高考題中的阿基米德三角形

1、高考題中的阿基米德三角形高考題中的阿基米德三角形圖1回顧：回顧：過拋物線過拋物線x x2 2=2=2pypy( (pp0)0)上的點上的點P(P(x x0 0，y y0 0) )處的切線方程？處的切線方程？yx(x0,y0)x0 x=p(y0+y)OFP)(00yypxx可可以以表表示示什什么么直直線線？還還方方程程思思考考：)(00yypxx結論：結論：過拋物線過拋物線x x2 2=2=2pypy( (pp0)0)外一點外一點P(xP(x0 0，y y0 0) )，分別作拋物線的切線，分別作拋物線的切線PAPA、PBPB，A A、B B分別是切點，則直線分別是切點，則直線ABAB的方程的方程

2、為為 )(00yypxxyxx0 x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA由拋物線的弦與過弦的端點由拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形的兩條切線所圍成的三角形.OABPF阿基米德阿基米德三角形三角形 阿基米德是阿基米德是偉大數學家與力偉大數學家與力學家學家, ,并享有并享有“數數學之神學之神”的稱號。的稱號。 xy結論：結論：直線直線ABAB的方程為的方程為 )(00yypxx圖2yxx0 x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA線線？的的軌軌跡跡是是否否為為一一條條定定直直點點P P則則阿阿基基米米德德三三角角形形的的頂頂( (1 1, ,3 3) ), ,內內一一定定點點若

3、若弦弦A AB B過過拋拋物物線線)y,(x2002yx (1,3)探究探究1 1：線線？的的軌軌跡跡是是否否為為一一條條定定直直) )y y, ,三三角角形形的的頂頂點點P P( (x x則則阿阿基基米米德德c c) ), ,點點( (0 0, ,2 2p py y內內一一定定物物線線x x若若弦弦A AB B過過拋拋 0 00 02 2探究探究2 2：(a,b) 性質性質1 1：若阿基米德三角形若阿基米德三角形ABPABP的邊的邊ABAB即弦即弦ABAB過拋物線內定點過拋物線內定點C C，則另一頂點則另一頂點P P的軌跡為一條直線。的軌跡為一條直線。OABPFCxyyxx0 x=p(y0+

4、y)(x0,y0)POFBA則則弦弦A AB B是是否否過過定定點點？2 2p py y無無公公共共點點) ), ,1 1( (與與x xx xy y在在定定直直線線基基米米德德三三角角形形的的頂頂點點P P上上的的阿阿探探究究3 3：若若拋拋物物線線2 2pyx22性質性質2 2：若直線若直線l l與拋物線沒有與拋物線沒有公共點，以公共點，以l l上的點為頂點的上的點為頂點的阿基米德三角形阿基米德三角形ABPABP的底邊的底邊ABAB過定點。過定點。OABPFCxy成成等等差差數數列列. .B B三三點點的的橫橫坐坐標標MM, , ,A A、B B兩兩點點. .求求證證：A A線線，切切點點

5、分分別別為為過過MM引引拋拋物物線線的的兩兩條條切切2 2p p上上任任意意一一點點，y y: :MM為為直直線線l l0 0) ), ,( (p p2 2p py y如如圖圖，拋拋物物線線x x例例1 1：( (0 08 8. .山山東東) )2 2MOABxy-2pN思考：思考：把把M M改改成拋物線外任成拋物線外任意一點，結論意一點，結論仍然成立嗎？仍然成立嗎？POABFxyN性質性質3 3：如圖如圖, ABP, ABP是阿基米德是阿基米德三角形，三角形，N N為拋物線弦為拋物線弦ABAB中點，中點，則直線則直線PNPN平行于拋物線的對稱平行于拋物線的對稱軸軸. .pyx22斷斷D.無法

6、判D.無法判 C.垂直C.垂直 B.平行B.平行 A.相交A.相交) ) ( ( 的位置關系的位置關系M。則直線PM與x軸M。則直線PM與x軸弦AB的中點為弦AB的中點為B,B,兩條切線，切點為A,兩條切線，切點為A,4x的4x的物線y物線y任意一點，過點P作拋任意一點，過點P作拋9上9上y y4)4)x x練習1.動點P是圓(練習1.動點P是圓(2 22 22 2BBPAOxyM. . Q Q- -c c交交于于點點P P, ,y y: :段段A AB B和和直直線線l l的的直直線線，分分別別與與線線兩兩點點，一一條條垂垂直直于于x x軸軸 B B相相交交于于A A, ,x xy y任任作

7、作一一直直線線，與與拋拋物物線線 ，c c) )軸軸正正方方向向上上一一點點C C( (0 0中中，過過y y 系系x xo oy y 標標) )如如圖圖，在在平平面面直直角角坐坐練練習習2 2：( (0 07 7. .江江蘇蘇2 2是否成立？說明理由。是否成立？說明理由。命題命題（2）試問（1）的逆（2）試問（1）的逆O為為此此拋拋物物線線的的切切線線；QQA A 的的中中點點，求求證證： 為為線線段段A AB B（1 1) )若若P P QABCP PxyM M(M)(M)性質性質4 4：在阿基米德三角形在阿基米德三角形ABPABP，則，則|2FBFAPFOABPFxyB)2,(211px

8、xApyx22)(2,(21222xxpxxB)2,2(2121pxxxx 的的關關系系？| |P PF F| | |與與F FB B| | |F FA A| |2 2探究探究4：)2, 0(p) ). .t t, ,( (s s交交拋拋物物線線與與另另一一點點B B的的直直線線F FA A4 4y y上上的的點點，過過焦焦點點F F線線x x) )是是拋拋物物y y, ,( (x xA A, ,如如圖圖. .對對每每個個正正整整數數n n) )重重慶慶. .2 22 2例例2 2：( (0 06 6. .n nn nn nn n2 2n nn nn n1 1）; ;4 4（n ns sx x

