第22章電磁感應(yīng)

1、二十二、二十二、 電磁感應(yīng)電磁感應(yīng)（一）、電磁感應(yīng)定律（一）、電磁感應(yīng)定律基本規(guī)律：楞次定律、法拉第電磁感應(yīng)定律基本規(guī)律：楞次定律、法拉第電磁感應(yīng)定律基本概念：動生電動勢、感生電動勢、自感、互感、基本概念：動生電動勢、感生電動勢、自感、互感、 電磁能量電磁能量重要計算：重要計算：1）感應(yīng)電動勢的計算）感應(yīng)電動勢的計算 2）自感、互感系數(shù)的計算）自感、互感系數(shù)的計算 3）電磁能量和能量轉(zhuǎn)換的問題）電磁能量和能量轉(zhuǎn)換的問題1、電磁感應(yīng)現(xiàn)象、電磁感應(yīng)現(xiàn)象2、電磁感應(yīng)定律、電磁感應(yīng)定律（1）、楞次定律）、楞次定律楞次定律的實質(zhì)是能量轉(zhuǎn)化與守恒定律在電磁感應(yīng)現(xiàn)楞次定律的實質(zhì)是能量轉(zhuǎn)化與守恒定律在電磁感應(yīng)

2、現(xiàn)象中的具體體現(xiàn)象中的具體體現(xiàn)內(nèi)容：感應(yīng)電流的方向總是企圖使感應(yīng)電流本身產(chǎn)生的內(nèi)容：感應(yīng)電流的方向總是企圖使感應(yīng)電流本身產(chǎn)生的 通過回路面積的磁通量，去補(bǔ)償或反抗引起感應(yīng)通過回路面積的磁通量，去補(bǔ)償或反抗引起感應(yīng) 電流的磁通量的改變。電流的磁通量的改變。（2）、法拉第電磁感應(yīng)定律）、法拉第電磁感應(yīng)定律內(nèi)容：回路中的感應(yīng)電動勢與通過回路的磁通量對時間內(nèi)容：回路中的感應(yīng)電動勢與通過回路的磁通量對時間 的變化率成正比。的變化率成正比。表達(dá)式：表達(dá)式：middt 負(fù)號表示企圖阻抗變化負(fù)號表示企圖阻抗變化（楞次定律的數(shù)學(xué)符號）（楞次定律的數(shù)學(xué)符號）如有如有N匝：匝：()mid Nddtdt 磁通鏈數(shù)磁通

3、鏈數(shù)m 增大im 減小ii感生若若 不變，回路不變，回路 變；變；BS若若 變，回路變，回路 不變；不變；BS若若 同時變；同時變；BSi動生i感生動生BBLL（二）、動生電動勢（二）、動生電動勢1、動生電動勢、動生電動勢 的產(chǎn)生機(jī)理的產(chǎn)生機(jī)理動生iIv洛F電Fabcd電子受到的洛侖茲力：電子受到的洛侖茲力：FevB洛方向：由方向：由a指向指向b2、 的大小和方向的大小和方向動生FevB洛eE sin( , )cos(,)aababbabE dlvBdlvBv BvB dl dl動FeE 電0ba0ba若若方向：由方向：由b指向指向a方向：由方向：由a指向指向b若若3、動生電動勢的計算、動生電

4、動勢的計算方法一：方法一：LLvBdlvBdl動動方法二：方法二：mddt 回路動例例1：穩(wěn)恒的均勻磁場垂直向里，導(dǎo)線：穩(wěn)恒的均勻磁場垂直向里，導(dǎo)線abc形狀是半徑形狀是半徑為為R的的3/4圓周，導(dǎo)線沿圓周，導(dǎo)線沿aoc的角平分線方向以速度的角平分線方向以速度v水平向水平向右運(yùn)動。求右運(yùn)動。求動,4dlRdRd解：方法一：取線元解：方法一：取線元 ，在，在 處處dlvB方向豎直向上，與方向豎直向上，與 夾角夾角為為，由幾何關(guān)系知，由幾何關(guān)系知dldl744coscos2abcabcvBdlvBRdRvBacvB所以所以方法二方法二:方向：由方向：由c指向指向a；c點是負(fù)電荷、負(fù)極。點是負(fù)電荷、

