測量學(xué) 第六章

1、在測量工作中，對某量(如某一個角度、某一段距離或某兩點間的高差等)進行多次觀測，所得的各次觀測結(jié)果總是存在著差異，這種差異實質(zhì)上表現(xiàn)為每次測量所得的觀測值與該量的真值之間的差值，這種差值稱為測量誤差，即:測量誤差 = 真值 - 觀測值測量誤差的來源（1）儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗等。（3）外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等測量誤差分為：粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差1.粗差(錯誤)超限的誤差2.系統(tǒng)誤差 誤差出現(xiàn)的大小、符號相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性。系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。 (計算改正、觀測方法、儀器檢校)3.偶然誤差誤差出現(xiàn)的

2、大小、符號各不相同表面看無規(guī)律性。 例：例： 誤差誤差 處理方法處理方法 鋼尺尺長誤差鋼尺尺長誤差 ld 計算改正計算改正 鋼尺溫度誤差鋼尺溫度誤差 lt 計算改正計算改正 水準儀視準軸誤差水準儀視準軸誤差I(lǐng) 操作時抵消操作時抵消(前后視等距前后視等距) 經(jīng)緯儀視準軸誤差經(jīng)緯儀視準軸誤差C 操作時抵消操作時抵消(盤左盤右取平均盤左盤右取平均) 誤差的處理原則 1.避免錯誤 2.多余觀測：為了防止錯誤和提高觀測精度，在測量工作中一般需要進行多余必要的觀測（距離、角度） 3.系統(tǒng)誤差應(yīng)當近可能的按照其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正偶然誤差特性舉例:在某測區(qū)，等精度觀測了358個三角形的內(nèi)角之和，得到35

3、8個三角形閉合差i(偶然誤差，也即真誤差) ，然后對三角形閉合差i 進行分析。 分析結(jié)果表明，當觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學(xué)上的規(guī)律性。而 且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。用用頻率直方圖頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：表示的偶然誤差統(tǒng)計： 頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率頻率k/n，而所有條形的，而所有條形的總面積等于總面積等于1。 頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于于y軸。軸。各條形頂邊中點連線經(jīng)光各條形頂邊中點連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)

4、出滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律偶然誤差的普遍規(guī)律 偶然誤差的特性從誤差統(tǒng)計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤差的從誤差統(tǒng)計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤差的四個特四個特性性：(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值值(有界性有界性)；(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多(趨勢性趨勢性)；(3)絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的機會相等絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的機會相等(對稱性對稱性)；(4)當觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零當觀測次數(shù)

5、無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零(抵償性抵償性)： 0limlim21nnnnn特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性特性(4)具有實用意義。具有實用意義。 偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當觀測次數(shù)當觀測次數(shù)n無限增多無限增多(n)、誤差區(qū)間誤差區(qū)間d 無限縮小無限縮小(d 0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線”，又稱為又稱為“高斯誤差分布曲線高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有所以偶然誤差具有正態(tài)分布正態(tài)分布的特性。的特性。正態(tài)分布曲線 -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15

6、+21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x= y幾個概念準確度 (測量成果與真值的差異）精（密）度（觀測值之間的離散程度）最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）測量平差（求解最或是值并評定精度）一、平均誤差在實際工作中，采用對某量有限次數(shù)的觀測值來求得算術(shù)平均值，即：nn1i二、中誤差測量工作中，用中誤差中誤差作為衡量觀測值精度的標準。觀測次數(shù)無限多時，用標準差表示偶然誤差的離散情形觀測次數(shù)無限多時，用標準差表示偶然誤差的離散情形nnlim觀測次數(shù)觀測次數(shù)n有限有限時，用時，用中誤差中誤差m表示偶然誤差的離散情形表示偶然誤差的離散情形上式中，偶然誤差為觀測值與真值

7、X之差：nnmn22221i=i - Xm1=2.7是第一組觀測值的中誤差；m2=3.6是第二組觀測值的中誤差。 m1小于小于m2,說明第一組說明第一組觀測值的誤差分布比較觀測值的誤差分布比較集中集中，其，其精度較高精度較高；相；相對地，第二組觀測值的對地，第二組觀測值的誤差分布比誤差分布比 較較離散離散，其，其精度較低：精度較低：三、允許誤差 根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概 率為： demdfPm22221)()(誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：kmkmmdemkmP22221)( 將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概

