偏微分方程求解有限元法的原理(加權(quán)余量法和變分法

1、l第三講l1.偏微分方程求解有限元法的原理（加權(quán)余量法和變分法）解析法應(yīng)用范圍有限，適用于理論求解，但有強(qiáng)烈的物理含義（常系數(shù)微分方程）某些復(fù)雜問題，很考慮根本找不到解析解2. 數(shù)值法工程實(shí)際中應(yīng)用廣泛，復(fù)雜場域問題，但物理含義不很清楚。任何問題總可以找到數(shù)值解（數(shù)學(xué)方法）222222tJtAAl2.數(shù)值求解方法2/41. 基本思想： 以偏微分方程的近似解來代替其真解，只要近似解與真解足夠以偏微分方程的近似解來代替其真解，只要近似解與真解足夠接近，就可以近似解作為問題的解，并滿足足夠的精度。接近，就可以近似解作為問題的解，并滿足足夠的精度。2. 基本方法：1假設(shè)一個(gè)近似解，該解為一組（形式上）

2、簡單函數(shù)假設(shè)一個(gè)近似解，該解為一組（形式上）簡單函數(shù) 的線性組合的線性組合來表示，線性組合的系數(shù)就是一組待定系數(shù)來表示，線性組合的系數(shù)就是一組待定系數(shù)2然后建立一種考慮了微分方程和邊界條件的關(guān)于真解然后建立一種考慮了微分方程和邊界條件的關(guān)于真解 和近似解和近似解間誤差的目標(biāo)函數(shù)間誤差的目標(biāo)函數(shù) F用適當(dāng)?shù)乃惴ㄊ沟迷撃繕?biāo)函數(shù)最小化用適當(dāng)?shù)乃惴ㄊ沟迷撃繕?biāo)函數(shù)最小化最小化的過程就確定了最小化的過程就確定了待定系數(shù)，從而也就得到了問題的近似解。待定系數(shù)，從而也就得到了問題的近似解。 i iC嘗試函數(shù)，基函數(shù)，形函數(shù)l2.數(shù)值求解方法2/4目標(biāo)函數(shù)最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解；目標(biāo)函

3、數(shù)最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 另一方面，求得構(gòu)成近似解的待定系數(shù)。另一方面，求得構(gòu)成近似解的待定系數(shù)。數(shù)學(xué)上，構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的方法很多，不同的構(gòu)成方法就形成了不同的數(shù)學(xué)上，構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的方法很多，不同的構(gòu)成方法就形成了不同的數(shù)值解法，電磁場中就常見的是：加權(quán)余量法和變分法。數(shù)值解法，電磁場中就常見的是：加權(quán)余量法和變分法。l3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法電磁場問題總可以用位函數(shù)的偏微分方程和相應(yīng)的邊界條件表述電磁場問題總可以用位函數(shù)的偏微分方程和相應(yīng)的邊界條件表述222222tJtAA ) 1(1g)2()2(22ht兩個(gè)偏微分方程形式相同，故以電位方

4、程的求解過程為例。磁位矢兩個(gè)偏微分方程形式相同，故以電位方程的求解過程為例。磁位矢量的方程可以分解到各個(gè)分量上變?yōu)闃?biāo)量方程。量的方程可以分解到各個(gè)分量上變?yōu)闃?biāo)量方程。在求解場域內(nèi)，偏微分方程的真解為在求解場域內(nèi)，偏微分方程的真解為 ，近似解為，近似解為 它由一組簡單函數(shù)它由一組簡單函數(shù) 的線性組合表達(dá)，表達(dá)中有待定系數(shù)的線性組合表達(dá)，表達(dá)中有待定系數(shù) 即：即：l3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法加權(quán)余量法加權(quán)余量法 i iC 1niiiC簡單函數(shù)，一般選用簡單形式的函數(shù)，一旦選定就是已知的了待定系數(shù)是真正的求解目標(biāo)問題的自由度近似解l3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)

5、余量法加權(quán)余量法就是一種定義近似解與真解之間誤差（即余數(shù)），并設(shè)加權(quán)余量法就是一種定義近似解與真解之間誤差（即余數(shù)），并設(shè)法使其最小的方法。法使其最小的方法。 : 22）（）（上：邊界內(nèi)場域RR加權(quán)余量法誤差（即余數(shù)）的定義：加權(quán)余量法誤差（即余數(shù)）的定義：注意：一般余數(shù)并不表示近似解與真解間的代數(shù)差（場域內(nèi)），加權(quán)余注意：一般余數(shù)并不表示近似解與真解間的代數(shù)差（場域內(nèi)），加權(quán)余量法的采用拉普拉斯算子作用后的差別（即余數(shù)），來代表近似解量法的采用拉普拉斯算子作用后的差別（即余數(shù)），來代表近似解整體接近偏微分方程真解的程度。整體接近偏微分方程真解的程度。問題的自由度l3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的

