第22章電磁感應(yīng)

1、二十二、二十二、 電磁感應(yīng)電磁感應(yīng)（一）、電磁感應(yīng)定律（一）、電磁感應(yīng)定律基本規(guī)律：楞次定律、法拉第電磁感應(yīng)定律基本規(guī)律：楞次定律、法拉第電磁感應(yīng)定律基本概念：動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)、感生電動(dòng)勢(shì)、自感、互感、基本概念：動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)、感生電動(dòng)勢(shì)、自感、互感、 電磁能量電磁能量重要計(jì)算：重要計(jì)算：1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算 2）自感、互感系數(shù)的計(jì)算）自感、互感系數(shù)的計(jì)算 3）電磁能量和能量轉(zhuǎn)換的問(wèn)題）電磁能量和能量轉(zhuǎn)換的問(wèn)題1、電磁感應(yīng)現(xiàn)象、電磁感應(yīng)現(xiàn)象2、電磁感應(yīng)定律、電磁感應(yīng)定律（1）、楞次定律）、楞次定律楞次定律的實(shí)質(zhì)是能量轉(zhuǎn)化與守恒定律在電磁感應(yīng)現(xiàn)楞次定律的實(shí)質(zhì)是能量轉(zhuǎn)化與守恒定律在電磁感應(yīng)

2、現(xiàn)象中的具體體現(xiàn)象中的具體體現(xiàn)內(nèi)容：感應(yīng)電流的方向總是企圖使感應(yīng)電流本身產(chǎn)生的內(nèi)容：感應(yīng)電流的方向總是企圖使感應(yīng)電流本身產(chǎn)生的 通過(guò)回路面積的磁通量，去補(bǔ)償或反抗引起感應(yīng)通過(guò)回路面積的磁通量，去補(bǔ)償或反抗引起感應(yīng) 電流的磁通量的改變。電流的磁通量的改變。（2）、法拉第電磁感應(yīng)定律）、法拉第電磁感應(yīng)定律內(nèi)容：回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與通過(guò)回路的磁通量對(duì)時(shí)間內(nèi)容：回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與通過(guò)回路的磁通量對(duì)時(shí)間 的變化率成正比。的變化率成正比。表達(dá)式：表達(dá)式：middt 負(fù)號(hào)表示企圖阻抗變化負(fù)號(hào)表示企圖阻抗變化（楞次定律的數(shù)學(xué)符號(hào)）（楞次定律的數(shù)學(xué)符號(hào)）如有如有N匝：匝：()mid Nddtdt 磁通鏈數(shù)磁通

3、鏈數(shù)m 增大im 減小ii感生若若 不變，回路不變，回路 變；變；BS若若 變，回路變，回路 不變；不變；BS若若 同時(shí)變；同時(shí)變；BSi動(dòng)生i感生動(dòng)生BBLL（二）、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)（二）、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)1、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) 的產(chǎn)生機(jī)理的產(chǎn)生機(jī)理動(dòng)生iIv洛F電Fabcd電子受到的洛侖茲力：電子受到的洛侖茲力：FevB洛方向：由方向：由a指向指向b2、 的大小和方向的大小和方向動(dòng)生FevB洛e(cuò)E sin( , )cos(,)aababbabE dlvBdlvBv BvB dl dl動(dòng)FeE 電0ba0ba若若方向：由方向：由b指向指向a方向：由方向：由a指向指向b若若3、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算、動(dòng)生電

