數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)-微分方程

1、數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn) 微分方程模型微分方程模型一、什么是微分方程？一、什么是微分方程？最最簡(jiǎn)單的例子最最簡(jiǎn)單的例子一曲線通過(guò)點(diǎn)（一曲線通過(guò)點(diǎn)（1 1，2 2），且在該曲線任一點(diǎn)），且在該曲線任一點(diǎn)M M( ( x ,y x ,y ) )處的切處的切線的斜率為線的斜率為2 2x x，求該曲線的方程。，求該曲線的方程。解解 因此，所求曲線的方程為因此，所求曲線的方程為 21.yx若設(shè)曲線方程為若設(shè)曲線方程為 ， ( )(1)yf x又因曲線滿(mǎn)足條件又因曲線滿(mǎn)足條件 1|2xy根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知未知函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知未知函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式： 2(2)dyxdx對(duì)（對(duì)（1 1）式

2、兩端積分得：）式兩端積分得： 22(3)yxdxxC代入（代入（3 3）得）得C1 回答什么是微分方程回答什么是微分方程： n建立關(guān)于未知變量、建立關(guān)于未知變量、n未知變量的導(dǎo)數(shù)以及未知變量的導(dǎo)數(shù)以及n自變量的方程自變量的方程 2yx)20( kdtddMMdt ,xyy ,32xeyyy 二、微分方程的解法二、微分方程的解法積分方法，分離變量法積分方法，分離變量法可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yg和和)(xf是是連連續(xù)續(xù)的的, dxx

3、fdyyg)()(設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),CxFyG )()(為微分方程的解為微分方程的解.分離變量法分離變量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12lnCxy .2為所求通解為所求通解xCey 例題例題過(guò)定點(diǎn)的積分曲線過(guò)定點(diǎn)的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問(wèn)題初值問(wèn)題:

4、 : 求微分方程滿(mǎn)足初始條件的解的問(wèn)題求微分方程滿(mǎn)足初始條件的解的問(wèn)題. .例例2. 解初值問(wèn)題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程滿(mǎn)足所給初始條件的特解求下列微分方程滿(mǎn)足所給初始條件的特解: : 1 1、xdxyy

5、dyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .練練 習(xí)習(xí) 題題三、質(zhì)量三、質(zhì)量克克為為1的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng), ,這外力這外力和時(shí)間成正比和時(shí)間成正比, ,和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比. .在在10 t秒時(shí)秒時(shí), ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力為外力為2/4秒秒厘厘米米克克 , ,問(wèn)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)了一分鐘后的速度是多少問(wèn)從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)了一分鐘后的速度是多少? ?四、 小船從河邊四、 小船從河邊處處點(diǎn)點(diǎn) 0出發(fā)駛向?qū)Π冻霭l(fā)駛向?qū)Π? (兩岸為平行直線兩岸為平行

6、直線).).設(shè)設(shè)a船速為船速為, ,船行方向始終與河岸垂直船行方向始終與河岸垂直, ,設(shè)河寬設(shè)河寬h為為, ,河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比的乘積成正比( (比例比例k系數(shù)為系數(shù)為).).求小船的航行路求小船的航行路線線 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二、二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三、三、3 .269 v厘米厘米/ /秒秒. .四、取四、取 0 0 為原點(diǎn)為原點(diǎn), ,河岸朝順?biāo)较驗(yàn)楹影?/p>

7、朝順?biāo)较驗(yàn)檩S軸x, ,軸軸y指向?qū)χ赶驅(qū)?岸岸, ,則所求航線為則所求航線為)312(32yyhakx . .三、建立微分方程數(shù)學(xué)模型三、建立微分方程數(shù)學(xué)模型1、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型2、復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型、復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型1、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型 利用微分方程求實(shí)際問(wèn)題中未知函數(shù)的一般步驟是：利用微分方程求實(shí)際問(wèn)題中未知函數(shù)的一般步驟是： (1) (1) 分析問(wèn)題，設(shè)所求未知函數(shù)，建立微分方分析問(wèn)題，設(shè)所求未知函數(shù)，建立微分方程，確定初始條件；程，確定初始條件； (2) (2) 求出微分方程的通解；求出微分方程的通解； (3) (3) 根據(jù)初始條件確定通解中的任意常數(shù)，求根據(jù)初

