二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分

1、推廣推廣一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 二元函數(shù)微分學(xué)二元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同二元函數(shù)微積分二元函數(shù)微積分 一、區(qū)域一、區(qū)域二、二元函數(shù)的概念二、二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的基本概念二元函數(shù)的基本概念 區(qū)域區(qū)域平面上滿足某個(gè)條件的一切點(diǎn)構(gòu)平面上滿足某個(gè)條件的一切點(diǎn)構(gòu)成的集合。成的集合。平面點(diǎn)集：平面點(diǎn)集：平面區(qū)域：平面區(qū)域：由平面上一條或幾條曲線所圍成由平面上一條或幾條曲線所圍成的部分平面點(diǎn)集稱為平面區(qū)域，的部分平面點(diǎn)集稱為平面區(qū)域，通常記作通常記作D。0 xy1邊界邊界閉區(qū)域閉區(qū)域開區(qū)域開區(qū)域0 xy)(1xy)(2xyab0 xycd)(1yx)(2yxX

2、型區(qū)域Y型區(qū)域常見區(qū)域ax bx )(1xy)(2xy由四條曲線圍成cy dy 由四條曲線圍成)(1yx)(2yx鄰域鄰域:0 xy1),(000yxP二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念一元函數(shù)一元函數(shù)二元函數(shù)二元函數(shù)定義域定義域自變量個(gè)數(shù)自變量個(gè)數(shù)一個(gè)：一個(gè)：x兩個(gè)：兩個(gè)：yx,在數(shù)軸上討論在數(shù)軸上討論（區(qū)間）（區(qū)間）在平面上討論在平面上討論（區(qū)域）（區(qū)域）一、一、 偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二二 、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對(duì)在點(diǎn)),(),(00的偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);

3、),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)x),(; ),(00100yxfyxfx;),(00yxxzxyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:0),(dd0yyyxfy lim0y),(00yxfy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對(duì) x,xzxfxz則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù), 也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如,

4、三元函數(shù)三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x , y , z) 處對(duì)處對(duì) x 的的 lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)223yyxxz解：解：xz)2, 1 (xz在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).,32yxyzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213 由偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，要求二元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)，只需將另一個(gè)自變量看做常量，然后利用一元函數(shù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可。，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr的偏

5、導(dǎo)數(shù) . 解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說(shuō)明說(shuō)明:(R 為常數(shù)) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商 !此例表明,整體記號(hào),練練 習(xí)習(xí)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是則稱它們是z = f ( x , y ) 的的

6、二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數(shù):例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1偏導(dǎo)數(shù)為11nnxz解：解： yxxyxeyxexz)(yxyyxeyxeyz)()(22xzxxz)(2xzyyxz)(2yzxxyz)(22yzyyzyxxyxeyxe)(yxyyxeyxe)(yxxyxeyxe)(yxyyxeyxe)(222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對(duì)稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrz