線性代數(shù)f5ea9a85a7fa4ff7b11b327a在行列式中 任取k行

1、Laplace定理在行列式中，任取k行，則由這k行元素組成的一切k階子式與其對應(yīng)的代數(shù)式的乘積之和等于行列式的值。937.Cramer法則a11 x1+ a12 x2= b1= b二元線性方程組ax + ax 2112222a11 a21a12 a22若令D =(方程組的系數(shù)行列式)b1ba12a11b1bD =D12aa222212則上述二元線性方程組的解可表示為- b1a21a11b2D2- a12b2b1a22D1x=x =2a- a1aaDa- aaaD1122122111221221一、Cramer法則如果線性方程組+ a12 x2 +L+ a1n xn = b1 a11 x1 ax

2、 + ax +L+ ax= b2112222nn2(1) LLLLLLLLLLLLïîïîïîan1 x1+ an2 x2 +L+ ann xn = bna11 a21a12 a22a1n a2nLL的系數(shù)行列式不等于零，即 D =¹ 0LLLLLLLan1an2annL那么線性方程組(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成D2Dn=,L, x=.(2)3nDDDD其中D 是把系數(shù)行列式 D中第 j 列的元素用方程組右端的j常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即a11Man1a1, j -1Man, j -1b1Mbna1, j +

3、1Man, j +1a1nMannLLDj =LL定理中包含著三個結(jié)論： 方程組有解；（解的存在性） 解是解唯是一唯的一的解；解是（的解唯的一唯性一性） 解可以由公式(2)給出.唯一這三個結(jié)論是有的.應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論.正面在書的33頁：必要+充分關(guān)于Cramer法則的等價命題設(shè) a11 x1+ a12 x2 +L+ a1n xn = b1 ax + ax +L+ ax= b2112222nn2(1) LLLLLLLLLLLLïîïîïîan

4、1 x1+ an2 x2 +L+ ann xn = bn定理4如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的.定理4 如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.例解線性方程組2+x4 = 8,3= 9,= -5,= 0.4ïîïîïî24+ 6 x43解-5207-r - 2rD = 12r4 - r2-7-7146712-5-1-7-3 0-7-5-1-771321230-2+ 2c2c1= - 2-= 27 ¹ 0+ 2c2c37-5-581-1-281-D =D2 =

5、-7-66= 81= - 108-22-D3 =D4 =-0-7-014614= -27= 27= -108 = -4,= D2= D1= 81 = 3,x x2D271D27= -27 = -1,= D3D4= 27 = 1.x=x43D27D27思考題當線性方程組的系數(shù)行列式為零時，能否用Cramer法則解方程組？為什么？此時方程組的解為何？答：當線性方程組的系數(shù)行列式為零時，不能用Cramer法則解方程組，因為此時方程組的解為無解或有無窮多解.三、小結(jié)1. 用Cramer法則解線性方程組的兩個條件(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù)； (2)系數(shù)行列式不等于零.2. Cramer法則的意義主要在

6、于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項之間的關(guān)系它主要適用于理論推導(dǎo)當未知量個數(shù)較多時，計算行列式較為繁瑣，所以這個方法解線性方程組不是特別實用，第三章繼續(xù)討論線性代數(shù)第二章矩陣張祥朝復(fù)旦大學光科學與工程系2013-2-28§1矩陣一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、特殊的矩陣四、矩陣與線性變換B例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之間開辟了若干航線，四座城市CA之間之的間航的班航圖地指向目的地.，頭箭從的頭始航從發(fā)始發(fā)箭頭城市間的航班圖情況常用表格來表示:D目的地BACDA B C D其其中中 表中示有航班始發(fā)地ABCDA B C D為了便于計算，把表中的改成1，空白地

7、方填上0，就得到一個數(shù)表：這個數(shù)表反映了四個城市之間交通聯(lián)接的情況.0110101010010100例某工廠生產(chǎn)四種貨物，物，它，它向三家商店的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：a11a12a13a14其中aij 表示工廠向第 i 家商店aaaa21222324貨物的數(shù)量第a31a32a33a34這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：b11 b21 b31b41b12 b22 b32b42其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價，bi 2表示第 i 種貨物的單件重量矩陣的定義(i = 1, 2,L, m; j = 1, 2,L, n)由 m×n 個數(shù) aijm 行 n 列的數(shù)表排成的a11 a