8、始條件確定通解中的任意常數(shù)，求出微分方程相應(yīng)的特解出微分方程相應(yīng)的特解 實(shí)際問(wèn)題需尋求某個(gè)變量實(shí)際問(wèn)題需尋求某個(gè)變量y 隨另一變量隨另一變量 t 的的變化規(guī)律變化規(guī)律 ：y=y(t).直接求直接求很困難很困難 建立關(guān)于未知變量、建立關(guān)于未知變量、未知變量的導(dǎo)數(shù)以及未知變量的導(dǎo)數(shù)以及自變量的方程自變量的方程 建立變量能滿(mǎn)足建立變量能滿(mǎn)足的微分方程的微分方程 ？哪一類(lèi)問(wèn)題哪一類(lèi)問(wèn)題在工程實(shí)際問(wèn)題中在工程實(shí)際問(wèn)題中 “改變改變”、“變化變化”、“增加增加”、“減少減少”等關(guān)等關(guān)鍵詞提示我們注意什么量在變化鍵詞提示我們注意什么量在變化. 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞“速率速率”, “增長(zhǎng)增長(zhǎng)” ,“衰變衰變” ,“邊

9、際邊際的的” ,常涉及到導(dǎo)數(shù)常涉及到導(dǎo)數(shù). 建立方法建立方法常用微分方程常用微分方程運(yùn)用已知物理定律運(yùn)用已知物理定律 利用平衡與增長(zhǎng)式利用平衡與增長(zhǎng)式 運(yùn)用微元法運(yùn)用微元法應(yīng)用分析法應(yīng)用分析法機(jī)理分機(jī)理分析法析法建立微分方程模型時(shí)建立微分方程模型時(shí)應(yīng)用已知物理定律，應(yīng)用已知物理定律，可事半功倍可事半功倍一、運(yùn)用已知物理定律一、運(yùn)用已知物理定律例例1 1 鈾的衰變規(guī)律問(wèn)題：放射性元素由于不斷地鈾的衰變規(guī)律問(wèn)題：放射性元素由于不斷地有原子放射出微粒子變成其他元素，鈾的含量有原子放射出微粒子變成其他元素，鈾的含量不斷的減少，這種現(xiàn)象稱(chēng)為衰變，由原子物理不斷的減少，這種現(xiàn)象稱(chēng)為衰變，由原子物理學(xué)知道，

10、鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量含量M M成正比，已知成正比，已知t t0 0時(shí)刻鈾的含量為時(shí)刻鈾的含量為 ，求在衰變過(guò)程中鈾的含量求在衰變過(guò)程中鈾的含量M M（t t）隨時(shí)間隨時(shí)間t t的變化的變化規(guī)律。規(guī)律。0M鈾的衰變速度就是鈾的衰變速度就是 對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) ， 解解 因此，因此，( )tM tCe由于衰變速度與其含量成正比，可知未知函數(shù)滿(mǎn)足由于衰變速度與其含量成正比，可知未知函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式關(guān)系式： (1)dMMdt 對(duì)上式兩端積分得：對(duì)上式兩端積分得： dMdt( )M t(0) 是衰變系數(shù)是衰變系數(shù)00tMM且初始條件且初始條件

