高等數(shù)學(xué)第六章第1節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用

1、第一節(jié)第一節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用1微元法微元法2平面圖形的面積平面圖形的面積3立體的體積立體的體積4平面曲線的弧長平面曲線的弧長一一 微元法微元法回顧曲邊梯形求面積的問題與變速直線運(yùn)動(dòng)的路回顧曲邊梯形求面積的問題與變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題，程問題， 當(dāng)所求量當(dāng)所求量U具有下列三個(gè)特點(diǎn)具有下列三個(gè)特點(diǎn)有關(guān)的量；有關(guān)的量；（1）U是與一個(gè)變量是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間的變化區(qū)間,ba（2）U對(duì)于區(qū)間對(duì)于區(qū)間具有可加性，具有可加性，,ba niiUU1而而（3）可以）可以“以勻代不勻以勻代不勻”求部分量求部分量iU 的近似值的近似值個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間即如果用分點(diǎn)即如果用分點(diǎn),babx

2、xxxan 210把區(qū)間把區(qū)間分成分成n), 2 , 1(,1nixxii U相應(yīng)地分成相應(yīng)地分成則則n個(gè)部分量個(gè)部分量,iU ), 2 , 1()(nixfUiii 其中其中.,11iiiiiixxxxx 于是于是 niiixfU1)( 令令, 0max1 inix 得得iinixfU )(lim10 badxxf)(這里這里iiixfU )( 含義是含義是是較是較()iiiUfx ix 高階無窮小高階無窮小. 即即iixf )( 是是iU 的線性主部的線性主部.一般地一般地, 如果某個(gè)實(shí)際問題具有上述的三個(gè)特點(diǎn)如果某個(gè)實(shí)際問題具有上述的三個(gè)特點(diǎn),在利用定積分求解時(shí)在利用定積分求解時(shí),可以按

3、下述的步驟求解可以按下述的步驟求解:這個(gè)方法通常叫做這個(gè)方法通常叫做元素法元素法應(yīng)用方向：應(yīng)用方向： 平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等壓力；引力和平均值等二二 平面圖形的面積平面圖形的面積1 直角坐標(biāo)系平面圖形的面積直角坐標(biāo)系平面圖形的面積xyo( )f x( )g xab設(shè)設(shè),ba上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù))(),(xgxf滿足滿足,)()(baxxgxf 則由曲線則由曲線)(xfy 與與),(xgy bxax ,所圍的平面圖形的面積所圍的平面圖形的面積為為 badxxgxfS)()(xyo( )f xabxdxx ( )

4、g x事實(shí)上事實(shí)上(1) 平面圖形介于平面圖形介于直線直線bxax ,之間之間,因此選取因此選取x作為積分作為積分變量變量,ba作為積分作為積分區(qū)間區(qū)間;(2) 在在,ba上任取一個(gè)區(qū)間上任取一個(gè)區(qū)間,dxxx 相應(yīng)于該小相應(yīng)于該小區(qū)間的平面圖形可以近似看成以區(qū)間的平面圖形可以近似看成以)()(xgxf 為高為高,dx為底長的長方形為底長的長方形, 所以得面積的微元素所以得面積的微元素dxxgxfdS)()( (3) 以以dxxgxf)()( 作為定積分的被積表示式作為定積分的被積表示式,在在,ba作定積分得作定積分得 badxxgxfS)()(同理由同理由,dc上連續(xù)曲線上連續(xù)曲線)()()

5、(),(ygyfygxyfx 與直線與直線dycy ,所謂的平面所謂的平面圖形的面積圖形的面積xyo( )f y( )g ycd ),(yyf),(yygy dcdyygyfS)()(為為解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)) 1 , 1 () 0 , 0(面積元素面積元素dxxxdS)(2 選選 為積分變量為積分變量x 1 , 0 xdxxxS)(210 103)332(23xx .31 或選或選y為積分變量為積分變量,1 , 0 y,)(2dyyydS 102)(dyyyS103)332(23yy .31 xyo2yx yx (1,1)x xdx 例例2 求由曲線求由曲線2,2 yxyx所圍的平面

