高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案集

1、www.HOOO.co第六章不等式第一教時(shí)教材：不等式、不等式的綜合性質(zhì)目的：首先讓學(xué)生掌握不等式的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，了解并會(huì)證明不等式的基本性質(zhì)In。過(guò)程：一、引入新課1 .世界上所有的事物不等是絕對(duì)的，相等是相對(duì)的。2 .過(guò)去我們已經(jīng)接觸過(guò)許多不等式從而提出課題二、幾個(gè)與不等式有關(guān)的名稱(例略)1 .“同向不等式與異向不等式”2 .“絕對(duì)不等式與矛盾不等式”三、不等式的一個(gè)等價(jià)關(guān)系(充要條件)1 .從實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)談起ab：二a-b0a=b=a-b=0a：b=a-b：02 .應(yīng)用：例一比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小解：(取差)(a3)(a-5)-(a2)(a-4

2、)二(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7：0(a3)(a-5)<(a2)(a-4)2242例二已知x#0,比較(x+1)與x+x+1的大小解：(取差)(x21)2-(x4x21)4c2/42/2=x2x1-x-x-1=xx/0x2>0從而(x2+1)2>x4+x2+1小結(jié)：步驟：作差一變形一判斷一結(jié)論1wwwjc5000.cori例二比較大小1.-和j103-.2解:.3 - 2u.j3.2.(.3,2)2_(.10)2=.2,6_5=。,24_25：:0<,10cb力bm/,2 .一和(a,b,mRR;aam(a, b, m R )解：(取差)b3(aama

3、(am)bbmbbmbbm，當(dāng)b>a時(shí)一>；當(dāng)b=a時(shí)一=；當(dāng)b<a時(shí)一<aamaamaam1,t1,3 .設(shè)a>0且a=1,ta0比較-logat與loga的大小22解：U_t/I2 _0t +1.一_、t21, t-1當(dāng) a > 1 時(shí) 一 log a t w log a22四、不等式的性質(zhì)1, L1；當(dāng) 0 < a < 1 時(shí) 一 log a t > log a221 .性質(zhì)1:如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么a>b（對(duì)稱性）證：:a>b.ab>0由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)-(a -b):二 0b

4、 -a ： 0b ： a2 .性質(zhì)2：如果a>b,b>c那么a>c(傳遞性)證：a>b,b>ca-b>0,b-c>0.兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)(a-b)+(b-c)>0a-c>0a>c由對(duì)稱性、性質(zhì)2可以表示為如果c<b且b<a那么c<a五、小結(jié)：1.不等式的概念2.一個(gè)充要條件3.性質(zhì)1、2六、作業(yè)：P5練習(xí)P8習(xí)題6.11-3補(bǔ)充題：1.若2x+4y=1,比較x2+y2與1的大小20育<§>www.HOOO.co解“一y221xy-202=(5y-1)5_0221,-x+y封202 .比較2si

5、nsin28的大小(0</2力略解：2sin二_sin2子2sin1cos?當(dāng)ew(0,另時(shí)2sin0(1wos日)>02sinQ>sin2Q當(dāng)日w(兀2坨時(shí)2sin0(1wos6)<02sin0<sin2日3 .設(shè)aa0且a¥1比較loga(a3+1)與loga(a2+1)的大小解：(a31)一(a21)=a2(a-1)當(dāng)0<a父1時(shí)a3+1<a2+1，loga(a3+1)>loga(a2+1)當(dāng)a>1時(shí)a3+1>a2+1loga(a3+1)>loga(a2+1)，總有l(wèi)oga(a31)>loga(a21)第二

6、教時(shí)教材：不等式基本性質(zhì)(續(xù)完)目的：繼續(xù)學(xué)習(xí)不等式的基本性質(zhì)，并能用前面的性質(zhì)進(jìn)行論證，從而讓學(xué)生清楚事物內(nèi)部是具有固有規(guī)律的。過(guò)程：一、復(fù)習(xí)：不等式的基本概念，充要條件，基本性質(zhì)1、2二、1.性質(zhì)3：如果a>b,那么a+ob+c(加法單調(diào)性)反之亦然證：-.1(a+c)-(b+c)=a-b>0，a+c>b+c從而可得移項(xiàng)法則：abc=ab(-b)c(-b)=-ac-b推論：如果a>b且 c Ad ,那么 a +c >b + d(相加法則)推論：如果a>b且 c <d ,那么 a -c >b -d(相減法則)證：c:二d或證：(a-c)-(b-