6、數(shù)值求解方法加權(quán)余量法當(dāng)余數(shù)小于要求的精度時(shí)，就可以認(rèn)為近似解就是偏微分方程的解。當(dāng)余數(shù)小于要求的精度時(shí)，就可以認(rèn)為近似解就是偏微分方程的解。要減少余數(shù)，我們可以通過尋求適當(dāng)?shù)拇ㄏ禂?shù)來實(shí)現(xiàn)。要減少余數(shù)，我們可以通過尋求適當(dāng)?shù)拇ㄏ禂?shù)來實(shí)現(xiàn)。為有效表達(dá)減小余數(shù)的效果，還選取適當(dāng)?shù)募訖?quán)函數(shù)，以使余數(shù)和該加為有效表達(dá)減小余數(shù)的效果，還選取適當(dāng)?shù)募訖?quán)函數(shù)，以使余數(shù)和該加權(quán)函數(shù)的積分為權(quán)函數(shù)的積分為0。“加權(quán)余量法加權(quán)余量法”的來由。的來由。 ; *jjww設(shè)加權(quán)函數(shù)為：l3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法 ,.2 , 1 d d *jRwRwjj，目標(biāo)函數(shù)：加權(quán)余數(shù)的定義：加權(quán)余數(shù)的

7、定義：加權(quán)函數(shù)的選取方法很多：如點(diǎn)重合、子域重合、最小二乘法、迦遼金法。加權(quán)函數(shù)的選取方法很多：如點(diǎn)重合、子域重合、最小二乘法、迦遼金法。效果較好的、運(yùn)用較多的是迦遼金法：效果較好的、運(yùn)用較多的是迦遼金法：jjjww*即：迦遼金法選取嘗試函數(shù)本身為加權(quán)函數(shù)即：迦遼金法選取嘗試函數(shù)本身為加權(quán)函數(shù)l3.電磁場位函數(shù)偏微分方程的數(shù)值求解方法加權(quán)余量法 0 d d )()(趨于則余數(shù)最小，令，RjjjRjFRRF由此構(gòu)建加權(quán)量法的目標(biāo)函數(shù)：由此構(gòu)建加權(quán)量法的目標(biāo)函數(shù)：上述過程中，已經(jīng)將偏微分方程轉(zhuǎn)化為上述過程中，已經(jīng)將偏微分方程轉(zhuǎn)化為j個(gè)代數(shù)方程組，便于計(jì)算機(jī)求解。個(gè)代數(shù)方程組，便于計(jì)算機(jī)求解。關(guān)于函

8、數(shù)的函數(shù)，稱為：泛函數(shù)，或泛函l3. 加權(quán)余量法例1例例1.兩極電容板內(nèi)部電場分布問題：兩極電容板內(nèi)部電場分布問題：根據(jù)問題特點(diǎn)將根據(jù)問題特點(diǎn)將3維問題簡化為維問題簡化為2維，維，進(jìn)一步簡化為進(jìn)一步簡化為1維。維。該問題是靜態(tài)電場問題，該問題是靜態(tài)電場問題，偏微分方程和邊界條件：偏微分方程和邊界條件：;10; 0002d22112211211 xCxCCCxCCiiiniii加權(quán)余量法求解：加權(quán)余量法求解：1.選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：1,2)(i iix2.結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式：結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式：22C R :22l3. 加權(quán)余量法例1理論上任意選取，操

9、作中越簡單越好 020 )()()(222221122122CxCxCxCiii2.結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式：結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式： ）（）（：Rl3. 加權(quán)余量法例1 )xCxC(dx )xCxC( xdxdx0 xx2211221100處：在處：在）（）（221121xCxCxCiii）（ 10 0 00處：在處：在）（）（dxxdxx )dCdC(Rdx R xdxx100022110處：在處：在3. 加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：2 , 1 d d )(jRRFjjRj，l3. 加權(quán)余量法例1010110010021221232212222110221102dC)d(dCd)dd

