數(shù)控機床編程與操作7、數(shù)控加工圖形的數(shù)學處理

1、第7講 數(shù)控加工圖形的數(shù)學處理7.1 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理內容數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理內容7.2 直線和圓弧輪廓基點計算方法直線和圓弧輪廓基點計算方法7.3 非圓曲線的節(jié)點計算非圓曲線的節(jié)點計算7.4 刀位點軌跡坐標的計算刀位點軌跡坐標的計算 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 對零件圖形進行數(shù)學處理（又稱數(shù)值計算）是數(shù)控編程前的主要準備工作，對手工編程還是自動編程都是必不可少的。圖形的數(shù)學處理就是根據(jù)零件圖樣的要求，按照已確定的加工路線和允許的編程誤差，計算出數(shù)控系統(tǒng)所需輸入的數(shù)據(jù)。11.1 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理內容數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理內容 對圖形的數(shù)學處理一

2、般包括兩個方面： 根據(jù)零件圖樣給出的形狀、尺寸和公差等直接通過數(shù)學方法（如三角、幾何與解析幾何法等）計算出編程時所需要的有關各點的坐標值、圓弧插補所需要的圓弧圓心、圓弧端點的坐標數(shù)值，即計算零件輪廓的基點和節(jié)點坐標，以便編制加工程序； 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 按照零件圖給出的條件還不能直接計算出編程時所需要的所有坐標值，也不能按零件圖給出的條件直接進行工件輪廓幾何要素的定義來進行自動編程時，那么就必須根據(jù)所采用的具體工藝方法、工藝裝備等加工條件，對零件原圖形及有關尺寸進行必要的數(shù)學處理或改動，才可以進行各點的坐標計算和編程工作。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理1數(shù)值換算

3、數(shù)值換算（1）選擇原點、換算尺寸）選擇原點、換算尺寸 原點是指編制加工程序時所使用的編程原點。加工程序中的字大部分是尺寸字，這些尺寸字中的數(shù)據(jù)是程序的主要內容。同一個零件同樣的加工，如果原點選擇不同，尺寸字中的數(shù)據(jù)就不一樣，所以編程之前首先要選定原點。從理論上講原點選在任何位置都是可以的。但實際上為了換算盡可能簡便，以及尺寸較為直觀（至少讓部分點的指令值與零件圖上的尺寸值相同），應盡可能把原點的位置選得合理些。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 車削件的編程原點X向應取在零件的回轉中心，即車床主軸的軸心線上，所以原點的位置只在Z向做選擇。原點Z向位置一般在工件的左端面或右端面兩者中做選擇

4、。如果是左右對稱的零件，Z向原點應選在對稱平面內，這樣同一個程序可用于調頭前后的兩道加工工序。對于輪廓中有橢圓之類非圓曲線的零件，Z向原點取在橢圓的對稱中心較好。（2）標注尺寸換算）標注尺寸換算 在很多情況下，因其圖樣上的尺寸基準與編程所需要的尺寸基準不一致，故應首先將圖樣上的基準尺寸換算為編程坐標系中的尺寸，再進行下一步數(shù)學處理工作。 1）直接換算。）直接換算。直接通過圖樣上的標注尺寸，即可獲得編程尺寸的一種方法。進行直接換算時，可對圖樣上給定的基本尺寸或極限尺寸的中值，經(jīng)過簡單的加、減運算后即可完成。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理例如，在圖圖1b 中，除尺寸37.32mm外，其余

5、均屬直接按圖圖1a 標注尺寸經(jīng)換算后得到編程尺寸。其中，50.95mm、17mm及120.05mm 三個尺寸為分別取兩極限尺寸平均值后得到的編程尺寸。 在取極限尺寸中值時，如果遇到有第三位小數(shù)值（或更多位小數(shù)），基準孔按照“四舍五入”的方法處理，基準軸則將第三位進上一位，例如： 當孔尺寸為30 0 mm時，其中值尺寸值取30.04mm；+0.072 當軸尺寸為26-0.05 mm時，其中值尺寸取25.9750.005為25.98mm；0當孔尺寸為26 0 mm時，其中值尺寸取26.03mm。+0.05 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理( b )( a )23 83 02 4 5 03 0

6、4 0+ 0 . 1 01 2 01 2 0 . 0 550-0.103 0 3 0 303050.95170.0217133 7 . 3 2圖圖1 標注尺寸換算標注尺寸換算(b)(a)238302 45 03040+0.10120120.0550-0.103030303050.95170.02171337.32 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理2）間接換算）間接換算 指需要通過平面幾何、三角函數(shù)等計算方法進行必要解算后，才能得到其編程尺寸的一種方法。 用間接換算方法所換算出來的尺寸，是直接編程時所需的基點坐標尺寸，也可以是為計算某些基點坐標值所需要的中間尺寸。圖1b 中所示的尺寸37.