5、負(fù)極。連線連線ac，形成，形成abca回路，當(dāng)回路回路，當(dāng)回路abca在磁場中運(yùn)動在磁場中運(yùn)動0i而而abcaabcca故故abccaac2mdB dSBvdtacRvBdt 2macdRvBdt 所以所以2abcacRvB方向：由方向：由c指向指向a；c點是負(fù)電荷、負(fù)極。點是負(fù)電荷、負(fù)極。vabcB推廣：任意形狀導(dǎo)線在均勻磁場中沿直線運(yùn)動所產(chǎn)生的推廣：任意形狀導(dǎo)線在均勻磁場中沿直線運(yùn)動所產(chǎn)生的 路等于導(dǎo)線兩端連線在均勻磁場中運(yùn)動產(chǎn)生的路等于導(dǎo)線兩端連線在均勻磁場中運(yùn)動產(chǎn)生的動動解：方法一：解：方法一：ddlRabvBrB02202()sincos()22sinsinsinsin12abbab

6、avBdlvBdlr BdlRBRdRBdBR 例例2：如圖在勻強(qiáng)磁場中有一個半圓形線圈沿：如圖在勻強(qiáng)磁場中有一個半圓形線圈沿ab軸以軸以 角速度旋轉(zhuǎn)。求其在此位置時產(chǎn)生的電動勢。角速度旋轉(zhuǎn)。求其在此位置時產(chǎn)生的電動勢。c方法二：方法二：連接連接ab成回路，則成回路，則ddlRabvBrB()(cos)sinmacbadd B Sd BStBStdtdtdt 因為因為ab段不轉(zhuǎn)動，不切割磁力線，因此段不轉(zhuǎn)動，不切割磁力線，因此0ba所以所以acbabaacbacbsinacbBSt21sin22acbBSBSR B當(dāng)線圈平面與當(dāng)線圈平面與 平行，即平面法線平行，即平面法線 垂直垂直 時時(通常

7、取平面法線與通常取平面法線與 平行平行時為時為 時刻時刻)，BBnc cB0t 法拉第電磁感應(yīng)定律表明，只要穿過某閉合導(dǎo)體法拉第電磁感應(yīng)定律表明，只要穿過某閉合導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化，該回路中就會產(chǎn)生感應(yīng)回路的磁通量發(fā)生變化，該回路中就會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢?；芈分写磐孔兓脑颍话阌腥N電動勢?；芈分写磐孔兓脑?，一般有三種情況：情況：磁場恒定，導(dǎo)體回路或回路的部分在磁場中有相磁場恒定，導(dǎo)體回路或回路的部分在磁場中有相對運(yùn)動，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢稱為動生電動勢對運(yùn)動，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢稱為動生電動勢(motional electromotive force)。(2) 回路在磁場中沒有相

8、對運(yùn)動，回路中磁通量的變回路在磁場中沒有相對運(yùn)動，回路中磁通量的變化僅由磁場的變化而引起，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動化僅由磁場的變化而引起，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢稱為感生電動勢勢稱為感生電動勢(induced electromotive force)。(3) 回路中磁通量的變化由回路在磁場中的相對運(yùn)動回路中磁通量的變化由回路在磁場中的相對運(yùn)動與磁場的變化共同引起，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢與磁場的變化共同引起，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢是動生電動勢和感生電動勢的疊加。是動生電動勢和感生電動勢的疊加。（三）、感生電動勢和渦旋電場（感生電場）（三）、感生電動勢和渦旋電場（感生電場）1、感生電場、感生電場E感Bt麥克斯韋