10、CdC(dC d )xCxC( ( x d )xCxC( ( x d)C( x d Rd RF,jdx |dxx |0 xd11)R( 1得到一個(gè)代數(shù)方程：時(shí)3. 加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：加權(quán)余數(shù)表達(dá)式：l3. 加權(quán)余量法例1010)32( )10(032 d )10)( ( d )0)( ( d)2( d d ,2223132423132 |x221120 |0 x2211202222)(2dCddCdddCdCdCxCxCxxCxCxCxRRFjdxdxdR又得到一個(gè)代數(shù)方程：時(shí)4. 求解上述兩個(gè)代數(shù)方程組，得到待定系數(shù)，從而確定近似解求解上述兩個(gè)代數(shù)方程組，得到待定系數(shù)，從而確定近似解l3. 加

11、權(quán)余量法例10 /10 21；解得：CdCxdxCxCxCiii10221121近似解：）（加權(quán)余量法求解流程：加權(quán)余量法求解流程：1.選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解2.結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式結(jié)合問題，寫出余數(shù)表達(dá)式3. 寫出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式寫出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式4. 令各加權(quán)余數(shù)表達(dá)式為令各加權(quán)余數(shù)表達(dá)式為0，得到代數(shù)方程組，解之得到待定，得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解系數(shù)，從而確定近似解該靜態(tài)電場問題的真解（解析解：）該靜態(tài)電場問題的真解（解析解：）l3. 加權(quán)余量法例1真解與近似解相同是由于嘗試函數(shù)選擇的剛好，通常是有差別的，如選用三角函數(shù)，但求解過程會復(fù)

12、雜，可見嘗試函數(shù)的選取是有技巧的。l4. 加權(quán)余量法求解一般化偏微分方程的歸納 )( )(sq 一般化偏微分方程：線性線性微分算子則其余數(shù)為：sRqR)()()()()()( 1niiiC 其中：令加權(quán)余數(shù)為0，構(gòu)建代數(shù)方程：0d )(d )(0d )(d )(1*1*)(sCwqCwswqwFniiijniiijjjRj l4. 加權(quán)余量法求解一般化偏微分方程的歸納由于是線性微分算子，故微分、求和、積分次序可調(diào)換,代數(shù)方程變形： d d d)(d)(*1*1swqwCwCwjjniiijniiij 0d )(d )(1*1sCwqCwniiijniiij d swd qwCd)(wd)(w*

13、jjniii*jij1有j個(gè)代數(shù)方程，通常等于待定系數(shù)個(gè)數(shù)l4. 加權(quán)余量法求解一般化偏微分方程的歸納代數(shù)方程寫成矩陣形式：d d d)(d)(*1*swqwCwwjjniiijij系數(shù)激勵邊界條件bFCK系數(shù)矩陣nn待定系數(shù)矩陣、源矩陣、邊界矩陣n1矩陣元素值： d d ddswbqwFwwKjjjjijijji*)()( 雖然元素值還需要積分、微分的求得，還難以借助計(jì)算機(jī)求解，但至少化為了代數(shù)方程組。通過選擇合適的加權(quán)函數(shù)和嘗試函數(shù)可以大大簡化矩陣元素的矩陣方程。有限元方法就是如此l5. 加權(quán)余量法的進(jìn)一步優(yōu)化（邊界條件的處理）22112 hngq適當(dāng)?shù)倪x取加權(quán)函數(shù)，并對加權(quán)余數(shù)積分進(jìn)行處

14、理，可使某些邊界條件從加權(quán)余數(shù)的表達(dá)式中消失，從而簡化矩陣方程及其系數(shù)的求解。以有源靜電場問題為例（帕松方程）由近似解表述的加權(quán)余數(shù)為：l5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化 d d RwRwFjjRj*)(注意余數(shù)的實(shí)質(zhì)可使上式第二項(xiàng)消失動滿足，則第一類邊界條件自，使得常常選取）可簡化計(jì)算但適當(dāng)?shù)倪x?。ㄗ飨拗埔膺x，理論上嘗試函數(shù)可任其中近似解：gCiniii, 1 d d )()(*）（）（ jjww d d d 2112)()()(*hnwgwqwjjj ）（ d d d 2211122)()()(*）（）（）（ nwwwjjj通過嘗試函數(shù)，簡化加權(quán)余數(shù)后：l5. 加權(quán)余量法求解一般

15、化方法的進(jìn)一步優(yōu)化njhwnwqwwhnwqwFjjjjjjRj,.,)()(*)(321d d d d d d 22222 上式第一項(xiàng)，由格林第一定律得： d d d d 212nwnwwwjjjj 降了微分階數(shù)，等于降了近似解（嘗試函數(shù)）的連續(xù)性要求，從而擴(kuò)展了其選擇范圍代入后：l5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化，則上式被大大簡化如選取加權(quán)函數(shù)：*)(jjjjjjjjjjjjjjjRjwwhwqwwhwnwqwnwnwwhwnwqwwF d d d d d d d d d d d d d 22221222 由于近似解在1類邊界上常數(shù)，所以此項(xiàng)為0選取特殊加權(quán)函數(shù)后，兩項(xiàng)和為0第二

