工程圖學第2章點、直線和平面的投影

1、第2章 點、直線和平面的投影2.1 2.1 投影法概述投影法概述 2.1.1 2.1.1 中心投影法中心投影法 2.1.2 2.1.2 平行投影法平行投影法 2.1.3 2.1.3 正投影法的主要投影特性正投影法的主要投影特性 2.1.4 2.1.4 工程上常用的投影圖工程上常用的投影圖投影法的概念投影法的概念投影面投影面Pa 投影投影投射線投射線bS 投射中心投射中心A 空間點空間點B 將光線通過物體向選定的平面投射，并在該平面將光線通過物體向選定的平面投射，并在該平面上得到物體影子的方法稱為上得到物體影子的方法稱為投影法投影法。投影法的分類投影法的分類 1. 1. 中心投影法中心投影法 投

2、射線匯交于一點。投射線匯交于一點。 投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。投影的大小有影響。度量性較差度量性較差 2. 2. 平行投影法平行投影法 投射線互相平行。投射線互相平行。 投影大小與物體和投影面之間的距離無關。投影大小與物體和投影面之間的距離無關。度量度量性較好性較好 （1 1）斜投影）斜投影 投射線與投影面傾斜的平行投影投射線與投影面傾斜的平行投影。 （2 2）正投影）正投影 投射線與投影面垂直的平行投影。投射線與投影面垂直的平行投影。中心投影法中心投影法中心投影法中心投影法 : : 投射線匯交一點的投影法投射線匯交一

3、點的投影法投射中心投射中心投射線投射線平面圖形平面圖形投影面投影面投影投影2.1.2 平行投影法平行投影法平行投影法 : : 投射線相互平行的投影法投射線相互平行的投影法 （投射中心（投射中心位于無限遠處）位于無限遠處）平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法正投影法正投影法 工程圖樣工程圖樣（零件圖和裝配圖）（零件圖和裝配圖）多面投影圖多面投影圖 單面投影圖單面投影圖 單面投影圖單面投影圖 輔助圖樣輔助圖樣（正等軸測圖）（正等軸測圖） 輔助圖樣輔助圖樣 （斜二軸測圖）（斜二軸測圖）平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法正投影法：正投影法：投射線與投影面相垂直的平行投影法。投射線與投

4、影面相垂直的平行投影法。斜投影法：斜投影法：投射線與投影面相傾斜的平行投影法。投射線與投影面相傾斜的平行投影法。2.1.3 正投影法的主要投影特性 1.1. 實形性實形性 當線段或平面平行于投影面時，當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或實形。其投影反映實長或實形。 2.2. 積聚性積聚性 當線段或平面垂直于投影面時，當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。其投影積聚為點或線段。 3.3. 類似性類似性 當線段或平面傾斜于投影面時，當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。其投影變短或變小。上一頁上一頁下一頁下一頁返回目錄返回目錄實形性實形性CDEBAPabedc當線段或平

5、面平行于投影面時，其投影反映實長或實形。當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或實形。積聚性積聚性edca（b）CDEBAP當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。類似性類似性CDEedcBAabP當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。2.1.4 工程上常用的投影圖1.1.正投影圖（多面）正投影圖（多面） 2.2.軸測圖（單面）軸測圖（單面） 3.3.透視圖（單面）透視圖（單面） 4.4.標高投影圖（單面）標高投影圖（單面） 2.2 2.2 點的投影點的投影 2.2.1 2.2

6、.1 點在三投影面體系中的投影點在三投影面體系中的投影 2.2.22.2.2 兩點之間的相對位置關系兩點之間的相對位置關系 2.2.1 2.2.1 點在三投影面體系中的投影點在三投影面體系中的投影點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置HVOXa aA1. 1. 三投影面體系的建立三投影面體系的建立HVXOZYW 三投影面體系由三投影面體系由V、H、W三個投影面構成。三個投影面構成。 H、V、W面將空間分成八個分角，處在前、上、左側的那個分角面將空間分成八個分角，處在前、上、左側的那個分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。稱為第一分角。我們通常把

7、物體放在第一分角中來研究。 2. 2. 點的投影點的投影HVXZYWOA 點的三面投影圖是將空間點向三個投影面作正投影后，將點的三面投影圖是將空間點向三個投影面作正投影后，將三個投影面展開在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定三個投影面展開在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定V面不面不動，動，H面向下旋轉面向下旋轉90 ，W面向右旋轉面向右旋轉90 。aaaHa a VWXOZYWYHaa a XOZYWYHa3. 3. 點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律HVXZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazay點的點的V面投影與面投影與H面投影之間的連線垂直面投影之間的連線垂直O(jiān)X軸，

