畫法幾何問題分析與求解方法1

1、第四講畫法幾何問題分析與求解方法浙江大學(xué) 施岳定一、 概 述1 基本作圖題求解方法2 綜合作圖題求解方法3 輔助平面法、輔助球面法和投影變換法概述基本作圖題求解方法概述基本作圖題求解方法1 基本作圖題求解方法 基本作圖題一般是單純的平行、相交、垂直作圖題，滿足的條件比較單一，作圖過程比較簡單。 按問題性質(zhì)可以分為三類，即平行問題、相交問題、垂直問題。概述基本作圖題求解方法概述基本作圖題求解方法基本作圖題解題應(yīng)注意： 熟悉平行、相交、垂直的有關(guān)幾何定理及交點(diǎn)、交線的性質(zhì)和基本求法，它們是解題的依據(jù)。 對(duì)問題中各幾何元素的相對(duì)位置進(jìn)行空間分析，對(duì)各幾何元素與投影面之間的相對(duì)位置進(jìn)行投影分析，如幾何

2、元素與投影面處于特殊位置，則應(yīng)充分利用其特殊的投影特性，如積聚性、反映實(shí)長、反映直角等，以簡化作圖。概述基本作圖題求解方法概述基本作圖題求解方法基本作圖題解題應(yīng)注意： 有些問題的作圖步驟可能由若干個(gè)，如往往包含求一般位置的直線與平面的交點(diǎn)等，但這些步驟是固定的，主要是作圖時(shí)要細(xì)心，避免出錯(cuò)?；咀鲌D題：l 求一般位置直線與一般位置平面的交點(diǎn)；l 過點(diǎn)作平面的垂線；l 過點(diǎn)作直線平行已知平面且與以知直線相交。概述綜合作圖題求解方法概述綜合作圖題求解方法2 綜合作圖題求解方法 在解題過程中需綜合運(yùn)用點(diǎn)、線、面之間相對(duì)位置的概念和基本作圖方法求解的綜合題，一般要求滿足的條件和基本作圖方法在兩個(gè)以上，

3、空間關(guān)系和作圖過程也比較復(fù)雜。 按題目的性質(zhì)來分，點(diǎn) 、線、面綜合作圖題可分為四類：相對(duì)關(guān)系題、距離題 、角度題 、綜合題 。概述綜合作圖題求解方法概述綜合作圖題求解方法2 綜合作圖題求解方法 軌跡法 就是先根據(jù)已知條件和題目要求進(jìn)行空間分析，分別作出滿足題目各個(gè)要求的軌跡，然后求出這些軌跡間的交點(diǎn)或交線，即得所求解答，可見求交是一個(gè)基本解題工具。 逆推法 則是先假設(shè)最后解答已經(jīng)作出，然后應(yīng)用有關(guān)的幾何定理進(jìn)行空間分析和邏輯推理，找出最后解答和已知條件之間的幾何關(guān)系，并由此得到解題的方法和步驟。概述綜合作圖題求解方法概述綜合作圖題求解方法（1）直線與平面垂直l 若一直線分別垂直于定平面上的一對(duì)

4、相交直線，則該直線垂直于定平面。l 為便于解題，取這一對(duì)相交直線為平面上的一對(duì)投影面平行線，根據(jù)直角投影定理，得到直線與平面垂直時(shí)垂線的投影特性。概述綜合作圖題求解方法概述綜合作圖題求解方法概述綜合作圖題求解方法概述綜合作圖題求解方法直線與平面垂直l 垂線MN的正面投影mn垂直于平面上正平線C的正面投影c2；l 垂線MN的水平投影mn垂直于平面上水平線A的水平投影a1；l 同理，垂線的側(cè)面投影垂直于平面上側(cè)平線的側(cè)面投影。概述綜合作圖題求解方法概述綜合作圖題求解方法（2）平面與平面垂直l 若一平面通過另一平面的垂線，則兩平面互相垂直。l 若兩平面垂直，則由第一平面向第二平面所作的垂線必在第一平