4、動(dòng)勢(shì)的計(jì)算方法一：方法一：LLvBdlvBdl動(dòng)動(dòng)方法二：方法二：mddt 回路動(dòng)例例1：穩(wěn)恒的均勻磁場(chǎng)垂直向里，導(dǎo)線：穩(wěn)恒的均勻磁場(chǎng)垂直向里，導(dǎo)線abc形狀是半徑形狀是半徑為為R的的3/4圓周，導(dǎo)線沿圓周，導(dǎo)線沿aoc的角平分線方向以速度的角平分線方向以速度v水平向水平向右運(yùn)動(dòng)。求右運(yùn)動(dòng)。求動(dòng),4dlRdRd解：方法一：取線元解：方法一：取線元 ，在，在 處處dlvB方向豎直向上，與方向豎直向上，與 夾角夾角為為，由幾何關(guān)系知，由幾何關(guān)系知dldl744coscos2abcabcvBdlvBRdRvBacvB所以所以方法二方法二:方向：由方向：由c指向指向a；c點(diǎn)是負(fù)電荷、負(fù)極。點(diǎn)是負(fù)電荷、

5、負(fù)極。連線連線ac，形成，形成abca回路，當(dāng)回路回路，當(dāng)回路abca在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)0i而而abcaabcca故故abccaac2mdB dSBvdtacRvBdt 2macdRvBdt 所以所以2abcacRvB方向：由方向：由c指向指向a；c點(diǎn)是負(fù)電荷、負(fù)極。點(diǎn)是負(fù)電荷、負(fù)極。vabcB推廣：任意形狀導(dǎo)線在均勻磁場(chǎng)中沿直線運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的推廣：任意形狀導(dǎo)線在均勻磁場(chǎng)中沿直線運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的 路等于導(dǎo)線兩端連線在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的路等于導(dǎo)線兩端連線在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)動(dòng)解：方法一：解：方法一：ddlRabvBrB02202()sincos()22sinsinsinsin12abbab

6、avBdlvBdlr BdlRBRdRBdBR 例例2：如圖在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有一個(gè)半圓形線圈沿：如圖在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有一個(gè)半圓形線圈沿ab軸以軸以 角速度旋轉(zhuǎn)。求其在此位置時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)。角速度旋轉(zhuǎn)。求其在此位置時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)。c方法二：方法二：連接連接ab成回路，則成回路，則ddlRabvBrB()(cos)sinmacbadd B Sd BStBStdtdtdt 因?yàn)橐驗(yàn)閍b段不轉(zhuǎn)動(dòng)，不切割磁力線，因此段不轉(zhuǎn)動(dòng)，不切割磁力線，因此0ba所以所以acbabaacbacbsinacbBSt21sin22acbBSBSR B當(dāng)線圈平面與當(dāng)線圈平面與 平行，即平面法線平行，即平面法線 垂直垂直 時(shí)時(shí)(通常

7、取平面法線與通常取平面法線與 平行平行時(shí)為時(shí)為 時(shí)刻時(shí)刻)，BBnc cB0t 法拉第電磁感應(yīng)定律表明，只要穿過(guò)某閉合導(dǎo)體法拉第電磁感應(yīng)定律表明，只要穿過(guò)某閉合導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化，該回路中就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)回路的磁通量發(fā)生變化，該回路中就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?；芈分写磐孔兓脑?，一般有三種電動(dòng)勢(shì)。回路中磁通量變化的原因，一般有三種情況：情況：磁場(chǎng)恒定，導(dǎo)體回路或回路的部分在磁場(chǎng)中有相磁場(chǎng)恒定，導(dǎo)體回路或回路的部分在磁場(chǎng)中有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)對(duì)運(yùn)動(dòng)，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)(motional electromotive force)。(2) 回路在磁場(chǎng)中沒(méi)有相

8、對(duì)運(yùn)動(dòng)，回路中磁通量的變回路在磁場(chǎng)中沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，回路中磁通量的變化僅由磁場(chǎng)的變化而引起，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)化僅由磁場(chǎng)的變化而引起，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)稱為感生電動(dòng)勢(shì)勢(shì)稱為感生電動(dòng)勢(shì)(induced electromotive force)。(3) 回路中磁通量的變化由回路在磁場(chǎng)中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)回路中磁通量的變化由回路在磁場(chǎng)中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與磁場(chǎng)的變化共同引起，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁場(chǎng)的變化共同引起，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)的疊加。是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)的疊加。（三）、感生電動(dòng)勢(shì)和渦旋電場(chǎng)（感生電場(chǎng)）（三）、感生電動(dòng)勢(shì)和渦旋電場(chǎng)（感生電場(chǎng)）1、感生電場(chǎng)、感生電場(chǎng)E感Bt麥克斯韋