8、21 Mam1a12 a22 Mam 2a1n a2n MamnLLL稱為 m 行 n 列矩陣(matrix)，簡稱 m×n 矩陣 a11a12a1n aLL L L記作 aaA = 21222n LL L amn aa m1m1 a11a12a1n aLL L L aaA = 21222n LL L amn aa m1m1A = Am´n= (aij )m´n= (aij )簡記為這 m×n 個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元(element).元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.行列式矩陣a11 a12 L a1n a21 a22 L

9、 a2n M MMan1 an2 L ann a11a12La1n aaLa 21222n LLLL aaLa m1m1mn 行數(shù)等于列數(shù) 共有n2個元素 行數(shù)不等于列數(shù) 共有m×n個元素 本質(zhì)上就是一個數(shù)表det(aij )(aij )m´n三、特殊的矩陣1.行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣，稱為 n 階方陣可記作 An .2.只有一行的矩陣 A = (a1 , a2 ,L, an ) 稱為行矩陣(或行向量) . a1 a 只有一列的矩陣B = 稱為列矩陣(或列向量) .2 M a n 元素全是零的矩陣稱為零距陣可記作 O .3.例如：= 00 = (000)O0O 00 1

10、´42´2 l0 方陣稱為對角陣(diagonal matrix)0l2L0LL L L4.1 0L0 L A = diag(l , l ,L, l )記作12n 0ln 10 01L0 00 陣(identity特別的，方陣matrix)稱為LL LLL 01 記作 En 同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣. 12 例如與為同型矩陣.2.兩個矩陣 A = (aij ) 與 B = (bij )為同型矩陣，并且對應(yīng)元= bij (i = 1, 2,L, m; j = 1, 2,L, n)素相等，即 aij則稱矩陣 A 與 B 相等，記作

11、 A = B . 00 00000000 00 ¹ 00 ( 000) .0例如 00 注意：不同型的零矩陣是不相等的.四、矩陣與線性變換y1 , y2 ,L, ym 之間的n 個變量n 與 m 個變量關(guān)關(guān)系系式式式y(tǒng)1 = a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn ,y= ax + ax +L+ ax ,22112222nnLLLLLLLLL= am1 x1 + am 2 x2 +L+ amn xn . ymy1 , y2 ,L線, y性m 線變性換變換，性變表示表一示個一從個變從量變量n 到變量其中為中常aij 為數(shù)常數(shù).常數(shù)y1 = a11 x1 + a12 x2

12、+ L+ a1n xn ,y= ax + ax + L+ ax ,22112222nnLLLLLLLLL ym= am1 x1+ am 2 x2 + L+ amn xn .LL a11a12a1 nLL L L aaaA = 21222 n系數(shù)矩陣 LLL aaa m 1mn m 1線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系. y1 = x1 , y= x ,22 LLL例 線性變換稱為恒等變換. yn= 1×= 0 ×= xn y1 = x1 , y1 yn , y= x , ,= 222n LLLLLL= 0 × yn yn= xnn 10 01L 00 對應(yīng)陣 E

13、nLLL LLLLL 01 0L2階方陣例y投影變換P( x, y)對應(yīng) 10 x = x,1= 0. 00 y1P1 ( x1 , y1 )0x例2階方陣對應(yīng) x = cosj x - sinj y,- sinj cos1= sinj x + cosj y. sinjcosj y1yP1 ( x1 , y1 )以原點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)j 角的旋轉(zhuǎn)變換jP( x, y)q0x§2矩陣的運算例某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：a11a12a13a14其中aij 表示上半年工廠向第 i 家aaaa21222324商店第 j 種貨物的數(shù)量a31a32a3

14、3a34c11c12c13c14其中其中表其c示ij 中表工示廠工廠下半工年廠向第 i 家cccc21222324第 j 種貨物的數(shù)量商店c31c32c33c34試求：工廠在一年內(nèi)向各商店貨物的數(shù)量解：工廠在一年內(nèi)向各商店貨物的數(shù)量 a11 c11a12a13a14c12c13c14 a c+aaaaaacccccc24 24 212223212223 a c 3134 3134 32333233 a11+ c11+ c12+ c13+ c14a12a13a14= a+ c+ c+ c+ c+ c+ c+ c+ caaaaaa24 21212222232324 a 3134 313232333