7、32mm就是間接換算后得到的編程尺寸。2尺寸鏈計算尺寸鏈計算 如果僅僅為得到其編程尺寸，只須按上述方法即可。但在數(shù)控加工中，除了需要準確地得到其編程尺寸外，還需要掌握控制某些重要尺寸的允許變動量，這就需要通過尺寸鏈解算才能得到。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 在數(shù)控加工中，除了要準確地獲得編程尺寸外，還要掌握控制某些重要尺寸的允許變動量，這就要通過尺寸鏈解算才能得到，故尺寸鏈解算是數(shù)學處理中的一個重要內容。尺寸鏈的基本概念：尺寸鏈的基本概念： 在機器裝配或零件加工過程中，由相互連接的尺寸形成的封閉尺寸組，稱為尺寸鏈。尺寸鏈按其功能分為設計尺寸鏈和工藝尺寸鏈。（1）設計尺寸鏈）設計尺寸

8、鏈 組成尺寸全部為設計尺寸形成的尺寸鏈即為設計尺寸鏈，它又分為兩種：一種是裝配尺寸鏈。即全部組成尺寸為不同零件設計尺寸所形成的尺寸鏈。另一種是零件尺寸鏈。即全部組成尺寸為同一零件的設計尺寸所形成的尺寸鏈。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理（2）工藝尺寸鏈）工藝尺寸鏈 組成尺寸全部為同一零件的工藝尺寸所形成的尺寸鏈即為工藝尺寸鏈。所謂工藝尺寸，是加工要求而形成的尺寸，如工序尺寸、定位尺寸等。（3）尺寸鏈簡圖）尺寸鏈簡圖 如圖圖2 a 所示，設計圖樣上標注的設計尺寸為A1、A0，鉆孔時若以左側面為定位基準，則A2及A1為鉆孔時的工藝尺寸（或工序尺寸），A0則變?yōu)榧庸み^程中最后形成的尺寸。此時

9、，A1、A2、A0形成封閉外形，如圖圖2 b 所示。繪制工藝尺寸鏈簡圖時，應由加工中自然形成的尺寸畫起，然后依次給出與該處尺寸要求有關的尺寸。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理A1A0A1A0A2（ a ）（ b ）圖圖2 工藝尺寸鏈簡圖工藝尺寸鏈簡圖A1A0A1A0A2（ a）（ b） 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理（4）尺寸鏈的環(huán)）尺寸鏈的環(huán) 列入尺寸鏈中的每一個尺寸都稱為尺寸鏈中的“環(huán)”。由長度尺寸表示的環(huán)則稱為長度環(huán)，并用大寫斜體字母A、B、C表示。每個尺寸鏈中至少應有3個環(huán)。1）封閉環(huán)）封閉環(huán)2）組成環(huán)）組成環(huán) 在零件加工或機器裝配過程中，最后自然形成（間接獲得）的環(huán)稱

10、為封閉環(huán)。封閉環(huán)以加下標“0”表示，如圖圖2 b 中的A0是封閉環(huán)。一個尺寸鏈中只能有一個封閉環(huán)。 尺寸鏈中除封閉環(huán)以外的其余各環(huán)均稱為組成環(huán)。同一尺寸鏈中的組成環(huán)用同一字母、不同的下標表示，如圖圖2 b 中的A1、A2都是組成環(huán)。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理3）增環(huán)）增環(huán)4）減環(huán)）減環(huán) 在尺寸鏈簡圖上，任意假設一個旋轉方向，即由尺寸鏈中任何一環(huán)的基準出發(fā)，繞該鏈輪廓轉一周，并回到出發(fā)基準。按該旋轉方向（順、逆時針）給每個環(huán)標出箭頭，如圖圖2 b 所示。凡是其箭頭方向與封閉環(huán)相反的為增環(huán)，箭頭方向與封閉環(huán)相同的則為減環(huán)。 在其他組成環(huán)（尺寸）不變的條件下，當某個組成環(huán)增大時，封閉環(huán)

11、亦隨之增大，則該組成環(huán)稱為增環(huán)。增環(huán)用字母上加符號“”表示。 在其他組成環(huán)不變的條件下，當某個組成環(huán)增大時，封閉環(huán)卻隨之減小，則該組成環(huán)稱為減環(huán)。減環(huán)用字母上加“”符號表示。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理（5）解尺寸鏈）解尺寸鏈 在手工編程工作中，為了使圖樣上的給定尺寸符合工藝要求和編程的需要，常常要計算封閉環(huán)的各有關尺寸，或根據(jù)已知的封閉環(huán)去計算所需的某個組成環(huán)，這些解算工作稱為解封閉環(huán)。下面介紹采用完全互換法中的極值法求解封閉環(huán)的過程。1）封閉環(huán)的基本尺寸）封閉環(huán)的基本尺寸 封閉環(huán)的基本尺寸等于所有增環(huán)的基本尺寸之和減去所有減環(huán)的基本尺寸之和，其計算分式為：nnLLL0式中：L