8、軸，aaOX ；點的點的V面投影與面投影與W面投影之間的連線垂直面投影之間的連線垂直O(jiān)Z軸，軸，a a OZ；點的點的H面投影到面投影到OX軸的距離及點的軸的距離及點的W面投影到面投影到OZ 軸的距離兩軸的距離兩者相等，反映點到者相等，反映點到V面的距離。面的距離。 長對正長對正 高平齊高平齊 寬相等寬相等A例例1 已知點已知點A的正面與側面投影，求點的正面與側面投影，求點A的水平投影。的水平投影。ZYHXYWOa a aHaa VWXOZYWYHaxayazay4. 4. 點的投影與直角坐標的關系點的投影與直角坐標的關系 點的投影就反映了點的坐標值，其投影與坐標值之間存點的投影就反映了點的坐

9、標值，其投影與坐標值之間存在著對應關系。在著對應關系。yAxAzAHVXZYWOAayaxazxyzaaaa yA 已知點已知點B的坐標為（的坐標為（25,20,30)，求作點，求作點B的三面投影。的三面投影。XYWYHZO（1）在）在OX軸上截取坐標長度軸上截取坐標長度25，過截點作垂直線。，過截點作垂直線。（2）在）在OZ軸上截取坐標長度軸上截取坐標長度30，過截點作水平線，作出投，過截點作水平線，作出投影影b。（3）在）在OY軸上截取坐標長度軸上截取坐標長度20，作出投影作出投影b、b。bbb302520a aa XOZYWaxayayb c c b b c 特殊位置點的投影特殊位置點的

10、投影投影面上的點投影面上的點 一個投影與投影面重合，另兩個投影投影軸上。一個投影與投影面重合，另兩個投影投影軸上。投影軸上的點投影軸上的點 兩個投影與投影軸重合，另一個投影在原點上。兩個投影與投影軸重合，另一個投影在原點上。與原點重合的點與原點重合的點 點的三個坐標為零，三個投影都與原點重合。點的三個坐標為零，三個投影都與原點重合。 HVXZYWAaa a Bb Cc c c Ob 6. 6. 點在其他分角中的投影點在其他分角中的投影投影特點：投影特點： (1) (1) 第二分角中的第二分角中的B B點點, , 其其V V面投影面投影b b 和和H H面投影面投影b b都在都在X X軸上方。軸

11、上方。 (2) (2) 第三分角中的第三分角中的C C點點, , 其其V V面投影面投影c c 在在X X軸下方軸下方, H, H面投影面投影c c在在X X軸的上方。軸的上方。 (3) (3) 第四分角中的第四分角中的D D點點, , 其其V V面投影面投影d d 和和H H面投影面投影d d都在都在X X軸下方。軸下方。2.2.22.2.2 兩點之間的相對位置關系兩點之間的相對位置關系XOZY兩點相對位置的確定兩點相對位置的確定a a ab b bBA 兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠近兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠近（或坐標大小）來確定的。（或坐標大小）來確定的

12、。X坐標值大的點在左；坐標值大的點在左；Y坐標值坐標值大的點在前；大的點在前；Z坐標值大的點在上。坐標值大的點在上。 XZYWYHOaa ab bb 2. 2. 重影點重影點Dc(d)a(b)abAB 若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。cdCOX重影點可見性判別重影點可見性判別XYHZYWOc(d )ba(b)acda b c d 判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影

13、，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。見點的投影加括號表示。例例3 3 已知已知A A點在點在B B點的右點的右1010毫米、前毫米、前6 6毫米、上毫米、上1212毫米，求毫米，求A A點的投影。點的投影。a a aXZYWYHOb bb 121062.3 2.3 直線的投影直線的投影2.3.2 2.3.2 直線對投影面的相對位置及投影特性直線對投影面的相對位置及投影特性2.3.3 2.3.3 直線上的點直線上的點 2.3.1 2.3.1 直線的三面投影圖直線的三面投影圖2.3.4 2.3.4 一般位置線段的實長及對投影