11、分離變量得分離變量得dMdtM lnlnMtc 代入初始條件得代入初始條件得0CM所以有，所以有，0( )tM tM e這就是鈾的衰變規(guī)律這就是鈾的衰變規(guī)律。 例例2 一個(gè)較熱的物體置于室溫為一個(gè)較熱的物體置于室溫為180c的的房間內(nèi)，該物體最初的溫度是房間內(nèi)，該物體最初的溫度是600c，3分鐘以后分鐘以后降到降到500c .想知道它的溫度降到想知道它的溫度降到300c 需要多少時(shí)需要多少時(shí)間？間？10分鐘以后它的溫度是多少？分鐘以后它的溫度是多少？ 牛頓冷卻（加熱）定律：牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為將溫度為T(mén)的物體的物體放入處于常溫放入處于常溫 m 的介質(zhì)中時(shí)，的介質(zhì)中時(shí)，T的變化速率的變

12、化速率正比于正比于T與周?chē)橘|(zhì)的溫度差與周?chē)橘|(zhì)的溫度差. . 分析分析：假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較：假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較高的物體時(shí)，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室溫高的物體時(shí)，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室溫分布均衡分布均衡, ,保持為保持為m，采用牛頓冷卻定律是一個(gè)，采用牛頓冷卻定律是一個(gè)相當(dāng)好的近似相當(dāng)好的近似. .建立模型建立模型：設(shè)物體在冷卻過(guò)程中的溫度為設(shè)物體在冷卻過(guò)程中的溫度為T(mén)(t)，t0， “T的變化速率正比于的變化速率正比于T與周?chē)橘|(zhì)的溫度差與周?chē)橘|(zhì)的溫度差” 翻譯為翻譯為成正比成正比與與mTdtdT 數(shù)學(xué)語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言 .60)0(),(TmTkdtdT建立微

13、分方程建立微分方程其中參數(shù)其中參數(shù)k 0，m=18. 求得一般解為求得一般解為 ln(Tm)=k t+c,代入條件代入條件: 求得求得c=42 ， , 最后得最后得2116ln31 k T(t)=18+42 , t 0. te2116ln31, 0, tcemTkt或或結(jié)果結(jié)果 ：T(10)=18+42 =25.870，102116ln31 e該物體溫度降至該物體溫度降至300c 需要需要8.17分鐘分鐘. (0)60T(3)50T 例例3 3 刑事偵察中死亡時(shí)間的鑒定刑事偵察中死亡時(shí)間的鑒定 牛頓冷卻定律指出：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣牛頓冷卻定律指出：物體在空氣中冷卻的速度與物

14、體溫度和空氣溫度之差成正比，現(xiàn)將牛頓冷卻定律應(yīng)用于刑事偵察中死亡時(shí)間的鑒溫度之差成正比，現(xiàn)將牛頓冷卻定律應(yīng)用于刑事偵察中死亡時(shí)間的鑒定。當(dāng)一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從原來(lái)的定。當(dāng)一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從原來(lái)的3737按照牛頓冷卻定律按照牛頓冷卻定律開(kāi)始下降，如果兩個(gè)小時(shí)后尸體溫度變?yōu)殚_(kāi)始下降，如果兩個(gè)小時(shí)后尸體溫度變?yōu)?535，并且假定周?chē)諝獾?，并且假定周?chē)諝獾臏囟缺３譁囟缺３?020不變，試求出尸體溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律。又如果尸體不變，試求出尸體溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律。又如果尸體發(fā)現(xiàn)時(shí)的溫度是發(fā)現(xiàn)時(shí)的溫度是3030，時(shí)間是下午，時(shí)間是下午4 4點(diǎn)整，那么謀殺是何時(shí)發(fā)生的？點(diǎn)整，那么謀殺

15、是何時(shí)發(fā)生的？解解設(shè)尸體的溫度為設(shè)尸體的溫度為 ，其冷卻速度為，其冷卻速度為 ，根據(jù)題意，根據(jù)題意， ，)(tHtHddtHdd20Hk即得微分方程模型即得微分方程模型0k 37020ddHHktH其中其中 是常數(shù)，分離變量并求解得是常數(shù)，分離變量并求解得: :0kktCeH 20代入初值條件代入初值條件 ，求得，求得 。于是得該初值問(wèn)題的解為。于是得該初值問(wèn)題的解為 370 H17C( )2017ktH te2172035keteH063. 01720k為求出為求出 值，根據(jù)兩小時(shí)后尸體溫度為值，根據(jù)兩小時(shí)后尸體溫度為3535這一條件，有這一條件，有063. 0k求得求得 ，于是溫度函數(shù)為，