12、0 封閉環(huán)的基本尺寸； L n n個環(huán)的基本尺寸。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理2）封閉環(huán)的最大極限尺寸）封閉環(huán)的最大極限尺寸 封閉環(huán)的最大極限尺寸等于所有增環(huán)的最大極限尺寸之和減去所有減環(huán)的最小極限尺寸之和，其計算公式為：min,max,max,0nnLLL式中：L0,max 封閉環(huán)的最大極限尺寸； L n, max n 個環(huán)的最大極限尺寸； L n, min n 個環(huán)的最小極限尺寸。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理max,min,min,0nnLLL式中：L0,min 封閉環(huán)的最小極限尺寸。 如因驗算或工藝要求需要解算出封閉環(huán)的極限偏差或公差，則可按有關尺寸公差的知識解決

13、。3）封閉環(huán)的最小極限尺寸）封閉環(huán)的最小極限尺寸 封閉環(huán)的最小極限尺寸等于所有增環(huán)的最小極限尺寸之和減去所有減環(huán)的最大極限尺寸之和，其計算公式為： 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理11.2 直線和圓弧輪廓基點計算方法直線和圓弧輪廓基點計算方法1.基點的含義基點的含義 一個零件的輪廓曲線可能由許多不同的幾何要素所組成，如直線、圓弧、二次曲線等。構成零件輪廓的不同幾何要素的交點或切點稱為基點。如直線與直線的交點，直線與圓弧的交點或切點，圓弧與二次曲線的交點或切點等。基點坐標是編程中需要的重要數(shù)據(jù)，可以直接作為其運動軌跡的起點或終點，如圖圖3 所示。2.基點坐標計算基點坐標計算 基點坐標計算的

14、主要內容有：每條運動軌跡（線段）的起點或終點在選定坐標系中的坐標值和圓弧運動軌跡的圓心坐標值。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 基點坐標計算的方法比較簡單，一般可根據(jù)零件圖紙所給已知條件用人工完成。即依據(jù)零件圖紙給定的尺寸，運用代數(shù)、三角、幾何或解析幾何的有關知識，直接計算出數(shù)值。 例如圖圖4中，基點A、B、D、E的坐標值，從圖中給出的尺寸可以很容易地得到，如A（0，0），B（0，12），D（110，26），E（110，0）。但基點C是過B點的直線與圓心為O2、半徑為30的圓弧的切點，這個尺寸，圖中并未直接給出，要用解聯(lián)立方程組的方法，才能求出切點C的坐標。 第11講 數(shù)控機床編程中的

15、圖形數(shù)學處理ABCDEABCDEF(a)(b)圖圖3 3 零件輪廓上的基點和節(jié)點零件輪廓上的基點和節(jié)點圖圖4 4 基點坐標計算基點坐標計算 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 求C點的坐標值有多種方法，這里采用直線方程與圓方程聯(lián)立求解的方法。先求出直線BC的方程，然后與圓心為O2、半徑為30的圓的方程聯(lián)立求解。為了計算方便，可先將坐標原點選在B點上，構成新的坐標系。 由圖可知，在新的坐標系中，圓心為O2 、半徑為30的圓方程是：222301480YX 過B點的直線方程為Y= k X。直線BC的方程當然也如此。此時k= tan（）。為求k值，應求出及值。由圖可知： 第11講 數(shù)控機床編程中的

16、圖形數(shù)學處理tan =（2612）80=0.17511029而BO O2= =81.215，CO O2=30，228014 Sin = CO O2BO O2 0.3694，于是：24.087 ； tan（）0.6153即k= 06153。將兩方程聯(lián)立：222301480YXY=0.6153X可求得以B為原點的C點坐標是（64.278，39.550）。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 換成編程用的以A點為原點的坐標值，則得 C（64.278，51.550）。在計算時，要注意將小數(shù)點后邊的位數(shù)留夠，以保證足夠的精度。 求其他零件幾何元素的基點坐標與上例類似。從原理上講，求基點坐標是比較簡單

17、的，但運算過程可能十分繁雜。因此，為了提高編程效率，應盡量使用自動編程系統(tǒng)或用計算機輔助完成坐標數(shù)據(jù)的計算。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理11.3 非圓曲線的節(jié)點計算非圓曲線的節(jié)點計算 當被加工零件輪廓形狀與機床的插補功能不一致時，如在只有直線和圓弧插補功能的數(shù)控機床上加工橢圓、雙曲線、拋物線、阿基米德螺旋線或用一系列坐標點表示的列表曲線時，就要用直線或圓弧去逼近被加工曲線。這時，逼近線段與被加工曲線的交點就稱為節(jié)點。如圖圖5所示的曲線當用直線逼近時，其交點A、B、C、D、E、F等即為節(jié)點。 在編程時，要計算出節(jié)點的坐標，并按節(jié)點劃分程序段。節(jié)點數(shù)目的多少，由被加工曲線的特性方程（形