9、假設(shè)：麥克斯韋假設(shè)：變化的磁場(chǎng)在其周?chē)鷷?huì)激發(fā)一種電場(chǎng)（變化的磁場(chǎng)在其周?chē)鷷?huì)激發(fā)一種電場(chǎng)（感生電場(chǎng)感生電場(chǎng)）是有旋場(chǎng)是有旋場(chǎng)左手螺旋（唯一的）左手螺旋（唯一的）E感產(chǎn)生電流產(chǎn)生電流順時(shí)針順時(shí)針產(chǎn)生磁場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)Bt阻止阻止 的增加的增加符合法拉第電磁感應(yīng)定律符合法拉第電磁感應(yīng)定律2、感生電動(dòng)勢(shì)、感生電動(dòng)勢(shì)（1）、導(dǎo)體回路）、導(dǎo)體回路Edl感感由法拉第電磁感應(yīng)定律由法拉第電磁感應(yīng)定律()mSSddBB dSdSdtdtt 感SBEdldSt感感負(fù)號(hào)表示負(fù)號(hào)表示 阻止阻止 的增加的增加E感Bt2、導(dǎo)體棒、導(dǎo)體棒LEdl感感二、感生（渦旋）電場(chǎng)與庫(kù)侖電場(chǎng)（靜電場(chǎng)）二、感生（渦旋）電場(chǎng)與庫(kù)侖電場(chǎng)（靜電場(chǎng)）

10、1、起因不同：感生電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)激發(fā)；、起因不同：感生電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)激發(fā)； 靜電場(chǎng)是由帶電物體激發(fā)。靜電場(chǎng)是由帶電物體激發(fā)。2、0LEdl庫(kù)BEdldSt感int0qEdS庫(kù)0EdS感有源場(chǎng)有源場(chǎng)無(wú)源場(chǎng)無(wú)源場(chǎng)電場(chǎng)線閉合電場(chǎng)線閉合3、保守力場(chǎng)保守力場(chǎng)非保守力場(chǎng)非保守力場(chǎng)4、一般情況，空間中總電場(chǎng)、一般情況，空間中總電場(chǎng)EEE總感庫(kù)總電場(chǎng)方程總電場(chǎng)方程int0qEdS總BEdldSt 總因此，回路中總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)求解方法：因此，回路中總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)求解方法：1）mddt 總2）LLSvBdlEdlBvBdldSt總動(dòng)感感例例3：在半徑為：在半徑為R的長(zhǎng)直螺線管中通有變化的電流，的長(zhǎng)直螺線管中通

11、有變化的電流，如果管內(nèi)磁通以如果管內(nèi)磁通以dB/dt 的變化率增加，求螺線管內(nèi)外感應(yīng)的變化率增加，求螺線管內(nèi)外感應(yīng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)。電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)。 RLr（1）在管內(nèi)（）在管內(nèi)（r0，當(dāng)磁場(chǎng)隨時(shí)間變化，在其周?chē)a(chǎn)生感應(yīng)，當(dāng)磁場(chǎng)隨時(shí)間變化，在其周?chē)a(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)。由磁場(chǎng)分布對(duì)稱性知，感應(yīng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線為圓心在電場(chǎng)。由磁場(chǎng)分布對(duì)稱性知，感應(yīng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線為圓心在軸線上的一系列同心圓，方向如圖所示。軸線上的一系列同心圓，方向如圖所示。B2miLddBEdlrdtdt感2r dBErRdt感22dBrErdt感（2）在管外（）在管外（rR） RLrL取半徑為取半徑為r的電場(chǎng)線的電場(chǎng)線L為積分回路，同理有為積分回路，