9、假設(shè)：麥克斯韋假設(shè)：變化的磁場在其周圍會激發(fā)一種電場（變化的磁場在其周圍會激發(fā)一種電場（感生電場感生電場）是有旋場是有旋場左手螺旋（唯一的）左手螺旋（唯一的）E感產(chǎn)生電流產(chǎn)生電流順時針順時針產(chǎn)生磁場產(chǎn)生磁場Bt阻止阻止 的增加的增加符合法拉第電磁感應(yīng)定律符合法拉第電磁感應(yīng)定律2、感生電動勢、感生電動勢（1）、導(dǎo)體回路）、導(dǎo)體回路Edl感感由法拉第電磁感應(yīng)定律由法拉第電磁感應(yīng)定律()mSSddBB dSdSdtdtt 感SBEdldSt感感負(fù)號表示負(fù)號表示 阻止阻止 的增加的增加E感Bt2、導(dǎo)體棒、導(dǎo)體棒LEdl感感二、感生（渦旋）電場與庫侖電場（靜電場）二、感生（渦旋）電場與庫侖電場（靜電場）

10、1、起因不同：感生電場是由變化的磁場激發(fā)；、起因不同：感生電場是由變化的磁場激發(fā)； 靜電場是由帶電物體激發(fā)。靜電場是由帶電物體激發(fā)。2、0LEdl庫BEdldSt感int0qEdS庫0EdS感有源場有源場無源場無源場電場線閉合電場線閉合3、保守力場保守力場非保守力場非保守力場4、一般情況，空間中總電場、一般情況，空間中總電場EEE總感庫總電場方程總電場方程int0qEdS總BEdldSt 總因此，回路中總感應(yīng)電動勢求解方法：因此，回路中總感應(yīng)電動勢求解方法：1）mddt 總2）LLSvBdlEdlBvBdldSt總動感感例例3：在半徑為：在半徑為R的長直螺線管中通有變化的電流，的長直螺線管中通

11、有變化的電流，如果管內(nèi)磁通以如果管內(nèi)磁通以dB/dt 的變化率增加，求螺線管內(nèi)外感應(yīng)的變化率增加，求螺線管內(nèi)外感應(yīng)電場的場強(qiáng)。電場的場強(qiáng)。 RLr（1）在管內(nèi)（）在管內(nèi)（r0，當(dāng)磁場隨時間變化，在其周圍產(chǎn)生感應(yīng)，當(dāng)磁場隨時間變化，在其周圍產(chǎn)生感應(yīng)電場。由磁場分布對稱性知，感應(yīng)電場的電場線為圓心在電場。由磁場分布對稱性知，感應(yīng)電場的電場線為圓心在軸線上的一系列同心圓，方向如圖所示。軸線上的一系列同心圓，方向如圖所示。B2miLddBEdlrdtdt感2r dBErRdt感22dBrErdt感（2）在管外（）在管外（rR） RLrL取半徑為取半徑為r的電場線的電場線L為積分回路，同理有為積分回路，

12、同理有2LEdlrE感感2mddBRdtdt22R dBErRr dt感2RdBdtrRE感22dBrERdt感cos20BAOBABAEdlEdl感感解：（解：（1）在）在AOB取微元取微元 ，分析可知，分析可知 處處 方向方向垂直于垂直于 ，因此，因此ldldldE感例例4：如圖，一被限制在無限長圓柱內(nèi)的均勻磁場：如圖，一被限制在無限長圓柱內(nèi)的均勻磁場均勻增加，均勻增加， 的方向垂直向里。的方向垂直向里。求（求（1） 、 。并比較。并比較A、B及及C、D電勢的高低。電勢的高低。AOBCDBABUUhrldo ldE感E感ABCDcoscos2DCDCDCDCEdlEdlr dBdldt感感

13、確定確定 的方向：作過的方向：作過 的電場線，并取切線方向的電場線，并取切線方向E感l(wèi)d求求 ：CD方法一：方法一：hrldo ldE感E感ABCD22DCDCr dB hdldt rh dBdldt方向：由方向：由C到到DDCUU（從外電路看）（從外電路看）方法二：補(bǔ)成方法二：補(bǔ)成ODCO回路，并取回路，并取ODCO為回路正向。為回路正向。（為什么要取回路正向？為什么要取回路正向？）22()()2( )22mODCOdd B Sd BSdtdtdtdBdSdBlh dBSBSdtdtdtdtl dBlRdt 又因為又因為hrldo ldE感E感ABCD22( )22l dBlRdt方向：由方

