第二十八章282解直角三角形第3課時(人教版九下)

1、28.2 解直角三角形第3課時 1.1.理解坡度、方位角等概念理解坡度、方位角等概念. . （重點(diǎn)）（重點(diǎn)）2.2.掌握數(shù)學(xué)建模的方法，解決方位、坡面測量等問題掌握數(shù)學(xué)建模的方法，解決方位、坡面測量等問題. . （重點(diǎn)、（重點(diǎn)、難點(diǎn)）難點(diǎn)）解直角三角形應(yīng)用中的概念解直角三角形應(yīng)用中的概念1.1.坡度、坡角的概念：坡度、坡角的概念：如圖，我們通常把坡面的如圖，我們通常把坡面的_高度高度h h和和_寬度寬度l的比叫做坡的比叫做坡度（或坡比），用字母度（或坡比），用字母i i表示，即表示，即i=tan= i=tan= ，這里，這里，是坡是坡面與面與_面的夾角，這個角叫坡角面的夾角，這個角叫坡角. .

2、hl垂直垂直水平水平水平水平2.2.方位角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于方位角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于9090的的角，叫做方位角角，叫做方位角. .如圖中的目標(biāo)方向線如圖中的目標(biāo)方向線OAOA，OBOB，OCOC，ODOD的方位的方位角分別表示為角分別表示為_，_，_，_._.北偏東北偏東3030東南方向東南方向南偏西南偏西8080北偏西北偏西6060 （打（打“”或或“”）(1)(1)坡度是指坡的度數(shù)坡度是指坡的度數(shù). . （ ）(2)(2)坡度是一個比值坡度是一個比值. . （ ）(3)(3)若從點(diǎn)若從點(diǎn)A A觀察點(diǎn)觀察點(diǎn)B B的方位角是北偏東的方位角是北偏東50

3、50，那么從點(diǎn)，那么從點(diǎn)B B觀察點(diǎn)觀察點(diǎn)A A的方位角是南偏西的方位角是南偏西5050. . （ ）知識點(diǎn)知識點(diǎn) 1 1 與方位角有關(guān)的計(jì)算與方位角有關(guān)的計(jì)算【例【例1 1】（20132013黃石中考）高考英語聽力黃石中考）高考英語聽力測試期間，需要杜絕考點(diǎn)周圍的噪音測試期間，需要杜絕考點(diǎn)周圍的噪音. .如圖，如圖，點(diǎn)點(diǎn)A A是某市一高考考點(diǎn)，在位于是某市一高考考點(diǎn)，在位于A A考點(diǎn)南偏西考點(diǎn)南偏西1515方向距離方向距離125 m125 m的的C C點(diǎn)處有一消防隊(duì)點(diǎn)處有一消防隊(duì). .在在聽力考試期間，消防隊(duì)突然接到報(bào)警電話，聽力考試期間，消防隊(duì)突然接到報(bào)警電話，告知在位于告知在位于C C點(diǎn)

4、北偏東點(diǎn)北偏東7575方向的方向的F F點(diǎn)處突發(fā)火災(zāi)，消防隊(duì)必須點(diǎn)處突發(fā)火災(zāi)，消防隊(duì)必須立即趕往救火立即趕往救火. .已知消防車的警報(bào)聲傳播半徑為已知消防車的警報(bào)聲傳播半徑為100 m100 m，若消防，若消防車的警報(bào)聲對聽力測試造成影響，則消防車必須改道行駛車的警報(bào)聲對聽力測試造成影響，則消防車必須改道行駛. .試試問：消防車是否需要改道行駛？說明理由問：消防車是否需要改道行駛？說明理由. .（ 取取1.7321.732）【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】作作ABCF.ABCF.先求先求ACBACB的度數(shù)，再求的度數(shù)，再求ABAB的長，最后的長，最后比較比較100100與與ABAB的長下結(jié)論的長下結(jié)論

5、. .3【自主解答】【自主解答】作作ABCF,ABCF,垂足為垂足為B B，由題意知，由題意知ACF=75ACF=75-15-15=60=60, ,在在RtRtABCABC中，中，sinACB = ,AB=125sinACB = ,AB=125sin 60sin 60 =125 =125 125125 =108.25 =108.25（m m）, ,108.25108.25100,100,消防車不需要改道行駛消防車不需要改道行駛. .ABAC321.7322【總結(jié)提升】【總結(jié)提升】解答與方位角有關(guān)的計(jì)算問題的方法解答與方位角有關(guān)的計(jì)算問題的方法1.1.弄清航行中方位角的含義，根據(jù)題意畫出圖形，畫