6、圖形的所圍的平面圖形的面積面積xyoyx yx 2yx)1, 1( )2 , 4(1解法解法I解方程組解方程組 22yxyx得兩曲線的交點(diǎn)為得兩曲線的交點(diǎn)為),4 , 2(),1, 1( 該圖形可以看成是由該圖形可以看成是由1, xxyxy圍成的平面圍成的平面圖形與圖形與1, 2, xxyxy所圍成的平面圖形兩個(gè)所圍成的平面圖形兩個(gè)部分構(gòu)成的部分構(gòu)成的, 因此取因此取x為積分變量為積分變量,積分區(qū)間分別為積分區(qū)間分別為4 , 1,1 , 0得得 10)(dxxxS 41)2(dxxxxx2xy 2xyxyo)2 , 4()1, 1( 412231023)2232(34xxxx 635 解法解法

7、II取取y為積分變量為積分變量,積分區(qū)間為積分區(qū)間為,2 , 1 則則 212)2(dyyyS2132)322( yyy635 y解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdS)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdS)6(322 2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積21SSS dxxxxS)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 ( 2,4) (3,9)例例4 在曲線在曲線)42(ln xxy上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使得，使得,ln xy 直線直

8、線4, 2 xx所圍成所圍成該點(diǎn)的切線與曲線該點(diǎn)的切線與曲線的平面圖形的面積最小。的平面圖形的面積最小。lnyx xyo24)ln,(tt解解則切線方程為則切線方程為)(1lntxtty 因此因此 42)lnln1()(dxxttxtS2ln6ln26 tt)42()ln,( ttt設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為,26)(2tttS 0929294)3( S3 t因此當(dāng)因此當(dāng)時(shí)，面積最小。時(shí)，面積最小。, 30)( ttS所求點(diǎn)為所求點(diǎn)為).3ln, 3(解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對(duì)稱性知總面積等于由對(duì)稱性知總面積等于4 4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA0

9、4 02)cos(sin4 tatdbdttab 202sin4.ab tbytaxsincos 則則令令2 極坐標(biāo)系下平面圖形的面積極坐標(biāo)系下平面圖形的面積設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( 及射線及射線 ,圍成一曲邊扇形，圍成一曲邊扇形，求其面積，求其面積， 這里這里)( 在在, 上連續(xù)上連續(xù).( ) xo d 選積分變量選積分變量, 積分區(qū)間積分區(qū)間, 在區(qū)間在區(qū)間, 上任取一小區(qū)間上任取一小區(qū)間, d 相應(yīng)相應(yīng)地得到一小的曲邊扇形地得到一小的曲邊扇形, 它可以用半徑為它可以用半徑為),( ( ) 中心角中心角為為 dd 的扇形近似代替的扇形近似代替, 因此因此,)(212 ddS dS)(212同理

10、同理,由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線),(1 )()(0(21 )(2 及射線及射線)(, 所圍的平面圖形的面積為所圍的平面圖形的面積為1( ) 2( ) xo dS)()(212122解解 dadS22)cos1(21 利用對(duì)稱性知利用對(duì)稱性知 o(1cos )a.232a d2)cos1( 02212aS d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0解解由對(duì)稱性知總面積由對(duì)稱性知總面積=4=4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積14SS daS2cos214402 .2a o4 1cos3cos ox3 例例8 求由曲線求由曲線 cos1,cos3 所圍成的平所圍成的平面圖形面

11、圖形(如圖所示陰影部分如圖所示陰影部分)的面積的面積.解解解方程組解方程組 cos1cos3得得,3 取積分變量取積分變量, 積分區(qū)間積分區(qū)間,3,3 因此因此 3322)cos1(cos921 dS 3021cos2cos8 d 三三 立體的體積立體的體積1 已知平行截面面積的立體的體積已知平行截面面積的立體的體積設(shè)空間某立體是由一曲面和過設(shè)空間某立體是由一曲面和過ba,且垂直于且垂直于x軸軸的兩平面圍成的兩平面圍成, 如果已知該立體上且垂直于如果已知該立體上且垂直于x個(gè)截面面積個(gè)截面面積軸的各軸的各),(xSS 求此立體體積求此立體體積. 其中其中)(xS為區(qū)為區(qū)間間,ba上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)

12、函數(shù).xdxx oxab取取x為積分變量，為積分變量，,ba為積分區(qū)間，為積分區(qū)間，在在,ba任取任取一小區(qū)間一小區(qū)間,dxxx 可以近似地看可以近似地看成以成以)(xS為底，為底，dx為高的柱體，為高的柱體，截下的物體截下的物體相應(yīng)相應(yīng)所以所以dxxSdV)( badxxSV)(解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R xRR xyo解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體

