剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

1、關(guān)于剛體定軸轉(zhuǎn)動定律現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁，共36頁復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)質(zhì)點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)的角動量力矩力矩FrM LrmvsinLrmv 角動量定理角動量定理dLMdt角動量守恒定律角動量守恒定律若若0ML常常矢矢量量sinMrF 00ttMdtLL現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁，共36頁本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容1 1 剛體的運(yùn)動剛體的運(yùn)動2 2 剛體的角動量剛體的角動量3 3 剛體受到的力矩剛體受到的力矩4 4 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律5 5 剛體的動能定理剛體的動能定理6 6 剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁，共36頁6.1 6.1 剛體的運(yùn)動與描述剛體的運(yùn)動與描述 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動只代表

2、物體的平動，物體實(shí)際上是有形質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動只代表物體的平動，物體實(shí)際上是有形狀、大小的，它可以平動、轉(zhuǎn)動，甚至更復(fù)雜的運(yùn)動。狀、大小的，它可以平動、轉(zhuǎn)動，甚至更復(fù)雜的運(yùn)動。因此，對于機(jī)械運(yùn)動的研究，只限于質(zhì)點(diǎn)的情況是不夠因此，對于機(jī)械運(yùn)動的研究，只限于質(zhì)點(diǎn)的情況是不夠的。的。 剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，無論在多大外力作用下，剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，無論在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變。即物體的形狀、系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變。即物體的形狀、大小都不變的固體稱為剛體（大小都不變的固體稱為剛體（rigid body ）。）。 剛體考慮了物體的形狀和大小，但不考慮它的形變，

3、剛體考慮了物體的形狀和大小，但不考慮它的形變，剛體同質(zhì)點(diǎn)一樣，也是一個(gè)理想化模型。剛體同質(zhì)點(diǎn)一樣，也是一個(gè)理想化模型?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁，共36頁一、剛體的運(yùn)動一、剛體的運(yùn)動 固聯(lián)在剛體上的任一條固聯(lián)在剛體上的任一條直線，在各個(gè)時(shí)刻的位置始直線，在各個(gè)時(shí)刻的位置始終保持彼此平行的運(yùn)動，叫終保持彼此平行的運(yùn)動，叫做剛體的平動。做剛體的平動。 1.平動平動 剛才的動畫演示了一個(gè)圓柱體的平動。在運(yùn)動過剛才的動畫演示了一個(gè)圓柱體的平動。在運(yùn)動過程中，我們看到，剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的位移都是相同的。程中，我們看到，剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的位移都是相同的。 而且在任何時(shí)刻，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度也都而且在任何時(shí)刻，各個(gè)

4、質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度也都相同。這時(shí)我們可以選取剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動來代表相同。這時(shí)我們可以選取剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動來代表剛體的運(yùn)動。剛體的運(yùn)動。 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁，共36頁2.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 如果剛體上所有各點(diǎn)繞同一如果剛體上所有各點(diǎn)繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運(yùn)動，則稱直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運(yùn)動，則稱為剛體的轉(zhuǎn)動。為剛體的轉(zhuǎn)動。 轉(zhuǎn)動時(shí)，軸外各點(diǎn)轉(zhuǎn)動時(shí)，軸外各點(diǎn)在同一時(shí)間間隔內(nèi)走過在同一時(shí)間間隔內(nèi)走過的弧長雖然不一樣，但的弧長雖然不一樣，但角位移全同。角位移全同?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁，共36頁固定轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸不隨時(shí)間變化固定轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸不隨時(shí)間變化 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸隨時(shí)間變化瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸隨時(shí)

5、間變化 一般轉(zhuǎn)動一般轉(zhuǎn)動現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁，共36頁3.剛體的一般運(yùn)動剛體的一般運(yùn)動 例如，一個(gè)車輪的滾動，例如，一個(gè)車輪的滾動，可以分解為車輪隨著轉(zhuǎn)軸的可以分解為車輪隨著轉(zhuǎn)軸的平動和整個(gè)車輪繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)平動和整個(gè)車輪繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動。動。 在研究剛體一般運(yùn)動時(shí)，我們一般將它分解為質(zhì)在研究剛體一般運(yùn)動時(shí)，我們一般將它分解為質(zhì)心的平動（應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理）和剛體繞過質(zhì)心軸的心的平動（應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理）和剛體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動（應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律）。轉(zhuǎn)動（應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律）?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁，共36頁一個(gè)汽車輪子在一個(gè)汽車輪子在地上的滾動地上的滾動A、B、C、各點(diǎn)的運(yùn)各點(diǎn)的運(yùn)動都不相同動都不相同繞過o 軸的轉(zhuǎn)動oA