16、于是溫度函數(shù)為30Htte063. 017104 . 8t將將 代入式代入式(6-21)(6-21)求解求解 ，有，有 ，即得，即得 （小時(shí)）。（小時(shí)）。4 . 8于是，可以判定謀殺發(fā)生在下午于是，可以判定謀殺發(fā)生在下午4 4點(diǎn)尸體被發(fā)現(xiàn)前的點(diǎn)尸體被發(fā)現(xiàn)前的 小時(shí)，小時(shí)，即即8 8小時(shí)小時(shí)2424分鐘，所以謀殺是在上午分鐘，所以謀殺是在上午7 7點(diǎn)點(diǎn)3636分發(fā)生的。分發(fā)生的。另一個(gè)例子：已知物體在空氣中冷卻的速率與該另一個(gè)例子：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比設(shè)有一瓶熱水，物體及空氣兩者溫度的差成正比設(shè)有一瓶熱水，水溫原來(lái)是水溫原來(lái)是100100，空氣的溫度是，空氣

17、的溫度是2020，經(jīng)過(guò)，經(jīng)過(guò)2020小時(shí)以后，瓶?jī)?nèi)水溫降到小時(shí)以后，瓶?jī)?nèi)水溫降到6060，求瓶?jī)?nèi)水溫的變，求瓶?jī)?nèi)水溫的變化規(guī)律化規(guī)律 例例3 3：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比設(shè)：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比設(shè)有一瓶熱水，水溫原來(lái)是有一瓶熱水，水溫原來(lái)是100100，空氣的溫度是，空氣的溫度是2020，經(jīng)過(guò)，經(jīng)過(guò)2020小時(shí)以后，瓶?jī)?nèi)小時(shí)以后，瓶?jī)?nèi)水溫降到水溫降到6060，求瓶?jī)?nèi)水溫的變化規(guī)律，求瓶?jī)?nèi)水溫的變化規(guī)律 解解 可以認(rèn)為在水的冷卻過(guò)程中，空氣可以認(rèn)為在水的冷卻過(guò)程中，空氣的溫度是不變的的溫度是不變的 由題意，得由題意，得 其中

18、其中 k k 是比例系數(shù)是比例系數(shù)( ( k k 0 )0 ) 由于是單調(diào)減少的，即由于是單調(diào)減少的，即 0ddt 設(shè)瓶?jī)?nèi)水的溫度設(shè)瓶?jī)?nèi)水的溫度 與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系為與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系為 ， )(t 則水的冷卻速率為則水的冷卻速率為 , dtd (1) )20( kdtd所以所以(1)(1)式右邊前面應(yīng)加式右邊前面應(yīng)加“負(fù)號(hào)負(fù)號(hào)”初始條件為初始條件為1000 t 對(duì)對(duì)(1)(1)式分離變量，得式分離變量，得 于是方程于是方程(1)(1)的特解為的特解為 8020k tekdtd 20 兩邊積分兩邊積分 dtkd20 得得 Cktln)20ln( t kt kCCt kCeeee lnln2

19、0 即即20 t kCe 把初始條件把初始條件 代入上式代入上式，求得求得 C = 80 ， 1000 t 其中比例系數(shù)其中比例系數(shù) k 可用問(wèn)題所給的另一條件可用問(wèn)題所給的另一條件 來(lái)確定，來(lái)確定， 6020 t 即即 20806020 te解得解得 0347. 05 . 0ln201 k因此瓶?jī)?nèi)水溫因此瓶?jī)?nèi)水溫 與時(shí)間與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系為的函數(shù)關(guān)系為t20800347. 0 te 二二. 利用平衡與增長(zhǎng)式利用平衡與增長(zhǎng)式 許多研究對(duì)象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種許多研究對(duì)象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種不變不變的特性的特性，如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等，如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等. 利用變量間的平衡與