5、面內(nèi)。概述輔助平面法、輔助球概述輔助平面法、輔助球面法和投影變換法面法和投影變換法3 輔助平面法、輔助球面法和投影變換法 輔助平面法和輔助球面法都是通過輔助面將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為直接可解的簡單問題，輔助平面法應(yīng)用較廣，幾乎貫穿畫法幾何始終。 輔助球面法主要應(yīng)用于立體與立體求交。概述輔助平面法、輔助球概述輔助平面法、輔助球面法和投影變換法面法和投影變換法3 輔助平面法、輔助球面法和投影變換法 投影變換法是一種相對(duì)統(tǒng)一的解析方法，它通過投影面的變換，保持幾何元素之間的關(guān)系不變，而通過幾何元素與投影面之間的相對(duì)位置，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為直接可解的簡單問題。 若通過幾何元素變化從而改變幾何元素與投影面之間的相

6、對(duì)位置，則稱為旋轉(zhuǎn)變換法。二、 軌跡法和逆推法1 相對(duì)關(guān)系題2 距離題3 角度題4 其他類綜合題綜合作圖題求解題應(yīng)注意： 必須對(duì)題目中各幾何元素進(jìn)行投影分析，如果幾何元素相對(duì)投影面處于特殊位置，充分利用其特殊的投影特性，以簡化作圖。 點(diǎn)、線、面綜合作圖題都由若干個(gè)作圖步驟，而每一個(gè)作圖步驟通常就是一個(gè)基本作圖題，所以熟練掌握各種基本作圖題的作法是求解點(diǎn)、線、面、綜合作圖題的重要基礎(chǔ)。 同一個(gè)題目，由于思路不同，可能有不同的解題方法，應(yīng)多作分析比較，選用最簡便的方法求解。軌跡法和逆推法相對(duì)關(guān)系題軌跡法和逆推法相對(duì)關(guān)系題例2-1 過點(diǎn)M作一平面垂直于ABC，且平行于直線DE。 相對(duì)關(guān)系題軌跡法和逆

7、推法相對(duì)關(guān)系題軌跡法和逆推法相對(duì)關(guān)系題mnc1，mna2，m kde，mkde,則MNABC，MKDE平面MNK即為所求。 軌跡法和逆推法相對(duì)關(guān)系題軌跡法和逆推法相對(duì)關(guān)系題例2-2 過M點(diǎn)作直線MN同時(shí)與ABC及EFG平行。逆推法：先求逆推法：先求兩平面的交線兩平面的交線軌跡法：過軌跡法：過M作兩已知平面作兩已知平面的平行面的平行面軌跡法和逆推法相對(duì)關(guān)系題軌跡法和逆推法相對(duì)關(guān)系題分析一（逆推法）分析一（逆推法）： 假設(shè)要求的直線MN已作出，則根據(jù)幾何定理直線MN必平行于ABC與EFG的交線KL，因此要求直線MN，只要先求出ABC與EFG的交線KL，然后過M點(diǎn)作直線平行交線KL即可。軌跡法和逆推

8、法相對(duì)關(guān)系題軌跡法和逆推法相對(duì)關(guān)系題分析二（軌跡法）：分析二（軌跡法）： 所求解MN軌跡之一為過點(diǎn)M且與ABC平行的平面；軌跡之二為過點(diǎn)M且與EFG平行的平面，兩軌跡平面之交線即為所求。 軌跡法和逆推法相對(duì)關(guān)系題軌跡法和逆推法相對(duì)關(guān)系題作圖：作圖：（1）用三面共點(diǎn)原理作輔助平面P、R，求出ABC與EFG的交線KL。（2）過點(diǎn)M作直線MN/KL即為所求。軌跡法和逆推法距離題軌跡法和逆推法距離題距離題 距離題又分定距離題和等距離題，其分析和解題方法是不同的。定距離題除簡單的已知幾何元素的距離外，主要是根據(jù)已知幾何元素按要求的距離作出另一幾何元素或幾何元素所缺的投影，通常用軌跡法分析求解，等距離題一

9、般都用軌跡法分析求解。 軌跡法和逆推法距離題軌跡法和逆推法距離題例23 已知點(diǎn)K到ABC的距離為20mm，求點(diǎn)K的正面投影k。 K點(diǎn)的軌跡？軌跡法和逆推法距離題軌跡法和逆推法距離題分析：分析：點(diǎn)K的軌跡是與ABC距離為20mm的平面P，點(diǎn)K既在平面P內(nèi)，即可用平面內(nèi)求點(diǎn)的作圖方法求出所缺投影k。軌跡法和逆推法距離題軌跡法和逆推法距離題l 過ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，例如點(diǎn)A，作直線AMABC（amcf，amag）。l 求線段AM的實(shí)長aM0。l 在aM0M上截取20mm，得N0。l 在AM上求出點(diǎn)N。l 過N點(diǎn)作軌跡平面P（由N、N二相交直線決定，圖中N/AB，N/AC）。l 在平面P內(nèi)，根據(jù)點(diǎn)K水平

10、投影k即可求出正面投影k。作圖：作圖：軌跡法和逆推法距離題軌跡法和逆推法距離題歸納：歸納： 求解這一類問題時(shí)，一般都要作與已知平面平行且定距離的軌跡平面，而要作出此軌跡平面，需把兩平面間的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，具體作圖方法是先在已知平面內(nèi)任取一點(diǎn)，并過此點(diǎn)作已知平面的垂線，然后在所作垂線上用直角三角形法截取要求距離的實(shí)長及投影，得到距離的另一端點(diǎn)，最后再過此點(diǎn)作已知平面的平行面。由于軌跡平面有位于已知平面兩側(cè)的兩個(gè)平面，因此這一類題一般都有兩解。軌跡法和逆推法距離題軌跡法和逆推法距離題常見的有關(guān)等距離的軌跡有： （1）與兩點(diǎn)等距離的直線其軌跡是平行兩點(diǎn)連線的任一直線和通過連線中點(diǎn)的任一直線，

11、如圖a。直線EF和CD均與A、B兩點(diǎn)等距離。 （2）與兩點(diǎn)等距離的平面其軌跡是平行兩點(diǎn)連線的任一平面和通過連線中點(diǎn)的任一平面。如圖b中平面P和平面Q均是A、B兩點(diǎn)等距離的平面。軌跡法和逆推法距離題軌跡法和逆推法距離題常見的有關(guān)等距離的軌跡有： （3）與三點(diǎn)等距離的直線是過三角形任何兩邊中點(diǎn)，且垂直于三角形的平面內(nèi)的平行于三角形的任何直線，如圖c上KL線和P平面上平行于KL的所有線。 （4）與三點(diǎn)等距離的平面是與三角形平行的任何平面以及過三角形任何兩邊中點(diǎn)連線的任何平面，見圖d。 軌跡法和逆推法距離題軌跡法和逆推法距離題例2-4 在直線AB上求作一點(diǎn)K與已知兩點(diǎn)E、F等距離。 與E、F等距離的軌

12、跡是？軌跡法和逆推法距離題軌跡法和逆推法距離題分析分析: : 點(diǎn)K要與E、F兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)，其軌跡是E、F兩點(diǎn)連線的中垂面P，而點(diǎn)K又要求在直線AB上，則另一軌跡即是直線AB自身，因此，上述中垂面P與直線AB的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)K。 軌跡法和逆推法距離題軌跡法和逆推法距離題作圖作圖: : （1）連接E、F兩點(diǎn)，并過中點(diǎn)M作直線EF的中垂面P（由正平線M、水平線M決定）。 （2）求出直線AB與中垂面P的交點(diǎn)K即為所求。軌跡法和逆推法距離題軌跡法和逆推法距離題歸納歸納: : l 求解這一類問題時(shí)，所作軌跡平面是兩點(diǎn)連線的中垂面、兩平行直線或兩平行平面間公垂線的中垂面等，因此不需要用直角三角形法求距離的

13、另一端點(diǎn)，也不需過此端點(diǎn)作平面平行已知平面，但由于要作中垂面等，所以都要用過點(diǎn)作平面垂直已知直線的基本作圖方法。l 在求解與兩平行平面等距點(diǎn)或等距直線的作圖中，仍需用過點(diǎn)作直線垂直已知平面的基本作圖方法。 軌跡法和逆推法角度題軌跡法和逆推法角度題角度題 角度題也可分為定夾角和等夾角題，但能用點(diǎn)、線、面及直線與平面、平面與平面相對(duì)位置的概念和基本作圖方法求解的這一類題，多數(shù)是二相交直線的夾角問題，而且大部分是以完成矩形、直角三角形、等腰三角形、菱形及正多面體的形式出現(xiàn)，因此，求解這一類題時(shí)，要充分利用這些特殊平面圖形的直角關(guān)系進(jìn)行分析和作圖。 軌跡法和逆推法角度題軌跡法和逆推法角度題常見的角度問

14、題軌跡:l 與線段夾定角的點(diǎn)，其軌跡是以線段為軸線的錐面；l 與兩相交線夾等角的直線其軌跡是兩線夾角的角平分面（包括補(bǔ)角的角平分面），以及與它平行的一系列平面(a)。l 與兩相交線夾等角的平面是兩個(gè)平面束，一束是通過兩線的角平分線（即包含該角平分線的所有平面），另一束是通過兩線為腰的等腰三角形底邊（包含該底邊的所有平面） (b) 。l 與兩面夾等角的直線其軌跡是兩已知平面的角平分面(c)，以及與兩已知平面交線平行與它們夾等角的平面(d)。注意：凡與這種平面平行的面同樣具有這一性質(zhì)。軌跡法和逆推法角度題軌跡法和逆推法角度題軌跡法和逆推法角度題軌跡法和逆推法角度題例25 已知等腰ABC的正面投影及

15、底邊AB的水平投影，試完成ABC的水平投影。 軌跡法和逆推法角度題軌跡法和逆推法角度題直角關(guān)系分析：直角關(guān)系分析： 等腰ABC的底邊為AB，則高CD必垂直平分AB。軌跡法和逆推法角度題軌跡法和逆推法角度題空間分析：空間分析： 因CDAB，且D為底邊AB的中點(diǎn)，則C點(diǎn)的軌跡為過D點(diǎn)并垂直于底邊AB的平面P。C點(diǎn)既在平面P內(nèi)，即可用平面內(nèi)求點(diǎn)的作圖方法求出所缺投影c，完成ABC的水平投影。軌跡法和逆推法角度題軌跡法和逆推法角度題作圖：作圖：l 作底邊AB的中垂面P（由水平線D及正平線D決定）l 在中垂面P（D）內(nèi)，根據(jù)C點(diǎn)的正平面投影c求出水平投影c，則abc為所求軌跡法和逆推法角度題軌跡法和逆推

16、法角度題歸納：歸納：l 這一類題中都存在直角關(guān)系，而且兩直角邊中總是已知一邊，要求作出另一邊或另一邊所缺的投影。l 求解這一類題時(shí)，首先應(yīng)分析要求完成的平面圖形中直角在何處，哪一直角邊是已知的，哪一直角邊是要求作出或作出其所缺投影的，然后通過空間分析作出所求直角邊的軌跡平面，再根據(jù)題中所給的其他幾何條件，用平面內(nèi)取點(diǎn)的作圖方法求出要求的直角邊或頂點(diǎn)、或它們所缺的投影。 軌跡法和逆推法其他類綜合題軌跡法和逆推法其他類綜合題其他類綜合題 這一類題幾何關(guān)系往往比較復(fù)雜，既有距離要求，又有角度要求，但能用點(diǎn)、線、面及直線與平面、平面與平面、相對(duì)位置的概念和基本作圖方法求解的這一類題，大部分仍以完成矩形

17、、直角三角形、等腰三角形、菱形及正多面體的形式出現(xiàn)。 求解這一類題時(shí)，須進(jìn)行綜合分析，最好能得到解題空間模型，再應(yīng)用上述求解方法即可。軌跡法和逆推法其他類綜合題軌跡法和逆推法其他類綜合題例26 已知等腰ABC的高在直線AD上，腰AB平行于直線EF， 且長度等于23mm，試作出ABC的兩投影。軌跡法和逆推法其他類綜合題軌跡法和逆推法其他類綜合題l 直角關(guān)系分析直角關(guān)系分析 等腰ABC的高在直線AD上， 因此BC為底邊， 直線AD是底邊BC的中垂線，K為垂足，即底邊BC的中點(diǎn)。 軌跡法和逆推法其他類綜合題軌跡法和逆推法其他類綜合題l 空間分析空間分析 根據(jù)腰AB平行于直線EF，且長度等于23mm的

18、已知條件把點(diǎn)B的位置確定下來。 由于ADBC，則底邊BC必過點(diǎn)B所作的垂直直線AD的軌跡平面P內(nèi)，而直線AD與平面P的交點(diǎn)即為K點(diǎn)。 根據(jù)BKCK，即可求出C點(diǎn)，完成等腰ABC 。圖片有誤軌跡法和逆推法其他類綜合題軌跡法和逆推法其他類綜合題 作圖：作圖： 求直線EF的實(shí)長eF0，并在其上截取23mm得G0、g、g； 過A點(diǎn)作直線平行于直線EF，且使ABEG，即abeg、abeg； 過B點(diǎn)作垂直于直線AD的軌跡平面P（由水平線B及正平線B決定）；軌跡法和逆推法其他類綜合題軌跡法和逆推法其他類綜合題 作圖：作圖： 求長為23mm的AB線；過B作AD的垂直面；求直線AD與平面P（B）的交點(diǎn)K； 連接