6、BCo o輪子的平動ABCoABCoABABCCo剛體的運(yùn)動平動轉(zhuǎn)動剛體的運(yùn)動平動轉(zhuǎn)動平動：剛體上所有點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)都相同平動：剛體上所有點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)都相同轉(zhuǎn)動：各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動轉(zhuǎn)動：各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁，共36頁二二. 剛體平動的描述剛體平動的描述 剛體的平動剛體的平動可用質(zhì)心運(yùn)動來代表整體的運(yùn)動可用質(zhì)心運(yùn)動來代表整體的運(yùn)動1。質(zhì)心的位矢。質(zhì)心的位矢設(shè)設(shè)N N個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)m m1 1, ,m m2 2, , ,m mN N， 對應(yīng)的位矢對應(yīng)的位矢Nrrr21, iiicmrmr iicxmMx1定義定義：質(zhì)心的位矢質(zhì)心的位矢 iicymMy1 iiczmMz1 xdmMxc1 y

7、dmMyc1 zdmMzc1質(zhì)心質(zhì)心 重心重心現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁，共36頁2。質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心的速度質(zhì)心的速度：dtrdVcc )1(iirmMdtd dtrdmMii 1iivmM 1質(zhì)心的加速度質(zhì)心的加速度：dtVdacc )1(iivmMdtd dtvdmMii 1iiamM 1設(shè)設(shè)m mi i 受力受力內(nèi)內(nèi)外外、iifF則：則：iiiifFam 對所有質(zhì)點(diǎn)求和對所有質(zhì)點(diǎn)求和： iiiifFam0合外合外F MMcaMF 合合外外 質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理即：質(zhì)心運(yùn)動如同一質(zhì)點(diǎn)，只是將質(zhì)量全部集中于該點(diǎn)，即：質(zhì)心運(yùn)動如同一質(zhì)點(diǎn)，只是將質(zhì)量全部集中于該點(diǎn)， 所受的力是質(zhì)點(diǎn)系受的

8、所有外力。所受的力是質(zhì)點(diǎn)系受的所有外力。注：注：質(zhì)心上可能既無質(zhì)量，又未受力。質(zhì)心上可能既無質(zhì)量，又未受力。 iiicmrmr2現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁，共36頁角位置角位置角速度角速度dtdtt lim0角加速度角加速度220limtddtdtdt pro轉(zhuǎn) 動 平轉(zhuǎn) 動 平面面三三. 剛體（定軸）轉(zhuǎn)動的角量描述剛體（定軸）轉(zhuǎn)動的角量描述現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁，共36頁6.2 6.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律一一. 剛體定軸轉(zhuǎn)動所受力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動所受力矩 力矩力矩一般定義一般定義：FrM M此處此處即可是對某點(diǎn)也可是對某軸而言即可是對某點(diǎn)也可是對某軸而言當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，力矩就當(dāng)剛

9、體作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，力矩就可以用標(biāo)量來表示?？梢杂脴?biāo)量來表示。o o 習(xí)慣上習(xí)慣上把定軸用把定軸用z表示表示力矩力矩表示為表示為zM現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁，共36頁o o .P1） 在垂直在垂直o o o o 的平面內(nèi)的平面內(nèi)FF sinMrF2） 不在垂直不在垂直o o o o 的平面內(nèi)的平面內(nèi)Fo o .PrrFF/F/FFF對剛體繞對剛體繞o o 軸軸轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)計(jì)算力矩時(shí)只需考慮計(jì)算力矩時(shí)只需考慮 的力矩的力矩F 總可分解成兩個(gè)分量總可分解成兩個(gè)分量：FFroor5zziMM合外力矩合外力矩現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁，共36頁o o FFF r1 。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的情況。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的情況 F nF