14、向：由C到到DDCUU22( )22ODCOl dBlRdt 22( )22CDDCODCOl dBlRdt EF2RRRBvG解：分析知既有動生電動勢又有感生電動勢，解：分析知既有動生電動勢又有感生電動勢，EG、GF都有都有感應(yīng)電動勢感應(yīng)電動勢感應(yīng)動生感生sincos02FEFGFGvBdlvBdlvBdlvBR動生方向：由方向：由E到到F(2)若有一長為若有一長為2R的導(dǎo)體棒橫掃過磁場，如圖，試求導(dǎo)體棒的導(dǎo)體棒橫掃過磁場，如圖，試求導(dǎo)體棒在圖示的在圖示的EF位置的位置的感應(yīng)感應(yīng)電動勢（此時磁感應(yīng)強(qiáng)度為電動勢（此時磁感應(yīng)強(qiáng)度為 ）。）。B22coscos( 3)2243FGFEEGGFEGE

15、dlEdlEdlR dBr dBRdBdldlr dtdtdt 感生感感外感內(nèi)2( 3)43RdBvBRdt感應(yīng)動生感生因此因此方向：由方向：由F到到E討論：若討論：若0感應(yīng)0感應(yīng)方向：由方向：由E到到F EF2RRRBvG（五）、自感應(yīng)和互感應(yīng)、渦電流（五）、自感應(yīng)和互感應(yīng)、渦電流1、自感應(yīng)、自感應(yīng)（1）、）、螺線管內(nèi)螺線管內(nèi)BnI,BIK鍵開合時鍵開合時I變變B變變()mBS變變感應(yīng)產(chǎn)生產(chǎn)生LRKEiL當(dāng)一個電流回路的電流當(dāng)一個電流回路的電流I隨時間變化時，通過回路自身的隨時間變化時，通過回路自身的磁通也發(fā)生變化，因而回路自身產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，此現(xiàn)磁通也發(fā)生變化，因而回路自身產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，

16、此現(xiàn)象稱為象稱為自感現(xiàn)象自感現(xiàn)象。此電動勢稱為。此電動勢稱為自感電動勢自感電動勢 。L（2）、自感電動勢的計算）、自感電動勢的計算BImBmImlI線圈單匝線圈單匝N匝線圈匝線圈mNNlILI LNlI其中其中自感系數(shù)自感系數(shù)單位：單位：1H=1wb/ALdddILILdtdtdt因此因此負(fù)號表示自感電動勢的方向總是負(fù)號表示自感電動勢的方向總是阻礙阻礙回路本身電流的回路本身電流的變化。變化。LLi（3）、自感在回路中的作用）、自感在回路中的作用在回路中，在回路中，若若I增加，則增加，則dI方向向右，產(chǎn)生的方向向右，產(chǎn)生的若若I減少，則減少，則dI方向向左，產(chǎn)生的方向向左，產(chǎn)生的L（4）、自感系

17、數(shù)）、自感系數(shù)L的計算的計算例例5：求無限長螺線管的自感系數(shù)：求無限長螺線管的自感系數(shù)L。解：設(shè)螺線管截面為解：設(shè)螺線管截面為S，匝數(shù)為，匝數(shù)為N，總長為，總長為l,通有電流通有電流I(t)方法一：方法一：2( )( )mNNBSnlBSnl nI t Sn l I t S 22Ln lSn VI所以所以V是螺線管體積是螺線管體積方法二：方法二：2()()()mLd Ndd BSd n ISNnldtdtdtdtdIn lSdtLdILdt 因為因為所以所以22Ln lSn V解：電纜可視為單匝回路，如圖，其磁通量即通過任一縱解：電纜可視為單匝回路，如圖，其磁通量即通過任一縱截面的磁通量。截面

18、的磁通量。管間距軸管間距軸r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：2IBr通過單位長度縱截面的磁通量為：通過單位長度縱截面的磁通量為：2121211ln22RmRRRB dSB drRIdrIrR所以單位長度自感系數(shù)：所以單位長度自感系數(shù)：21ln2mRLIR例例6：一根同軸電纜，半徑分別為：一根同軸電纜，半徑分別為 和和 ,管間充管間充有有 磁導(dǎo)率為磁導(dǎo)率為 的均勻磁介質(zhì)。試求：單位長度電纜的自的均勻磁介質(zhì)。試求：單位長度電纜的自感系數(shù)。感系數(shù)。1R2R2、互感應(yīng)、互感應(yīng)（1）、互感系數(shù)）、互感系數(shù)1I2I設(shè)線圈設(shè)線圈I中電流中電流 ，在線圈，在線圈II中產(chǎn)生的磁鏈中產(chǎn)生的磁鏈為為 設(shè)線圈設(shè)線圈I

19、I中電流中電流 ，在線圈，在線圈I中產(chǎn)生的磁鏈中產(chǎn)生的磁鏈為為 1I2I2112由畢薩定律由畢薩定律02sin4IdldBr知知BI所以對于磁通量也有所以對于磁通量也有211I122I2121 1M I12122M I12M21M與與互感系數(shù)互感系數(shù)與兩線圈的形狀、大小、匝數(shù)、相對位置及周圍磁介質(zhì)與兩線圈的形狀、大小、匝數(shù)、相對位置及周圍磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān)。的磁導(dǎo)率有關(guān)。實驗和理論指出，實驗和理論指出， 與與 在數(shù)值上相等在數(shù)值上相等12M21M2112122112MMMII（2）、互感電動勢）、互感電動勢2112112212ddIMdtdtddIMdtdt （3）、互感系數(shù)）、互感系數(shù)M的計

20、算的計算方法一：方法一：211212MII方法二：方法二：21121121ddICdtdtdIMMCdt（4）、互感電動勢的計算）、互感電動勢的計算方法一：方法一：MdIMdt 方法二：方法二：Mddt 1N2N1C2Cl解（解（1）設(shè)線圈）設(shè)線圈 通有電流通有電流 ，則，則 1C1I1 11N IBl1I引起的穿過線圈引起的穿過線圈 的磁鏈的磁鏈2C2121211N N SN BSIl21121N N SMIl例例7：兩個長度與橫截面都相同的共軸螺線管（長度：兩個長度與橫截面都相同的共軸螺線管（長度遠(yuǎn)大于面積的線度）匝數(shù)分別為遠(yuǎn)大于面積的線度）匝數(shù)分別為 ，截面積為，截面積為S , 如如圖，

21、管內(nèi)介質(zhì)的磁導(dǎo)率為圖，管內(nèi)介質(zhì)的磁導(dǎo)率為 ，求（，求（1）兩線圈的互感系）兩線圈的互感系數(shù)數(shù);（2）兩線圈的自感系數(shù)與互感系數(shù)的關(guān)系。）兩線圈的自感系數(shù)與互感系數(shù)的關(guān)系。2N1N（2）當(dāng)線圈）當(dāng)線圈 通有電流通有電流 時，穿過線圈自身的磁鏈時，穿過線圈自身的磁鏈1C1I211111N I SN BSl 21111N SLIl同理，線圈同理，線圈 的自感系數(shù)的自感系數(shù)2C222N SLl 必須指出，只有在兩螺線管各自產(chǎn)生的磁通完全通必須指出，只有在兩螺線管各自產(chǎn)生的磁通完全通過對方線圈時（即為完全耦合時），才有上述關(guān)系。在過對方線圈時（即為完全耦合時），才有上述關(guān)系。在一般情況下，一般情況下，K

22、稱耦合系數(shù)，其值視兩線圈相對位置而定。稱耦合系數(shù)，其值視兩線圈相對位置而定。1201MK L LK212ML L可見可見（六）、磁場能量（六）、磁場能量LRKEiLdt時間內(nèi)，通過電燈的電量時間內(nèi)，通過電燈的電量idtdt時間內(nèi)時間內(nèi) 自感電動勢所做的功：自感電動勢所做的功：LdidAidtLidtLididt 電流由電流由I變到變到0過程中，自感電動勢過程中，自感電動勢所做的總功：所做的總功：0212IAdALidiLI這是以磁能形式儲存在線圈中的能量轉(zhuǎn)化做功。這是以磁能形式儲存在線圈中的能量轉(zhuǎn)化做功。所以線圈儲有的磁能為：所以線圈儲有的磁能為：212WLI以無限長螺線管為例以無限長螺線管為