7、d)=(a-b)-(c-d)=上式>0aba-b0c：dc-d:二02 .性質(zhì)4:如果aab且c>0,那么ac>bc；一教育-如果a>b且c<0那么ac<bc（乘法單調(diào)性）證：ac_bc=（a_b）ca>ba-b>0根據(jù)同號(hào)相乘得正，異號(hào)相乘得負(fù)，得：c>0時(shí)（ab）c>0即：acabcc<0時(shí)（a-b）c<0即：ac<bc推論1如果a>b>0且c>d>0,那么acabd（相乘法則）、十a(chǎn)b,c0=acbc,ac.bdcd,b0=bcbdab推論1'（補(bǔ)充）如果a>b>0且

8、0<c<d,那么9Ab（相除法則）cd0ab證：,dAc>。,cd>=>一ab0cd推論2如果abA0,那么an>bn（nN且n>1）3 .性質(zhì)5：如果a>b>0,那么n/a>Vb（nwN且n>1）證：（反證法）假設(shè)n.aEn.b則：若nZ（匹=2<。這都與2*矛盾，n/an/ba=n.b=a=b三、小結(jié)：五個(gè)性質(zhì)及其推論口答P8練習(xí)1、2習(xí)題6.14四、作業(yè)P8練習(xí)3習(xí)題6.15、6e e>a-cb-d五、供選用的例題（或作業(yè)）11<a -c b-de : 0e e >a - c b - d1 .已知a

9、>b>0,c<dc0,e<0,求證:證:a>b>0a-c<b-d>0:c:d:0112 .右a,b二R,求不等式aAb,>同時(shí)成立的條件ab1 _1二0解：abab=ab:0ab=b-a0教京育<3>wwwjc5000.ccwwwjc5000,cc11I-3.設(shè)a,b,cwR,a+b+c=0,abc<0求證+_+_A0abc222_證：.a+b+CnOa+b+c+2ab+2ac+2bc=0又abc 豐 0a2 +b2 +c2>0ab ac bc : 0abc <0 ab + ac + bc < 0.111

10、abbcca一+=abcabc111+-abc4 .ab>0,|a|>|b|比較1與1的大小ab11ba解：=當(dāng)a>0,b>0時(shí)|a|>|b|即a>babab1 <1a bb-a<0ab>0ba<0ab當(dāng)a<0,b<0時(shí),|a|a|b|即a<bb-a11b-a>0ab>0.>0一>一abab5 .若a,b>0求證：b>1ub>aa解：b1=b-a>0a>0b-a>0a<baa,-bb-abb(banb-a>0a>0-1=-1>0>

11、;1aaa6 .若aAb>0,c<d<0求證：log2Jog2a-cb-d證：: 0 : sin ： ； 1佗11 logsma <0又a>b>0,-c>-d>0a-c>b-d<a-c b-d原式成立第三教時(shí)教材:算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)目的:要求學(xué)生掌握算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的意義，并掌握“平均不等式”及其推導(dǎo)過(guò)程。過(guò)程:定理：如果a,bwR,那么a2+b2>2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）證明：a2b212ab=(a-b)2-fi2卜二 a當(dāng)a=b時(shí),(a-b)2=0當(dāng)a#b時(shí),(ab)2>01.指出定理適用范圍：a,

12、bR2.強(qiáng)調(diào)取“="的條件a=b、定理：如果a,b是正數(shù)，那么alb之JOE（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“二”）2證明：（Ji）2+（而）222jaba+b>2ab即：alb>Vab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)alb="'茄22注意：1.這個(gè)定理適用的范圍：aWR+2.語(yǔ)言表述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。三、推廣：定理：如果a,b,c=R*,那么a3+b3+c323abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“二”）證明：.a3b3c3-3abc=（ab）3c3-3a2b-3ab2-3abc=(abc)(ab)2-(ab)cc2-3ab(abc)二(abc)a22abb