9、( (1 1) )試試證證：n nn n4 4y y上上x x2 2) ). .t t , ,( (s sB Bn nn nn n) )y y, ,( (x xA An nn nn n1,nykx 4(1)nnx sn 1,n nnA B證明：證明：（）對任意固定的）對任意固定的因為焦點因為焦點F F（0,10,1）, ,所以可設直線所以可設直線的方程為的方程為 由一元二次方程根與系數的關系得由一元二次方程根與系數的關系得244 0nxk x 得得由由,412yxxkyn1 12 22 2| |F FC C| | |F FC C| | |F FC C| |點點。試試證證：為為切切點點的的兩兩條

10、條切切線線的的交交B B以以A A為為拋拋物物線線上上分分別別并并記記C C, ,2 2( (2 2) )取取x x1 1n nn nn n2 21 1n nn nn nn nn n 1 1）; ;4 4（n ns s( (1 1) )試試證證：x xn nn n4 4y y上上x x2 2性質性質4 4：在阿基米在阿基米德三角形德三角形ABPABP，則則| |2nnnFBFAFC) ). .t t , ,( (s sB Bn nn nn n) )y y, ,( (x xA An nn nn nF F( (0 0, ,1 1) )OABPFxyB)2,(211pxxA)(2,(21222xxp

11、xxB)2,2(2121pxxxx 性質性質5 5：如圖：在阿基米德三如圖：在阿基米德三角形角形ABPABP，若，若F F為拋物線焦點，為拋物線焦點，則則PFBPFA )2, 0(pP PF FB B. .= =P PF FA A: :證證明明. .分分別別相相切切于于A A、B B兩兩點點，且且與與拋拋物物線線C C的的兩兩條條切切線線P PA A、P PB B線線C C0 0上上運運動動，過過P P作作拋拋物物2 2- -y y- -x x: :直直線線l l的的焦焦點點為為F F，動動點點P P在在 x xy y拋拋物物線線C C：( (0 05 5. .江江西西）如如圖圖，2 2OAB

12、PFxy高高考考鏈鏈接接：,|41)41(|)41)(41(2|cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFPBFP同理可得：同理可得： 分析：分析：)(,(),(0121120 xxxxBxxA設切點設切點 AFP=PFB.,|41)41(|)41)(41(2|cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP).,2P(1010 xxxx則).41,(),41,2(),41,(2111010200 xxFBxxxxFPxxFA推論：推論：在阿基米德三角形在阿基米德三角形ABPABP，若弦若弦ABAB過拋物線焦點過拋物線焦點F

13、 F，則，則ABPF OABPFOABPFxyB推論：推論：在阿基米德三角形在阿基米德三角形ABPABP，若弦，若弦ABAB過拋物線焦點過拋物線焦點F F，則，則ABPF 課堂小結：課堂小結：2.2.關鍵點：關鍵點：阿基米德三阿基米德三角形三個頂點坐標之間角形三個頂點坐標之間的關系。的關系。QOABCF1.1.一個一個阿基米阿基米德三角形德三角形3. 3. 方法：方法：求導法；主元法；求導法；主元法；設而不求法。設而不求法。OABPFA1B1pyx22F FA AP PA AP PA A1 1 A AF F分分析析：A AA A1 1FAPPAA1AFPPAA11 11 1P PB BP PF

14、 FF FP P, ,P P 同同理理可可得得：BBBPFPA11 11 11 11 11 11 1A AP PB BB BP PA A即即, ,P PB BP PA AxyOABPFpyx22xy B BF FP P相相似似 P PF FA A與與根根據據剛剛才才的的證證明明，可可得得 | |F FB B| | |P PF F| | |P PF F| | |F FA A| | |FBFB| | |FAFA| |PF|PF|2 2, 0, 0,0000101yxxxxx則不妨設由于時)0,2(1x方法方法2:2:當當所以所以P P點坐標為點坐標為的距離為：的距離為：，則，則P P點到直線點到直

15、線AFAF,4141:;2|12111xxxyBFxd的方程而直線即即. 041)41(1121xyxxx所以所以P P點到直線點到直線BFBF的距離為：的距離為：2|412|)41()()41(|42)41( |1211212122111212xxxxxxxxxd所以所以d d1 1=d=d2 2，即得，即得AFP=PFB.AFP=PFB.001xx, 041)41(),0(041410020020 xyxxxxxxy即2 2| |x xx x| |4 41 1x x) )4 41 1) )( (x x2 2x xx x| |x x) )4 41 1( (x x| |x x4 41 1x x

16、x x) )2 2x xx x) )( (4 41 1( (x x| |1 10 02 20 02 20 01 10 02 20 02 22 20 00 01 12 20 01 10 02 20 01d2|012xxd當當時，直線時，直線AFAF的方程：的方程：所以所以P P點到直線點到直線AFAF的距離為：的距離為：同理可得到同理可得到P P點到直線點到直線BFBF的距離的距離因此由因此由d d1 1=d=d2 2，可得到，可得到AFP=PFB.AFP=PFB.OABPFA1B1pyx22F FA AP PA AP PA A1 1 A AF F分分析析：A AA A1 1FAPPAA1AFPPAA11 1P PB B同同理理可可得得：P PF F PFPA11 11 11 11 11 11 1A AP PB BB BP PA A即即, ,P PB BP PA AxyOABPFA1B1pyx22N N四四點點共共圓圓P P, , ,F F分分析析：M,BPBPB BFPAFPA1 1MNF FB BP PF FP PA Axy B BF FP P相相似似 P PF FA A與與| |F FB B| | |P