數(shù)學(xué)分析課本(華師大三版)-習(xí)題及答案第九章

1、、填空題1.lim( _1n . 4n214n 廠222.sinx0(1linx 01t)Tdt3.xs int0 丁2dt4.5.6.7.第九章定積分1、4n2n22ax 1, x2設(shè) f(x)設(shè)f(x)在xsin lim -一x 0dx0cosdt,01 si nt0,4上連續(xù)，且tdt ln 1 x2.2 sin x , ydx22(1 cosx)12 xIn f (x)1 2 x 3110.設(shè) 2 0 f (x)dx1sin x ,11.假設(shè) 0dx12.13.14.15.16.17.那么02f'(x)2 dx 1 f2(x)x2 21 f(t)dt x <3，那么 f(

2、2)f ( x) dx，其中f(x)連續(xù)。1f(x) x 0，那么 o f (x)dx設(shè)f (x)連續(xù)，那么ddx2b，那么gdx0 2xZXCOSt dt.2sin x2COSsin1 cosx ,2dx0(1 x)x 2 20tf (x2 t2)dtxdx12dx'1 2xcos x20 f(cosx) cosx f' (cosx)sin x dxsin x設(shè)f (x)有一個(gè)原函數(shù)，那么xf'(x)dx118.假設(shè)y 1，貝U 1x y exdx19. f(2x) xe，那么f(x)|dx20.f (x)在()上連續(xù)，且x2f(0)2，且設(shè) F(x) sinxf(t

3、)dt，那么F (0)2x e21.設(shè) f (x)22.函數(shù) (X)3xx230 si nt dt xx 2t 1二dt在區(qū)間0 t2 t 123.假設(shè)f(x)滿足方程x24 .函數(shù)f(x) 1(1積為25.函數(shù)y在區(qū)間2x二、選擇填空1.假設(shè)f(x5)4x210x3.4.5.f(x) 3xt)dt (x32，那么積分那么 lim f (x)x 0上的最大值為，最小值為1 x201)X 2f2(x)dx，那么 f (x)上的平均值為40f(2xA.0B.4假設(shè)f (0) 1, f(2)3, f'(2)5，那么A.0B.1C.2a (k2.設(shè)f(x)是以I為周期的連續(xù)函數(shù)，那么a kl1

4、0xf (2x)dxa a及k a和k均有關(guān)假設(shè)x 0時(shí),f有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)A. f (0)1假設(shè) f(x) limnF(x)。B. f,那么f(x)與x軸所圍成的面1)dx ()D.-21)lf x dx之值()x 220(x2 t2)f(0)2(t)dt的導(dǎo)數(shù)與x進(jìn)等價(jià)無窮小，那么必有()(其C. f (0)0D. f (0)不存在彳 2n1 x27x ,1 x且設(shè)20 f(x)dx k,那么必有()。B. k 1A. k 0C.k 1D.k 2x 2x6設(shè) f(x)sin te sin tdt，貝U f (x)()7f(t)是3x內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，貝U 1 f (t)dt(t)dt恒成立時(shí)，必

5、有A. f(t3)B.t3f (t3)C.t2f(t3)D.3t2f (t3)&設(shè)f(x)在a, a上連續(xù)且為偶函數(shù)，(x)x0 f(t)dt，那么()(t)()A (x)是奇函數(shù)B.(x)是偶函數(shù)C.(x)是非奇非偶函數(shù)D. (x)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)0所確定的x的函數(shù)，貝y魚 (dx)。y t x9設(shè)y是由方程° e dt sintdt2A.sin x1 cosxB.sin xcosx 1C.cosxeyD.cosx11設(shè) M2 sin x212 cos6 xdx, x7362 (sin x cos x)dx ,2P22362 (x sin x cos x)dx，

6、那么有(2A. N P MB.M P)NC. NMPD. PM N13.假設(shè)f(x)是具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，且 f(0)0,設(shè)(x)x0tf (t)dt2 ,xx0 , x 0 ,那么'(0)()0,x0D.-1A. f'(0)B. f'(0)C.13d x14假設(shè)設(shè) f (x) o sin(t x)dt，那么必有()dx 013A. f (x) sin xB. f (x)1 cosxC. f (x) sin xD. f (x)1 sin x15.假設(shè)x x(t)是由方程X 1 t2d 2X,e dt 0所確定，那么靈之值為()A.OB.12c. eD.2e216.b定積

