若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型（課堂PPT）

1、1234從前面第七章的討論可以知道，并不是對(duì)于每從前面第七章的討論可以知道，并不是對(duì)于每一個(gè)線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣一個(gè)線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣成為對(duì)角形成為對(duì)角形. 下面先介紹一下，在適當(dāng)選擇的基下下面先介紹一下，在適當(dāng)選擇的基下,一般的一個(gè)線性變換能化簡(jiǎn)成什么形狀一般的一個(gè)線性變換能化簡(jiǎn)成什么形狀.在這一節(jié)，我們的討論限制在復(fù)數(shù)域中在這一節(jié)，我們的討論限制在復(fù)數(shù)域中.5 tttJ1000010000010000),(，其一般形狀如，其一般形狀如6) 1 (21sAAA其中其中iikkiiiiiA111并且并且 1 , 2 , s 中有一些可以相等中有一些可以

2、相等.7例如例如i10i,0100001000010000,210021002都是若爾當(dāng)塊，都是若爾當(dāng)塊，是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣.410000041000004000000400000011000001而而81.一級(jí)若爾當(dāng)塊就是一級(jí)矩陣，因此若爾當(dāng)形一級(jí)若爾當(dāng)塊就是一級(jí)矩陣，因此若爾當(dāng)形矩陣中包括對(duì)角矩陣矩陣中包括對(duì)角矩陣. 2.注注 意意9我們用初等因子的理論來(lái)解決若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的我們用初等因子的理論來(lái)解決若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算問(wèn)題計(jì)算問(wèn)題. 首先計(jì)算若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子首先計(jì)算若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子.設(shè)有若爾當(dāng)塊設(shè)有若爾當(dāng)塊nnJ00001000010001000則其初等因子為則

3、其初等因子為 ( - 0)n .10考慮它的特征矩陣考慮它的特征矩陣.10000100010000000JE顯然顯然 | E - J0 | = ( - 0)n ，這就是，這就是 E - J0 的的 n 級(jí)級(jí)行列式因子行列式因子.由于由于 E - J0 有一個(gè)有一個(gè) n - 1 級(jí)子式級(jí)子式11,) 1(10001000010001100n所以它的所以它的 n - 1 級(jí)行列式因子是級(jí)行列式因子是 1 ，從而它以下各，從而它以下各級(jí)的行列式因子全是級(jí)的行列式因子全是 1 . 因此，它的不變因子為因此，它的不變因子為d1( ) = = dn-1( ) = 1 , dn( ) = ( - 0)n .

4、由此即得，由此即得， E - J0 的初等因子為的初等因子為 ( - 0)n .12設(shè)設(shè)sJJJJ21是一個(gè)若爾當(dāng)是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣，形矩陣，.)( ,)( ,)(2121skskk)., 2 , 1(1000010001000siJiiii其中其中則則J的初等因子為的初等因子為13既然既然 Ji 的初等因子是的初等因子是, ), 2 , 1()(siiki所以所以 E- Ji 與與iki)(111等價(jià)等價(jià).于是于是skkkJEJEJEJEs212114skskk)(11)(11)(112121與與等價(jià)等價(jià).因此，因此，J 的全部初等因子是：的全部初等因子是：.)( ,)( ,)(2121sk

5、skk15 2.每個(gè)若爾當(dāng)形矩陣由若爾當(dāng)塊個(gè)數(shù)、各個(gè)若爾每個(gè)若爾當(dāng)形矩陣由若爾當(dāng)塊個(gè)數(shù)、各個(gè)若爾當(dāng)塊的級(jí)數(shù)及對(duì)角線上元素決定，即它的全部初等當(dāng)塊的級(jí)數(shù)及對(duì)角線上元素決定，即它的全部初等因子因子是由它的全部若爾當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的是由它的全部若爾當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的. .1.每個(gè)若爾當(dāng)塊完全被它的級(jí)數(shù)每個(gè)若爾當(dāng)塊完全被它的級(jí)數(shù) n 與主對(duì)角線上與主對(duì)角線上元素元素 0 所刻劃，而這兩個(gè)數(shù)都反映在它的初等因子所刻劃，而這兩個(gè)數(shù)都反映在它的初等因子( - 0)n 中中.因此，若爾當(dāng)塊被它的初等因子唯一因此，若爾當(dāng)塊被它的初等因子唯一決定決定.由此可見(jiàn)，若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)由此可見(jiàn)，若爾當(dāng)形矩陣