13、2-ac-bcc2-3ab/I、/2,22,、=(abc)(abc-ab-bc-ca)1 222(abc)(a-b)(b-c)(c-a)2_3331a,b,cR上式>0從而a+b+c3abc指出：這里a,b,cWR'-a+b+c<0就不能保證推論：如果a,b,cR*,那么abc>Vabc3(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“二”)證明：(")3+(%'b)3+(3,'c)3233/aRb闈c=a+b+c233'abc=a_b_c_3abc3四、關(guān)于“平均數(shù)”的概念1 .如果a1,a2,，anwR,na1且nwN則：wwwjc5000.c(a1

14、a2 an叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)n.-，a1a2"ian叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)2 .點(diǎn)題：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)3.基本不等式:a1+a2+ +an>y?nN*,aiR+,1<i<n這個(gè)結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法，二項(xiàng)式定理證明(這里從略)語(yǔ)言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。4.a+。之JOb的幾何解釋:2以a+b為直徑作圓，在直徑則CD2=CACB=ab從而CD=ab而半徑a_b_CD=Jab2AB上取一點(diǎn)C,過(guò)C作弦DD±AB.22b c ab bc ca證: c2 a22 (ca)三式相加化簡(jiǎn)即得第四教時(shí)教材：極值定理目的：要求

15、學(xué)生在掌握平均不等式的基礎(chǔ)上進(jìn)而掌握極值定理，并學(xué)會(huì)初步應(yīng)用。過(guò)程：一、復(fù)習(xí)：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定義，平均不等式-,、 x yA(x, y)= G(x, y)= xy 222二、若x,yWR+,設(shè)Q(x,y)=JX2yH(x,y)=12求證：Q(x,y)>A(x,y)>G(x,y)至H(x,y)十xy加權(quán)平均；算術(shù)平均；幾何平均；調(diào)和平均22_22222證：:(x_l)2二xy2xy工xyxy二xy24一42至20即：Q(x,y)>A(x,y)(俗稱哥平均不等式)2由平均不等式A(x,y),G(x,y)一2xy2xyH(x,y)=Jxy=G(x,y)即：G(x,y)之H(

16、x,y)xy2vxy綜上所述：Q(x,y)一A(x,y),G(x,y),H(x,y)1 21 2例一、右 a+b =1,a,b w R 求證(a + ) +(b+ ) ab1.1：252證：由哥平均不等式：(a - -)2 (b - 1)2 _ ab(a - b )a b2a b(1 a22ba 2)2(3)2= ab2_(3 2)2一 2252三、極值定理已知x,y都是正數(shù)，求證:1。如果積xy是定值p ,那么當(dāng)x = y時(shí)和x + y有最小值2 J p2*如果和x+y是定值s,那么當(dāng)x = y時(shí)積xy有最大值1 s24www.ic5000.coix-y證：x,y匚R>xxy2、1 哨

17、xy=p（定值）時(shí)，xy之JP-x+y>22上式當(dāng)x=y時(shí)取“="，當(dāng)x=y時(shí)有（x+y）min=2Jp2 哨x+y=s（定值）時(shí),Jxy<xy<-s22412;上式當(dāng)x=y時(shí)取=，當(dāng)x=y時(shí)有（xy）max=s4注意強(qiáng)調(diào)：i僵值的含義（“>”取最小值，y取最大值）2期極值定理求最值的三個(gè)必要條件:一“正”、二“定”、三“相等”四、例題i.證明下列各題：igxiogxi0-2（xi）證：:x>11lgx>0logx10>0于是lgxlogx10-2.lgxlgx10=2若上題改成0<x<1,結(jié)果將如何？解：:0:二x：1lgx:二

18、0logx10:二0于是（ngx）（*10）-2從而lgxlogx10-21若a+b=1則abW14解：若a,bwR'則顯然有0<ab<41若a,b異號(hào)或一個(gè)為0則ab£0ab<242.求函數(shù)y=x2（1x）的最大值（0<x<1）求函數(shù)y=x(1x2)的最大值(0<x<1)一一一，x一2解：0<x<11-x>0，當(dāng)一=1x即x=一時(shí)23xx41-xxx94442y=4-（1-x）M4（2）=即x=一時(shí)ymax223273W2711www.ic5000.coi:0<x<10<1x2<1.222、