16、類邊界條件也消失了，說明已經(jīng)自動滿足了令加權(quán)余數(shù)為0即可得到求解原微分方程的一組代數(shù)方程：l5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化njhwqwwFjjjRj,.3 , 2 , 10d d d 2)(這里加權(quán)函數(shù)只有一個(gè)了，進(jìn)一步，用迦遼金法，選加權(quán)函數(shù)為嘗試函數(shù)本身 1niiijjCw，且有近似解表達(dá)式：d d d 21hqCjjniiij）（l5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化d d d 21hqCjjniiij）（由于是線性微分算子，故微分、求和、積分次序可調(diào)換,代數(shù)方程變形： d d d 21hqCjjiniijd d d)(d)(*1*swqwCwwjjniiijij對比簡

17、化前的代數(shù)方程：已經(jīng)大大簡化，關(guān)鍵是邊界條件項(xiàng)全部消失，微積分計(jì)算也降階、簡化l5. 加權(quán)余量法求解一般化方法的進(jìn)一步優(yōu)化代數(shù)方程寫成矩陣形式： d d d 21hqCjjiniij njnjnjnnnjnninijiinjbbbfffccckkkkkkkkkkkk1112121111211 d d d 2hbqfkkjjjjijjiij 對稱矩陣，簡化計(jì)算還有積分（求和），梯度（差分），有限元將作處理小結(jié)：簡化后1、2類邊界條件自動滿足； （嘗試函數(shù)、加權(quán)函數(shù)選取） 微分降階，簡化計(jì)算 對稱矩陣，簡化計(jì)算 根據(jù)情況源矩陣、邊界矩陣可能為0對拉普拉斯方程和帕松方程問題適合l6. 簡化后加權(quán)余量

18、法 例2例1中的靜電場問題，變?yōu)閮呻姌O板接地，中間充滿電荷。帕松方程34231201xaxaxaxa加權(quán)余量法求解：加權(quán)余量法求解：1.初選嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：初選嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：4)31,2(i :3210，、xxxxi利用問題，對近似解進(jìn)行簡化，對嘗試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化利用問題，對近似解進(jìn)行簡化，對嘗試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化l6. 簡化后加權(quán)余量法 例2通過嘗試函數(shù)的選取，近似解滿足1類邊界條件，使得1類邊界條件在方程中消失324110 00|aaaaxx；由此，嘗試函數(shù)和近似解優(yōu)化為：由此，嘗試函數(shù)和近似解優(yōu)化為：)()(322312211xxcxxccc 2. 修正嘗試函數(shù)，以滿足修正嘗試函數(shù)

19、，以滿足1類邊界條件：類邊界條件：)(作好準(zhǔn)備、其梯度為：、 3231222132231xxxxxxx l6. 簡化后加權(quán)余量法 例23.代公式計(jì)算矩陣元素代公式計(jì)算矩陣元素 （邊界矩陣（邊界矩陣b為為0）l6. 簡化后加權(quán)余量法 例24. 封裝矩陣：封裝矩陣：l6. 簡化后加權(quán)余量法 例25. 求解矩陣，得近似解：求解矩陣，得近似解：該有源靜態(tài)電場問題的真解（解析解：）該有源靜態(tài)電場問題的真解（解析解：）l6. 簡化后加權(quán)余量法 例2真解與近似解相同是由于嘗試函數(shù)選擇的剛好，通常有差別。如例3l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3偏微分方程描述的問題如下：212|21 2212

20、 xxdxdxxdxdxdxd| )()( ），（加權(quán)余量法求解：加權(quán)余量法求解：1.初選嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：初選嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解：34231201xaxaxaxa 4)31,2(i 3210，、 xxxxi: 利用問題及其邊界條件，對嘗試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化（使近似解滿足邊界條件）利用問題及其邊界條件，對嘗試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化（使近似解滿足邊界條件）通過嘗試函數(shù)的選取，近似解滿足1類邊界條件，使得1類邊界條件在方程中消失2243211aaaax | 兩個(gè)方程，兩個(gè)獨(dú)立未知數(shù)，消兩個(gè)方程，兩個(gè)獨(dú)立未知數(shù)，消a1、a2，重定嘗試函數(shù)，邊界條件自動滿足，重定嘗試函數(shù)，邊界條件自動滿足，簡化求解過程簡化求解