18、狀）、逼近線段的形狀和允許的插補誤差來決定。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 顯然，當選用的數(shù)控機床系統(tǒng)具有相應幾何曲線的插補功能時，編程中的數(shù)值計算是最簡單的，只需求出基點坐標，而后按基點劃分程序段就行了。但一般數(shù)控機床不具備二次曲線與列表曲線的插補功能，因此就要用逼近法加工，這就需要求出節(jié)點的數(shù)目及其坐標值。為了編程方便，一般都采用直線段去逼近已知的曲線，這種方法稱為直線逼近，或稱線性插補。常用的逼近方法主要有等間距直線逼近法、等弦長直線逼近法、等誤差直線逼近法和圓弧逼近法等。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理ABCDEF圖圖5 5 零件輪廓上的節(jié)點零件輪廓上的節(jié)點 第11講

19、 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理1. 非圓曲線的節(jié)點計算非圓曲線的節(jié)點計算 用直線或圓弧逼近曲線y = f（x）時，節(jié)點的數(shù)目及其坐標值主要取決于曲線的特性、逼近段的形狀及允許的逼近誤差。根據(jù)這三個條件，可以用數(shù)學方法求出各節(jié)點的坐標，采用直線還是圓弧作為逼近線段，主要根據(jù)是在保證逼近精度的前提下，使節(jié)點數(shù)目盡量少，這樣程序段數(shù)目少，計算簡單。對于曲率半徑大的曲線用直線逼近較為有利，若曲率半徑較小則用圓弧逼近較為合理。下面介紹常用的幾種節(jié)點計算方法。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理（1）等間距直線逼近法）等間距直線逼近法 這種方法是使每一個程序段中的某一個坐標的增量相同。在直角坐標系中，

20、可令X坐標的增量相同。如圖圖6所示，已知方程Y= f（X），根據(jù)給定的X，可求出Xi，將Xi代人方程Y= f（X）中，即可求得一系列Yi，得到一系列點的坐標（X0，Y0），（X1，Y1），( Xi，Yi)，這些點即為所求節(jié)點，也是每個逼近線段的終點。用這些點的坐標可以編制直線加工程序段。X的大小取決于曲線的形狀和逼近誤差，一般先取X= 0.l mm試算。校驗的方法如圖圖6所示。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理圖圖6 6 等間距節(jié)點計算等間距節(jié)點計算 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 設m n為某一逼近線段，作m n平行于m n并與曲線相切，切點至m n的距離為允允，設MN的方程為

21、：AXBYC = 0則m n的方程為：AXBYC 允允 =0 （11 - 1）22BA設m為（X1，Y1），n為（X2，Y2），則上式中A = Y1Y2B = X1X2C = Y1（X1X2）X1（Y1Y2） 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理設m為（X1，Y1），n為（X2，Y2），則上式中：A = Y1-Y2B = X1-X2C = Y1（X1-X2）-X1（Y1-Y2）將（11 - 1）式與曲線方程聯(lián)立： Y = f（X） （11 - 2）AXBYC =022BA允允 其解有三種情況：無解、一個解或兩個解。無解即表示曲線Y= f（X）與m n無交點，即逼近誤差小于允允；如果有一個解，

22、說明只有一個交點，即逼近誤差等于允允；如果有兩個解，說明有兩個交點，即逼近誤差接近允允。顯然無解或有一個解的情況是滿足誤差要求的。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 有兩個解時，說明逼近誤差取得大了，應縮小等間距坐標的增量值，一般是使X減半，重新計算切點并驗算逼近誤差，直至上述方程無解或有一個解時為止。（2）等弦長直線逼近法）等弦長直線逼近法 這種方法是選擇每個程序段的直線段長度相等。由于零件輪廓曲線各處的曲率不同，因此各段的逼近誤差不相等，必須使最大誤差小于允允。一般來說，零件輪廓曲線的曲率半徑最小的地方，逼近誤差最大。據(jù)此，先確定曲率半徑最小的地方，然后在該處按照逼近誤差小于或等于允

