數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座：高斯函數(shù)

1、數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座：高斯函數(shù)知識、方法、技能函數(shù)y x，稱為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù).它是數(shù)學(xué)競賽熱點之一定義一：對任意實數(shù)x,x是不超過x的最大整數(shù)，稱x為x的整數(shù)局部.與它相伴隨的 是小數(shù)局部函數(shù) y x, x x x.由x、x的定義不難得到如下性質(zhì):1y x的定義域為R，值域為z； y x的定義域為R,值域為0,1)對任意實數(shù)x，都有x xx,且 0x1.對任意實數(shù)x，都有x xx1, x 1x x.y x是不減函數(shù)，即假設(shè)4x2 那么x1 x2，其圖像如圖 I - 4-5- 1;Xin n x;x n5xN .yx.其中 x R, n6xy x y;xxny x y;i 1XinXi, X

2、i R ；特別地,i 1na a_ nb.7xyx y，其中 x,yR；一般有Xii 1iXi, Xi1R ;特別地，n Xn x,xR ,n N .8X兇，其中x R,nN .nn【證明】1一7略8令-m, m Z，那么 mXm 1，因此，nmx n(m1) 由于nm，nnn(m1) N，那么由3知，nmxn(m 1),于是，mX m1,故兇m.nnnn證畢取整函數(shù)或高斯函數(shù)在初等數(shù)論中的應(yīng)用是基于下面兩個結(jié)論X定理一：x R , nN ，且1至X之間的整數(shù)中，有個是n的倍數(shù).n【證明】因1,即n x ( 1) n，此式說明：不大于 x而是nn n nnn的倍數(shù)的正整數(shù)只有這兇個：nn,2n

3、, , n.n定理二：在n !中，質(zhì)數(shù)p的最高方次數(shù)是p(n!) 2亠亠PPP【證明】由于 p是質(zhì)數(shù)，因此n!含p的方次數(shù)p(n!) 定是1, 2,，n 1,n各數(shù)中所含p的方次數(shù)的總和.由定理一知，1, 2，n中有卩個p的倍數(shù)，有斗個p2的Pp倍數(shù)，,所以p(n!)-：pp此定理說明：n! pp(n!) M，其中M不含p的因數(shù).例如，由于 7(2000!)20007 200072+=285+40+5=330,那么 2000!=7330 M，其中 7 ' M.定理三：厄米特恒等式x R,n N,那么x x 丄 nx -nX門nA nx【證法1】引入輔助函數(shù)f(x) nx x x 1 x

4、 x - x _ .因 f(x 1) nnnnn11f (x)對一切x R成立，所以f(x)是一個以一為周期的周期函數(shù)，而當(dāng)x 0, 時，nn直接計算知f (x) 0，故任意x R，厄米特恒等式成立1n 1【證法2】等式等價于nx xxx nx nx.消去nnnx后得到與原等式一樣的等式，只不過是對x 0,1)，那么一定存在一個k使得k 1x .即k 1nxk，故原式右端nxk1.另一方面，由k1 x k 知,nnnnk1 k 1 k 12k 2kik i1k n 2k n 1x5x55- x55xnnnnnnnnnn在這批不等式的右端總有個等于1，設(shè)k t1,即 tnk.這時，xxLnnx

5、nk0,而xn kxn 11，因此原式的左端是k1個1之和,nnn即左端 k 1.故左=右.【評述】證法2的方法既適用于證明等式，也適用于證明不等式.，這個方法是：第一步“棄整，把對任意實數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為 0,1)的問題；第二步對0,1)分段討論.高斯函數(shù)在格點又叫整點問題研究中有重要應(yīng)用.下面給出一個定理.定理四：設(shè)函數(shù)yf (x)在a,b上連續(xù)而且非負，那么和式f(t)(t為a,b內(nèi)的a t b整數(shù)表示平面區(qū)域 a x b,0 y f (x)內(nèi)的格點個數(shù)特別地，有1位于三角形： y ax b 0,c x d內(nèi)的格點個數(shù)等于ax b(且x為整c x d數(shù)；2(p,q) 1，矩形域0,多；0,號

6、內(nèi)的格點數(shù)等于 Px 冋牛.0 x q/2 q0 y p/2 P2214r3r 0，圓域x2 y2 r2內(nèi)的格點個數(shù)等于4n 0，區(qū)域：x 0, y 0, xy n內(nèi)的格點個數(shù)等于2- n2.0 x 打 n X這些結(jié)論通過畫圖即可得到 例1：求證：2n 1 n! n 2k 1,其中k為某一自然數(shù)1985年第17屆加拿大數(shù)學(xué)競賽試題證明2為質(zhì)數(shù)，n!中含2的方次數(shù)為2(n!)假設(shè)n2k 1,那么 2( n!)2k t 11k 12kt1 1 2 22t 1故2n 1n!.反之，假設(shè)n不等于2的某個非負整數(shù)次幕，可設(shè)n=2sp，其中p>1為奇數(shù)，這時總可以找出整數(shù)t.使 2t 2s p2t1

