選修2-1-空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、選修2-1 第3章 空間向量與立體幾何1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。 注：1向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。 2空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下如圖。 ;運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3. 共線向量。1如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。當(dāng)我們說向量、共線或/時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。2共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、

2、，/存在實(shí)數(shù)，使。 4. 共面向量 1定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。2共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的條件是存在實(shí)數(shù)使。5. 空間向量根本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。假設(shè)三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，那么對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使。 6.空間兩向量的夾角：兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，兩個(gè)向量的起點(diǎn)一定要相同，那么叫做向量與的夾角，記作，且。7. 空間向量的直

3、角坐標(biāo)系： 1空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)。(2) 右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90°角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向；3假設(shè)空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示。4空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：假設(shè)，那么， ，或。假設(shè)，那么。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。5模長公式：假設(shè)，那么，6夾角公式：。7兩點(diǎn)間的距離公式：假設(shè)，那么，或

4、 8空間線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)：9球面方程：8. 空間向量的數(shù)量積。1空間向量的夾角及其表示：兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，那么叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；假設(shè)，那么稱與互相垂直，記作：。2向量的模：設(shè)，那么有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。3向量的數(shù)量積：向量，那么叫做的數(shù)量積，記作，即。4空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：。=，5空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：。交換律。分配律。9、 空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用：1證明，即證明，也就是證明或2證明，即證明，也就是證明3證明平面或在面內(nèi)，即證明垂直于平面的法向量或證明與平面內(nèi)的基底共面；4證明，即證明平行于平面的法向量或證明垂直于平面內(nèi)的兩條相

5、交的直線所對(duì)應(yīng)的向量；5證明兩平面或兩面重合，即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的法向量垂直于另一個(gè)平面；6證明兩平面，即證明兩平面的法向量垂直或一個(gè)面的法向量在另一個(gè)面內(nèi)。10. 運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題的步驟：1建坐標(biāo)系，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)2求相關(guān)向量的坐標(biāo)3運(yùn)用向量運(yùn)算解題11. 用向量方法來解決立體幾何中的空間角的問題：（1） 兩條直線的夾角：設(shè)直線的方向向量分別為，兩直線,所成的角為(),=（2） 直線與平面的夾角： 設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，直線與平面所成的角為(),=；（3） 二面角： 1 方向向量法： 2 法向量法：法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同

6、出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角12. 利用“方向向量與“法向量來解決距離問題.（1） 點(diǎn)與直線的距離：（2） 點(diǎn)到平面的距離：d=.如圖A空間一點(diǎn)P到平面的距離為d,平面的一個(gè)法向量為,且與不共線,分析:過P作PO于O,連結(jié)OA. 那么d=|= ,. cosAPO=|cos|.d=|cos|=.（3） 異面直線間的距離： a,b是異面直線,CD為a,b的公垂線,A，B分別在直線a,b上 （4） 其它距離問題：1 平行線的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離2 直線與平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離3 平面與平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離13.補(bǔ)充： 1 三余弦定理 設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，且BCAC，垂足

7、為C，又設(shè)AO與AB所成的角為， AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為那么. 2三射線定理假設(shè)夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,與二面角的棱所成的角是，那么有 ;(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立). 3點(diǎn)到直線距離(點(diǎn)在直線上，直線的方向向量a=，向量b=). 4異面直線上兩點(diǎn)距離公式 . (兩條異面直線a、b所成的角為，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，,). 5三個(gè)向量和的平方公式 6長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,那么有.立體幾何中長方體對(duì)角線長的公式是其特例. 7面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為). 8斜棱柱的直截面斜棱柱的側(cè)棱長是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,那么. 9歐拉定理(歐拉公式) (簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).1 =各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,假設(shè)每個(gè)面的邊數(shù)為的多邊形，那么面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：2 假設(shè)每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，那么頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：. (10) 球的組合體1 球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對(duì)角線長.2 球與正方體