自動控制原理第七章z變換

1、線性離散系統(tǒng)的分析與校正線性離散系統(tǒng)的分析與校正第七章第七章栗忍栗忍 83#D10383#D103p在線性連續(xù)系統(tǒng)中，連續(xù)時間函數(shù)在線性連續(xù)系統(tǒng)中，連續(xù)時間函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s);F(s);同樣同樣在線性在線性離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)中，也可以對中，也可以對采樣信號采樣信號f f* *(t)(t)作拉氏變換作拉氏變換。課前復(fù)習(xí)課前復(fù)習(xí)- z- z變換的定義變換的定義采樣信號采樣信號f f* *(t)(t)拉氏變換拉氏變換TSez 0kkF zf kT z *0kTSkL ftFsf kT e 栗忍栗忍 83#D10383#D103課前復(fù)習(xí)課前復(fù)習(xí)-z -z變換的級數(shù)求和法

2、變換的級數(shù)求和法z z變換變換的級數(shù)求和法的級數(shù)求和法 0kkF zf kT z 1230023kkF zf kT zff T zfT zfT z例例 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù)f f（t t）的）的z z變換變換000)(ttetfat栗忍栗忍 83#D10383#D103 1230023kkF zf kT zff T zfT zfT z0,1,2,kekTfakT)(aT1aT33aT22aT1aT0kkakTatezzze11zezeze1zeeZzF)(解：解：課前復(fù)習(xí)課前復(fù)習(xí)- -級數(shù)求和法級數(shù)求和法栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1 z7.1 z變換與反變換變換與反變換 z z

3、變換部分分式法變換部分分式法 z z變換留數(shù)法變換留數(shù)法 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì) z z反變換方法反變換方法（部分分式、冪級數(shù)法、留數(shù)法）（部分分式、冪級數(shù)法、留數(shù)法）栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.27.1.2、 z z變換變換- -部分分式法部分分式法p設(shè)連續(xù)信號設(shè)連續(xù)信號f(t)f(t)沒有直接給出，但給出了沒有直接給出，但給出了f(t)f(t)的拉氏變換式的拉氏變換式F(s)F(s)，求它所對應(yīng)的求它所對應(yīng)的z z變換式變換式F(z)F(z)。首先為了進行拉氏變換，將首先為了進行拉氏變換，將F(s)F(s)寫成部分分式之和的形式，即寫成部分分式之和的形式，即：niiiss

4、AsF1)(式中，式中，n n為為F(s)F(s)的極點數(shù)目；的極點數(shù)目；A Ai i為常數(shù)，為常數(shù)，S Si i為為F(s)F(s)的極點。的極點。然后，由拉氏反變換得出然后，由拉氏反變換得出f(t)f(t)為為nitsiieAtf1)( 0kkF zf kT z栗忍栗忍 83#D10383#D103nitsiieAtf1)(對上式中的每一項，都可以利用指數(shù)函數(shù)的對上式中的每一項，都可以利用指數(shù)函數(shù)的z z變換直接寫變換直接寫出它所對應(yīng)的出它所對應(yīng)的z z變換式，這樣就得到了變換式，這樣就得到了F(z)F(z)如下：如下：aTatezzeZzF)(niTsiiezzAzF1)(指數(shù)函數(shù)指數(shù)函

5、數(shù)z z變換變換niiissAsF1)(7.1.27.1.2、 z z變換變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換如下式所示，求的拉氏變換如下式所示，求f(t)f(t)的的z z變換。變換。niTsiiezzAzF1)()()(assasFaT-aT-2-aTaT-eze1ze1zezz1zzzF)()()(assassasF11)()(解：解：由由可得可得7.1.27.1.2、 z z變換變換- -部分分式法部分分式法niiissAsF1)(栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(t)f(

6、t)的拉氏變換如下式所示，求的拉氏變換如下式所示，求f(t) )的的z z變換。變換。解：解：22)(asasFjasjjasjasasF2/12/1)(2221111cos21sin11211121)(zaTzaTzzejzejzFjaTjaTsincosiei7.1.27.1.2、 z z變換變換- -部分分式法部分分式法niiissAsF1)(栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換如下式所示，求的拉氏變換如下式所示，求f(t) )的的z z變換。變換。解：解：) 1(1)(2sssF1) 1(1)(32212sAsAsAsssF1)(02