14、面的傾角一般位置線段的實長及對投影面的傾角 2.3.5 2.3.5 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 2.3.6 2.3.6 垂直兩直線的投影（垂直兩直線的投影（直角投影定理）直角投影定理） OXZY直線的三面投影圖直線的三面投影圖ABbbabaaZXOYHYW 空間任何一直線可由直線上任意兩點所確定，直線在某空間任何一直線可由直線上任意兩點所確定，直線在某一投影面的投影可由該直線上某兩點的一投影面的投影可由該直線上某兩點的同面投影同面投影所確定。所確定。a a ab bb 2.3.2 2.3.2 直線對投影面的相對位置及投影特性直線對投影面的相對位置及投影特性1.1.一般位置直線一般位置直線

15、 2.2.投影面平行線投影面平行線 平行于一個投影面，與其它兩個投影面傾斜的直線。平行于一個投影面，與其它兩個投影面傾斜的直線。 正平線正平線: : V，對，對H、W面傾斜面傾斜 水平線水平線: : H，對，對V、W傾斜傾斜 側平線側平線: : W對對H、V傾斜傾斜3.3.投影面垂直線投影面垂直線 垂直于一個投影面，與其它兩個投影面平行的直線。垂直于一個投影面，與其它兩個投影面平行的直線。 鉛垂線鉛垂線：H面，面，V，W 正垂線：正垂線：V面，面，H，W 側垂線：側垂線：W面，面，H，V 與三投影面既不平行也不垂直，與三投影面既不平行也不垂直，而是傾斜的直線。而是傾斜的直線。統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)

16、稱特殊位置直線XZYO1.1.投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性Xabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1. ab OX ; a b OZ 2. a b =AB 3. 反映反映 、 角的真實大小角的真實大小aababb水平線水平線XZYOaababb a b ab baAB投影特性：投影特性：1、a b OX ; a b OYW 2、ab=AB 3、反映反映 、 角的真實大小角的真實大小XOYHYWZXZYO側平線側平線XZOYHYWa b babaAB投影特性：投影特性： 1、a b OZ ; ab OYH 2、a b =AB 3 、反映反映 、 角的真實大小角的真

17、實大小aa b a bb投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性1.1.直線在所平行的投影面上的投影直線在所平行的投影面上的投影, ,反映其實長和與其它兩個投影面的傾角（具有實形性）。反映其實長和與其它兩個投影面的傾角（具有實形性）。2.2.直線在其它兩個投影面上的投影分別平行直線所平行投影面包含的兩個投影軸直線在其它兩個投影面上的投影分別平行直線所平行投影面包含的兩個投影軸, ,且小于實長且小于實長。 正平線正平線 水平線水平線 側側 平線平線2. 2. 投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性OXZY投影特性投影特性： 1、 a b 積聚積聚 成一點成一點 2 、 ab OX ;

18、a b OZ 3 、 ab = a b =ABABzX(a)b baOYHYWabb(a)babaOXZYZb Xa b a(b)OYHYWa 投影特性：投影特性：1、a b 積聚積聚 成一點成一點 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB鉛垂線鉛垂線 垂直于水平投影面的直線垂直于水平投影面的直線ABb a(b)a ab側垂線側垂線 垂直于側面投影面的直線垂直于側面投影面的直線OXZYAB投影特性：投影特性：1、a b 積聚積聚 成一點成一點 2 、 ab OYH ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABbaa(b)abZXa(b)baOYHYWab投影

19、面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性 正垂線正垂線鉛垂線鉛垂線側垂線側垂線1.1.直線在所垂直的投影面上的投影積聚成一點（具有積聚性）。直線在所垂直的投影面上的投影積聚成一點（具有積聚性）。2.2.直線在其它兩個投影面上的投影分別垂直于所垂直投影面包含的兩個投影軸直線在其它兩個投影面上的投影分別垂直于所垂直投影面包含的兩個投影軸, ,且反映其實長且反映其實長。 OXZY3. 3. 一般位置直線投影特性一般位置直線投影特性ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：投影特性：1. ab、 a b 、a b 均小于實長均小于實長 2. ab、a b 、a b 均傾斜于投影軸均傾斜于投影

20、軸 3. 不反映不反映 、 、 實角實角直線上的點具有兩個特性：直線上的點具有兩個特性： 1.1.從屬性從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。 2.2.定比性定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 直線上的點直線上的點Ccc cb Xa abcc 例例4 已知線段已知線