19、21o222-y=x(1x)=2x(1一x)(1x)212x2(1-x2)(1-x2)344272.3y max 二9一2(3)一27.近c(diǎn)22.32當(dāng)2x=1-x,x=時(shí)ymax313.若xA-1,則x為何值時(shí)x+有最小值，最小值為幾？x1一.,一1一斛：x>-1x+1>0>0x11 11x=x1-1_2(x1)1=2-1=1x1x1;x11 1當(dāng)且僅當(dāng)x+1=即x=0時(shí)(x+)min=1x1x1五、小結(jié)：1.四大平均值之間的關(guān)系及其證明2 .極值定理及三要素六、作業(yè)：P12練習(xí)3、4習(xí)題6.24、5、6補(bǔ)充：下列函數(shù)中x取何值時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，最值是多少？一一、

20、111y=x(2-3x)x=時(shí)ymax=33一12y=1-4xx=1,ymn-25-4x3.6-3x<0時(shí)y=12xx=,ymin=1+46x2第五教時(shí)教材：極值定理的應(yīng)用目的：要求學(xué)生更熟悉基本不等式和極值定理，從而更熟練地處理一些最值問(wèn)題。過(guò)程：一、復(fù)習(xí)：基本不等式、極值定理3一、例題：1.求函數(shù)y=2x2+,(x>0)的最大值，下列解法是否正確？為什么？xI解一：y=2x23=2x211一332x212=334xxx，xx.ymin=33.4-*京教育-13www.ic5000.cor15解二:2323y=2x+之22x=26x當(dāng)2xymin-26=26324答：以上兩種解法

21、均有錯(cuò)誤。解一錯(cuò)在取不到“:即不存在x使得2x2=1-;解二錯(cuò)在2x6x不x是定值（常數(shù)）正確的解法是：y=2x23c233一=2x一2x2x233o933_332x2=333362x2x;22當(dāng)且僅當(dāng)2x22x口36即x=3時(shí)ymn2.若-4<x<1,求-2x+2的最值2x-2解:2_-x-2x212(x-1)12x-2x-111,=-(x-1)-2-(x-1)一4：x：1-(x-1).0-(x-1)從而-(x-1)-(x-1)1-2-(x-1)2-(x-1)x2-2x2即(x2x2)2x-2min=-13.設(shè)xWR%x2+匕=1,求x1+y2的最大值2解：x0y2<2xi

22、x2(-)=(x2)2l-x.1y2J3、3、2工2(2i)www.ic5000.cor19即(x；1y2)max3,24ab4.已知a,b,x,ywR+且一+=1,求x+y的取小值xyab斛：xy=(xy)1=(xy)():xy之a(chǎn)+b+2j-ay,獨(dú)=(Va+Vb)xy當(dāng)且僅當(dāng)y=即'=J三時(shí)(x+y)min=(Ja+Jb) -axyy.b三、關(guān)于應(yīng)用題1.P11例（即本章開(kāi)頭提出的問(wèn)題）（略）2.將一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，剪去四個(gè)角（四個(gè)全等的正方形），作成一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少？最大容積是多少?解：設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為x2a、則其容積為

23、 V = x(a -2x) , (0 :二 x :二 a) 21V 4x (a -2x) (a -2x)41 4x (a -2x) (a -2x) s432a327a當(dāng)且僅當(dāng)4x = a 2*即x =一時(shí)取6a即當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為 a時(shí),6鐵盒的容積為2a327四、作業(yè)：P12練習(xí)4習(xí)題6.2 7max2a3)27補(bǔ)充:1.求下列函數(shù)的最值:-6 o2. 1、A0時(shí)求y=+3x2的最小值,x62 x+ 3x的最小值9 3(9，2自1y=2x2,(xR)(min=6)x一、r1X.一.2咬X=-,27,求y=log3log3(3x)的取大值9273喏0<x<1,求y=x4(1x