13、體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 2 旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體體積( )yf x xyoabx設(shè)空間物體是由連續(xù)曲線設(shè)空間物體是由連續(xù)曲線)0)()( xfxfy與直線與直線bxax ,及及x軸圍成的平軸圍成的平面圖形繞面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而得軸旋轉(zhuǎn)一周而得的的, 求此物體的體積求此物體的體積.取取x為積分變量為積分變量,ba為積分區(qū)間為積分區(qū)間, 在在,ba上任取上任取一點(diǎn)一點(diǎn),x相應(yīng)物體的截面是以相應(yīng)物體的截面是以)(xf為半徑的圓為半徑的圓, 因此其因此其面積為面積為),()(2xfxS 所以所求的物體體積為所以所求的物體體積為 badxxfV)(2 ( )g yxoycdy同理同

14、理,空間物體是由連續(xù)曲空間物體是由連續(xù)曲)0)()( ygygx線線與直與直dycy ,及及y軸圍成的平軸圍成的平面圖形繞面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而得軸旋轉(zhuǎn)一周而得的的,線線此物體的體積為此物體的體積為 dcdyygV)(2 例例11求由曲線求由曲線,xy 直線直線4 x及及x軸所圍平軸所圍平面圖形繞面圖形繞yx,軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積.解解繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)yx x4xyo取取x為積分變量為積分變量,4 , 0為積分為積分區(qū)間區(qū)間, 則則 402)(dxxVx 8 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)2xy 4yxyo取取y為積分變量為積分變量,2 , 0為為積分區(qū)間積分區(qū)間, 對(duì)對(duì)2

15、, 0上任一上任一, y相應(yīng)的截面面積為相應(yīng)的截面面積為)16()(4yyS 因此因此 204)16(dyyVy 5128 1e1xye yex 例例12求由曲線求由曲線xey 及及xey 在點(diǎn)在點(diǎn)), 1( e處的切線和處的切線和y平面圖形繞平面圖形繞yx,立體的體積立體的體積.解解 xey 在點(diǎn)在點(diǎn)), 1( e處切線方程處切線方程為為.exy x 10222)(dxxeeVxx )2161(2 e1e1lnxy yxe 軸圍成的軸圍成的軸旋轉(zhuǎn)一周所得軸旋轉(zhuǎn)一周所得yy 1022dyeyVy dyyeye)ln(1222 )322(e 解解由對(duì)稱性得旋轉(zhuǎn)體的體積由對(duì)稱性得旋轉(zhuǎn)體的體積323

16、232ayx 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 taytax33sincos adxyV022 taytax33sincos 則則令令 02273cossin6 tdtta 202323coscos)cos1(6 ttdta310532a ( )yf x aboxy例例14求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線)(xfy 直線直線bxax ,及及x軸所圍的曲邊梯形軸所圍的曲邊梯形繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得立軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體體積體體積.解解取取x為積分變量為積分變量,ba為積分區(qū)間為積分區(qū)間, 在在,ba上上任取小區(qū)間任取小區(qū)間,dxxx 相應(yīng)的曲邊梯形可以近似地看相應(yīng)的曲邊梯形可以近似地看成底長為成底長為dx高為高為)

17、(xf的矩形的矩形,xxdx 其繞其繞y軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為所得的旋轉(zhuǎn)體體積為222)()(2)()(dxxfdxxxfxfxdxx dVdxxxf )(2 所以所以 badxxxfV)(2 xoy0MA nMB 1M2M1 nMBMMMMMAnni ,110四四 平面曲線弧長平面曲線弧長1 直角坐標(biāo)表示的平面曲線的弧長直角坐標(biāo)表示的平面曲線的弧長 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為)(xfy ),(bxa 其中其中)(xf在在,ba上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 取積分取積分, x變量為變量為在在,ba上任取小上任取小,dxxx 區(qū)間區(qū)間以對(duì)應(yīng)小切以對(duì)應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長度線

18、段的長代替小弧段的長度.小切線段的長為小切線段的長為22)()(dydx dxy21 弧長元素弧長元素dxyds21 弧長弧長.12dxysba abxdxx xyo( )f x dy解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例16解求曲線解求曲線 xdtty323的全長的全長.解解定義域?yàn)槎x域?yàn)?3, 3 ,32xy 3321dxys 3324dxx 332cos4 tdt334 2 參數(shù)方程所表示的平面曲線的弧長參數(shù)方程所表示的平面曲線的弧長設(shè)曲線弧的參數(shù)方程為設(shè)曲線弧的參數(shù)方程為,)()( tytx )( t其中其中)(),(tt 在在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù), ,且且, 0)()(22 tt 則則22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 所以所以.)()(22