15、334一、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個 m×n 矩陣 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩陣A 與 B 的和記作 AB，規(guī)定為+ b11+ b+ b12+ b1n a11a12a1nLL L L aa+ ba+ bA + B = 212122222n2nLL+ bL a+ b+ baa m1mn m1m 2m 2mn說明：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.知識點比較+ b12a11 a21a31a12 a22 a32a12a13 a23a33a11b12 b22 b32b1222a13 a23a33a11 aaa12aa+ a21=a2+ b2+ b32a31a3

16、2a3 a11a13 a11a13 a11+ b12+ ba13 a12 a + a aaaaabaaaaaa23 23 23 212221212222 a a¹ a+ bb 3133 3133 3133 32323232 a11a13 a11a13 2a112a13 + b12a12b1222a12 a + aa = 2aa+ baaaab2a2a23 23 23 212221212222 a a 2aa+ bba 3133 3133 33 3232313232矩陣加法的運算規(guī)律"a, b, c Î R設(shè) A、B、C 是同型矩陣交換律a + b = b + aA

17、 + B = B + A結(jié)合律(a + b) + c = a + (b + c)( A + B) + C = A + (B + C )其他設(shè)矩陣 A = (aij) ，記A = (aij)，稱為矩陣 A 的負矩陣 顯然A + (- A) = 0,A - B = A + (- B)例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價及單件重量可列成數(shù)表：b11 b21 b31 b41設(shè)工廠向某家商店b12 b22 b32b42其中表b示i 1 表第示種第貨i 種物示貨的第物的單貨價物，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量四種貨物各 l 件，試求工：廠工向廠該向商該商向該店第 j 種貨物的總值及總重量第 j 種貨物的

18、總值及總重量解：工廠向該商店 lb11lb12b11b12bb lblb2222 2121l´b31b32 lb31lb32 lb41lb42 b41b42其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量=二、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù) l 與矩陣 A 的乘積記作 l A 或 A l ，規(guī)定為 la11 lala12la1nLL L Llalal A = Al = 21222nLLL lalalamn m1m1數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律"a, b, c Î R設(shè) A、B是同型矩陣，l , m 是數(shù)結(jié)合律(ab)c = a(bc)(lm ) A =

19、l (m A)分配律(a + b) × c = ac + bc c × (a + b) = ca + cb(l + m ) A = l A + m Al ( A + B) = l A + l B備注矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.知識點比較la11a21 a31la12a22 a32la13a23 a33la13la23la33a11a12 a22a32a13 a23a33a11 a21a31a12 a22a32l a21=a31 la11la12la13 a11a13 a12l aa = lalalalalaaa23 23 21222122 a laa33

20、 33 31323132例（續(xù)）某工某廠工生廠產(chǎn)生四產(chǎn)種四貨種物貨物，工它廠向三家商店數(shù)量可用數(shù)表表示為：的貨物a11a12a13a14其其中中表a示ij 中表工示廠工向廠第向第表i 家示商店第 j 種貨物的數(shù)量aaaa21222324a31a32a33a34這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：b11 b21 b31b41b12 b22 b32b42其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價，bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量b11b12解：bb2122bb3132bb4142種以 ci1， ci2分別表示工廠向第 i 家商店所發(fā)貨物的總值及總重量

21、，其中 i = 1, 2, 3于是4= a1kbk1k =1=+c114c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 + a14b42 = a1kbk 2k =1a14´b41a13´b31a12´b21a11´b11a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34一般地，4+ ai 3b3 j + ai 4b4 j = aikbkjk =1(i = 1, 2, 3; j = 1, 2)cij = ai1b1 j + ai 2b2 j可用矩陣表示為 b11b1222 a caaac b1112

22、13141112ba24 21=c a21a22a23c22 b31b32 21 a caaac 3134 3132 3233bb 4142 一、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè) A = (aij )m´s ，B = (bij )s´n，那么規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個 m×n 矩陣C = (cij )，其中s= aikbkjcij = ai1b1 j + ai 2b2 j+L+ aisbsjk =1(i = 1, 2,Lm; j = 1, 2,L, n)并把此乘積記作 C = AB4 013212-1 3-12 10151 0 , B = -1例：設(shè) A = -