21、段AB的投影圖，試將的投影圖，試將AB分成分成1：2兩段，求分點兩段，求分點C的投影。的投影。Oka b ba已知點已知點K在線段在線段AB上，求點上，求點K的正面投影。的正面投影。aa b ba b k kk k 利用第三投影利用第三投影利用定比性利用定比性2.3.4 2.3.4 一般位置線段的實長及對投影面的傾角一般位置線段的實長及對投影面的傾角 ABbbaaCXO|zA-zB| 過過A作作ACab得直角三角形得直角三角形ABC，其中，其中AC=ab，BC=Bb-Aa=zB-zA，斜邊，斜邊AB即為實長，即為實長，AB與與AC的夾角即為的夾角即為AB對對H面面的傾角的傾角，這種方法稱為直角

22、三角形法。，這種方法稱為直角三角形法。ABXaabbO作圖要領作圖要領 用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點相對于該投影面的坐標差作為另一條直角以線段的兩端點相對于該投影面的坐標差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。ABbbaaXOABXaabbOYWZYH abZY直角三角形直角三角形的四個要素的四個要素 四個要素包括：四個要素包括：實長、投影長、坐標差及直線對投影面實長、投

23、影長、坐標差及直線對投影面的傾角。的傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。ABab|zA-zB|斜邊直角邊（投影）直角邊（坐標差）夾角（投影與斜邊）實長 水平投影水平投影 Z 正面投影正面投影Y 側面投影側面投影X 例例6 已知線段的實長已知線段的實長AB以及以及ab和和a，求線段的正面投影，求線段的正面投影ab。aXa bAOBb0Ab0Ab0bb 若空間兩直線互相平行，其各組同面投影必平行。反之，若空間兩直線互相平行，其各組同面投影必平行。反之，若兩直線的各組同面投影都互相平行，則空間兩直線必平行。若兩直線的各組同面投影都互相平行，則空間

24、兩直線必平行。 1.1.平行兩直線平行兩直線XbaabdcdcXbaadbbccABCD2.3.5 2.3.5 兩直線的相對位置兩直線的相對位置例例7 判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。 對于一般位置直線，只要對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。間兩直線就平行。ABAB與與CDCD平行。平行。FEFE與與GHGH不平行。不平行。 對于特殊位置直線，只對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行?？臻g直線不一定平行。a b c d ehgff h g e h f e g abcdc

25、a b d 2.2.相交兩直線相交兩直線 兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點符合兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點符合點的投影規(guī)律。點的投影規(guī)律。 反之，若兩直線在同一投影面上的投影相反之，若兩直線在同一投影面上的投影相交，且交點符合點交，且交點符合點 的投影規(guī)律，則該兩直線相交。的投影規(guī)律，則該兩直線相交。OXBDACKbbaaccddkkObXaabkcddck3.3.交叉兩直線交叉兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 XOBDACbb aa c cdd 211 (2 )21b Xa abc d dc11 (2 )

26、2OdacboYWYHZXaacddcbb例例8 8 判斷兩直線的相對位置判斷兩直線的相對位置bbcddcXaa3(4)34122(1)例例9 9 判斷兩直線重影點的可見性判斷兩直線重影點的可見性O 判斷重影點的判斷重影點的可見性時，需要看可見性時，需要看重影點在另一投影重影點在另一投影面上的投影，坐標面上的投影，坐標值大的點投影可見，值大的點投影可見，反之不可見，不可反之不可見，不可見點的投影加括號見點的投影加括號2.3.6 2.3.6 垂直兩直線的投影（直角投影定理）垂直兩直線的投影（直角投影定理）AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面互相垂直（相交或

27、交叉）的兩直線其中一條為投影面平行線時，則兩直線在投影面上的投影必定互相垂直。平行線時，則兩直線在投影面上的投影必定互相垂直。 反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定垂直。中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定垂直。O1.1.垂直相交的兩直線的投影垂直相交的兩直線的投影BHACbcacXabcab已知：已知：ABH面，面，ABBC，求證：，求證：abc=90證明：證明： ABH面面 ABBb 又又ABBC AB平面平面BbcC 又又ABab ab平面平面BbcC abbc， 即即:abc=A

28、BC=90 2.2.交叉垂直的兩直線的投影交叉垂直的兩直線的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB AC, 且且ABH面面, 則有則有ab acbbaaOfeefX例例10 過點過點A 作作EF 線段的垂線線段的垂線AB。例例11 求點求點E 到水平線到水平線AB 的距離。的距離。XOababeeddyD-yE所求距離所求距離例例12 作三角形作三角形ABC， ABC為直角，使為直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3。bbcABab|yA-yB|bc=BCnmaaXmnOc2.4 2.4 平面的投影平面的投影2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法2.4.2 2.

