必修2.2.3.3直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、§必修2.2.3.3直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1 .理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理，平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能利用性質(zhì)定理解決有關(guān)問(wèn)題.2 . 了解直線與平面，平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系.學(xué)習(xí)內(nèi)容知識(shí)梳理1 .直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)百垂直于向一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)后aa Pb b圖形語(yǔ)百口二b7作用1線面垂直？線線平行；作平行線2 .平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)百兩個(gè)平囿垂直，則一個(gè)平囿內(nèi)垂直于交線的直線與另,個(gè)平囿垂直符號(hào)語(yǔ)后=1 a aa 1圖形語(yǔ)百Jaa 士作用卸圓垂直？線卸垂直； 作面的垂線題型一線面垂直性質(zhì)的應(yīng)用例1

2、如右圖所示，已知PA，矩形ABCD所在平面，M, N分別是AB,PC的中點(diǎn).(1)求證：MNLCD;(2)若/ PDA = 45°,求證：MN，平面PCD證明：(1)如圖，取PD的中點(diǎn)E,連接AE, NE,又N為PC中點(diǎn),則 NE/CD, NE=2CD.1又 AM /CD, AM=/CD, ，AM=NE.四邊形AMNE為平行四邊形.MN / AE.PA，平面 ABCD CD，PA ?CD?平面 ABCD CDXAD, PAAAD=ACD ±平面ADP ? CDXAE.AE?平面ADP MN LCD.(2)當(dāng)/ PDA=45°時(shí)，Rt PAD為等腰直角三角形,則 A

3、EXPD.X MN / AE,MN ±PD.又 PD n CD = D,MN，平面 PCD.點(diǎn)評(píng)：線面垂直是空間垂直關(guān)系的核心，是線線垂直，面面垂直，線面、面面平行相互轉(zhuǎn)化的橋梁.鞏 固 如圖，已知直線a± %直線b± 3,且AB1a, AB±b,平面 加3=c.求證：AB/c.證明：過(guò)點(diǎn)B引直線a7/ a, a與b確定的平面設(shè)為 X. a'/ a, AB±a, .-.AB±a,又 AB Lb, a'必 B, /.ABI Tb1 3, c? 3,bc.-.1 a± a, c? a,a± c.又 al

4、 a,az±c.由可彳導(dǎo)c_L下又AB_L %AB / c.題型二面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用PBC, E為垂足.(1)求證：PAL平面ABC;例2如圖，平面PABL平面 ABC,平面PACL平面 ABC, AEL平面(2)當(dāng)E為4PBC的垂心時(shí)，求證:ABC是直角三角形.13證明：利用線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)來(lái)解.(1)如圖，在平面 ABC內(nèi)取一點(diǎn) D,作DFLAC于F.平面PAC，平面ABC,且交線為 AC,.DFL平面 PAC, PA?平面 PAC, DF XAP.作DG LAB于G.同理可證 DGLAP.DG , DF都在平面 ABC內(nèi)，且 DG A DF = D , PAL平面

5、 ABC.(2)如圖，連接BE并延長(zhǎng)交PC于H. E是4PBC的垂心， PCXBE.又已知 AE是平面 PBC的垂線，PCXAE.又 BE n AE= E, . PC±平面 ABE. PC LAB.又PA，平面 ABC,PAXAB. .AB,平面 PAC. ABXAC,即 ABC是直角三角形.點(diǎn)評(píng)：證明線面垂直、面面垂直、線線垂直不要局限于一個(gè)方面，有時(shí)需考慮多種情況的綜合.改固】如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面 ABCD為矩形，PAL平面 ABCD ,點(diǎn)E在線段PC上，PC,平面 BDE.證明：BDL平面PAC;(2)若PA= 1 , AD = 2,求二面角 BPCA的正切值.

6、證明：. PA，平面 ABCD,RAXBD. PC，平面 BDE, PCXBD.又PAn PC=P, BD?平面 PAD. BD，平面 PAC.(2)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,連接OE, PCX 平面 BDE, PCXOE.又. BO,平面 PAC,PCXBO. .PC,平面 BOE.1. PCX BE.丁./ BEO為二面角 BPCA的平面角. . BD,平面 PAC,BDXAC,四邊形ABCD為正方形，BO=72.在APAC 中，OE-= PA? OB = 1? OE= ，OC AC 2 33 .tan/ BEO = OO,= 3. 二面角BPCA的平面角的正切值為 3.題型三綜合應(yīng)用DAB

7、= 60°例3 如右圖所示，在四棱錐 PABCD中，底面ABCD且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ,(1)求證：ADXPB;(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱上找到一點(diǎn)F,使平面DEF，平面ABCD ,并證明你的結(jié)論.(1)證明：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG,. PAD 為正三角形，PGXAD.在菱形 ABCD中，Z DAB =60°, G為AD的中點(diǎn)， BGXAD.又 BGAPG=G,，AD，平面 PGB.,. PB?平面 PGB, ADXPB.(2)解析：當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面 DEF ±平面 ABCD.取PC的中點(diǎn)F,