23、允的條件求出逼近線段的長度，用此弦長分割零件的輪廓曲線，即可求出各節(jié)點的坐標。如圖圖7所示。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理圖圖7 等弦長節(jié)點計算等弦長節(jié)點計算 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 在圖圖7中，已知零件輪廓的曲線方程為Y=F（X），則曲線的率半徑為： （11- 3）2/3/)1 (2YYR該式對X求一階導數(shù)，并令其為零，得： （11 - 4）0)1 ()1 (32/322/ 122 YYYYY 利用（11 - 4）式可求出極值點的X值，將其代入（11 - 3）式中便得最小曲率半徑。對于半徑為 的圓弧，當逼近誤差為允允時，其逼近的弦長L為：minR L= 2 2 （1

24、1 - 5）2min2min(）允 RR允min2 R 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 以曲線的起點a（X a ，Y a）為圓心，L為半徑作圓，與Y = f（X）曲線交于b點，求解聯(lián)立方程：222LYYXXaaY = f（X） 可得b點的坐標（X b，Y b）。順次以b，C ，為圓心，L為半徑作圓，重復上述步驟，即可求得c ，d，e 各節(jié)點的坐標值。 該方法與等間距直線逼近法比較，計算復雜，但程序段少，適用于曲率變化不大的曲線的節(jié)點計算。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理（3）等誤差直線逼近法）等誤差直線逼近法 該方法是使每個直線段的逼近誤差相等，并小于或等于允允 。如圖8所示：

25、圖圖8 等誤差節(jié)點計算等誤差節(jié)點計算 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理計算步驟如下： 確定允允的圓方程。即以本段起點a（X a ，Y a）為圓心，以允允為半徑作圓，其方程式為：222允aaYYXX 求圓與曲線公切線PT的斜率k：K =（YT- YP）（XT- XP） 求直線PT的方程。解如下聯(lián)立方程： 圓方程 圓切線方程 曲線方程 曲線切線方程可得XT ，XP ，YT ，YP，并得到直線PT的方程。ppXFY)()()(PPTPTXFXXYYTTXfY)()()(TPTPTXfXXYY 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 求弦a b的方程。因為a b與PT平行，所以弦a b的方程為：

26、Y Y a = k（X - X a） 求b點及其他各點坐標。求解聯(lián)立方程：Y = f（X）Y Y a= k（X - X a） 可得b點的坐標（X b ，Y b）。重復上述步驟，可依次求得c 、d、各節(jié)點的坐標值。 此方法計算較繁瑣，但因求得的切點數(shù)目最少，故目前應用最為普遍。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理（4）圓弧逼近法）圓弧逼近法 上面講述的三種方法都是直線段逼近曲線的方法，如果數(shù)控系統(tǒng)具有圓弧插補功能，也可以用圓弧段去逼近工件的輪廓曲線。這時，需求出每段圓弧的圓心、起點和終點的坐標，以及圓弧的半徑。計算節(jié)點的依據(jù)依然是要使圓弧段與工件輪廓曲線間的誤差小于或等于允許的逼近誤差允允。

27、 用圓弧逼近曲線，目前常用的算法有三點圓法、相切圓法和曲率圓法。三點圓法是通過已知的三個節(jié)點求圓，并作為一個圓弧插補程序段。相切圓法是通過已知的四個節(jié)點分別做出兩個相切的圓，編出兩個圓弧插補程序段。這兩種方法都是先用直線逼近方法求出各節(jié)點的坐標，然后再求出各圓，計算很繁瑣。圖圖9所示為一種等誤差逼近的曲率圓法。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理圖圖9 9 圓弧逼近節(jié)點計算圓弧逼近節(jié)點計算 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理其計算步驟如下： 求曲線Y= f（X）在起始點（X n ，Y n）處的曲率半徑和圓心坐標（R n ， n， n）：R n = nnYY2/32)1( n = X n

28、 -21nnnYYY n = Y n21nnYY以點（ n， n）為圓心，R n 允為半徑作圓，與曲線相交，求其交點（Xn+1，Yn+1）。解聯(lián)立方程： 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理（X- n）（Y- n） =（R n允允）222Y = f（X） 求過點（X n，Y n）和（Xn+1，Yn+1）且半徑為R n的圓的圓心（ m， m）。即解聯(lián)立方程： 即可求得圓弧的圓心坐標（ m， m）。該圓弧即為等誤差曲率圓法的逼近圓弧段，其起點為（X n ，Y n），終點為（Xn+1，Yn+1），圓心坐標為（ m， m），半徑為R n 。（X n m） （Y n m） = R n（X n +1 m

29、） （Y n +1 m） = R n222222 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 重復上述步驟，可依次求得其他逼近圓弧段。 在上述四種逼近計算中，只是計算了曲線輪廓的逼近線段或圓弧線段。對于無刀具半徑自動補償?shù)臄?shù)控系統(tǒng)，還應用等距線或等距圓的數(shù)學方法計算刀具中心軌跡的各節(jié)點坐標，作為編程的依據(jù)。2. 列表曲線的數(shù)學處理列表曲線的數(shù)學處理 被加工零件的輪廓形狀，除了可以用直線、圓弧或其他非圓曲線組成之外，還可以通過實驗或測量的方法得到。這些通過實驗或測量得到的數(shù)據(jù)，在圖紙上以坐標點的表格形式給出。 這種由列表點（又稱為型值點）給出的輪廓曲線稱為列表曲線。這類列表輪廓零件在以傳統(tǒng)的工藝方法