20、增長(zhǎng)特性利用變量間的平衡與增長(zhǎng)特性, ,可分析和建可分析和建立有關(guān)變量間的相互關(guān)系立有關(guān)變量間的相互關(guān)系. . 解解例例1 1 某車(chē)間體積為某車(chē)間體積為12000立方米立方米, 開(kāi)始時(shí)空氣中開(kāi)始時(shí)空氣中含有含有 的的 , 為了降低車(chē)間內(nèi)空氣中為了降低車(chē)間內(nèi)空氣中 的含量的含量, 用一臺(tái)風(fēng)量為每秒用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含通入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時(shí)以同樣的同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)6分分鐘后鐘后, 車(chē)間內(nèi)車(chē)間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%

21、03. 0設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后 時(shí)刻時(shí)刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內(nèi)內(nèi),2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改變量的改變量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車(chē)間內(nèi)車(chē)間內(nèi) 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO二二.

22、 利用平衡與增長(zhǎng)式利用平衡與增長(zhǎng)式 對(duì)某地區(qū)時(shí)刻對(duì)某地區(qū)時(shí)刻 t 的人口總數(shù)的人口總數(shù)N(t)，除考慮個(gè)，除考慮個(gè)體的體的出生、死亡出生、死亡，再進(jìn)一步考慮遷入與遷出，再進(jìn)一步考慮遷入與遷出的影響的影響. . 在很短的時(shí)間段在很短的時(shí)間段t 內(nèi)內(nèi)，關(guān)于關(guān)于N(t)變化的一個(gè)變化的一個(gè)最簡(jiǎn)單的模型是：最簡(jiǎn)單的模型是： t時(shí)間內(nèi)的人口增長(zhǎng)量時(shí)間內(nèi)的人口增長(zhǎng)量=t內(nèi)出生人口數(shù)內(nèi)出生人口數(shù)t內(nèi)死亡人口數(shù)內(nèi)死亡人口數(shù)+ t內(nèi)遷入人口數(shù)內(nèi)遷入人口數(shù)t內(nèi)遷出人口數(shù)內(nèi)遷出人口數(shù) t時(shí)間內(nèi)的凈改變量時(shí)間內(nèi)的凈改變量=t時(shí)間內(nèi)輸入量時(shí)間內(nèi)輸入量t時(shí)間內(nèi)輸出量時(shí)間內(nèi)輸出量 般化般化更一更一基本模型基本模型三三. 微

23、元法微元法 基本思想基本思想： 通過(guò)分析研究對(duì)象的有關(guān)變量在通過(guò)分析研究對(duì)象的有關(guān)變量在 一個(gè)很短時(shí)間內(nèi)的變化情況一個(gè)很短時(shí)間內(nèi)的變化情況.例例 一個(gè)高為一個(gè)高為2米的球體容器里盛了一半米的球體容器里盛了一半的水，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面的水，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面積為積為1 1平方厘米平方厘米. . 試求放空容器所需要的時(shí)間試求放空容器所需要的時(shí)間. .2米對(duì)孔口的流速做兩條假設(shè)對(duì)孔口的流速做兩條假設(shè) ： 1t 時(shí)刻的流速時(shí)刻的流速v 依賴(lài)于依賴(lài)于此刻容器內(nèi)水的高度此刻容器內(nèi)水的高度h(t). 2 整個(gè)放水過(guò)程無(wú)能整個(gè)放水過(guò)程無(wú)能量損失。量損失。 分析分析：放空容器放空