24、已知a, b, m都是正數(shù)，并且 a < b,求證：am)的最大值(£?=空3)2734喏x,ywR'且2x+y=1,求1+1的最小值(3+2£'萬(wàn))xy13 .右a>b>0,求證：a+的最小值為3b(ab)4 .制作一個(gè)容積為16孫證 a m a _ b(a m) -a(b m) _ m(b -a)的圓柱形容器（有底有蓋），問(wèn)圓柱底半徑和高各取多少時(shí)，用料最??？（不計(jì)加工時(shí)的損耗及接縫用料）(R = 2m, h = 4m)第六教時(shí)教材：不等式證明一（比較法）目的：以不等式的等價(jià)命題為依據(jù)，揭示不等式的常用證明方法之一一一比較法，要求學(xué)生能

25、教熟練地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。過(guò)程：一、復(fù)習(xí)：1 .不等式的一個(gè)等價(jià)命題2 .比較法之一（作差法）步驟：作差一一變形一一判斷一一結(jié)論二、作差法：（P13-14）求證：x2+3>3x2.b(b m)b(b m)證：.(x2+3)-3x=x2-3x(3)2-(-)23-(x-3)230,a,b,m都是正數(shù)，并且a<b,b+m>0,m(b-a)>0即：alm”b(bm)bmb變式：若a>b,結(jié)果會(huì)怎樣？若沒(méi)有“a<b”這個(gè)條件，應(yīng)如何判斷?3 .已知a,b都是正數(shù)，并且a#b,求證：a5+b5>a2b3+a3b2證：(a5+b5)-(a2b3+a3

26、b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)育m行走，另一半時(shí)間以速度 n行走；有一半路程乙以速度 m行走，另一半路程以速度n行走，如果m# n,問(wèn)：甲乙兩人誰(shuí)先到達(dá)wwwjc5000(cc=a3(a2_b2)_b3(a2_b2)=(a2_b2)(a3_b3)=(a+b)(a_b)2(a2+ab+b2)a,b都是正數(shù)，a+b,a2+ab+b2>0又a#b,.(a-b)2>0，(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0即：a5+b5>a2b3+a3b24 .甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度#指定地點(diǎn)?解：設(shè)從出發(fā)地到指定地點(diǎn)的路程為S,甲乙

27、兩人走完全程所需時(shí)間分別是則:;fn=S, S2m 2n=t2 可得:t12St2S(m n)2mn122 _2S S(m n) S4mn -(m n)_2S(m -n)m n 2mn2(m ' n)mn2mn(m n)n都是正數(shù)，且m卉n,，t1 - t2 < 0即:從而：甲先到到達(dá)指定地點(diǎn)。變式：若m=n,結(jié)果會(huì)怎樣?三、作商法5.設(shè) a, b w R+,求證:aabb _(ab) 2 _ abbaa -bb -a證：作商:a -b2(ab)2當(dāng)a = b時(shí),(b)2二1時(shí),a一 1, ba -b2a -b時(shí),二 1,<0, aabb - (ab) 2（其余部分布置作業(yè)

28、）作商法步驟與作差法同，不過(guò)最后是與1比較。四、小結(jié)：作差、作商五、作業(yè)：P15練習(xí)P18習(xí)題6.314京放育www.ic5000.co第七教時(shí)教材：不等式證明二(比較法、綜合法)目的：加強(qiáng)比商法的訓(xùn)練，以期達(dá)到熟練技巧，同時(shí)要求學(xué)生初步掌握用綜合法證明不等式。過(guò)程：一、比較法：a)復(fù)習(xí)：比較法，依據(jù)、步驟比商法，依據(jù)、步驟、適用題型2b)例一、證明：y=2x在2,+b)是增函數(shù)。2,-Qx1-4x1322證：設(shè)2<X1<X2,則幺=2x2X2"=2(x2")(xfy22x24x23Vio-X2_xi>0,xi+X2_4>0-22=1V2又yi>

29、;0,.yi>y2，y=2'"'%在2,)是增函數(shù)二、綜合法：定義：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法。i. 已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc證：b2+c2>2bc,a>0,1-a(b2+c2)>2abc同理：b(c2+a2)>2abc,c(a2+b2)>2abc1- a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc當(dāng)且僅當(dāng)b=c,c=a,a=b時(shí)取等號(hào)，而a,b,c是不全相等的正數(shù)2-

