求函數(shù)有最小值。注意在這類問題中，“和”與“差”中一個 不可求，就用定義轉化為另一個。正確地畫出圖形，利用平面幾何知識，一般都可以解決問 題。2.雙曲線的第一定義在最值問題中的巧用雙曲線第一定義：平面內點

7、M與一定點F的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)ec，這個點M的軌跡是雙曲線。定點是雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準線，常數(shù)e是a雙曲線的離心率。1 內有一點B 6,2,Fi、F2分別為雙曲線左右焦點，P 是雙曲線右支上的動點，求PF?|PB的最小值PB，從一般方法來解比較困難，則我們可以從定義入手，利用曲線第一定義，把|PF2轉化為|PFj8,而|PB PF,為平面內三點距離之和，當B,P, F,點 共線時有最小值。解：如圖 2，由題意得F,( 5,0)、F25,0，有雙曲線的第一定義得PF,PF2|8 所以當 p 點在如圖 2 位置時有最小值，當 P 點在如圖 2 位置時有最拋物線第一定義

8、：平面內與一個定點 戸和一條直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線， 點2 2例 3:已知雙曲線壬169分析：目標函數(shù)為PF2PF2I|PB |PF2|PF,| 8，小值，即PFJ|PB|BF,(6此題巧用雙曲線的第一定義把而冋題得解。PF2轉化為 PF,8，再結合平面幾何知識進行分析，從3.拋物線的第一定義在最值中的巧用PF|PB 的最小值為 55 8。百度文庫6夕叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線，定點 F 不在定直線上。它與橢圓、雙曲 線的第二定義相仿，僅比值（離心率 e）不同，當 e= 1 時為拋物線例 4:設 P 是 y24x 上的一個動點，求P點到 A 1,1 的距離與 p 點到直

9、線I:x 1的 距離d之和的最小值。分析：此題中的I:x1剛好是拋物線的準線，而點A在準線I上，由拋物線第一定義可把P到直線的距離轉化為P到焦點F 1,0距離，即所求距離轉化為|PAPF ,而 PA |PF 剛 好是三點距離之和，而在平面中，當三點共線即A、P、F三點共線時它們所得距離之和最 小。圖3解：如圖 3,由拋物線第一定義得 PA d |PA |PF ,在平面中|PA |PF/AF|，又AF|A/5,當A、P、F三點共線時取等號，即所求最小值為 75。/把動點到焦點的距離轉化為動點到定直線的距離，從平面三點共線性質考慮得出最小值。二、圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）第二定義在最值問題中

10、的巧用圓錐曲線的第二定義既是推導圓錐曲線標準方程的依據(jù)，又是用來解決一些問題的重要 方法，一般情況下，當問題涉及焦點或準線，且用其它方法不易求解時，可考慮運用定義求 解。圓錐曲線中涉及到很多最值問題，如果方法不當，求解過程就很復雜。有些與焦點和準 線有關的問題，從第二定義入手，就很容易解決問題。百度文庫7圓錐曲線第二定義在求最值的形式一般是：PAPF的最小值。其中，在曲線C（橢e圓，雙曲線或拋物線）內一定點（異于焦點），P是曲線C上的一個動點，F(xiàn)是曲線C的一個焦點，e是曲線C的離心率。1.橢圓第二定義在最值問題中的巧用橢圓第二定義：平面內動點 M 與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比為常

11、數(shù)ce - e 1時，這個動點的軌跡是橢圓aAM 2MF 的最小值，并求出此時點2例 5:已知點 A 2,. 3 ,設F為橢圓乞162仝1的右焦的坐標百度文庫811分析：橢圓離心率e丄，而目標函數(shù)中的21,再結合橢圓第二定義，把目標函數(shù)中 2MF2e轉化為點到右準線的距離，而M點為動點，在平面內當三點共線時有最值，即 AM 的延長線垂直有準線，此時確定的M點就是能使|AM| 2MF 達最小值。圖 4解：設右準線為L,過A作右準線的垂線，垂足為N,與橢圓交于M。依題意得離心率e丄,2由橢圓第二定義得 2MF MN，所以 AM 2MF AM| MN ,如圖 4M點位置所示，百度文庫9AM MN 達