7、1ssFsA1) 1(1)(02022ssssFsdsdA1)() 1(13ssFsA1111)(2ssssF12121112111)1 ()1 () 1(1111)1 ()(zezzTeezeTzezzTzzFTTTTT7.1.27.1.2、 z z變換變換- -部分分式法部分分式法niiissAsF1)(栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.37.1.3、 z z變換變換- -留數(shù)法留數(shù)法p若已知連續(xù)函數(shù)若已知連續(xù)函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換式的拉氏變換式F(s)F(s)及全部極點及全部極點s si i，則，則f(t)f(t)的的z z變換可用留數(shù)計算法求取，即：變換可用留數(shù)計算

8、法求取，即：iiiiiissnnisTrirriniTsisssTniezzsFssdsdrezzsFszesFszF11111111)()()!1(1)(Re11)(Re)(栗忍栗忍 83#D10383#D103式中式中 ， 為為F(s)F(s)的的n n1 1個單極點；個單極點；), 2 , 1(1nisi), 2, 1(11nnnisi 為為F(s)F(s)的的n-nn-n1 1個重極點個重極點； 為重極點為重極點 的階數(shù)；的階數(shù)；T T為采樣周期；為采樣周期；iris sRe 為極點為極點 處的留數(shù)。處的留數(shù)。iss iiiiiissnnisTrirriniTsisssTniezzsF

9、ssdsdrezzsFszesFszF11111111)()()!1(1)(Re11)(Re)(7.1.37.1.3、 z z變換變換- -留數(shù)法留數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換如下式所示，求的拉氏變換如下式所示，求f(t)f(t)的的z z變換。變換。)()(assasFassTssTassTisssTnizeassaaszeassaszeassaszesFszFi101, 01211111)()(11)(11)(Re11)(Re)()1)(1 ()1 (111111111zezzezezaTaTaT解：解：7.1.37.1.3、

10、 z z變換變換- -留數(shù)法留數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換如下式所示，求的拉氏變換如下式所示，求f(t)f(t)的的z z變換。變換。解：解：22)(asasFisssTnizesFszF1111)(Re)(jassTizeasas1222111Re21111)cos2(1)(sin11211121zzaTzaTzejzejjaTjaTjassTjassTzeasajaszeasajas12212211)(11)(7.1.37.1.3、 z z變換變換- -留數(shù)法留數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)

11、f(t)f(t)的拉氏變換如下式所示，求的拉氏變換如下式所示，求f(t)f(t)的的z z變換。變換。解：解：2)(1)(assF2112111221211111)(1)()!12(111)(1Re11)(Re)(zezTezezTezeasasdsdzeasszesFszFaTaTassTsTassTassTsssTi7.1.37.1.3、 z z變換變換- -留數(shù)法留數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.37.1.3、 z z變換變換)(t)(1 tt2/2tateattetsintcos1s121s31sas12)(1as22s22ss11zz2)1(zzT32)1(2)1(

12、zTzzaTezz2)(aTaTezzTe1sin2sin2TzzTz1cos2cos22TzzTzz栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)1 1 線性定理線性定理)()(zFtfZ若若)()(zGtgZ)()()(tgtftx)()()(zGzFzX相加與相乘相加與相乘乘以乘以 后的后的z z變換？變換？k)()(1zFkfZk)()()()(1010zFzkfzkfkfZkkkkkk證明證明： 0kkF zf kT z栗忍栗忍 83#D10383#D1032. 2.實數(shù)平移定理（位移定理）實數(shù)平移定理（位移定理）0)(0)()()(knknkk

13、znTkTfzznTkTfnTtfZ證明：證明：)()(zFznTtfZn10)()()(nkknzkTfzFznTtfZnkm令令)()()(zFzzmTfznTtfZnnmmn滯后滯后超前超前 0kkF zf kT z7.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z例：求例：求 、 、 和和 的的z z變換。變換。) 1( kf)2( kf)(nkf)(nkf 是向左移了是向左移了n n個采樣周期的序列（時間個采樣周期的序列（時間超前超前）)(nkf)(nkf)0()()1(zfzzFkfZ) 1 ()0()()2(22zffz

14、zFzkfZ) 1()2() 1 ()0()()(21nzffzfzfzzFznkfZnnnn)()(zFznkfZn 是向右移了是向右移了n n個采樣周期的序列（時間個采樣周期的序列（時間滯后滯后）7.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z3. 3.復(fù)數(shù)平移定理復(fù)數(shù)平移定理)()(zFtfZ證明：證明：)()()()(00aTkkaTkkakTatzeFzekTfzekTftfeZ)()(aTatzeFtfeZ7.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z 例例