7、分定義 a f (X)dxnlim f ( i) Xi，說明i 1a,b必須n等分,i 是Xi 1,Xi端點(diǎn)。a,b可任意分法,i必須是Xj 1 , Xj 端點(diǎn)。a,b可任意分法,maXi0 , i可在Xi 1, Xi 內(nèi)任取。a,b必須等分,maXi0 , i可在xi 1, xi 內(nèi)任取。17.b積分中值定理a f(x)dx f ()(ba)其中是a,b內(nèi)任意一點(diǎn)是a,b內(nèi)必定存在的某一點(diǎn)是a,b內(nèi)唯一的某點(diǎn)是a,b內(nèi)中點(diǎn)18.f (x)與g(x)在a, b上連續(xù)，且bf (x)dx g(x)dx，那么 f (x) g(x)成立的情a19.20.況是A當(dāng)時(shí)均成立Bax b時(shí)成立C 在a,b之

8、間至少有些點(diǎn)使之成立D在a,b內(nèi)不可能成立假設(shè) f(x) X ' 0X, 11，那么2X(x)0 f(t)dt 在開區(qū)間(0,2)上A有第一類間段點(diǎn)C兩種間段點(diǎn)都有pl假設(shè)設(shè)f (x)dxB有第二類間段點(diǎn)D是連續(xù)的A f (x) sin xC f (x) sin xx0 sin(tx)dt,那么必有B f(x)D f(x)1 cosx1 sin x21下面結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A假設(shè)f (x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，那么f (x)dx存在B假設(shè)f (X)在a,b上可積，那么f (X)在a,b上必有界C假設(shè)f(x)在a,b上可積，那么f (x)在a,b上必可積D假設(shè)f (x)在a,b上單調(diào)有界，那

9、么f (x)在a,b上必可積22.下面結(jié)論正確的選項(xiàng)是df (x)dx ；cb假設(shè)a,bc,d，那么必有 f(x)dxa假設(shè)f (x)可積，那么f (x)必可積;假設(shè)f (x)是周期為T的函數(shù)，那么對(duì)于任意常數(shù)a都有a TTf(x)dx o f(x)dx假設(shè)f (x)在a,b上可積，那么f (x)在(a,b)內(nèi)必定有原函數(shù)。23.以下各式不等于零的是11 xA 21 cosxl ndx21 xc523 x cos x ,B 廠 2dx3x 3x 224.25.1.設(shè) F(x)Sinx dx1 cos2xdx.(x 1)(3 x)esint sintdt,那么 F(x)x(A)為正常數(shù)；(C)恒

10、為零；pl設(shè)f (x)連續(xù)，那么dxx0tf(x2 t2)dt(A) xf(x2)；2(C) 2xf (x );1kdx k b a ；a2b.xbae e e a根據(jù)定理，試比擬以下各定積分的大小。111 2xdx 與 x dx 00212 xdx與 2 sinxdx xdx0 0 02.計(jì)算題按定積分定義證明:b3.求以下極限:(B)為負(fù)常數(shù)；(D)不為常數(shù)；2、(B) xf(x )；2(D) 2xf (x )；xm0x 2cost dt02limxX t22°dt)2%2t2dt04 計(jì)算以下定積分:110 2x 3dx ；2110122dx ;xe231dx ;e ln x4

11、503tg2xdx ；6-1 dx ；、x74 dx91、x ；8e ln x1e2-dx ;x902COS5Xsin 2xdx ；10x2dx ；11：x2 a2 x2dx12dxx2 x13dx0 xx0 e e14cosxdx ;20 1 sin2x151arcs in xdx016ex sin xdx ；17In x dx ；1819a1e2 cos00 sin cos12n5 應(yīng)用定積分概念求以下極限:1limnlimn12n231 lim sin 2sin nn 1sinn1 1 14 lim n pn2p'n n 1'n 2n 16設(shè)f具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，試求：d

12、xx t f t dt dx ad x并用此結(jié)果求一 x t costdt dx 0四、證明題f Tn n 1,2,只要b1.證明：f x dx J存在的充要條件是：對(duì)任意一積分和alim Tn 0，都有l(wèi)im f Tn J.這里 f Tn是指f對(duì)某一分割Tn及所屬的某 nnft一介點(diǎn)集所作的積分和。2證明性質(zhì)2中的第一個(gè)不等式：設(shè) T為分割T添加P個(gè)分點(diǎn)所得到的分割，那么sT s T PM m T3證明:TsoHTS達(dá)布定理中的第一個(gè)極限4證明：假設(shè)T是T增加假設(shè)干個(gè)分點(diǎn) T所得的分割，貝yWi XiWi XiTT5.設(shè)f ,g均為定義在 a, b上的有界函數(shù)，證明：假設(shè)僅在a, b上有限個(gè)