6、圖時要先弄清航行中方位角的含義，根據(jù)題意畫出圖形，畫圖時要先確定方向標(biāo)，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵所在確定方向標(biāo)，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵所在. .2.2.船在海上航行，在平面上標(biāo)出船的位置、燈塔或岸上某目標(biāo)船在海上航行，在平面上標(biāo)出船的位置、燈塔或岸上某目標(biāo)的位置，關(guān)鍵在于確定基準(zhǔn)點(diǎn)的位置，關(guān)鍵在于確定基準(zhǔn)點(diǎn). .當(dāng)船在航行時，基準(zhǔn)點(diǎn)在轉(zhuǎn)移，當(dāng)船在航行時，基準(zhǔn)點(diǎn)在轉(zhuǎn)移，畫圖時要特別注意畫圖時要特別注意. .3.3.常說的東南、西南、東北、西北是特指方向，均與南、北方常說的東南、西南、東北、西北是特指方向，均與南、北方向成向成4545角角. .知識點(diǎn)知識點(diǎn) 2 2 與坡度

7、有關(guān)的計(jì)算與坡度有關(guān)的計(jì)算【例【例2 2】學(xué)校校園內(nèi)有一小山坡學(xué)校校園內(nèi)有一小山坡ABAB，經(jīng)測量，坡角，經(jīng)測量，坡角ABC=30ABC=30，斜坡斜坡ABAB長為長為12 m12 m，為方便學(xué)生行走，決定開挖小山坡，斜坡，為方便學(xué)生行走，決定開挖小山坡，斜坡BDBD的坡比是的坡比是1313（即為（即為CDCD與與BCBC的長度之比），的長度之比），A A，D D兩點(diǎn)處于同一兩點(diǎn)處于同一鉛垂線上，求開挖后小山坡下降的高度鉛垂線上，求開挖后小山坡下降的高度AD.AD.【解題探究】【解題探究】（1 1）在）在RtRtACBACB中如何求中如何求ACAC，BCBC的長？的長？提示提示: :在在RtR

8、tACBACB中，中，ABC=30ABC=30，AC= AB=6AC= AB=6（m m），），BC=ABcosABC=12BC=ABcosABC=12 (m). (m).（2 2）在）在RtRtDCBDCB中如何先求中如何先求CDCD的長，再求的長，再求ADAD的長？的長？提示提示: :斜坡斜坡BDBD的坡比是的坡比是1313，CD= BC= CD= BC= （m m），），AD=ACAD=ACCD=6CD=6 （m m）. .答：開挖后小山坡下降的高度答：開挖后小山坡下降的高度ADAD為為(6(6 ) m.) m.1236 32132 32 32 3【總結(jié)提升】【總結(jié)提升】解答坡度問題的方

9、法解答坡度問題的方法1.1.坡度問題需明確坡度的概念，即坡度坡度問題需明確坡度的概念，即坡度i=tan i=tan ，然后根據(jù)具，然后根據(jù)具體情況代入計(jì)算體情況代入計(jì)算. .當(dāng)給出的條件是坡面長度和坡度時，根據(jù)定當(dāng)給出的條件是坡面長度和坡度時，根據(jù)定義，構(gòu)建方程來求解義，構(gòu)建方程來求解. .應(yīng)用時要注意與三角函數(shù)的結(jié)合應(yīng)用時要注意與三角函數(shù)的結(jié)合. .2.2.坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角也越大坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角也越大. . 3.3.與坡度有關(guān)的問題常與水壩有關(guān)，即梯形問題，常用的方法與坡度有關(guān)的問題常與水壩有關(guān)，即梯形問題，常用的方法一般是過上底的頂點(diǎn)作下底的垂線，構(gòu)造直

10、角三角形和矩形來一般是過上底的頂點(diǎn)作下底的垂線，構(gòu)造直角三角形和矩形來求解求解. .題組一題組一: :與方位角有關(guān)的計(jì)算與方位角有關(guān)的計(jì)算1.1.如圖，輪船從如圖，輪船從B B處以每小時處以每小時50 n mile50 n mile的速度沿南偏東的速度沿南偏東3030方方向勻速航行，在向勻速航行，在B B處觀測燈塔處觀測燈塔A A位于南偏東位于南偏東7575方向上，輪船航方向上，輪船航行半小時到達(dá)行半小時到達(dá)C C處，在處，在C C處觀測燈塔處觀測燈塔A A位于北偏東位于北偏東6060方向上，方向上，則則C C處與燈塔處與燈塔A A的距離是（的距離是（ ）A.25 n mile B.25 n