12、同理有2LEdlrE感感2mddBRdtdt22R dBErRr dt感2RdBdtrRE感22dBrERdt感cos20BAOBABAEdlEdl感感解：（解：（1）在）在AOB取微元取微元 ，分析可知，分析可知 處處 方向方向垂直于垂直于 ，因此，因此ldldldE感例例4：如圖，一被限制在無(wú)限長(zhǎng)圓柱內(nèi)的均勻磁場(chǎng)：如圖，一被限制在無(wú)限長(zhǎng)圓柱內(nèi)的均勻磁場(chǎng)均勻增加，均勻增加， 的方向垂直向里。的方向垂直向里。求（求（1） 、 。并比較。并比較A、B及及C、D電勢(shì)的高低。電勢(shì)的高低。AOBCDBABUUhrldo ldE感E感ABCDcoscos2DCDCDCDCEdlEdlr dBdldt感感

13、確定確定 的方向：作過(guò)的方向：作過(guò) 的電場(chǎng)線，并取切線方向的電場(chǎng)線，并取切線方向E感l(wèi)d求求 ：CD方法一：方法一：hrldo ldE感E感ABCD22DCDCr dB hdldt rh dBdldt方向：由方向：由C到到DDCUU（從外電路看）（從外電路看）方法二：補(bǔ)成方法二：補(bǔ)成ODCO回路，并取回路，并取ODCO為回路正向。為回路正向。（為什么要取回路正向？為什么要取回路正向？）22()()2( )22mODCOdd B Sd BSdtdtdtdBdSdBlh dBSBSdtdtdtdtl dBlRdt 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閔rldo ldE感E感ABCD22( )22l dBlRdt方向：由方

14、向：由C到到DDCUU22( )22ODCOl dBlRdt 22( )22CDDCODCOl dBlRdt EF2RRRBvG解：分析知既有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)又有感生電動(dòng)勢(shì)，解：分析知既有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)又有感生電動(dòng)勢(shì)，EG、GF都有都有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)感應(yīng)動(dòng)生感生sincos02FEFGFGvBdlvBdlvBdlvBR動(dòng)生方向：由方向：由E到到F(2)若有一長(zhǎng)為若有一長(zhǎng)為2R的導(dǎo)體棒橫掃過(guò)磁場(chǎng)，如圖，試求導(dǎo)體棒的導(dǎo)體棒橫掃過(guò)磁場(chǎng)，如圖，試求導(dǎo)體棒在圖示的在圖示的EF位置的位置的感應(yīng)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)（此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度為電動(dòng)勢(shì)（此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度為 ）。）。B22coscos( 3)2243FGFEEGGFEGE

15、dlEdlEdlR dBr dBRdBdldlr dtdtdt 感生感感外感內(nèi)2( 3)43RdBvBRdt感應(yīng)動(dòng)生感生因此因此方向：由方向：由F到到E討論：若討論：若0感應(yīng)0感應(yīng)方向：由方向：由E到到F EF2RRRBvG（五）、自感應(yīng)和互感應(yīng)、渦電流（五）、自感應(yīng)和互感應(yīng)、渦電流1、自感應(yīng)、自感應(yīng)（1）、）、螺線管內(nèi)螺線管內(nèi)BnI,BIK鍵開(kāi)合時(shí)鍵開(kāi)合時(shí)I變變B變變()mBS變變感應(yīng)產(chǎn)生產(chǎn)生LRKEiL當(dāng)一個(gè)電流回路的電流當(dāng)一個(gè)電流回路的電流I隨時(shí)間變化時(shí)，通過(guò)回路自身的隨時(shí)間變化時(shí)，通過(guò)回路自身的磁通也發(fā)生變化，因而回路自身產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，此現(xiàn)磁通也發(fā)生變化，因而回路自身產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，