29、4.2 平面對投影面的相對位置平面對投影面的相對位置及投影特性及投影特性2.4.3 2.4.3 平面上的點和直線平面上的點和直線2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd（1 1）不在一直線上的三個點；）不在一直線上的三個點；（2 2）一直線和直線外一點；）一直線和直線外一點；（3 3）相交兩直線；）相交兩直線；（4 4）平行兩直線；）平行兩直線；（5 5）任意平面圖形。）任意平面圖形。2.4.2 2.4.2 平面對投影面的相對位置及投影特性平面對投影面的相對位置及投影特性投影面垂直面投影

30、面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜與三個投影面都傾斜 正垂面正垂面 側垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面 正平面正平面 側平面?zhèn)绕矫?水平面水平面1.1.投影面垂直面投影面垂直面c c 為什么？為什么？是什么位置的平是什么位置的平面？面？abca b b a 類似性類似性類似性類似性積聚性積聚性鉛垂面鉛垂面投影面垂直面投影特性投影面垂直面投影特性正垂面正垂面鉛垂面鉛垂面?zhèn)却姑鎮(zhèn)却姑嫫矫嬖谒蛊矫嬖?/p>

31、所垂 直的投影面上的投影積聚成傾斜于投影軸的直線并反映直的投影面上的投影積聚成傾斜于投影軸的直線并反映該平面對其它兩個投影面的傾角。該平面對其它兩個投影面的傾角。平面的其它兩個投影都是小于原圖形的類似形。平面的其它兩個投影都是小于原圖形的類似形。 2.2.投影面平行面投影面平行面投影特性：投影特性： （1） abc 、 a b c 積聚為直線（具有積聚性）。積聚為直線（具有積聚性）。 （2） 正平面投影正平面投影a b c 反映反映 ABC實形（具有實形性）。實形（具有實形性）。 cabbacbcaVWHbacabcbcaCBA投影面平行面投影特性投影面平行面投影特性正平面正平面水平面水平面?zhèn)?/p>

32、平面?zhèn)绕矫?.1.在所平行的投影面上，平面的投影反映實形。在所平行的投影面上，平面的投影反映實形。2.2.在其它兩個投影面上，平面的投影積聚成直線并平行于該平面在其它兩個投影面上，平面的投影積聚成直線并平行于該平面所平行投影面包含的兩個投影軸。所平行投影面包含的兩個投影軸。 3.3.一般位置平面一般位置平面投影特性：投影特性： （1 ）abc 、 a b c 、 a b c 均為均為 ABC的類似形。的類似形。 （2 ）不直接反映）不直接反映 、 、 。 abbaccbacabcbacabCAB例例13 正垂面正垂面ABC與與H面的夾角為面的夾角為45，已知其水平投影及頂，已知其水平投影及頂點

33、點B的正面投影，求的正面投影，求ABC的正面投影及側面的正面投影及側面 投影。投影。a c b c a abcb 思考：思考：此題有幾個解？此題有幾個解？451. 1. 點和直線在平面上的幾何條件點和直線在平面上的幾何條件（1 1）點在平面上的幾何條件：）點在平面上的幾何條件：點在平面內的某一直線上。點在平面內的某一直線上。（2 2）直線在平面上的幾何條件：）直線在平面上的幾何條件： 通過平面上的兩點；通過平面上的兩點； 通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。 2.4.3 平面上的點和直線MNABMABCNM例例14 已知平面由直線已知平面由直線A

34、B、AC所確定，在平面內任作一條直線。所確定，在平面內任作一條直線。abcb c a d d解法一解法一解法二解法二有多少解？有多少解？有無數(shù)解！有無數(shù)解！n m nmabcb c a 例例15 已知平面已知平面 ABC ，（，（1）判斷點）判斷點K是否在平面是否在平面 ABC 上。上。（2）已知該平面上一點）已知該平面上一點E的正面投影的正面投影e作出水平投影。作出水平投影。k kabcabcddee11XO例例16 已知已知AC為正平線，補全平行四邊形為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。的水平投影。bckada d b c ada d b c k bc解法一解法一解法二解法二2.2

35、.平面上的投影面平行線平面上的投影面平行線VHPPVPH平面上投影面平行線平面上投影面平行線既在平面上又平行于投影面的直線。既在平面上又平行于投影面的直線。 在一個平面上對在一個平面上對V、H、W投影面分別有三組投影面平行線。平面投影面分別有三組投影面平行線。平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質，又與所屬平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質，又與所屬平面保持從屬關系。保持從屬關系。水平線正平線XO例例17 已知點已知點E 在在 ABC平面上，且點平面上，且點E距離距離H面面15，距離，距離V 面面10，試求點，試求點E的投影。的投影。Xabcbacmnm n rsrs1