11、mileA.25 n mile B.25 n mileC.50 n mile D.25 n mileC.50 n mile D.25 n mile32【解析】【解析】選選D.D.如圖所示，如圖所示，BCA=90BCA=90,ABC=75,ABC=75-30-30=45=45, , BC= =25 BC= =25（n milen mile）,AC=BC=25 n mile.,AC=BC=25 n mile.5022.2.在一自助夏令營活動中，小明同學(xué)從營地在一自助夏令營活動中，小明同學(xué)從營地A A出發(fā)，要到出發(fā)，要到A A地的地的北偏東北偏東6060方向的方向的C C處，他先沿正東方向走了處，他

12、先沿正東方向走了200 m200 m到達(dá)到達(dá)B B地，地，再沿北偏東再沿北偏東3030方向走，恰能到達(dá)目的地方向走，恰能到達(dá)目的地C C（如圖），那么，（如圖），那么，由此可知，由此可知，B B，C C兩地相距兩地相距_m_m【解析】【解析】由已知得：由已知得：ABC=90ABC=90+30+30=120=120，BAC=90BAC=90-60-60=30=30，ACB=180ACB=180-ABC-BAC=-ABC-BAC=180180-120-120-30-30=30=30，ACB=BACACB=BAC，BC=AB=200 mBC=AB=200 m答案答案: :2002003.3.（201

13、32013泰安中考）如圖，某海監(jiān)船向正西方向航行，在泰安中考）如圖，某海監(jiān)船向正西方向航行，在A A處望見一艘正在作業(yè)漁船處望見一艘正在作業(yè)漁船D D在南偏西在南偏西4545方向，海監(jiān)船航行方向，海監(jiān)船航行到到B B處時望見漁船處時望見漁船D D在南偏東在南偏東4545方向，又航行了半小時到達(dá)方向，又航行了半小時到達(dá)C C處，望見漁船處，望見漁船D D在南偏東在南偏東6060方向，若海監(jiān)船的速度為方向，若海監(jiān)船的速度為50 n mile/h50 n mile/h，則，則A A，B B之間的距離為之間的距離為_（取（取 1.71.7，結(jié)，結(jié)果精確到果精確到0.1 n mile0.1 n mile

14、）3【解析】【解析】DBA=DAB=45DBA=DAB=45，DABDAB是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，過點(diǎn)過點(diǎn)D D作作DEABDEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E E，則，則DE= AB.DE= AB.設(shè)設(shè)DE=xDE=x，則，則AB=2xAB=2x，在在RtRtCDECDE中，中，DCE=30DCE=30，則則CE= DE= xCE= DE= x，在在RtRtBDEBDE中，中，DBE=45DBE=45，則則DE=BE=xDE=BE=x，1233由題意得，由題意得，CB=CE-BE= x-x=25CB=CE-BE= x-x=25，解得解得 35.735.7，AB=2x=2AB=2x=235.7=71

15、.435.7=71.4（n milen mile）. .答案答案: :71.4 n mile71.4 n mile32525x0.7314.4.某海濱浴場東西走向的海岸線可近似看作直某海濱浴場東西走向的海岸線可近似看作直線線l（如圖）救生員甲在（如圖）救生員甲在A A處的瞭望臺上觀察處的瞭望臺上觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正北方向的海面情況，發(fā)現(xiàn)其正北方向的B B處有人發(fā)出求處有人發(fā)出求救信號他立即沿救信號他立即沿ABAB方向徑直前往救援，同時通知正在海岸線方向徑直前往救援，同時通知正在海岸線上巡邏的救生員乙乙馬上從上巡邏的救生員乙乙馬上從C C處入海，徑直向處入海，徑直向B B處游去甲在處游去甲在乙

16、入海乙入海10 s10 s后趕到海岸線上的后趕到海岸線上的D D處，再向處，再向B B處游去若處游去若CDCD40 m40 m，B B在在C C的北偏東的北偏東3535方向，甲、乙的游泳速度都是方向，甲、乙的游泳速度都是2 m/s2 m/s問：問：誰先到達(dá)誰先到達(dá)B B處？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：處？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：sin 55sin 550.82,0.82,cos 55cos 550.57,tan 550.57,tan 551.431.43）【解析】【解析】由題意得，由題意得，BCDBCD5555，BDCBDC9090，tanBCD= tanBCD= ，BD=CDtanBCD=40BD=

17、CDtanBCD=40tan 55tan 5557.257.2（m m）cosBCD= ,cosBCD= , 70.2 70.2（m m）tt甲甲= +10=38.6= +10=38.6（s s），），t t乙乙= =35.1= =35.1（s s）tt甲甲tt乙乙，乙先到達(dá)乙先到達(dá)B B處處BDCDCDBCCD40BCcos BCDcos 5557.2270.225.5.（20132013遂寧中考）釣魚島自古以來遂寧中考）釣魚島自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國家主權(quán)就是我國的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣和海洋權(quán)利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡

18、航管理魚島海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理. .如圖，如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A A，B B，B B船在船在A A船的正東方向，且兩船保持船的正東方向，且兩船保持20 n mile20 n mile的距離，某一時的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在刻兩海監(jiān)船同時測得在A A的東北方向，的東北方向，B B的北偏東的北偏東1515方向有一方向有一我國漁政執(zhí)法船我國漁政執(zhí)法船C C，求此時船，求此時船C C與船與船B B的距離是多少（結(jié)果保的距離是多少（結(jié)果保留根號）留根號）【解析】【解析】作作BDACBDAC于于D D，由題意

19、可知，由題意可知，BACBAC4545，ABCABC105105，ACBACB180180BACBACABCABC3030，在在RtRtABDABD中，中，BD=ABsinBAD=20BD=ABsinBAD=20 =10 =10 （n milen mile），），在在RtRtBCDBCD中，中，=20 =20 （n milen mile），），答：此時船答：此時船C C與船與船B B的距離是的距離是20 n mile.20 n mile.222BD10 2BC1sin BCD222題組二題組二: :與坡度有關(guān)的計(jì)算與坡度有關(guān)的計(jì)算1.1.如圖，某游樂場一山頂滑梯的高為如圖，某游樂場一山頂滑梯的

20、高為h h，滑梯的坡角為，滑梯的坡角為，那，那么滑梯長么滑梯長l為（為（ ） B. C. D.B. C. D.【解析】【解析】選選A A由已知得：由已知得：sin sin ，lhsin htan hcos h sin hlh.sin 2.2.如圖，一個小球由地面沿著坡度如圖，一個小球由地面沿著坡度i=12i=12的坡面向上前進(jìn)了的坡面向上前進(jìn)了10 m10 m，此時小球距離地面的高度為，此時小球距離地面的高度為( )( )A.5 m B.2 mA.5 m B.2 mC.4 m D. mC.4 m D. m55103【解析】【解析】選選B.B.如圖，如圖，AB=10 m,tan A=AB=10

21、m,tan A=設(shè)設(shè)BC=xBC=x，則，則AC=2x,AC=2x,由勾股定理得，由勾股定理得，ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2, ,即即100=4x100=4x2 2+x+x2 2, ,解得解得x=2x=2AC=4 m,BC=2 m.AC=4 m,BC=2 m.BC1.AC25,553.3.（20132013聊城中考）河堤橫斷面如圖所示，堤高聊城中考）河堤橫斷面如圖所示，堤高BC=6 mBC=6 m，迎，迎水坡水坡ABAB的坡比為的坡比為1 1 則則ABAB的長為（的長為（ ）A.12 m B.4 m C.5 m D.6 mA.12 m B.4 m C.5 m D.6 m3

22、333，【解析】【解析】選選A.A.根據(jù)坡比的意義可知根據(jù)坡比的意義可知BCAC=1 BCAC=1 ，即，即6AC=1 6AC=1 ，所以，所以AC=6 m.AC=6 m.由勾股定理得由勾股定理得AB=AB= =12 =12（m m）. .或者根據(jù)或者根據(jù)tan A=1 tan A=1 ，則則A=30A=30，根據(jù)，根據(jù)“在直角三角形中，在直角三角形中，3030所對的直角邊等所對的直角邊等于斜邊的一半于斜邊的一半”可知可知AB=2BC=12 m.AB=2BC=12 m.3332222BCAC6(6 3)34.4.某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內(nèi)斜坡的坡度某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內(nèi)斜坡的坡度i

23、 i1 1=1 =1 壩壩外斜坡的坡度外斜坡的坡度i i2 2=11=11，則兩個坡角的和為，則兩個坡角的和為 _ ._ .【解析】【解析】設(shè)壩內(nèi)斜坡的坡角為設(shè)壩內(nèi)斜坡的坡角為，壩外斜坡的坡角為，壩外斜坡的坡角為.壩內(nèi)壩內(nèi)斜坡的坡度斜坡的坡度i i1 1=1 =1 ，說明，說明 tan = tan = ，則，則=30=30，壩外斜，壩外斜坡的坡度坡的坡度i i2 2=11=11，說明，說明tan =1tan =1，=45=45，兩角和為，兩角和為7575答案答案: :75753333，5.5.（20132013廣安中考）如圖，廣安市防洪指揮部發(fā)現(xiàn)渠江邊一廣安中考）如圖，廣安市防洪指揮部發(fā)現(xiàn)渠江邊一處長處長400 m400 m，高，高8 m8 m，背水坡的坡角為，背水坡的坡角為4545的防洪大堤（橫截面的防洪大堤（橫截面為梯形為梯形ABCDABCD）急需加固經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定）急需加固經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進(jìn)行加固，并使上底加寬的加固方案是：背水坡面用土石進(jìn)行加固，并使上底加