8、連接DE, EF, DF,在 4PBC 中，F(xiàn)E/PB.在菱形 ABCD 中，GB / DE ,而 FE ?平面 DEF , DE?平面 DEF , EF n DE = E.PB?平面 PGB, GB?平面 PGB, PBAGB=B, 平面 DEF /平面PGB.由(1)得PGL平面 ABCD,而PG?平面PGB, 平面PGBL平面 ABCD, 平面DEFL平面ABCD.點(diǎn)評(píng)：空間問(wèn)題化成平面問(wèn)題是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本原則，解題時(shí)要抓住幾何圖形自身的特點(diǎn)， 如等腰(邊)三角形的三線合一、中位線定理、菱形的對(duì)角線互相垂直等等，還可以通過(guò)解三角形，產(chǎn)生一些題目所需要的條件.對(duì) 于一些較復(fù)雜的

9、問(wèn)題，注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題.鞏 固】 如圖，在三棱錐 PABC中，F(xiàn)AB是等邊三角形，ZFAC = Z PBC= 90°.(1)證明：ABXPC;（2）若PC=4,且平面 PAC，平面PBC,求三棱錐 PABC的體積.證明：（1）因?yàn)?PAB是等邊三角形，所以 PB=FA,因?yàn)?/FAC=/ PBC=90°,PC= PC,所以 RtAPBCRtAPAC,所以AC=BC.如圖，取AB中點(diǎn)D,連接PD, CD,則 PDXAB, CDXAB,又因?yàn)?PD n CD = D ,所以 AB,平面 PDC ,所以 ABXPC.(2)解析：作BEPC,垂足為E,連接AE.因?yàn)?RtA

10、PBCRtAPAC,所以 AEXPC, AE= BE.由已知，平面 PAC，平面PBC,故/AEB=90°.因?yàn)?AEB=90°, Z PEB = 90°, AE = BE, AB = PB,所以RtAAEBRtABEP,所以AEB, APEB, CEB都是等腰直角三角形.由已知 PC=4,得AE=BE=2, 4AEB的面積S= 2.因?yàn)镻C,平面AEB,所以三棱錐PABC的體積V= 1 S PC = 8. 33綜合題庫(kù)A組1 .若直線a,直線b,且a,平面“，則有（）A. b/ aB. b? aC. b± aD. b/ a 或 b? a2 .兩個(gè)平面互

11、相垂直，一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面（）A .垂直B.平行C.平行或相交D.平行或相交或直線在另一個(gè)平面內(nèi)3 .若直線1，平面a,直線m?平面3,有下列四個(gè)命題：“/僅 Um 也僅1 / m 1 / m? 3 吐m? a/ 3其中正確的命題的序號(hào)是（）A. B. C. D.4.如圖,?ADEF的邊AF垂直于平面ABCD, AF = 2, CD = 3,則 CE =B組1 .若直線a與平面a不垂直，那么在平面 a內(nèi)與直線a垂直的直線（）A .只有一條B .有無(wú)數(shù)條C.是平面a內(nèi)的所有直線D.不存在2 .如圖，PAL平面ABCD,且四邊形 ABCD為矩形，下列結(jié)論中不正確的是 （）A. PBX

12、BCB. PDXCDC. POXBDD. PAXBD3 .圓。的半徑為4, PO垂直圓O所在的平面，且 PO=3,那么點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的距離是 4 .平面平面3,直線all %則a與3的位置關(guān)系為 5 .設(shè)a, b, c表不二條直線，a, 3表布兩個(gè)平面，下列命題中不正確的是（）a_L aA. ? a1 3 a/ 3a_L aB. b； ? a±ba_L 3b / cC. b? a ? c / aC? aa / aD. b, ? b± a1 .關(guān)于直線m, n與平面a, 3,有以下四個(gè)命題： m/ a,若 m H a, n II 3 且 all 3,則 m” n 若 m

13、77; a, n± 3 且 a± &則 m± n m，a, n II 3 且 all 3,則 m± nn± 3且 a± 3,貝U m “ n其中真命題的序號(hào)是（）A.B.C.D.2 .已知， ABC所在平面外一點(diǎn) V VB，平面 ABC,平面 VAB，平面 VAC.求證：AC ± BA.3 .如下圖（左）所示，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形 ABC中，D, E分別是AB, AC邊上的點(diǎn)，AD = AE, F是BC的中2點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G,將4ABF沿AF折起，得到如下圖（右）所小的二棱錐 ABCF,其中BC = 2.證明

14、：DE/平面BCF;解析：在等邊三角形ABC中,AD=AE,AD=斐，在折疊后的三棱錐DB ECABCF中也成立,DE / BC.又.皮?平面BCF, BC?平面DE / 平面 BCF.（2）證明CFL平面ABF.解析：在等邊三角形ABC中,F是BC的中點(diǎn)，所以 AFXBC,即AF ± CF ,且 bf =CF=12.在三黏淮ABCF中，BC = ¥，BC2=BF2+CF2.CF，BF .，BFnAF = F,，CF，平面 ABF.3 一當(dāng)AD = 2時(shí)，求二棱錐 FDEG的體積Vf deg.解析：由(1)可知，GE/CF,結(jié)合(2)可得GEL平面DFG.VFDEG=VEDFG=3X2XDGXFGXGE=3X2X3X 整當(dāng) x/騎歸納總結(jié)1 . (1)直線與平面垂直的性質(zhì)：定義：若a± % b? %則a±b;性質(zhì)定理：a