23、134 0 -11 -57 6217則 AB = 10-6 -210 知識點比較b11b1222b1323aa1112× bbb有意義.21aa2122bbb只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.313233 bbb111213 aa1112× bbb沒有意義.212223 aa 2122 bbb 31 3 33 32 3 39 642 2 2 (1 2 3) = 26 = (10)(1 2 3) 1 13 1 例 -24 = -16-32 4 2-2 -3-6 18162´2 2´22´2 -24 4 = 00 2

24、-3-6 -2 00 12´2 2´22´2結(jié)論：1. 矩陣乘法不一定滿換律.2.矩陣 A ¹ O, B ¹ O，卻有AB = O ，從而不能由AB = O得出 A = O或 B = O 的結(jié)論矩陣乘法的運算規(guī)律( AB)C = A(BC )(1)乘法結(jié)合律數(shù)乘和乘法的結(jié)合律 l ( AB) = (l A)B（其中 l 是數(shù)）乘)法對加法的分配律(2)(33)A(B + C ) = AB + AC(B + C ) A = BA + CA(4)矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即純量陣不同Em Am´n = Am´n En=

25、A于對于角對陣角陣對角換律，但是純量陣 lE 與任何推論：矩陣乘法不一定滿同階方陣都是可交換的.(5) 矩陣的冪若 A 是 n 階方陣，定義Ak= 1A4A2L43AkAk + l ,Ak Al(Ak )l =Akl=顯然思考：下列等式在什么時候成立？( AB)k = Ak Bk( A + B)2 = A2 + 2 AB + B2( A + B)( A - B) = A2 - B2A、B可交換時成立 證明對于方陣:C=A×B,有|C|=|A|×|B|37四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT . 14 12 25= 25 ;

26、A = AT ,例 48 28 = 18 .B = (186) ,BT 6 轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)(1) ( AT )T = A;(2) ( A + B)T =AT+ BT ;(3) (l A)T = l AT ;(4) ( AB)T = BT AT .例：已已知知知-1 1720 2-1 03B = 43 , 求( AB)TA = ,. 12 21 解解法法1法AB = 017= 0-3 ,1413= 1413. 1710 (AB)T-310解法2( AB)T= BT AT = 3 = 1413 .0 -11 -12 -310 3AT足，即A =定義：設(shè) A 為 n 階方陣，如如果果滿滿足足=

27、a ji(i, j = 1, 2,L, n)aij那么 A 稱為對稱陣(symmetric matrix).如果滿足 A = AT，那么 A 稱為稱陣.121-6 0-71 6800A = 60A = 7 616 -10 對稱陣稱陣例：設(shè)列矩陣 X = ( x1, x2, , xn )T 滿足 X T X = 1，E 為 n 階陣，H = E2XXT，試證明 H 是對稱陣，且HHT = E.證明：H T= ( E- 2-XX T )T = ET + (-2 XXT )T = E - 2( XXT )T= E - 2( XT )TXT= E - 2 XXT = H從而 H 是對稱陣HHT = H

28、 2 = ( E - 2 XXT )2 = E 2 - 4XT )2(T = E - 4= ET= E - 4= E - 4XT五、方陣的行列式定義：由 n 階方陣的元素所行列式，記作|A|或detA.的行列式，叫做方方陣陣 A 陣的AT=(2) l A= l n(1)A ;A ;運算性質(zhì)=(3)ABAB ;ABBA .證明：要使得|AB| = |A| |B| 有意義，A、B 必為同階方陣，假設(shè) A = (aij)n×n，B = (bij)n×n .我們以 n= 3 為例，構(gòu)造一個6階行列式a11 a21 a31-100a12 a22 a32 0-10a13 a23 a33

29、 00-1000b11 b21 b31000b12 b22 b32000b13 b23 b33D =| A | × | B |a11 a21 a31-100a12 a22 a32 0-10a13 a23 a33 00-1000b11 b21 b31000b12 b22 b32000b13 b23 b33aaa111213c4 + b11c1aaaaaa212223+ b12c1c5313233+ b13c1c6-1 000-1 000-1a11a12a13+ b21c2+ b22c2c4c5aaaaaa212223313233+ b32c2c6-1 000-1 000-1a11b11 + a12b21 a21b11 + a22b21 a31b11 + a32b21 00b31+ a12b22+ a22b22+ a32b2200b32+ a12b23+ a22b23+ a32b2300b33a11 a21 a31-100a12 a22 a32 0-10a13 a23 a33 00-1a11b12a21b12 a31b12a11b13a21b13 a31b13c4 +