16、此現(xiàn)象稱為象稱為自感現(xiàn)象自感現(xiàn)象。此電動(dòng)勢(shì)稱為。此電動(dòng)勢(shì)稱為自感電動(dòng)勢(shì)自感電動(dòng)勢(shì) 。L（2）、自感電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算）、自感電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算BImBmImlI線圈單匝線圈單匝N匝線圈匝線圈mNNlILI LNlI其中其中自感系數(shù)自感系數(shù)單位：?jiǎn)挝唬?H=1wb/ALdddILILdtdtdt因此因此負(fù)號(hào)表示自感電動(dòng)勢(shì)的方向總是負(fù)號(hào)表示自感電動(dòng)勢(shì)的方向總是阻礙阻礙回路本身電流的回路本身電流的變化。變化。LLi（3）、自感在回路中的作用）、自感在回路中的作用在回路中，在回路中，若若I增加，則增加，則dI方向向右，產(chǎn)生的方向向右，產(chǎn)生的若若I減少，則減少，則dI方向向左，產(chǎn)生的方向向左，產(chǎn)生的L（4）、自感系

17、數(shù)）、自感系數(shù)L的計(jì)算的計(jì)算例例5：求無(wú)限長(zhǎng)螺線管的自感系數(shù)：求無(wú)限長(zhǎng)螺線管的自感系數(shù)L。解：設(shè)螺線管截面為解：設(shè)螺線管截面為S，匝數(shù)為，匝數(shù)為N，總長(zhǎng)為，總長(zhǎng)為l,通有電流通有電流I(t)方法一：方法一：2( )( )mNNBSnlBSnl nI t Sn l I t S 22Ln lSn VI所以所以V是螺線管體積是螺線管體積方法二：方法二：2()()()mLd Ndd BSd n ISNnldtdtdtdtdIn lSdtLdILdt 因?yàn)橐驗(yàn)樗运?2Ln lSn V解：電纜可視為單匝回路，如圖，其磁通量即通過(guò)任一縱解：電纜可視為單匝回路，如圖，其磁通量即通過(guò)任一縱截面的磁通量。截面

18、的磁通量。管間距軸管間距軸r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：2IBr通過(guò)單位長(zhǎng)度縱截面的磁通量為：通過(guò)單位長(zhǎng)度縱截面的磁通量為：2121211ln22RmRRRB dSB drRIdrIrR所以單位長(zhǎng)度自感系數(shù)：所以單位長(zhǎng)度自感系數(shù)：21ln2mRLIR例例6：一根同軸電纜，半徑分別為：一根同軸電纜，半徑分別為 和和 ,管間充管間充有有 磁導(dǎo)率為磁導(dǎo)率為 的均勻磁介質(zhì)。試求：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度電纜的自的均勻磁介質(zhì)。試求：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度電纜的自感系數(shù)。感系數(shù)。1R2R2、互感應(yīng)、互感應(yīng)（1）、互感系數(shù)）、互感系數(shù)1I2I設(shè)線圈設(shè)線圈I中電流中電流 ，在線圈，在線圈II中產(chǎn)生的磁鏈中產(chǎn)生的磁鏈為為 設(shè)線圈設(shè)線圈I

19、I中電流中電流 ，在線圈，在線圈I中產(chǎn)生的磁鏈中產(chǎn)生的磁鏈為為 1I2I2112由畢薩定律由畢薩定律02sin4IdldBr知知BI所以對(duì)于磁通量也有所以對(duì)于磁通量也有211I122I2121 1M I12122M I12M21M與與互感系數(shù)互感系數(shù)與兩線圈的形狀、大小、匝數(shù)、相對(duì)位置及周?chē)沤橘|(zhì)與兩線圈的形狀、大小、匝數(shù)、相對(duì)位置及周?chē)沤橘|(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān)。的磁導(dǎo)率有關(guān)。實(shí)驗(yàn)和理論指出，實(shí)驗(yàn)和理論指出， 與與 在數(shù)值上相等在數(shù)值上相等12M21M2112122112MMMII（2）、互感電動(dòng)勢(shì)）、互感電動(dòng)勢(shì)2112112212ddIMdtdtddIMdtdt （3）、互感系數(shù)）、互感系數(shù)M的計(jì)