6、除去其中若爾當(dāng)塊排列的次序外是被它的初等因子唯一決定塊排列的次序外是被它的初等因子唯一決定.注注 意意16 (1)設(shè)設(shè) n 級(jí)矩陣級(jí)矩陣 A 的初等因子為的初等因子為skskk)( ,)( ,)(2121其中其中 1 , 2 , , s 可能有相同的，指數(shù)可能有相同的，指數(shù) k1 , k2 , , ks 也可能有相同的也可能有相同的.17每一初等因子每一初等因子iki)(對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 于一個(gè)若爾當(dāng)塊于一個(gè)若爾當(dāng)塊)., 2 , 1(1000010001000siJiiii這些若爾當(dāng)塊構(gòu)成一若爾當(dāng)形矩陣這些若爾當(dāng)塊構(gòu)成一若爾當(dāng)形矩陣.21sJJJJ18根據(jù)以上的計(jì)算，根據(jù)以上的計(jì)算，J 的初等因子也

7、是的初等因子也是skskk)( ,)( ,)(2121因?yàn)橐驗(yàn)?J 與與 A 有相同的初等因子，所以它們相似有相同的初等因子，所以它們相似.如果另一若爾當(dāng)形矩陣如果另一若爾當(dāng)形矩陣 J 與與 A 相似，那么相似，那么 J 與與 A 就有相同的初等因子，因此就有相同的初等因子，因此 J 與與 J 除了其中除了其中若爾當(dāng)塊排列的次序外是相同的若爾當(dāng)塊排列的次序外是相同的, 由此即得唯一性由此即得唯一性.19步驟步驟3 3 得出矩陣得出矩陣A A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. .求矩陣求矩陣A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的步驟標(biāo)準(zhǔn)形的步驟步驟步驟1 求求 E- A 的初等因子；的初等因子；步驟步驟2 寫出

8、每一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)塊；寫出每一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)塊；說(shuō)說(shuō) 明明20 設(shè)設(shè) 12 級(jí)矩陣級(jí)矩陣A的不變因子是的不變因子是( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 . 1, 1, , 1 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 ( + 1 ) ,9 個(gè)個(gè)按定義，它的初等因子有按定義，它的初等因子有 7 個(gè)，即個(gè)，即( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) , ( - i )2 , ( + i )2 .于是其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為于是其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為求矩陣求矩陣A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形.解解211212i10ii1

9、0i1111011101110122例例2 2 求矩陣求矩陣A A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. . 解：解： 11 233 622 4A 112336224EA 211220 220 21210 2202 2321 000 0202 1 00000 02 A的初等因子為的初等因子為 ,2 . 故故 A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為 0 0 00 0 0 .0 0 221000 2202 21 000 0200 24換成線性變換的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是：換成線性變換的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是： 25在在 V 中任取一組基中任取一組基 1 , 2 , , n , 設(shè)設(shè)A 在這組基下的矩陣是在這組基下的矩陣是 A .由由存在

10、可存在可逆矩陣逆矩陣 T，使，使 T-1AT 成若爾當(dāng)形矩陣成若爾當(dāng)形矩陣. 于是在由于是在由( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n ) T確定的基確定的基 1 , 2 , , n 下，線性變換下，線性變換 A 的矩陣的矩陣就是就是 T-1AT .由定理由定理 1，唯一性是顯然的，唯一性是顯然的.26應(yīng)該指出，若爾當(dāng)形矩陣包括對(duì)角矩陣作為特應(yīng)該指出，若爾當(dāng)形矩陣包括對(duì)角矩陣作為特殊情形，那就是由一級(jí)若爾當(dāng)塊構(gòu)成的若爾當(dāng)形矩殊情形，那就是由一級(jí)若爾當(dāng)塊構(gòu)成的若爾當(dāng)形矩陣，由此即得陣，由此即得 27例例3 證明矩陣證明矩陣 與對(duì)角陣相似與對(duì)角陣相似 .46035 036 1A 28 小小 結(jié)結(jié)29 Smith標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形行列式因子行列式因子不變因子不變因子初等因子初等因子Jordan塊塊30求下列矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形求下列矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)