30、加工時，其加工質量完全取決于鉗工的技術水平，且生產效率極低。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 目前廣泛采用數(shù)控加工，但在加工程序的編制方面遇到了較大困難，這主要是由于數(shù)學方程的描述與數(shù)控加工對列表曲線輪廓逼近的一般要求之間，往往存在矛盾。也就是說，要獲得比較理想的擬合效果，其數(shù)學處理過程相應就會比較復雜。 若列表曲線給出的列表點密至足以滿足曲線的精度要求時，可直接在相鄰列表點間用直線段或圓弧編程。但往往給出的只是一部分點，只能描述曲線的大致走向，這時，就要增加新的節(jié)點，也稱插值。在數(shù)學處理方面，目前處理列表曲線的方法通常是采用二次擬合法。即在對列表曲線進行擬合時，第一次先選擇直線方程或

31、圓方程之外的其他數(shù)學方程式來擬合列表曲線，稱為第一次擬合。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 對列表曲線進行數(shù)學處理，傳統(tǒng)的方法有牛頓插值法、三次樣條曲線擬合、圓弧樣條擬合與雙圓弧樣條擬合等。目前應用更多的是計算機輔助幾何設計中的各種建模方法。如Bezier曲線、NURBS曲線等。這些模型在多種CADCAM系統(tǒng)中都能實現(xiàn)。 然后根據(jù)編程允差的要求，在已給定的各相鄰列表點之間，按照第一次擬合時的方程（稱為差值方程）進行插點加密求得新的節(jié)點，也稱第二次曲線擬合，從而編制逼近線段的程序。插值加密后相鄰節(jié)點之間，采用直線段編程還是圓弧段編程，取決于第二次擬合時所選擇的方法。第二次擬合的數(shù)學處理過

32、程，與前面介紹的非圓曲線數(shù)學處理過程一致。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理3. 空間曲面的數(shù)學處理空間曲面的數(shù)學處理 有的空間曲面可以用方程 z = f（x ，y)來描述，如球面、錐面、鞍形面等。這類曲面數(shù)控機床上加工時，無論是行切法還是用多坐標加工，都可以根據(jù)曲面方程來計算其加工軌跡。但是還有大量的空間曲面，如飛機機體、汽車車身、模具的型腔等，只有模型、實物或實驗數(shù)據(jù)，沒有描述它們的解析方程。這類曲面要進行數(shù)控加工時，首先就是建立曲面的數(shù)學模型。 為了建立曲面的數(shù)學模型，首先在零件模型或實物的表面上劃出橫向和縱向兩組參數(shù)線，這兩組線在零件表面上構成網(wǎng)格，這些網(wǎng)格定義了許多小的曲面片，

33、每一塊曲面片都以四條光滑連續(xù)的曲線作為邊界，然后相對于某一基準面測定這些網(wǎng)格頂點的坐標值。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 這樣，就可以根據(jù)這些頂點的坐標，對兩組曲線和被曲線劃分的網(wǎng)格的每塊曲面片進行數(shù)學描述，從而求出曲面的數(shù)學模型，這就是所謂的曲面擬合。下面介紹幾種常見的數(shù)學處理方法：（1）簡單立體型面的數(shù)值計算）簡單立體型面的數(shù)值計算 三坐標數(shù)控機床加工立體型面零件，可由加工數(shù)個平面曲線疊加而成。因此，平面零件的數(shù)值計算方法，可以在三坐標數(shù)控機床加工立體零件中應用。簡單立體型面零件是指以直線為母線沿導線運動所形成的立體型面。如圖圖10所示，母線是與Z軸夾角為的直線，導線是橢圓，母線

34、沿導線運動掃過的面為橢圓錐體，它是簡單立體型面的例子。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 這類零件，可在三坐標數(shù)控銑床上用球頭刀或圓弧盤銑刀采用“行切法”加工，此時刀具沿X一Y平面運動一圈，在零件輪廓上加工出一個平面曲線，然后在Z方向移動一個行距Z，再加工出一個新的平面曲線，直至整個表面加工完。 就加工每個平面曲線來說，其數(shù)值計算方法與平面曲線零件的數(shù)值計算方法相同。對立體型面來說，還需解決兩個問題，即合理確定行距Z和計算球頭銑刀的有效半徑 r 。如圖圖11所示。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理圖圖10 10 簡單立體型面的數(shù)控加工簡單立體型面的數(shù)控加工 第11講 數(shù)控機床編程中