20、算的計(jì)算方法一：方法一：211212MII方法二：方法二：21121121ddICdtdtdIMMCdt（4）、互感電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算）、互感電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算方法一：方法一：MdIMdt 方法二：方法二：Mddt 1N2N1C2Cl解（解（1）設(shè)線圈）設(shè)線圈 通有電流通有電流 ，則，則 1C1I1 11N IBl1I引起的穿過(guò)線圈引起的穿過(guò)線圈 的磁鏈的磁鏈2C2121211N N SN BSIl21121N N SMIl例例7：兩個(gè)長(zhǎng)度與橫截面都相同的共軸螺線管（長(zhǎng)度：兩個(gè)長(zhǎng)度與橫截面都相同的共軸螺線管（長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于面積的線度）匝數(shù)分別為遠(yuǎn)大于面積的線度）匝數(shù)分別為 ，截面積為，截面積為S , 如如圖，

21、管內(nèi)介質(zhì)的磁導(dǎo)率為圖，管內(nèi)介質(zhì)的磁導(dǎo)率為 ，求（，求（1）兩線圈的互感系）兩線圈的互感系數(shù)數(shù);（2）兩線圈的自感系數(shù)與互感系數(shù)的關(guān)系。）兩線圈的自感系數(shù)與互感系數(shù)的關(guān)系。2N1N（2）當(dāng)線圈）當(dāng)線圈 通有電流通有電流 時(shí)，穿過(guò)線圈自身的磁鏈時(shí)，穿過(guò)線圈自身的磁鏈1C1I211111N I SN BSl 21111N SLIl同理，線圈同理，線圈 的自感系數(shù)的自感系數(shù)2C222N SLl 必須指出，只有在兩螺線管各自產(chǎn)生的磁通完全通必須指出，只有在兩螺線管各自產(chǎn)生的磁通完全通過(guò)對(duì)方線圈時(shí)（即為完全耦合時(shí)），才有上述關(guān)系。在過(guò)對(duì)方線圈時(shí)（即為完全耦合時(shí)），才有上述關(guān)系。在一般情況下，一般情況下，K

22、稱耦合系數(shù)，其值視兩線圈相對(duì)位置而定。稱耦合系數(shù)，其值視兩線圈相對(duì)位置而定。1201MK L LK212ML L可見(jiàn)可見(jiàn)（六）、磁場(chǎng)能量（六）、磁場(chǎng)能量LRKEiLdt時(shí)間內(nèi)，通過(guò)電燈的電量時(shí)間內(nèi)，通過(guò)電燈的電量idtdt時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi) 自感電動(dòng)勢(shì)所做的功：自感電動(dòng)勢(shì)所做的功：LdidAidtLidtLididt 電流由電流由I變到變到0過(guò)程中，自感電動(dòng)勢(shì)過(guò)程中，自感電動(dòng)勢(shì)所做的總功：所做的總功：0212IAdALidiLI這是以磁能形式儲(chǔ)存在線圈中的能量轉(zhuǎn)化做功。這是以磁能形式儲(chǔ)存在線圈中的能量轉(zhuǎn)化做功。所以線圈儲(chǔ)有的磁能為：所以線圈儲(chǔ)有的磁能為：212WLI以無(wú)限長(zhǎng)螺線管為例以無(wú)限長(zhǎng)螺線管為

23、例自感系數(shù)自感系數(shù)2Ln V2221122WLIn VIm又因?yàn)橛忠驗(yàn)锽nI212mWB Vw Vm磁場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)能量密度：21122mwBBH磁場(chǎng)儲(chǔ)存的總能量：磁場(chǎng)儲(chǔ)存的總能量：12mVVWw dVBHdVm例例8：用求磁場(chǎng)能量的方法，求同軸電纜單位長(zhǎng)度的：用求磁場(chǎng)能量的方法，求同軸電纜單位長(zhǎng)度的自感系數(shù)。自感系數(shù)。解：由于同軸電纜內(nèi)、外圓筒通以的電流大小相等，方向解：由于同軸電纜內(nèi)、外圓筒通以的電流大小相等，方向相反，因此應(yīng)用安培環(huán)路定律，可知在內(nèi)筒以內(nèi)和外筒以相反，因此應(yīng)用安培環(huán)路定律，可知在內(nèi)筒以內(nèi)和外筒以外的空間中，磁場(chǎng)強(qiáng)度都為零。在內(nèi)外筒間空間中，離軸外的空間中，磁場(chǎng)強(qiáng)度都為零

24、。在內(nèi)外筒間空間中，離軸距離為距離為r處的磁場(chǎng)強(qiáng)度處的磁場(chǎng)強(qiáng)度2IHr該處磁場(chǎng)能量體密度：該處磁場(chǎng)能量體密度：2222128mIwHr故，磁場(chǎng)總能量：故，磁場(chǎng)總能量：22218mmWwdVIdVr取長(zhǎng)取長(zhǎng)l、厚度、厚度dr薄圓柱殼層體積元薄圓柱殼層體積元dV，則，則2dVrldr212221ln44RmRRI ldrI lWrR21ln2RlLR212mWLI這是長(zhǎng)為這是長(zhǎng)為l的一段電纜內(nèi)的磁能，與磁場(chǎng)能量公式的一段電纜內(nèi)的磁能，與磁場(chǎng)能量公式相比較，得：相比較，得：故單位長(zhǎng)度的自感系數(shù)：故單位長(zhǎng)度的自感系數(shù)：21ln2RLLlR 例例9：試用能量觀點(diǎn)證明兩個(gè)線圈的互感系數(shù)相等。：試用能量觀點(diǎn)

25、證明兩個(gè)線圈的互感系數(shù)相等。1212M1I21M2I解：設(shè)有如圖兩線圈，自感系數(shù)分別為解：設(shè)有如圖兩線圈，自感系數(shù)分別為 ，開(kāi)始時(shí)兩，開(kāi)始時(shí)兩線圈都沒(méi)有電流通過(guò)，假設(shè)先接通線圈線圈都沒(méi)有電流通過(guò)，假設(shè)先接通線圈1，其中的電流由，其中的電流由零增加到零增加到 ，此時(shí)它儲(chǔ)存的磁能：，此時(shí)它儲(chǔ)存的磁能：1I1L2L211 112mWL I然后接通線圈然后接通線圈2，其電流從零增至，其電流從零增至 ，此時(shí)線圈中磁能：，此時(shí)線圈中磁能：2I222212mWL I為保持線圈為保持線圈1中電流中電流 不變，則外電流還須克服互感電動(dòng)不變，則外電流還須克服互感電動(dòng)勢(shì)做功。此功也變?yōu)榇拍軆?chǔ)存在線圈中，因此線圈中儲(chǔ)

26、存勢(shì)做功。此功也變?yōu)榇拍軆?chǔ)存在線圈中，因此線圈中儲(chǔ)存 的能量增加了：的能量增加了：1I1212 112112 1212 1 20ImdiWI dtMI dtM IdiM I Idt當(dāng)線圈中電流為當(dāng)線圈中電流為 ，線圈，線圈2中電流為中電流為 時(shí)，這兩個(gè)線圈時(shí)，這兩個(gè)線圈所組成的體系具有的總磁能為：所組成的體系具有的總磁能為：22121 12212 1 21122mmmmWWWWL IL IM I I同理，如先接通線圈同理，如先接通線圈2，電流達(dá)到，電流達(dá)到 ，再接通線圈，再接通線圈1，重復(fù)，重復(fù)以上討論，可得體系總磁能為：以上討論，可得體系總磁能為：1I2I2I221 12221 1 21122mWL IL IM I I 體系所具有的能量與狀態(tài)有關(guān)，而與電流形成次序無(wú)關(guān)，體系所具有的能量與狀態(tài)有關(guān)，而與電流形