7、，于是n!中所含2的方次數(shù)為2(n!)2s 1 p 2s 2 p由于12s矛盾,(2s 12s22s t) p 2st(2t 1)p 2sp 2s tpn 2s t p.2,那么故必要性得證2st2,故n!中含2的方次數(shù)2(n!)n 2,那么 2nn!.這與對任意的n,計算和kS =.K 02第10屆IMO試題【解】因影犬扌對一切km成立，因此，-2k 12六.又因為n為固定數(shù),當(dāng)k適當(dāng)大時，斗 1,從而斗0,故S22k(庁0 2戸)n.例3 :計算和式S【解】顯然有：假設(shè)502 305 n 的值.1986年東北三省數(shù)學(xué)競賽試題n 0 503xy1,那么x y xy 1,x, y R.503是

8、一個質(zhì)數(shù)，因此，對n=1,2,502,迺都不會是整數(shù)，但305n + 305(503 n) 305可見此式左端的兩數(shù)的小數(shù)局部之和等于1, 于曰是，503503503泄 30550 304. 故503503502S n1靂251n1 (鬻305(503 n)503),304 25176304.例4:設(shè)M為一正整數(shù)，問方程x2x2，在1，M中有多少個解?1982年瑞典數(shù)學(xué)競賽試題【解】顯然x=M是一個解，下面考察在1，M中有少個解.設(shè)x是方程的解將x2x22x xx2代入原方程，化簡得 2 x x2x x x2由于 0x4(x1)240x4x24x51(2x5)(2x11)(2x3)(2x75r

9、、11x-,x223亠3x,或x21717x;x_510.0.0.0,1,所以上式成立的充要條件是2x x為一個整數(shù).才，k、才，設(shè)x m N,那么必有x(k 0,1, ,2m 1),即在m,m 1)中方程有2m個解.2m又由于1 m M 1,可知在1,M)中方程有2(1 2 (M 1) M (M 1)個解. 因此,原方程在1,M 中有M(M 1) 1個解.例5:求方程4x240x510的實數(shù)解.第36屆美國數(shù)學(xué)競賽題【解】因x x x 1,又x 0不是解.解得x2或x 6或7或8,分別代入方程得4x2290,x4x21890, x4x22290, x4x22690, x<29亍、189

10、222922692經(jīng)檢驗知，這四個值都是原方程的解例 6: x R ,n N ,證明：nx 兇 2x 3x衛(wèi)123n第10屆美國數(shù)學(xué)競賽試題 這道題的原解答要極為復(fù)雜，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下【證明】令A(yù)k x回 回，k 1,2,.2k由于A1x,那么n1時，命題成立.設(shè)nk1時命題成立，即有A1x, A 2x, Ak 1(k1)x.因為,AkAk 1kx,即 kAk kAk 1kkx對一切k成立，所以kAkkAk 1kx,(k 1)Ak 1(k1)Ak 2(k 1)x,2A2 2A12x, A,x.相加得:kAk(AA2Ak 1)X2x(k1)xkx故 kAk x 2x(k 1)x kx Ak

11、1 Ak2A2 A1x 2x(k1)x kx (k1)x(k2)x2xx(x (k 1)x(2x(k2)x)(k1)x x)kx kx kxkx kxkkxAkkx,即 nk時,命題成立，故原不等式對一切n N均成立,證畢.例7:對自然數(shù)n及一切自然數(shù)x,求證:x x11 x2x亠nx.蘇聯(lián)數(shù)學(xué)競賽題nnn【證明】xxx,那么12、r n 1x x-1 x-xnnn由X-1 及xk 11 知 nx nk,且 nXn k 1.故知nxnnXX1X2Xn 1nx.從而有nnn12n 1X X - nX- nXnnx.n k知-000o例&求出咼的個位數(shù)字103第47屆美國普特南數(shù)學(xué)競賽試題1 XXXX-n1x xxx-nXXXX2-n勻nXXXXn 1nU,n12nx xx - x-nnnx nxnx nx nx,故只要證明1-xx- x-nn,k設(shè)存在 k,1 kn, 使xn1-x- x-nnXXn 1Xnx即可.n1, 而x匕1,那么nk 1kx - - x-nn20000【解】先找出%的整數(shù)局部與分數(shù)局部103 20000,100、200 _200_20010(10 )33100c =100100c103103103(10100)2003200(10100)2100(