24、容器？容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的高度為零容器內(nèi)水的高度為零 模型建立：模型建立：由水力學(xué)知：水從孔口流出的由水力學(xué)知：水從孔口流出的流量流量Q為通過(guò)為通過(guò)“孔口橫截面的水的體積孔口橫截面的水的體積V對(duì)時(shí)對(duì)時(shí)間間t 的變化率的變化率”，即即ghSdtdVQ262. 0 S孔口橫截面積（單位：平方厘米）孔口橫截面積（單位：平方厘米） h(t) 水面高度（單位：厘米）水面高度（單位：厘米） t時(shí)間（單位：秒）時(shí)間（單位：秒）當(dāng)當(dāng)S=1平方厘米平方厘米，有有)1(262. 0dtghdV h(t)h+hr1r2水位降低水位降低體積變化體積變化 在在t，t+t 內(nèi)，內(nèi)，水面高度水面高

25、度 h(t) 降至降至h+h(h0), 容器中水的體積的改變量為容器中水的體積的改變量為)()(hhVhVV )()(32221horrh )(2hohr 222200)100(100hhhr 記記令令t 0, 得得 dV=r2 dh， （2） 比較比較(1)、(2)兩式得微分方程如下：兩式得微分方程如下： .100,)200(262. 002thdhhhdtgh 積分后整理得積分后整理得 )31000700000(265. 42523hhgt 0h100 令令 h=0，求得完全排空需要約求得完全排空需要約2小時(shí)小時(shí)58分分. 另一個(gè)例子另一個(gè)例子 有高為有高為1米的半球形容器米的半球形容器,

26、 水從它的底部小水從它的底部小孔流出孔流出, 小孔橫截面積為小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米(如圖如圖). 開(kāi)始開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿(mǎn)了水時(shí)容器內(nèi)盛滿(mǎn)了水, 求水從小孔流出過(guò)程中容器求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)隨時(shí)間間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.解解 由力學(xué)知識(shí)得由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流水從孔口流出的流量為出的流量為,262. 0ghSdtdVQ 流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 設(shè)在微小的時(shí)間間隔設(shè)在微小的時(shí)間間隔,dttt 水面的高度由水面的

27、高度由h降至降至 ,dhh ,2dhrdV 則則,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比較比較(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即為未知函數(shù)的微分方程即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量可分離變量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為四.分析法分析法 基本思想：基本思想：根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)，根據(jù)

28、對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系分析其因果關(guān)系, 找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律. 例例( (獨(dú)家廣告模型獨(dú)家廣告模型) )廣告是調(diào)整商品銷(xiāo)廣告是調(diào)整商品銷(xiāo)售的強(qiáng)有力的手段售的強(qiáng)有力的手段, , 廣告與銷(xiāo)售量之間有什廣告與銷(xiāo)售量之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？如何評(píng)價(jià)不同時(shí)期的廣告效果？么內(nèi)在聯(lián)系？如何評(píng)價(jià)不同時(shí)期的廣告效果？分析分析 廣告的效果廣告的效果, 可做如下的條件假設(shè)：可做如下的條件假設(shè)： *1. 商品的銷(xiāo)售速度會(huì)因廣告而增大商品的銷(xiāo)售速度會(huì)因廣告而增大, 當(dāng)商品當(dāng)商品在市場(chǎng)上趨于飽和時(shí)，銷(xiāo)售速度將趨于一個(gè)極在市場(chǎng)上趨于飽和時(shí)，銷(xiāo)售速度將趨于一個(gè)極限值；限值；*2. 商品銷(xiāo)售率