23、例自感系數(shù)自感系數(shù)2Ln V2221122WLIn VIm又因為又因為BnI212mWB Vw Vm磁場能量密度：磁場能量密度：21122mwBBH磁場儲存的總能量：磁場儲存的總能量：12mVVWw dVBHdVm例例8：用求磁場能量的方法，求同軸電纜單位長度的：用求磁場能量的方法，求同軸電纜單位長度的自感系數(shù)。自感系數(shù)。解：由于同軸電纜內(nèi)、外圓筒通以的電流大小相等，方向解：由于同軸電纜內(nèi)、外圓筒通以的電流大小相等，方向相反，因此應(yīng)用安培環(huán)路定律，可知在內(nèi)筒以內(nèi)和外筒以相反，因此應(yīng)用安培環(huán)路定律，可知在內(nèi)筒以內(nèi)和外筒以外的空間中，磁場強(qiáng)度都為零。在內(nèi)外筒間空間中，離軸外的空間中，磁場強(qiáng)度都為零

24、。在內(nèi)外筒間空間中，離軸距離為距離為r處的磁場強(qiáng)度處的磁場強(qiáng)度2IHr該處磁場能量體密度：該處磁場能量體密度：2222128mIwHr故，磁場總能量：故，磁場總能量：22218mmWwdVIdVr取長取長l、厚度、厚度dr薄圓柱殼層體積元薄圓柱殼層體積元dV，則，則2dVrldr212221ln44RmRRI ldrI lWrR21ln2RlLR212mWLI這是長為這是長為l的一段電纜內(nèi)的磁能，與磁場能量公式的一段電纜內(nèi)的磁能，與磁場能量公式相比較，得：相比較，得：故單位長度的自感系數(shù)：故單位長度的自感系數(shù)：21ln2RLLlR 例例9：試用能量觀點證明兩個線圈的互感系數(shù)相等。：試用能量觀點

25、證明兩個線圈的互感系數(shù)相等。1212M1I21M2I解：設(shè)有如圖兩線圈，自感系數(shù)分別為解：設(shè)有如圖兩線圈，自感系數(shù)分別為 ，開始時兩，開始時兩線圈都沒有電流通過，假設(shè)先接通線圈線圈都沒有電流通過，假設(shè)先接通線圈1，其中的電流由，其中的電流由零增加到零增加到 ，此時它儲存的磁能：，此時它儲存的磁能：1I1L2L211 112mWL I然后接通線圈然后接通線圈2，其電流從零增至，其電流從零增至 ，此時線圈中磁能：，此時線圈中磁能：2I222212mWL I為保持線圈為保持線圈1中電流中電流 不變，則外電流還須克服互感電動不變，則外電流還須克服互感電動勢做功。此功也變?yōu)榇拍軆Υ嬖诰€圈中，因此線圈中儲

26、存勢做功。此功也變?yōu)榇拍軆Υ嬖诰€圈中，因此線圈中儲存 的能量增加了：的能量增加了：1I1212 112112 1212 1 20ImdiWI dtMI dtM IdiM I Idt當(dāng)線圈中電流為當(dāng)線圈中電流為 ，線圈，線圈2中電流為中電流為 時，這兩個線圈時，這兩個線圈所組成的體系具有的總磁能為：所組成的體系具有的總磁能為：22121 12212 1 21122mmmmWWWWL IL IM I I同理，如先接通線圈同理，如先接通線圈2，電流達(dá)到，電流達(dá)到 ，再接通線圈，再接通線圈1，重復(fù)，重復(fù)以上討論，可得體系總磁能為：以上討論，可得體系總磁能為：1I2I2I221 12221 1 21122mWL IL IM I I 體系所具有的能量與狀態(tài)有關(guān)，而與電流形成次序無關(guān)，體系所具有的能量與狀態(tài)有關(guān)，而與電流形