10、法向力法向力nF對軸的矩為零對軸的矩為零切向力切向力Fmamr 對軸的矩對軸的矩2zMrFmr 二二. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律見右下平面圖見右下平面圖現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁，共36頁（剛體類似于多質(zhì)點(diǎn)系剛體類似于多質(zhì)點(diǎn)系）設(shè)某剛體繞固定軸設(shè)某剛體繞固定軸Z Z軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動Zmi取質(zhì)量元取質(zhì)量元m mi i，其到轉(zhuǎn)軸的距離其到轉(zhuǎn)軸的距離 r ri iiriFifi i 受力如圖示受力如圖示， 根據(jù)牛頓定律根據(jù)牛頓定律：iiiiamfF各質(zhì)元加速度不同各質(zhì)元加速度不同，但角加速度相同但角加速度相同 iiiiiiamfFsinsin用用 r ri i乘以上式：乘以上式： iiiiiiiiia

11、rmfrFrsinsin ra 2sinsiniiiiiiiirmfrFr將所有質(zhì)元相加：將所有質(zhì)元相加： 2sinsiniiiiiiiirmfrFrfifj0|iiFr )(2iirmM 合合外外ro2。連續(xù)質(zhì)量分布剛體的情況。連續(xù)質(zhì)量分布剛體的情況現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁，共36頁定義定義2iirmJM合合外外 )(2iirm剛體對定軸（剛體對定軸（z z 軸）的軸）的 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量則有則有zdMJJdt 定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律由由zMJ 與牛頓定律比較與牛頓定律比較：MJ 或或amF aJ mFMm 反映質(zhì)點(diǎn)的平動慣性反映質(zhì)點(diǎn)的平動慣性J 反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性現(xiàn)在學(xué)習(xí)的

12、是第十七頁，共36頁3。理解注意。理解注意是是合外力矩合外力矩 這條定律表明，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，它的角加速度與這條定律表明，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，它的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比。量成反比。JdJdtzdLdt1nziziMM 內(nèi)力矩成對抵消，不能改變剛體的角動量，因而不內(nèi)力矩成對抵消，不能改變剛體的角動量，因而不能改變剛體的角速度。能改變剛體的角速度。這是角動量定理在剛體定軸轉(zhuǎn)動情形下的特例這是角動量定理在剛體定軸轉(zhuǎn)動情形下的特例（1）zM（2）（3）現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁，共36頁質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)

13、量離散分布質(zhì)量離散分布對剛體定義對剛體定義轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量單質(zhì)點(diǎn)單質(zhì)點(diǎn)單位：單位：kgm22Jr dm2Jr dm2i iiJm r質(zhì)量元質(zhì)量元dm第第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量imr 到轉(zhuǎn)軸的距離到轉(zhuǎn)軸的距離dmir 到轉(zhuǎn)軸的距離到轉(zhuǎn)軸的距離im2Jmr三三. 轉(zhuǎn)動慣量及計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量及計(jì)算現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁，共36頁質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布 、 、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布線分布體分布體分布面分布面分布 只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分

14、布的剛體才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量。體才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量。dmdl dmdsdmdV現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁，共36頁 如圖套兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的細(xì)桿長如圖套兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的細(xì)桿長l ， 桿繞空端轉(zhuǎn)動，桿繞空端轉(zhuǎn)動，分析整個(gè)系統(tǒng)繞分析整個(gè)系統(tǒng)繞 o 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。將兩質(zhì)點(diǎn)換位再點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。將兩質(zhì)點(diǎn)換位再作計(jì)算。作計(jì)算。解：普通物理學(xué)教案例題1 ：o 2mm由由2i iiJm r232ml( )22122lJmmlo m 2m 294ml( )22222lJmml結(jié)論：結(jié)論：21JJ現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁，共36頁 J 與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)與剛體的質(zhì)量分布有關(guān) J 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)

15、因?yàn)橘|(zhì)量分布是對轉(zhuǎn)軸而言的，上例也可看作因?yàn)橘|(zhì)量分布是對轉(zhuǎn)軸而言的，上例也可看作質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸越遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動慣量越大。質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸越遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動慣量越大。 形狀和轉(zhuǎn)軸確定后，形狀和轉(zhuǎn)軸確定后，J 與剛體的質(zhì)與剛體的質(zhì)量有關(guān)量有關(guān)AlFe討論討論影響轉(zhuǎn)動慣量的因素影響轉(zhuǎn)動慣量的因素現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁，共36頁 求長為求長為L、質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的均勻細(xì)棒對端點(diǎn)軸和的均勻細(xì)棒對端點(diǎn)軸和中垂軸的轉(zhuǎn)動慣量。中垂軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題2 ：ABL/2L/2Cx取如圖坐標(biāo)取如圖坐標(biāo)取質(zhì)量元取質(zhì)量元dmdx ABLxdm/22103LJxdxmL /2222212LLJxdxm L 12JJ現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二