8、率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m| 三、相對誤差三、相對誤差(相對中誤差) 誤差絕對值與觀測量之比。 用于表示距離距離的精度。 用分子為1的分數(shù)表示。 分數(shù)值較小相對精度較高；分數(shù)值較大相對精度較低。 例例2：用鋼尺丈量兩段距離分別得用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=100米米,m1=0.02m； S2=200米米,m2=0.02m。計算。計算S1、S2的相對誤差。的相對誤差。K2K1，所以距離，所以距離S2精度較高。精度較

9、高。K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000 0.02 1 0.02 1 在實際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計算出來，這時函數(shù)中誤差與觀測值中誤差必定有一定的關(guān)系。本節(jié)所要討論的就是在觀測值中誤差為已知的情況下，如何求觀測值函數(shù)中誤差的問題。闡述觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。觀測值的函數(shù)觀測值的函數(shù)例：例：高差cossinsin)(121DxbadMDsssnSbahn平均平均距離實地距離三角邊和或差函數(shù)線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)一般函數(shù)坐標增量一般函數(shù)一、線性函數(shù)中誤差線性函數(shù)一般表達式

10、式中式中x1、x2.xn分別為獨立觀測值分別為獨立觀測值式中k1、k2.kn分別為x的常系數(shù)1.倍函數(shù)nnxkxkxkF2211xxZKmmKmKdxdZKxZ22 例一例一:在在1：500比例尺地形圖上，量得比例尺地形圖上，量得A、B兩點間的距離兩點間的距離S=163.6mm，其中誤差，其中誤差ms=0.2mm。求。求A、B兩點實地距離兩點實地距離D及其及其中誤差中誤差mD。 D = 81. 80.1(m)mD=MmS = 5000.2(mm) =0.1(m)解解：D = MS = 500163.6(mm) = 81.8(m) (M為比例尺分母為比例尺分母)2.和差函數(shù)nxxxZ212222

11、1nZmmmm 例二例二 某水準路線某水準路線各測段各測段高差的高差的 觀測值中誤差分別為觀測值中誤差分別為 h1=18.316m5mm，h2=8.171m4mm， h3=6.625m3mm，試求試求該該水準路線高差水準路線高差及其及其中誤差中誤差。 h=16.882m7.1mm解解 h = h1+h2+h3=16.862() m 2h= m21+ m 22m 23 =52+42+32 m h=7.1(mm)3.一般線性函數(shù)中誤差二、非線性函數(shù)中誤差nnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkm設(shè)有函數(shù)),(21nxxxFZ為獨立獨立觀測值 (a)ix對(a)全微分nndx

12、xFdxxFdxxFdZ2211(b)用偶然誤差 、 代替微量元素 、 得：ixidxdznnxxFxxFxxFZ2211(c)轉(zhuǎn)換成中誤差關(guān)系式即誤差傳播定律誤差傳播定律：2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-5)二、非線性函數(shù)中誤差二、非線性函數(shù)中誤差例：例：已知直線MP的坐標方位角=722000， 水平距離D=240m。如已知方位角中誤差 ，距離中誤差 ， 求由此引起的P點的坐標中誤差 、 ， 以及P點的點位中誤差 。20m 40Dmmm xmymPMXYOxycossinxDyDDMPcossinsincosdDdddDddDyDx解：解：180206265由誤差傳播定律

13、：2222222220cossincos72 20 40240sin72 2025.3206.320sincossin72 20 40240cos72 2038.8206.3xDyDmmmDmmmmmDmmP點的點位中誤差：222225.338.346.3PxyMmmmm 通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以總結(jié)求觀測值函數(shù)中誤差的步驟總結(jié)求觀測值函數(shù)中誤差的步驟： 1.列出函數(shù)式；列出函數(shù)式； 2.對函數(shù)式求全微分；對函數(shù)式求全微分； 3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。 1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 (x為觀測值，K為

14、x的系數(shù)) 全微分 得中誤差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：例：量得地形圖上兩點間長度 =168.5mm0.2mm, 計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：解：列函數(shù)式 求全微分 中誤差式三三.幾種常用函數(shù)的中誤差幾種常用函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 全微分 中誤差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例例：設(shè)有某線性函數(shù)設(shè)有某線性函數(shù) 其中其中 、 、 分別為獨立觀測值，它們的中誤差分分別為獨立觀測值，它們的中