15、 ：求：求 的的z z變換。變換。atte 211)1 (zTztZ211)1 (zezTeteZaTaTat7.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z4. 4.初值定理初值定理)()(zFtfZ存在)(limzFz)(lim)0(zFfz5. 5.終值定理終值定理)()1 (lim)(lim)(11zFzkffzk 假設(shè)當假設(shè)當k0k0時時f(k)=0f(k)=0，它的，它的z z變換變換F(z)F(z)的所有極點都在的所有極點都在單位圓內(nèi)，可能的例外是在單位圓上單位圓內(nèi)，可能的例外是在單位圓上z=1z=1處有單極點。處有單

16、極點。7.1.47.1.4、 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z例：如果例：如果 的的z z變換由下式給出，試確定其初始值變換由下式給出，試確定其初始值f(0)f(0)。)(tf)1)(1 ()1 ()(111zezzezFTT0)1)(1 ()1 (lim)(lim)0(111zezzezFfTTzz例：用終值定理確定下式的終值例：用終值定理確定下式的終值f( f( ) )。111111)(zezzFT1)111lim)1111)(1 (lim)()1 (lim)(111111111zezzezzzFzfTzTzz7.1.47.1.4、 z

17、 z變換性質(zhì)變換性質(zhì)栗忍栗忍 83#D10383#D103小結(jié)小結(jié)-z -z變換方法與性質(zhì)變換方法與性質(zhì)niTsiiezzAzF1)()()()(zGzFzX)()(aTatzeFtfeZ)(lim)0(zFfz)()1(lim)(11zFzfz栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.57.1.5、z z反變換反變換p z z變換在離散控制系統(tǒng)中所起的作用與拉氏變換在變換在離散控制系統(tǒng)中所起的作用與拉氏變換在連續(xù)控制相同中所起的作用是同樣的。連續(xù)控制相同中所起的作用是同樣的。z z反變換的符號為反變換的符號為 。F(z)F(z)的的z z反變換產(chǎn)生相應(yīng)的時間序列反變換產(chǎn)生相應(yīng)的時間序列f

18、(k)f(k)。p注意：由注意：由z z反變換獲得的僅是在采樣瞬時的時間序反變換獲得的僅是在采樣瞬時的時間序列。因而，列。因而，F(xiàn)(z)F(z)的的z z反變換獲得的僅是單值的反變換獲得的僅是單值的f(k)f(k)，而，而不是單值的不是單值的f(t)f(t)。1Z栗忍栗忍 83#D10383#D103Z Z反變換的方法反變換的方法栗忍栗忍 83#D10383#D103首先，對首先，對F(z)F(z)的分母多項式進行因式分解，并求其極點：的分母多項式進行因式分解，并求其極點：nmazazazbzbzbzbzFnnnnmmmm1111110)()()()(211110nmmmmpzpzpzbzbz

19、bzbzFp注意：若分母和分子多項式的系數(shù)都是實數(shù)的話，那注意：若分母和分子多項式的系數(shù)都是實數(shù)的話，那么任何一個復(fù)數(shù)極點或復(fù)數(shù)零點，都分別伴有共扼復(fù)數(shù)么任何一個復(fù)數(shù)極點或復(fù)數(shù)零點，都分別伴有共扼復(fù)數(shù)的極點或零點。的極點或零點。7.1.57.1.5、z z反變換反變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103p當當F(z)F(z)的極點全部是低階極點，并且至少有一個零點的極點全部是低階極點，并且至少有一個零點是在坐標原點（即是在坐標原點（即bm=0bm=0）時，一般采用的反變換求）時，一般采用的反變換求解步驟是，用解步驟是，用z z去除去除F(z)F(z)表達式的兩端，然

20、后將表達式的兩端，然后將F(z)/zF(z)/z展開成部分分式。展開后的展開成部分分式。展開后的F(z)/zF(z)/z，將是下列形式，將是下列形式nnpzapzapzazzF2211)(ipziizzFpza)(單極點單極點7.1.57.1.5、z z反變換反變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103p若若F(z)/zF(z)/z有多重極點，例如，在有多重極點，例如，在 處有二重極點處有二重極點且無其他極點，那么且無其他極點，那么F(z)/zF(z)/z將有如下形式：將有如下形式：12211)(pzcpzczzF1)(211pzzzFpzc二重極點二重極點1)(21