36、015eeO2.5 2.5 直線與平面、平面與平面的相對位置直線與平面、平面與平面的相對位置下一頁下一頁返回目錄返回目錄2.5.1 平行問題平行問題2.5.2 相交問題相交問題2.5.3 垂直問題垂直問題2.5.3 綜合舉例綜合舉例2.5.1 2.5.1 平行問題平行問題 若一直線平行于平面上的一直線，則該直線與平面平若一直線平行于平面上的一直線，則該直線與平面平行。反之，若平面上不存在與此直線平行的直線，則可行。反之，若平面上不存在與此直線平行的直線，則可斷定直線與平面不平行。斷定直線與平面不平行。 PBDCA1.1.直線與平面平行直線與平面平行例例1 1 過點作水平線平行于平面過點作水平線

37、平行于平面ABCABCm d mdkk b a abc cXO 分析：分析：ABC上的水平線有無數(shù)條，但其方向是確定上的水平線有無數(shù)條，但其方向是確定的，因此過的，因此過K點作平行于點作平行于ABC的水平線也是唯一的。的水平線也是唯一的。 作圖步驟作圖步驟 先在先在ABC內任作水平內任作水平線線AD； 再過點再過點K作作KMAD即即kmad，k m a d，則直線則直線KM為一水平線且平為一水平線且平行于已知平面行于已知平面ABC。 2. 2. 平面與平面平行平面與平面平行 若一平面上的兩相交直線對應地平行于另一平面上的若一平面上的兩相交直線對應地平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩個平面平行

38、。兩相交直線，則這兩個平面平行。ACBDFEPQf e d edfc a acb bm n mnr rss 結論：兩平面平行結論：兩平面平行XO例例2 2 試判斷兩平面是否平行。試判斷兩平面是否平行。例例3 已知平面由平行兩直線已知平面由平行兩直線AB和和CD給定。試過點給定。試過點K作一平面作一平面平行于已知平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrddcaacbbkkXO2.5.2 2.5.2 相交問題相交問題 直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有平面相交有交點交點，交點既在直線上又在平面上，因而交，交點既在直線上又在平面上

39、，因而交點是直線與平面的共有點。兩平面的點是直線與平面的共有點。兩平面的交線交線是直線，它是是直線，它是兩個平面的共有線。求線與面交點、面與面交線的實質兩個平面的共有線。求線與面交點、面與面交線的實質是求是求共有點、共有線共有點、共有線的投影。的投影。 PABKDBCALKEF作圖方法積聚性法 當直線或平面的投影具有積聚性時，可利用積聚性當直線或平面的投影具有積聚性時，可利用積聚性的特性直接做出交點或交線的一個投影，然后再利用在的特性直接做出交點或交線的一個投影，然后再利用在直線或平面上取點的方法求出另一投影。直線或平面上取點的方法求出另一投影。 VHPHPACacNMkbBK1. 1. 投影

40、面傾斜線與特殊位置平面相交投影面傾斜線與特殊位置平面相交bbaaccmmnnkkXOVHPHPACacNMkbBK 當直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時，當直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時，交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影可在直線的另一個投影上找到。個投影可在直線的另一個投影上找到。直線可見性的判別bbaaccmmnkkn 特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能夠特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能夠直接判別直線的可見性直接判別直線的可見性-觀察法觀察法，由水平投影可知，由水平投影可知KM段在平面

41、前，故正面投影上段在平面前，故正面投影上k m 為可見為可見。 XOVHPHPACacNMkbBK2. 2. 投影面垂直線與投影面傾斜面相交投影面垂直線與投影面傾斜面相交 XOa a(b)b c d cefdf kk 分析：分析：直線直線AB是是鉛垂線，鉛垂線，H投影有積聚投影有積聚性，故交點的性，故交點的H投影投影k必和必和a（b）重合。又重合。又因交點因交點K是是CDE上的上的點，因此可用求面上點，因此可用求面上取點的方法，求出取點的方法，求出K點點的的V面面投影投影k。 e 可見性判別可見性判別-重影點法重影點法點點位于位于AB上在前。點上在前。點 位于平面上在后；故位于平面上在后；故k 1 為可見為可見。1 （2 ）213. 3. 投影面傾斜面與特殊位置平面相交投影面傾斜面與特殊位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點共有點的問題的問題, ,由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。VHEdXOe