15、誤差分 別為別為 求Z的中誤差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：解：對上式全微分：由中誤差式得：2.線性函數(shù)的中誤差線性函數(shù)的中誤差 函數(shù)式 全微分 中誤差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm由于等精度觀測時， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了縮小了 倍。 對某觀測量進行多

16、次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。4.和或差函數(shù)的中誤差和或差函數(shù)的中誤差當?shù)染扔^測時： 上式可寫成：mmmmmn321nmmZ例例： 測定A、B間的高差 ，共連續(xù)測了9站。設(shè)測量 每站高差的中誤差 ， 求總高差 的中誤差 。 解：解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh 函數(shù)式： 全微分： 中誤差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm 觀測值函數(shù)中誤差公式匯總觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式 函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù) 線性函數(shù) 算術(shù)平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmx

17、FmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX例：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。 解:(1)測量水平距離的精度 基本公式： 2cosKlD 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2其中： )206265( 水平距離中誤差： 222l22DmKlsin2l(m)(Kcosm 例例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。 解: (2)測量高差的精度 基本公式： 2sin21Klh 求全微分： dKldlKdDdll

18、DdD)cossin2(cos2其中： )206265( 高差中誤差： 2222)2cos(2sin21 mKlmKmlh例3:(1)用鋼尺丈量某正方形一條邊長為 求該正方形的周長S和面積A的中誤差.lml (2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中: 求該正方形的周長S和面積A的中誤差.iliml lllllmmmmmlllll43214321且解: (1)周長 , lS4lmdS4全微分:周長的中誤差為 lSmm4 面積 , 2lA全微分:ldldA2面積的中誤差為 lAlmm2 (2)周長 ;周長的中誤差為 lllllS44321lllllmmmmmlllll43213321且 面積22

19、43214LllllA全微分:LdLdA2 但由于432141414141dldldldldL 得周長的中誤差為 llllllAlmmLmLmLmLmLm22222222224422224321lSmm2二、算術(shù)平均值中誤差 x是根據(jù)觀測值所能求得的是根據(jù)觀測值所能求得的最可靠的結(jié)果最可靠的結(jié)果，稱為最或是值或算術(shù)平均值。，稱為最或是值或算術(shù)平均值。nLx n1i一、算術(shù)平均值 在實際工作中，采用對某量在實際工作中，采用對某量有限次數(shù)有限次數(shù)的觀測值來求得算術(shù)平均值，即：的觀測值來求得算術(shù)平均值，即： 函數(shù)式 全微分 中誤差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx121112

20、1221211222nnnnxmmmm算術(shù)平均值的中誤差式由于等精度觀測時， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了縮小了 倍。 對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。例：例：要求三角形最大閉合差m15 ，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個內(nèi)角時須用幾個測回？ 123=(1+2+3)-180解：解：由題意：2m= 15,則 m= 7.5每個角的測角中誤差：3 . 435 . 7m測回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均

21、值的中誤差公式：5 . 826m 用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時，每個內(nèi)角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差 m m1515 。 觀測值的算術(shù)平均值觀測值的算術(shù)平均值(最或是值) 用觀測值的改正數(shù)用觀測值的改正數(shù)v計算觀測值的計算觀測值的 中誤差中誤差 (即:白塞爾公式)觀測值的觀測值的算術(shù)平均值算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值) 對某未知量未知量進行了n 次觀測，得n個觀測值1,2,n,則該量的算術(shù)平均值為：證明算術(shù)平均值為該量的最或是值： 設(shè)該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為 1= 1- X 2= 2- X n= n- X上式等號兩邊分別相加得和： nXl x= =1+2+nn兩邊除以

22、n：由 lnX nlXn當觀測無限多次時：nlXnnnlimlim得Xnlnlim當觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術(shù)平均值就是該 量的真值；當觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術(shù)平均 值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。觀測值的改正數(shù)v ： Vi = L - i (i=1,2,n)特點特點1 改正數(shù)總和為零：改正數(shù)總和為零：對上式取和：以 代入：通常用于計算檢核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特點特點2 vv符合符合“最小二乘原則最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x= n 以算術(shù)平均值為最或是值，并據(jù)此計算各觀測值的改正數(shù)