29、（銷(xiāo)售加速度）隨商品銷(xiāo)售商品銷(xiāo)售率（銷(xiāo)售加速度）隨商品銷(xiāo)售速度的增高而降低；速度的增高而降低； *3. 選擇如下廣告策略，選擇如下廣告策略，t時(shí)刻的廣告費(fèi)用為：時(shí)刻的廣告費(fèi)用為： .,0;0,)( ttAtA建模建模 記記 S(t) t 時(shí)刻商品的銷(xiāo)售速度時(shí)刻商品的銷(xiāo)售速度； M 銷(xiāo)售飽和水平，即銷(xiāo)售速度的上限；銷(xiāo)售飽和水平，即銷(xiāo)售速度的上限； （0） 衰減因子，廣告作用隨時(shí)間的衰減因子，廣告作用隨時(shí)間的推移而自然衰減的速度推移而自然衰減的速度.直接建立微分方程直接建立微分方程 )()(1)(tSMtStpAdtdS 稱(chēng)稱(chēng) p 為響應(yīng)系數(shù)為響應(yīng)系數(shù)，表征表征A(t) 對(duì)對(duì) S(t) 的影響力的

30、影響力.模型分析模型分析：是否與前三條假設(shè)相符？是否與前三條假設(shè)相符？改寫(xiě)模型改寫(xiě)模型)()()(tStSMMtApdtdS )()()(tStSMMtApdtdS 假設(shè)假設(shè)1*市場(chǎng)市場(chǎng)“余余額額”假設(shè)假設(shè)2*銷(xiāo)售速度因廣告作用增大銷(xiāo)售速度因廣告作用增大, 同時(shí)同時(shí)又受市場(chǎng)余額的限制又受市場(chǎng)余額的限制. 2、復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型、復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型 邏輯斯諦方程是一種在許多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型邏輯斯諦方程是一種在許多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型, , 下面我們借助樹(shù)的增長(zhǎng)來(lái)建立該模型下面我們借助樹(shù)的增長(zhǎng)來(lái)建立該模型. .一棵小樹(shù)剛栽下去的時(shí)候一棵小樹(shù)剛栽下去的時(shí)候長(zhǎng)得比較慢長(zhǎng)得比較慢, , 漸漸地漸

31、漸地, , 小樹(shù)長(zhǎng)高了而且長(zhǎng)得越來(lái)越快小樹(shù)長(zhǎng)高了而且長(zhǎng)得越來(lái)越快, , 幾年不見(jiàn)幾年不見(jiàn), , 綠蔭底下已經(jīng)可乘涼了綠蔭底下已經(jīng)可乘涼了; ; 但長(zhǎng)到某一高度后但長(zhǎng)到某一高度后, , 它的生長(zhǎng)速度趨于它的生長(zhǎng)速度趨于穩(wěn)定穩(wěn)定, , 然后再慢慢降下來(lái)然后再慢慢降下來(lái). . 這一現(xiàn)象很具有普遍性這一現(xiàn)象很具有普遍性. . 現(xiàn)在我們來(lái)現(xiàn)在我們來(lái)建立這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型建立這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型. .如果假設(shè)樹(shù)的生長(zhǎng)速度與它目前的高如果假設(shè)樹(shù)的生長(zhǎng)速度與它目前的高度成正比度成正比, , 則顯然不符合兩頭尤其是后期的生長(zhǎng)情形則顯然不符合兩頭尤其是后期的生長(zhǎng)情形, , 因?yàn)闃?shù)不因?yàn)闃?shù)不可能越長(zhǎng)越快可能越長(zhǎng)越快;

32、 ; 但如果假設(shè)樹(shù)的生長(zhǎng)速度正比于最大高度與目前但如果假設(shè)樹(shù)的生長(zhǎng)速度正比于最大高度與目前高度的差高度的差, , 則又明顯不符合中間一段的生長(zhǎng)過(guò)程則又明顯不符合中間一段的生長(zhǎng)過(guò)程. . 折衷一下折衷一下, , 我我們假定它的生長(zhǎng)速度既與目前的高度們假定它的生長(zhǎng)速度既與目前的高度, ,又與最大高度與目前高度又與最大高度與目前高度之差成正比之差成正比. . 案例案例1 1 小樹(shù)生長(zhǎng)問(wèn)題小樹(shù)生長(zhǎng)問(wèn)題邏輯斯諦方程邏輯斯諦方程 )()()(thHtkhdttdh0k,)(kdthHhdh,)(kdthHhdh設(shè)樹(shù)生長(zhǎng)的最大高度為設(shè)樹(shù)生長(zhǎng)的最大高度為H(m), 在在t(年年)時(shí)的高度時(shí)的高度為為h(t),