21、2pzzzFpzdzdc1pz 7.1.57.1.5、z z反變換反變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：試求例：試求F(z)F(z)反變換反變換f(k)f(k)。)2 . 0)(1(10)(zzzzF2 . 05 .1215 .12)(zzzzF112 . 011115 .12)(zzzF11111zZkzZ2 . 02 . 01111, 2 , 1 , 02 . 015 .12)(kkfk0)0(f10) 1 (f12)2(f4 .12) 3(f48.12)4(f解：解：7.1.57.1.5、z z反變換反變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D1

22、0383#D103例：已知例：已知z z變換變換)(1()1 ()(aTaTezzzezF式中，式中，a a為常數(shù)，且為常數(shù)，且T T為采樣周期，試用部分分式展開法為采樣周期，試用部分分式展開法求解它的求解它的z z反變換反變換f(kT)f(kT)。aTezzzzF111)(111111)(zezzFaT11111zZakTaTezeZ1111, 2 , 1 , 01)(kekTfakT解：解：7.1.57.1.5、z z反變換反變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知例：已知z z變換變換2)2(2)(zzzzF求解它的求解它的z z反變換反變換f(kT)

23、f(kT)。12112211121)(zzzzzzzzF注意：在注意：在z=0z=0處，處，F(xiàn)(z)F(z)有雙重極點。有雙重極點。00, 3 , 2 , 12211111kkzzZk7.1.57.1.5、z z反變換反變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D1032121kzZ1111kzZ, 5 , 4 , 32002210121010100000)(11kkkkkfkk, 5 , 4 , 321 , 0210)(1kkkkfk7.1.57.1.5、z z反變換反變換- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.67.1.6、z z反變換反變

24、換- -冪級數(shù)法冪級數(shù)法p把把F(z)F(z)展開成展開成z z-1 -1的無窮冪級數(shù)，以獲取的無窮冪級數(shù)，以獲取z z反變換。反變換。特點：在確定特點：在確定z z反變換閉合表達式較困難的場合，反變換閉合表達式較困難的場合，以及以及只求取只求取f(k)f(k)的前幾項的前幾項時，直接除法是很有效的。時，直接除法是很有效的。kkkzkTfzTfzTffzkTfzF)()2()()0()()(210例：試求例：試求F(z)F(z)反變換反變換f(k)f(k)，k=0,1,2,3,4k=0,1,2,3,4)2 . 0)(1(510)(zzzzF栗忍栗忍 83#D10383#D103)2 . 0)(

25、1(510)(zzzzF21212 . 02 . 11510)(zzzzzF將將F(z)F(z)寫成的寫成的 多項式之比多項式之比1z21510 zz212 . 02 . 11zz32121210zzz432168.184 .181710zzzz32217 zz4324 . 34 .2017zzz434 . 34 .18zz54368. 308.224 .18zzz5468. 368.18zz654736. 3416.2268.18zzz7.1.67.1.6、z z反變換反變換- -冪級數(shù)法冪級數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D103432168.184 .181710)(zzzzzF0)0

26、(f10) 1 (f17)2(f4 .18) 3(f68.18)4(fp由上例可見，如果僅僅希望求取序列的前幾項，由上例可見，如果僅僅希望求取序列的前幾項，直接除法可用手算來實現(xiàn)。直接除法一般不產(chǎn)生直接除法可用手算來實現(xiàn)。直接除法一般不產(chǎn)生f(k)f(k)的閉合表達式。的閉合表達式。7.1.67.1.6、z z反變換反變換- -冪級數(shù)法冪級數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D103p若若f(t)f(t)的的z z變換為變換為F(z)F(z)，則，則nizzkkizzFsdzzzFjkTf111)(Re)(21)()5 . 0)(1(5 . 0)(zzzzFnizzkizzFskTf11)(Re

27、)(215 . 0, 1)5 . 0)(1(5 . 0Reizkzzzs5 . 01)5 . 0)(1(5 . 0)5 . 0()5 . 0)(1(5 . 0) 1(zkzkzzzzzzzzk5 . 01例：例：)(5 . 01)()()(*ttkTftfTkT7.1.67.1.6、z z反變換反變換- -冪級數(shù)法冪級數(shù)法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：求例：求)()(2)(bzazzbazF的的z z反變換。反變換。nizzkizzFskTf11)(Re)(21,)()(2Reibazkbzazzbasbzkazkbzazzbabzbzazzbaaz)()(2)()()(2)()(2kkba )(2)()()(*tbatkTftfTkkT解：解：7.1.67.1.6、z z反