23、 v ，符合vv=min 的“最小二乘原則”。精度評定用觀測值的改正數(shù)v計算中誤差1nvvm一.計算公式(即白塞爾公式)： 比較前面的公式，可以證明，兩式根號內(nèi)的部分是相等的，1nvvnnmnvvm1即在 與 中：1nvvn證明如下證明如下：nnnnlxvlXlxvlXlxvlX22221111真誤差：真誤差：改正數(shù)：改正數(shù)：由上兩式得iiiivXLv對上式取n項的平方和 vvvn22其中: 0lnLv vvnvvvn222 222222)(nnXlnnXnlXL njijijinn1,2222122122)( 02222nnnvvnn21nvvnnm1nvvm中誤差定義:白塞爾公式:算例 例

24、：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下表， 求其算術(shù)平均值及觀測值的中誤差。 解：解：該水平角該水平角真值未知真值未知，可用，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)算術(shù)平均值的改正數(shù)V計計 算其中誤差：算其中誤差：98315601 .nVVm4715983 .nmM7642451.74 算例：算例：對某距離用精密量距方法丈量六次，求對某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離該距離的算術(shù)平均值的算術(shù)平均值 ； 觀測值的中誤差觀測值的中誤差 ； 算術(shù)平均值的算術(shù)平均值的中誤中誤 差差 ； 算術(shù)平均值的相對中誤差算術(shù)平均值的相對中誤差 ：凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分數(shù)表示。 一、權(quán)的概念一、權(quán)的概念

25、權(quán)是權(quán)衡利弊、權(quán)衡輕重的意思。在測量工作中權(quán)是一個表示觀測結(jié)果可靠程度的相對性指標。 1 權(quán)的定義： 設(shè)一組不同精度的觀測值為l i ,其中誤差為mi(I=1,2n)，選定任一大于零的常數(shù)，則定義權(quán)為2iimP稱Pi為觀測值l i 的權(quán)。2iimP對于一組已知中誤差mi的觀測值而言，選定一個大于零的常數(shù)值，就有一組對應(yīng)的權(quán)；由此可得各觀測值權(quán)之間的比例關(guān)系：2222122221211:1:1:nnimmmmmmPPP2 權(quán)的性質(zhì)（1 1）權(quán)表示觀測值的相對精度；）權(quán)表示觀測值的相對精度；（2 2）權(quán)與中誤差的平方成反比，權(quán)始終大于零，權(quán)大則精）權(quán)與中誤差的平方成反比，權(quán)始終大于零，權(quán)大則精度高

26、；度高；（3 3）權(quán)的大小由選定的）權(quán)的大小由選定的值確定，但測值權(quán)之間權(quán)的比例值確定，但測值權(quán)之間權(quán)的比例關(guān)系不變，同一問題僅能選定一個關(guān)系不變，同一問題僅能選定一個值。值。二、測量中常用的定權(quán)方法二、測量中常用的定權(quán)方法1 同精度觀測值的權(quán)對于一組同精度觀測值l i ，一次觀測的中誤差為m，由權(quán)的定義，選定= m2，則一次觀測值的權(quán)為：1222mmmPn次同精度觀測值的算術(shù)平均值的中誤差為：) 1( nnvvnmM同精度觀測值算術(shù)平均值的權(quán)為：nmmnMPL222 2 單位權(quán)與單位權(quán)中誤差單位權(quán)與單位權(quán)中誤差 對于一組不同精度的觀測值l i ，一次觀測的中誤差為mi ，設(shè)某次觀測的中誤差為m，其權(quán)為P0，選定= m2，則有：數(shù)值等于1的權(quán)，稱為單位權(quán)；權(quán)等于1的中誤差稱為單位權(quán)中誤差，常用表示。對于中誤差為mi的觀測值，其權(quán)為：1220mmP22iimP相應(yīng)中誤差的另一表示方法為iiPm1 3 水準測量的水準測量的權(quán)與測站數(shù)成反比權(quán)與測站數(shù)成反比，或者，或者與路線長度成反比與路線長度成反比。iiNcmPi122iiLcmPi2224 4 角度測量的角度測量的權(quán)與測回數(shù)成正比權(quán)與測回數(shù)成正比。iiiLcnm