35、的圖形數(shù)學處理圖圖11 行距與切殘量的關系行距與切殘量的關系 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 當球頭刀從O點移動一個行距Z至O點時，在加工表面留下殘留面積，其高度為h。這樣就造成了加工表面的微觀不平度，行距越大，微觀不平度也越大。若表面粗糙度允許的表面不平度為h允，則 S = 2 222允允hRh允Rh2所以 Z= S sin = 2 sin 允Rh2 式中：為母線與X一Y平面的夾角，即= 90-。當母線為曲線時，角決定于曲線在該點的斜率；當母線為直線時，為常數(shù)。不變時，行距Z也不變。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 對于簡單立體型面，母線為直線，角不變，r亦不變；當母線為曲線

36、時，線上各點的角不同，r也隨之變化。簡單立體型面編程的計算方法與平面輪廓曲線相同。計算刀具中心軌跡時，應取刀具的有效半徑r。 數(shù)控機床加工簡單立體型面零件時，數(shù)控系統(tǒng)要有三個坐標控制功能，但加工平面曲線只要有兩坐標就可以。刀具作Z方向運動時，不要求X，Y方向同時運動。這種三坐標運動、兩坐標聯(lián)動的加工編程方法稱為兩軸半聯(lián)動加工。 球頭刀加工時的實際有效半徑，與球頭刀和型面接觸的切點斜率有關。設球頭刀半徑為R，而刀具的有效半徑為r，則有r = R sin 。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理（2）自由曲面的數(shù)學處理）自由曲面的數(shù)學處理 對于自由曲面零件，如蝸輪葉片及各種其他葉片、機翼翼型、汽

37、車覆蓋件模具等，不管是通過計算機輔助設計還是通過實驗手段測定，型面都是用一組列表數(shù)據(jù)表達的。因此，對這類零件進行數(shù)控加工編程時，常常都是以三維坐標點（X i ，Y i ，Z i ）表示的。 自由曲面的擬合方法很多，有B樣條法、貝齊爾（Bezier）方法、高斯（Coons）方法等。B樣條法和高斯方法需用反求法實現(xiàn)插補，因而適于對精度要求高的曲面；在粗加工和半精加工中時常采用貝齊爾方法。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理（3）組合曲面的數(shù)學處理）組合曲面的數(shù)學處理 組合曲面是指由多種曲面，包括解析曲面及自由曲面相貫而成的復雜的曲面，這種曲面在飛機、艦船、汽車、模具及其他制造業(yè)中有著廣泛應用。

38、 組合曲面的處理是CADCAM中的一個較難解決的問題，可通過曲面求交等方法來處理，但都有一定的局限性。以下介紹處理組合曲面的“最高點法”。 最高點法首先是在XOY坐標面上確定一個有限的矩形區(qū)域，將這個矩形區(qū)域按一定的步長網(wǎng)絡化，然后在每一個節(jié)點上解曲面方程組，得出各個曲面元素上的Z坐標值，取最大的Z坐標值為組合曲面在該點的Z坐標?！白罡唿c法”是求取一組曲面在規(guī)定范圍的矢量組的方法。如果這些曲面是解析的，欲求最高點必須求出投影面上每個點（X，Y）對應的Z坐標。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 例如，模具型腔是由設計圖或物理模型給出的，組成型腔的曲面元素兩兩交出一條空間曲線或折線，有時設計

39、者能設法求出這些交線方程。 最高點法可一次求出組合曲面的加工數(shù)據(jù)，而不需求相貫線，適用于解析曲面。自由曲面的組合和計算方法簡單、直觀。下面對空間平面圓柱面、圓錐面、橢球面、橢圓拋物面、旋轉面及可用方程表示的二次曲面的組合曲面的處理加以說明。 最高點法的主要任務就是求對應于投影面上（X，Y）點的各曲面的Z坐標： 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 平面上Z坐標的計算 空間平面可以有多種定義形式：不共線的三點；平面上一點及其法向矢量；平面上一點及與之相切的圓錐或圓柱；平行平面及兩面的距離；平面方程 a X + b Y + c Z + d = 0 等。無論平面是如何定義的，最終都可轉化成 a X

40、 + b Y +c Z + d = 0的形式。這時，Z可表示為X、Y的函數(shù)Z=f（X，Y）。由此，對應于每個點（X，Y）都可求出一個對應的Z坐標。 圓柱面、圓錐面、橢球面、橢圓拋物面、橢圓柱面及旋轉面上Z坐標的計算 先給出各曲面的標準方程式：圓柱面：X Y = Z （設Z軸為中心軸）；222圓錐面：X Y =（Z tan ） （設Z軸為中心軸）；222 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理橢球面： =1； 222222cZbYaX橢圓拋物面： ；cZbYaX22222橢圓柱面： （設z軸為中心軸）；12222bYaX旋轉面：母線方程為a X b Y c Z d = 0（a不為0，b、c 不同

