直接證明(綜合法、分析法)

1、直接證明?)0, 0(25babaab基本不等式何證明（必修）中，我們?nèi)缢伎迹涸跀?shù)學(xué)證法證法1 1 對于正數(shù)對于正數(shù)a,ba,b, , 有有202022ababababababab（）證法證法2 2 要證要證只要證只要證只要證只要證只要證只要證2abab2 abab02aabb20()ab因為最后一個不等式成立，因為最后一個不等式成立，故結(jié)論成立。故結(jié)論成立。直接證明（數(shù)學(xué)理論）上述兩種證法有什么異同？都是直接證明都是直接證明證法證法1 1 從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)

2、論為止為止 綜合法綜合法相同不同不同 證法證法2 2 從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件吻合為止條件吻合為止 分析法分析法綜合法綜合法 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論或所要解決的問題的結(jié)果。出所要證明的結(jié)論或所要解決的問題的結(jié)果。條件條件結(jié)論結(jié)論推理論證推理論證條件條件定理定理 公理公理定義定義P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q(順推證法、

3、由因?qū)Ч樛谱C法、由因?qū)Ч?一般地，一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）。（已知條件、定理、定義、公理等）。Q P1P1 P2P2 P3得到一個明顯得到一個明顯成立的條件成立的條件分析法分析法 (逆逆推證法、推證法、執(zhí)執(zhí)果果索索因因法法)用用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：【分析法【分析法】要證要證 只需證只需證 只需證只需證 顯然成立

4、顯然成立所以所以 結(jié)論成立結(jié)論成立格格 式式.ABC,c, b, a,C,B,A, c, b, aC,B,A,ABC1為等邊三角形為等邊三角形求證求證成等比數(shù)列成等比數(shù)列成等差數(shù)列成等差數(shù)列且且對應(yīng)的邊分別為對應(yīng)的邊分別為三個內(nèi)角三個內(nèi)角中中在在例例.CAB2,C,B,A有成等差數(shù)列由證明.CBA,ABCC,B,A所以的內(nèi)角為因為.3B,得由.acb,c, b, a2有成等比數(shù)列由.accaBcosac2cab,22222 可得由余弦定理及, 0ca,acacca,222即得再由.CA. ca從而有因此.ABC.3CBA,是等邊三角形所以得由.SCAF.F,SCE,E,SBA,BCAB,ABC

5、SA,12.22求證求證垂足為垂足為垂線垂線的的作作過過垂足為垂足為的垂線的垂線作作過過平面平面所示所示如圖如圖例例ABCSEF12.2圖圖ABCSEF12.2圖圖,AEFSCSCAF平面只需證要證證明 ,SBCAE平面只需證 ,SABBC平面只需證 .SCAF,.,ABCSA 所以上式成立可知平面由),(SCAE因為只需證 ),(BCAE因為只需證 ),(SABC因為只需證 SCEF SBAE ABBC 直接證明綜合法和分析法的推證過程如下：綜合法和分析法的推證過程如下：綜合法綜合法已知條件已知條件結(jié)論結(jié)論分析法分析法結(jié)論結(jié)論 已知條件已知條件 直接證明（練習(xí)）1.3725.求 證 ：證證只

6、需證明只需證明102 2120只需證明只需證明2 2110因為2125顯然成立，所以原不等式成立.要證要證3725.只需證明只需證明22(37 )(25) .只需證明只需證明215只需證明只需證明2125直接證明（練習(xí)）2222.tansin,tansin.(-)16.ababab若求證：222222222222222222221616(tansin)16(t(-)()() (2sin) ( (-)2tantancos)16tan(1 cos)16sintan1an)16sinta.6n.aababab abbab證：直接證明（回顧小結(jié)）分析法分析法 解題方向比較明確，解題方向比較明確， 利于尋找解題思路；利于尋找解題思路； 綜合法綜合法 條理清晰，易于表述。條理清晰，易于表述。通常以通常以分析法分析法尋求尋求思路，再用思路，再用綜合法綜合法有條理地有條理