13、點(diǎn)x處f x那么當(dāng)f在a,b上可積時(shí)，g在a, b上也可積，且6證明可積的第三充要條件：有界函數(shù)f在a,b上可積的充要條件是：對(duì)任給正數(shù)，存在某一分割 T,使得屬于T的所有振幅Wi的小區(qū)間i的總長(zhǎng)不超過7應(yīng)用上題的結(jié)論證明黎曼函數(shù)R x在a,b 0,1上可積，且積分值等于0。&設(shè)f在a,b上有界，an a,b，且lim c,c a,b，證明：假設(shè)f在a,b上只有nan n 1,2 為間斷點(diǎn)，貝V f在a,b上可積。9證明：假設(shè)f與g在a,b上可積，那么nlimIT 0i 1bi g i Xi af g.其中i, i是i內(nèi)的任意兩點(diǎn)。T i ,i 1,2, n.10討論f、f、f2三者之

14、間的可積性關(guān)系。11.證明：假設(shè)f在區(qū)間a, b上可積，ab ,由定理，f在a, b上可積，又'再由定理，f在a, b上可積。112.證明以下不等式：dx1 . 21 sin x21 x20e dx e；32 sin x0dxx24elnxdx 6e x13.設(shè)f在a, b上連續(xù)，且bf2a證明:0, xa,b14.證明:11 xlimdxn 01 x2lim 2 sin xdxn 015.設(shè)f, g都在a, b上可積，證明M x max f x ,g xx a,b，與m xmin f x , g xx a,b在a, b上也可積。16.設(shè)f在a, b上可積，且在a, b上f1m0,證明

15、函數(shù)£在a, b上也可積。b17 . 1設(shè)f在a , b上連續(xù)，且對(duì) a, b上任一連續(xù)函數(shù)g均有 fg 0，證明af x 0, xa,b。2設(shè)f在a, b上連續(xù)，且對(duì)于所有那些在a, b上滿足附加條件ga=gb=0b的連續(xù)函數(shù)g有 fg 0，證明在a，b上同樣有f x 0。abb18 證明：假設(shè)f在a，b上連續(xù)，且 f xf 0,那么在a,b內(nèi)至少存在兩點(diǎn)aaXi ,X2使得 f Xif(X2)019.f為連續(xù)函數(shù)，u與v均為可導(dǎo)函數(shù)，且可實(shí)行復(fù)合:d v xf t dt f u xdx u xfou，fov，試證明:20.fX在a，b上連續(xù),xf t x t dt.證明：F xa

16、21.f在-a，a連續(xù)，證明:1假設(shè)f為奇函數(shù)，那么0; 2假設(shè)f為偶函數(shù)，那么22.上以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)a，23.證明：假設(shè)f為a，b上的連續(xù)函數(shù)，那么bxf bf baaf24.2 m2sin0m n25.證明以下關(guān)系式：J m,nxcosnxdxm川為自然數(shù) ，證明J m,nm, n，并求 J m，n1 ln n1 ln n 11丄2lim 2一nln n26設(shè)f為所示區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，證明:12fsinx dxcosxdx002xfsin x dxf sinxdx020322 adxa22 adxfX2fX12XX1X2x五、考研復(fù)習(xí)題1證明：假設(shè)f在a, b上可積，且具有原函數(shù) F,那么bf F b F aa并應(yīng)用此結(jié)果計(jì)算10f，其中12x sinx1cos-,X0,2.證明：假設(shè)在0,a上連續(xù),f處處二階可導(dǎo)，且x 0 ,那么有dtdt3.證明以下命題：1 假設(shè)f在a,b上連續(xù)遞增，那么a, b內(nèi)的遞增函數(shù)。2 假設(shè)f在0,上連續(xù)，且f0,內(nèi)嚴(yán)格遞增。xtf t dt0xf t dt04.設(shè)f在0, 上連續(xù)，且lim f xx證明:lim - T T證明：連續(xù)的奇函數(shù)的一切原函數(shù)皆為偶函數(shù),5.數(shù)。6. 證明許瓦茲schwarz不等式；假設(shè) f和bfgaTf x dx A0連續(xù)的偶函數(shù)的原函數(shù)中有一個(gè)是奇函在a,bf2ab上可積，那么：g27.應(yīng)