41、時為0），設旋轉軸為Z軸，則旋轉面方程為a（X Y ）十b Z c Zd=0222222綜合以上幾種曲面形式，用通式表示為：a X b y c Z d Ze =0222 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 但因曲面標準方程只在局部坐標系中才成立，由多個曲面組合而成的物體具有整體坐標系，由于局部坐標系與整體坐標系的位置是任意的，因此曲面在整體坐標系中不具有標準方程。如果X、Y已知，要求出曲面上對應的Z值，可采用下面的方法： 取兩點（X，Y，0）、（X，Y，m ），其中m 為不等于零的任意值。過兩點有一條直線L，經(jīng)過旋轉、平移等坐標變換，得出它們在局部坐標系中的坐標值P1（X1，Y1，Z1），

42、P2（X2，Y2，Z 2），則直線L在局部坐標系中的參數(shù)方程為：X = X1 （X2X1）tY = Y1 （Y2Y1）tZ = Z1 （Z2Z 1）t 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理式中：t為參數(shù)，將其代人曲面方程：a X b Y c Z d Z e = 0222得到：aX1（X2X1）t bY1（Y2Y1）t cZ1（Z2Z1）t dZ1（Z2Z1）te = 0222 求出兩個解t1和t2，即可求出直線與曲面的兩個交點在局部坐標系中的坐標。再通過旋轉、平移變換，便可求出這兩個點在整體坐標系中的坐標。 二次曲面上Z坐標的計算二次曲面上Z坐標的計算，實際上是已知二次曲面方程：A1X A2

43、Y A3Z A4XYA5YZA6XZA7XA8YA9ZA10=0222求對應于（X，Y）點的Z坐標值。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理二次曲面的普通方程可以化成以Z為未知數(shù)的二次方程：a Z b Zc = 02式中： a = A 3b = A5 YA6 X A 9c = A1X A2Y A4XYA7XA8YA1022解該方程，即得到對應于（X，Y）的Z值：Z = aacbb242 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理11.4 刀位點軌跡坐標的計算刀位點軌跡坐標的計算1. 刀位點的選擇及對刀刀位點的選擇及對刀 刀位點是刀具上代表刀具在工件坐標系中所在位置的一個點。編程時用該點的運動來描

44、述刀具的運動，運動所形成的軌跡稱為編程軌跡。刀位點是僅就刀具作平動的數(shù)控加工而言的。對于包含刀具軸線擺動的四坐標或五坐標數(shù)控加工，應使用刀位矢量的概念。 在不使用刀具補償功能編寫程序時，編程軌跡就是刀具上刀位點的實際運動軌跡。采用刀具補償功能之后，情況就發(fā)生了變化。刀具半徑補償功能將使實際的刀位點運動軌跡偏移一個刀具半徑；刀具長度補償功能則可將刀具長度的變化疊加到刀具軸向移動坐標中。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 對于旋轉型的刀具，如各種立銑刀、鉆頭等，刀位點的選擇比較簡單，應使刀位點位于刀具軸心線某一確定位置上。對平底銑刀，選擇刀具底面中心為刀位點。對于球頭立銑刀可以用球心作為刀位

45、點，也可以用刀端點。用刀端點作為刀位點時，可以直接測量其位置，而用球心作為刀位點時，仍應測量刀端點，然后再換算為球心點坐標。 鉆頭類刀具常用鉆頭鉆尖作為刀位點。但編程時，應根據(jù)圖樣上對加工孔的尺寸標注，適當增加鉆尖的長度。數(shù)控車床使用的刀具，由于刀具的結構特點，刀位點選擇有時比較復雜。目前數(shù)控車床用機夾可轉位刀片，刀尖處均含有半徑不大的圓弧，數(shù)控編程時，通常應考慮刀尖圓弧半徑對零件加工尺寸的影響。還有一些刀具，如切槽刀實際上存在兩個刀尖位置，選擇哪個位置作為刀位點主要考慮便于對刀和測量，并做出統(tǒng)一規(guī)定。 第11講 數(shù)控機床編程中的圖形數(shù)學處理 對刀是指操作者在啟動程序之前，通過一定的測量手段，確定刀位點與對刀點的關系。實際中可以用對刀儀對刀，其操作比較簡單，測量數(shù)據(jù)也比較準確。也可以在數(shù)控機床上定位好夾具或安裝好工件之后，使用量塊、塞尺、千分表和各種對刀附件等，利用機床上的坐標顯示對刀。2. 刀心軌跡的數(shù)值計算刀心軌跡的數(shù)值計