19、BK，并在其延長線上截取CKBK； 連接CA，則ABC即為所求。 三、 輔助平面法1 一般位置平面與一般位置平面相交2 一般位置平面與立體相交3 平面與立體相交4 立體與立體相交輔助平面法的應(yīng)用： 一般位置線與一般位置面求交：通過輔助平面轉(zhuǎn)化為特殊位置面與一般位置面求交； 一般位置面與一般位置面求交：通過兩個(gè)輔助平面轉(zhuǎn)化為兩次特殊位置面與一般位置面求交或兩個(gè)三面共點(diǎn)之連線； 一般位置線與立體求交（求貫穿點(diǎn)）：通過輔助平面轉(zhuǎn)化為平面與立體求交（截交）； 平面與立體求交：通過輔助平面轉(zhuǎn)化為垂直線與截交線求交； 立體與立體求交：通過輔助平面轉(zhuǎn)化為兩截交線求交。輔助平面法兩一般位置面相交輔助平面法兩一

20、般位置面相交一般位置面與一般位置面相交：l 將一個(gè)平面轉(zhuǎn)化為兩相交直線，應(yīng)用兩次一般位置線與一般位置面求交。l 直接作輔助面與兩個(gè)平面相交，利用三面共點(diǎn)原理求出交點(diǎn)，即應(yīng)用兩個(gè)輔助平面，求出兩個(gè)交點(diǎn)，連接兩個(gè)交點(diǎn)即為所求交線。輔助平面法兩一般位置面相交輔助平面法兩一般位置面相交例2-7 試求平面ABC與DEF的交線。分析：分析： 利用輔助平面法求作兩個(gè)公共點(diǎn)，連接這兩個(gè)點(diǎn)，即得交線。輔助平面法兩一般位置面相交輔助平面法兩一般位置面相交作圖：作圖： 選擇ABC上的邊AB、BC作為與平面DEF求交點(diǎn)的直線。 選擇的原則：凡是線段的投影與另一平面圖形的同面投影不相交的，不宜選取，例如邊AC。輔助平面

21、法兩一般位置面相交輔助平面法兩一般位置面相交作圖：作圖： 求直線AB與DEF的交點(diǎn)K。 用類似的方法再作直線BC與DEF的交點(diǎn)L。輔助平面法兩一般位置面相交輔助平面法兩一般位置面相交作圖：作圖：l 連接KL（kl,kl）即為所求的交線。l 按照可見性判別規(guī)則，確定可見性。輔助平面法兩一般位置面相交輔助平面法兩一般位置面相交全 交互 交 思考題：思考題：在已知直線在已知直線EF上求作一點(diǎn)上求作一點(diǎn)B，使，使AB+BC=40思考題：思考題：在已知直線在已知直線EF上求作一點(diǎn)上求作一點(diǎn)B，使，使AB+BC=404040為等腰三角形的中垂面逆推法解題思路示意圖D求出實(shí)長） 在實(shí)長線上由C取40得到 點(diǎn) 的投影 連AD線，作AD線 的中垂面 AD線的中垂面與EF的交 點(diǎn)，即為所求B點(diǎn)作圖：輔助平面法一般位置線與立體相交輔助平面法一般位置線與立體相交一般位置平面與立體相交：l 直線與立體的交點(diǎn)稱貫穿點(diǎn)。求解貫穿點(diǎn)的一般方法為輔助平面法。l 求解步驟； 通過已知直線選作輔助平面； 求解輔助平面與立體的交線； 求解該交線與已知直線的交點(diǎn)，即為所求。輔助平面法一般位置線與立體相交輔助平面法一般位置線與立體相交例2-8 求一般位置直線與圓錐的貫穿點(diǎn)。 輔助平面法一般位置線與立體相交輔助平面法一般位置線與立體相交分析：分析： 若包含AB作正垂面或鉛垂面，則與錐面的交線為