16、十三頁，共36頁 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m 、半徑為、半徑為R 的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：普通物理學(xué)教案例題3 ：取質(zhì)量元取質(zhì)量元dmdx 2mR2Rdm2JR dmORdm現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十四頁，共36頁 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m 、半徑為半徑為R 均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：普通物理學(xué)教案例題4 ：這樣的一個(gè)圓盤可以視這樣的一個(gè)圓盤可以視為半徑不等的有寬度的為半徑不等的有寬度的圓環(huán)拼接而成。圓環(huán)拼接而成。任取其中一環(huán)任取其中一環(huán)2dmrdr利用前例環(huán)的轉(zhuǎn)動慣

17、量結(jié)果利用前例環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量結(jié)果32 r dr 2dJr dm412R302Rr dr JdJ2mR 212JmRRrdr現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十五頁，共36頁 內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為 R1 外半徑為外半徑為 R2 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)的勻質(zhì)中空圓柱繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量。中空圓柱繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題5 ：1R2R()22212mrdrRR 2dmrdr ()21222212RRmJrrdrRR ()222112m RR現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十六頁，共36頁 質(zhì)量為質(zhì)量為m 半徑為半徑為R 的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題6 ：s

18、inR d 在球面取一圓環(huán)帶，在球面取一圓環(huán)帶，半徑半徑sinrR 224mdmrRdR 2Jr dmsin22302 mRd 223mR現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十七頁，共36頁 質(zhì)量為質(zhì)量為m 半徑為半徑為R 的勻質(zhì)球體繞過球心軸的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題7 ：MR把球體看作無數(shù)個(gè)同心薄球殼的組合把球體看作無數(shù)個(gè)同心薄球殼的組合 23443mdmr drR 233mr drRJdJ223dm r4302Rmr drR225mR現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十八頁，共36頁 如圖所示，滑輪半徑為如圖所示，滑輪半徑為r 。 （設(shè)繩與滑輪間（設(shè)繩與滑輪間無相對滑動）無相對滑動）若

19、若m2與桌面間的摩擦系數(shù)為與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度求系統(tǒng)的加速度a 及張力及張力 T1 與與 T2；若桌面光滑，再求。若桌面光滑，再求。解：普通物理學(xué)教案例題8：2m2T1T1mJ1m g2m g 力和力矩分析、力和力矩分析、方法方法1 1 按隔離法按隔離法建坐標(biāo)建坐標(biāo)y0對質(zhì)點(diǎn)用牛頓定律對質(zhì)點(diǎn)用牛頓定律對剛體用轉(zhuǎn)動定律對剛體用轉(zhuǎn)動定律ar 222Tm gm a 12TrT rJ 111m gTm a限制性條件限制性條件現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十九頁，共36頁12212/mmagmmJ r 解得：解得：22211212(/)/mmJ rTm gmmJ r 21122212(/)/mmJ r

20、Tm gmmJ r 若桌面光滑，摩擦力矩為零若桌面光滑，摩擦力矩為零現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十頁，共36頁2m2T1T1mJ1m g2m g y0解法解法2由系統(tǒng)角動量定理由系統(tǒng)角動量定理取取m1 、m2 、 J 為系統(tǒng)為系統(tǒng)外力矩外力矩系統(tǒng)的角動量系統(tǒng)的角動量12 Mm grm gr 2212Lm rm rJ （任一時(shí)刻）（對滑輪轉(zhuǎn)軸）（任一時(shí)刻）（對滑輪轉(zhuǎn)軸）現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十一頁，共36頁由角動量定理由角動量定理dLMdt12 m grm gr 2212()dm rm rJdt 由由解得：解得：221212() m grm grm rm rJ /a r 12212/mmagmmJ r 再由牛頓定律可得張力。再由牛頓定律可得張力。2m2T1T1mJ1m g2m g y0這也是定軸轉(zhuǎn)動定律這也是定軸轉(zhuǎn)動定律(整體分析方法整體分析方法)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十二頁，共36頁一根一根均質(zhì)細(xì)桿（均質(zhì)細(xì)桿（ m 、L ），一端可在豎直平面內(nèi)），一端可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。桿最初靜止在水平位置，由此下擺自由轉(zhuǎn)動。桿最初靜止在水平位置，由此下擺 角角求角