12、最小值，所以|AM| 2MF 的最小值即為|AN的長，而 AN| 2 810，即百度文庫10AM| 2MF 的最小值為10;此時把點y、3代入橢圓方程即可求得M2 3, 3此題利用建立目標函數(shù)來求 AM 2MF 的最小值，其函數(shù)表達式復雜，用常規(guī)方法求解較繁。但我們考慮|AM 2MF 中的2，看它是否有其特殊含義，橢圓中是否有與 2 有關的性解：設F為橢圓的右焦點，如圖 5,作AA l于A，BB l于B， MM l 于 M，的縱坐標質。由題中得離心率為1 1e-，即2：,再由橢圓第二定義可知 2MF 就是M點到右準線的距離，問題即可解決。例 6：定長為d d2 2竺的線段 AB 的兩個端點分別

13、在橢圓$aa2詁-ab0上移動,求 AB 的中點M到橢圓右準線l的最短距離。百度文庫511AA BB1AFBF1-!- AF BF22 ee2e時等號成立）。故M到橢圓右準線的最短距離為-2e題中若是求中點到與準線平行的直線的距離的最小值也可以轉化為這類問題。2. 雙曲線的第二定義在最值問題中的巧用雙曲線的第二定義：平面內點M與一定點F的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)eC，這個點M的軌跡是雙曲線。定點是雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準線，常數(shù)e是a雙曲線的離心率。2 2例 7:已知雙曲線c: 匕 1 內有一點A 7,3，F(xiàn)是雙曲線C的左焦點，P為雙曲線9163C上的動點，求PA - PF的

14、最小值。5圖 6/分析：注意到式中的數(shù)值“-”恰為1，則可由雙曲線的第二定義知-|PF等于雙曲線上5巳/5-則MMAB d玉新當且僅當AB過焦點F空是橢圓的通徑長，是橢圓焦點弦長的最小值,a空 是 AB 能過焦點的充要條件。a百度文庫512的點 P 到左準線的距離 PM，從而|PA -PF| PA | PM。百度文庫13解：設雙曲線左準線為丨，過平點P作準線l的垂線交于點M，根據(jù)雙曲線第二定義得53PM-|PF ,所以PA-|PF PA |PM ，由圖 6 知，當A、P、M三點共線時，PA PM359 ”443、44取得最小值，其大小為|AM 7 -,即PA -|PF的最小值為-。55551題

15、中丄|PF d（d為P到焦點 F 對應的準線的距離），從而將所求轉化為定點到準線的e距離。3. 拋物線的第二定義在最值中的巧用拋物線的第二定義：平面內與一個定點 F 和一條直線？的距離相等的點的軌跡叫做拋物 線，點 F 叫做拋物線的焦點，直線I叫做拋物線的準線，定點 F 不在定直線上。它與橢圓、 雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率 e）不同，當 e= 1 時為拋物線。例&設P是 y24x 上的一個動點，若有點B 3,2，求 PB PF 的最小值。圖7分析：此題是求PA Z|PF的最小值”問題，由拋物線的離心率e 1，則可把PF轉化e為P點到準線的距離，再結合幾何知識從而問題得解。解：

16、作拋物線的準線為L,過P點作準線L的垂線交點為 Q 由拋物線定義得PB PF PB PQ BQ 4如圖 7，當P為過點B的丨的垂線與拋物線的交點時取等號，即所求最小值為6。題中 ed PF，將所求折線轉化為直線，結合圖形利用平面幾何知識很容易解決問題。百度文庫14三、總結1. 巧用圓錐曲線定義解最值問題，能使問題簡單化，從上面的類型可以得出，求解圓錐 曲線最值問題可分分為以下兩種：（1）圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）第一定義在最值問題中的巧用；（2）圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）第二定義在最值問題中的巧用。2. 從上述例題可以看出，圓錐曲線定義是解決一些最值問題的有效而又快捷的方法。如果一道解答題題目涉及到對圓錐曲線定義的與圓錐曲線的位置關系、軌跡與最值等等，常?？紤]通過圓錐曲線定義來求解，它的基本特點是解題思路比較簡單，規(guī)律性較強。圓錐曲線的定義是由曲線上的點到焦點的距離來刻畫的，由此可對