概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(魏宗舒)第五章答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上計(jì)算題、證明題1 設(shè)(,，)及（，）為兩組子樣觀測值，它們有如下關(guān)系（都為常數(shù)）求子樣平均值與，子樣方差與之間的關(guān)系解: 2 若子樣觀測值, 的頻數(shù)分別為,，試寫出計(jì)算子樣平均值和子樣方差的公式 (這里=+).解: 其中， 是出現(xiàn)的頻率。3利用契貝曉夫不等式求錢幣需拋多少次才能使子樣均值落在0.4到0.6之間的概率至少為0.9 ? 如何才能更精確的計(jì)算使概率接近0.9所需拋的次數(shù) ? 是多少?解: 設(shè)需拋錢幣次,第次拋錢幣結(jié)果為， 則獨(dú)立同分布.且有分布 從而。設(shè)是子樣均值.則. 由契貝曉夫不等式， 即需拋250次錢幣可保證為更精確計(jì)算n值,可利用中心極限定理 . 其

2、中是的分布函數(shù). 4. 若一母體的方差= 4, 而是容量為100的子樣的均值. 分別利用契夫曉夫不等式和極限定理求出一個(gè)界限, 使得- (為母體的數(shù)學(xué)期望E) 夾在這界線之間的概率為0.9.解:設(shè)此界限為由由此由中心極限定理, 5假定和分別是取自正態(tài)母體N (,)的容量為的兩個(gè)子樣(),和()的均值,確定使得兩個(gè)子樣均值之差超過的概率大約為0.01. 解: 且相互獨(dú)立.，所以于是 6設(shè)母體N(,4 )，（）是取自此母體的一個(gè)子樣, 為子樣均值,試問：子樣容量應(yīng)取多大,才能使 (1) E ( );(2) E (); (3) P （).解: (1)(2) = (3) .7. 設(shè)母體 (兩點(diǎn)分布),

3、 （）是取自此母體的一個(gè)子樣, 為子樣均值,若P0.2,子樣容量應(yīng)取多大,才能使(1)P (2)E (丨丨)若P為未知數(shù),則對每個(gè),子樣容量應(yīng)取多大才能使E (丨丨)解: (1) 要當(dāng)時(shí),服從二項(xiàng)項(xiàng)分布查二項(xiàng)分布表知所以應(yīng)取10.(2) 當(dāng)時(shí) (3) 當(dāng)未知時(shí),由此知, , 要對一切此時(shí)均成立.只要求值使最大, 顯然當(dāng), 最大,.所以當(dāng)時(shí),對一切的不等式均能成立.8 設(shè)母體的階原點(diǎn)矩和中心矩分別為=Ek,=，,，和分別為容量的子樣階原點(diǎn)矩和中心矩, 求證:(1) E; (2).解: +注意到獨(dú)立, 且 所以 =9. 設(shè)母體N,子樣方差=, 求E,D并證明當(dāng)增大時(shí),它們分別為+和+. 解: 由于

4、所以.10. 設(shè)為取自正態(tài)母體N的一個(gè)子樣, 試證: 1 +2, 1-2是相互獨(dú)立的.證：(1) 由于1, 2 N， 所以. E即 又，所以由兩個(gè)變量不相關(guān)就推出它們獨(dú)立.(2)11設(shè)母體的分布函數(shù)為F,是取自此母體的一個(gè)子樣,若F的二階矩存在, 為子樣均值,試證1-與j-的相關(guān)系數(shù)=, 證 由于的二階矩存在,不妨設(shè) 12. 設(shè)和分別是子樣的子樣均值和子樣方差,現(xiàn)又獲得第+1個(gè)觀測值,試證: (1) n+1=n+(n+1-n);(2) =.證 (1) =13. 從裝有一個(gè)白球、兩個(gè)黑球的罐子里有放回地取球, 令=0表示取到白球, =1表示取到黑球.求容量為5的子樣的和的分布,并求子樣均值和子樣

5、方差的期望值.解: 相互獨(dú)立都服從二點(diǎn)分布E= D 所以 服從二項(xiàng)分布其分布列14. 設(shè)母體服從參數(shù)為的普哇松分布, 是取自此母體的一個(gè)子樣,求： (1)子樣的聯(lián)合概率分布列:(2)子樣均值的分布列、E、D、和E。解: (1) (2)服從參數(shù)為的普哇松分布,所以的分布列為 15.若是取自正態(tài)母體N的子樣,求和, 的聯(lián)合分布. 解: 由于相互獨(dú)立,又所以和相互獨(dú)立, , ，所以的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布 .16. 設(shè)母體是取自此母體的一個(gè)子樣,求子樣均值的分布密度函數(shù). 解: 二維正態(tài)變量的和 仍為二維正態(tài)變量,其五個(gè)參數(shù)分別為, 因此服從17. 設(shè)母體的分布列為P()=,k=1,2,N.現(xiàn)進(jìn)行不