33、 則有則有其中其中 是比例常數(shù)是比例常數(shù). 這個(gè)方程為這個(gè)方程為L(zhǎng)ogistic方程方程. 它是它是可分離變量的一階常數(shù)微分方程可分離變量的一階常數(shù)微分方程.下面來(lái)求解方程，下面來(lái)求解方程， 分離變量得分離變量得兩邊積分兩邊積分 ,)ln(ln11CkthHhH,21kHtHCkHteCehHh,11)(22kHtkHtkHtCeHeCHeCth或或所求通解所求通解0112HCeCCC其中其中是常數(shù)。是常數(shù)。)(th.)(limHtht的圖象稱(chēng)為的圖象稱(chēng)為L(zhǎng)ogistic曲線曲線. 它的形狀它的形狀, 一般也稱(chēng)為一般也稱(chēng)為S曲線曲線. 可以看到可以看到, 它基本符合我們描述的樹(shù)的生長(zhǎng)情形它基本

34、符合我們描述的樹(shù)的生長(zhǎng)情形. 另外還可以算得另外還可以算得這說(shuō)明樹(shù)的生長(zhǎng)有一個(gè)限制這說(shuō)明樹(shù)的生長(zhǎng)有一個(gè)限制, 因此也稱(chēng)為限制性增長(zhǎng)模式因此也稱(chēng)為限制性增長(zhǎng)模式.背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長(zhǎng)概況世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)控制人口過(guò)快增

35、長(zhǎng)案例案例2 常用的計(jì)算公式常用的計(jì)算公式kkrxx)1 (0今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 rk年后人口指數(shù)增長(zhǎng)模型指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯提出馬爾薩斯提出 ( (1798) )x(t) 時(shí)刻時(shí)刻t t的的人口人口基本假設(shè)基本假設(shè) : : 人口人口( (相對(duì)相對(duì)) )增長(zhǎng)率增長(zhǎng)率 r r 是常數(shù)，即單位是常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與人口成正比，且比例系數(shù)為時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與人口成正比，且比例系數(shù)為r()( )( )x ttx trx tt 隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)根據(jù)假設(shè)，在根據(jù)假設(shè)，在 到到 時(shí)間段內(nèi)，人口的增長(zhǎng)量為時(shí)間段內(nèi)，人口的增長(zhǎng)量為tt

36、tttrxtxttx)()()(trextx)()(0trx)1 (00(0)dxrxdtxx模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn) 據(jù)估計(jì)據(jù)估計(jì)19611961年地球上人口總數(shù)為年地球上人口總數(shù)為30.630.6億，在以后億，在以后7 7年中，年中，人口總數(shù)以每年人口總數(shù)以每年 的數(shù)度增長(zhǎng)，這樣的數(shù)度增長(zhǎng)，這樣9 0.02( 1961)( ) 3.06 10tx te2%9001961,3.06 10 ,0.02txr8(2670) 36000 1036000 x億也就是說(shuō)到也就是說(shuō)到26702670年，地球上將有年，地球上將有3600036000億人口，非常荒謬。億人口，非?；闹嚒＿@個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了這個(gè)公

37、式非常準(zhǔn)確地反映了1700170019611961年世界人口的總數(shù)。年世界人口的總數(shù)。但是：但是：指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不符合不符合1919世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程事實(shí)：人口增長(zhǎng)率事實(shí)：人口增長(zhǎng)率r r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型 (Logistic(Logistic模型模型) )人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假定：) 0,()(srsxrxrr固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1 ()(mxxrxrr是x的減函數(shù)mxrs 0)(mxr阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型 (Logistic(Logistic模型模型) )rxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110 tx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2模型的參數(shù)估計(jì)模