21、過程l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例32124823221432224322 aaaxaxaaxdxdxxx|)(| )( 2. 修正嘗試函數(shù)，以滿足修正嘗試函數(shù)，以滿足1、2類邊界條件：類邊界條件：)()()()()(111314491111314492212321 xxxCxxCxxxxxxx且近似解為：、 l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例302102| 021 2212 xxdxdxRxdxdxdxdR| )(:)()( 條件自動滿足嘗試函數(shù)的選取，邊界），（余數(shù)為：余數(shù)為：l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例32221222124331

22、441 2111314491xxCxCxdxdxdxdRxxxCxxCx )()()()()()(代入： 結(jié)合問題，余數(shù)的具體表達(dá)式為：結(jié)合問題，余數(shù)的具體表達(dá)式為：問題的加權(quán)余數(shù)（目標(biāo)泛函）為：問題的加權(quán)余數(shù)（目標(biāo)泛函）為： 0 d 24331441 d d 2221 )()()(xxCxCRRFjjjRj 4. j=2,3時(shí)得代數(shù)方程：時(shí)得代數(shù)方程：5. 求解矩陣，得近似解：求解矩陣，得近似解：l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3 0d 24331441 31 d 24331441 21222121222122 )()()()()()()(xxCxCxxxxCxCFR 0d

23、 24331441 111 d 24331441 212221221222133 )()()()()()()(xxCxCxxxxxCxCFR 5. 求解矩陣，得待定系數(shù)和近似解：求解矩陣，得待定系數(shù)和近似解：l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3)(.)(.)(.11134710311378244913471013782221 xxxxxxCC、 真解（解析解：）真解（解析解：）l7. 簡化后加權(quán)余量法 求解一般化的微分方程 例3l8. 歸納加權(quán)余量求解偏微分方程步驟加權(quán)余量法求解流程：加權(quán)余量法求解流程：1.初步選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解初步選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解2.結(jié)合問題的

24、邊界條件對嘗試函數(shù)進(jìn)行修正，以簡化求解結(jié)合問題的邊界條件對嘗試函數(shù)進(jìn)行修正，以簡化求解3.寫出余數(shù)表達(dá)式寫出余數(shù)表達(dá)式3. 寫出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式（迦遼金方法選取加權(quán)函數(shù)）寫出加權(quán)余數(shù)表達(dá)式（迦遼金方法選取加權(quán)函數(shù)）4. 令權(quán)余數(shù)表達(dá)式在各嘗試函數(shù)下為令權(quán)余數(shù)表達(dá)式在各嘗試函數(shù)下為0，得到代數(shù)方程組，解，得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解l8. 歸納加權(quán)余量求解偏微分方程步驟加權(quán)余數(shù)法求解一般性偏微分方程的方法：方程的近似解被表示為一系列獨(dú)立的嘗試函數(shù)的線性組合，其中包括未知的待定系數(shù)。通常用迦遼金原理選取加權(quán)函數(shù)，（即令加權(quán)函數(shù)等于嘗試函數(shù)本身），從而

25、完成對加權(quán)余數(shù)的定義，(嘗試函數(shù)的選取滿足邊界條件)通過對加權(quán)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)和在邊界上的積分使其平均值為零，也就是說，使近似解與精確解之間的差別在某種指標(biāo)下達(dá)到最小化。如此可以形成一個(gè)矩陣形式的代數(shù)方程組，求解該矩陣方程可以確定待定系數(shù)從而得到偏微分方程的唯一近似解。l9. 變分法簡介另外一種求解偏微分方程的一般方法，即變分法。變分法與加權(quán)余數(shù)法類似，近似解也用一系列線性獨(dú)立的嘗試函數(shù)表示包括未知的待定系數(shù)。與加權(quán)余數(shù)法不同的是，變分法用另外的方法來形成求解待定系數(shù)的矩陣方程。在變分法中，首先要構(gòu)成一個(gè)近似解的函數(shù)，稱為泛函。從廣義來說，加權(quán)余數(shù)積分(即平均值)也是一種泛函。然后使該泛函最小化，從而減小近似解的誤差。一般說來，要找到一個(gè)適合于偏微分方程及邊界條件的泛函是一項(xiàng)難度很大的工作。由于前人已做了許多研究工作，已找到了適合于許多常見形式的偏微分方程的泛函。對于電磁場方程來說，偏微分方程常具有拉普拉斯、帕松和