6、放回抽樣，為子樣的均值,試求E和D (表示成N的函數(shù)).解: 由于N有限,而抽樣不返回,所以不是簡單隨機(jī)子樣,的分布列與母體相同,但不相互獨(dú)立, 因?yàn)?. 18. 設(shè)母體,為取自此母體的一個(gè)子樣,在子樣空間中求子樣點(diǎn)到原點(diǎn)距離小于1的概率.解: 設(shè)樣本點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為則. - 所以查分布表,可求得近似值19. 設(shè)為取自正態(tài)母體N的子樣,為子樣方差,分別求滿足下列各式的最小的值.(1) (2) 解: 由于(1) 查-分布表知最小的值為21.(2). 而查-分布表知,最小的值為13.20.子樣來自正態(tài)母體,又 求的聯(lián)合分布密度及的邊際分布.解: 由于變換的系數(shù)矩陣為 是正交矩陣.所以也相互獨(dú)立,服

7、從分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合密度為21. 若相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布,它們的數(shù)學(xué)期望相等,方差各為, 證明: 與是相互獨(dú)立的,且服從正態(tài)分布,服從自由度為的分布.證明 :設(shè)的數(shù)學(xué)期望為,不失一般性設(shè)即分布, 設(shè) , 則相互獨(dú)立,且服從分布.現(xiàn)對作正交變換,要求其變換矩陣的第一行為: 令變換后所得的變量為其中, 從而 和 又=由于相互獨(dú)立,所以也相互獨(dú)立,從而Xi相互獨(dú)立,此即證明了和是相互獨(dú)立的.由于是正態(tài)變量的線性函數(shù),所以服從正態(tài)分布.又因是相互獨(dú)立的正態(tài)變量.而所以服從自由度為的分布.22.設(shè)母體服從正態(tài)分布N和分別為子樣均值和子樣方差,又設(shè)且與獨(dú)立, 試求統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布.解: 因?yàn)榉姆植?/p>

8、. 所以 而且與獨(dú)立, 所以分布.即服從分布.23. 是取自二元正態(tài)分布N的子樣,設(shè),和試求統(tǒng)計(jì)量的分布. 解: 由于 .所以服從分布 . 是正態(tài)變量,類似于一維正態(tài)變量的情況,可證與相互獨(dú)立. , 所以 統(tǒng)計(jì)量 服從分布.25(2)證： 28. 設(shè)母體的密度函數(shù) , 由此母體抽取一個(gè)子樣又是子樣的次序統(tǒng)計(jì)量,求(3)的密度函數(shù).解: 的密度函數(shù)為由于 29. 母體服從上均勻分布, 為取自此母體的子樣,為次序統(tǒng)計(jì)量, 求 解: 其分布密度函數(shù)為其分布函數(shù)為的密度函數(shù)為 30. 設(shè)是取自具有指數(shù)分布母體的子樣,其密度函數(shù)為 為次序統(tǒng)計(jì)量,求的聯(lián)合密度函數(shù). 解: 的聯(lián)合分布密度函數(shù)為 令 則此變

9、換的雅可比行列式， 所以的聯(lián)合分布密度為31. 設(shè)母體的分布函數(shù)是連續(xù)型的,為取自此母體的子樣的次序統(tǒng)計(jì)，設(shè) 試證:(1) ，且是來自均勻分布母體的次序統(tǒng)計(jì)量;(2) (3) 和的協(xié)方差矩陣為，其中 證: (1) 因?yàn)槭沁B續(xù)型,分布函數(shù)為.則服從均勻分布.又因?yàn)椋╥）是取自母體的子樣的次序統(tǒng)計(jì)量.單調(diào)下降.所以有，從而得出是取自均勻分布母體的子樣的次序 統(tǒng)計(jì)量， (2) 的密度函數(shù)為 . (3) 對任意的 和的聯(lián)合密度函數(shù)為 因而 =令 所以的方差矩陣為 .32. 設(shè)母體, 從此母體獲得一組子樣觀測值 x1=0, x2=0.2 (1) 求子樣經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù); (2) 計(jì)算(3) 計(jì)算分布函數(shù)值. 解: (1) (2) 用上題的結(jié)論:(3) 的概率密度函數(shù)為 其分布函數(shù)為 . 在值33. 設(shè)母體服從正態(tài)分布是容量的子樣的中位數(shù),試證:的密度函數(shù)關(guān)于是對稱的,且. 證: 的密度函數(shù)為令, 則雅可比行列式為于是:為的分布函數(shù), 為的密度函數(shù).由, 所以 即的密度函數(shù)關(guān)于y = 0對稱,因而的分布密度函數(shù)關(guān)于是對稱的,從而得出 34. 設(shè)min試求：(1) 的分布; (2) 解: (1) 令則 令Y= 先求Y的概率密度函數(shù)可見的密度函數(shù)為:=(2) () （）所以 35. 設(shè)母體服從指數(shù)分布,其分布