30、a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abcii. 設(shè)a,b,cwR,1 球證:Va2+b2>(a+b)22 球證：Ja2+b2+db2+c2+cc2+a2之。2(a+b+c)3 若a+b=i,求證：ja十二十Jb;E2證：i,a2+b2>(a+b)2>0，工b24e戶山22222i5<>ywwwjc5000x(7b 1 11+ 之33：,兩式相乘即得。-擊b)2洞理：b2+c2之2(b+c),Jc2+a2>(c+a)22三式相加：a2-b2"b2'c2-Jc2a2.2(abc)3喃哥平均不等式：,1八1、23a 2

31、(a b 1)(a2)(b2)2iii.a,b,_111、/c三R求證：1a+b+c)(+)之9abc/.、,112(abc)(abbcca)-1證：1祛一：a+b+c之33/abc,法二：左邊abcabcabco,ba、，ca、，cb、二3()(-)(-)abcabacbcabbcca3,2 三+2+率(a+b)(b+c)(c+a)-331,(ab)(bc)(ca)兩式相乘即得11193 口由上題：(a+b+c)(十+)至9abbcca2cab9111-abbcca2即：abc_a b cabcbccaab2三、小結(jié)：綜合法四、作業(yè)：P1516練習(xí)1,2P18習(xí)題6.31,2,316京型“救

32、育<§>-www.jc5000.ee)25補(bǔ)充:1.已知a,21b三R+且a#b,求證：(a)2b2111b77二1+(一)2>a2+b2(取差)a2.設(shè)：-R,2x,y.R,求證：xsin2.ycosa<x+y(取商)3.已知a,bR+,求證：(a-)323,3ab<2證：a, b三R+4(a3 b3)_a3 3ab(a b) b3 = (a b)3-1(a-b)220a2-ab+b23.32_2、ab=(ab)(a-abb)_ab(ab)1-3(a3b3)_3ab(ab)3b324.設(shè) a>0, b>0,且證：- ,ab Maab1 2

33、(a -)aa41 2(b -) b - -4 ab25> 一2/1 2 (a -) a1 2(b b)-21b a2二2111 a b21 1ab2-2ab1ab2第八教時(shí)教材：不等式證明三（分析法）目的：要求學(xué)生學(xué)會(huì)用分析法證明不等式。過(guò)程：一、介紹“分析法”：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題。二、例一、求證：V3+<7<2J5www.ic5000.ee)27證：<3+yj7>0,2J5>0綜合法:；/21 < 25I II：. . 21 :二 5I II二 2.21 ：二 10I

34、 *I.：10 2 21 :二 20II t. .；( . 3 7)2 ：二(2,5)2只需證明：（,3.7）2:二（2、.5）2展開(kāi)得：102.21：二20即：2,21：二10.21:二5即：21<25（顯然成立）3.7:二2.511例二、設(shè)x>0,y>0,證明不等式：(x2+V2f>(x3+y3"證一：（分析法）所證不等式即：（x2+y2）3>（x3+y3）2即：x6- 33/ 33、2x y 2x y = (x y )11- x > 0 , y > 0 , (x2 +y2)2 >(x3 + v3"例三、已知：a + b

35、+ c = 0 ,求證：ab + bc + ca < 0證一：(綜合法)= a + b + c = 0(a + b + c)2 = 0y63x2y2(x2y2)x6y62x3y322/2233即：3xy(xy)2xy只需證：x2y22xy322_2x+y22xy>xy成立311(x2y2)2(x3y3)3、-r一/少八、八一/22、366-22,22、66-33證一：(綜合法)(xy)=xy3xy(xy)-xy6xy展開(kāi)得:abbcca=-,22bcab+bc+caw0證二：(分析法)要證ab+bc+caw0/a+b+c=0故只需證ab+bc+ca<(a+b+c)2即證：a2

36、b2c2abbcca-0www.HOOOco即：工（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2之0（顯然）2原式成立證三：a+b+c=0，_c=a+bab+bc+ca=ab+（a+b）c=ab_（a+b）2=-a2-b2-abr/b、23b八=-（a-）<024例四、（課本例）證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面（指橫截面）的周長(zhǎng)相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大。2證：設(shè)截面周長(zhǎng)為1,則周長(zhǎng)為l的圓的半徑為,截面積為n,2n12n）214,（1.周長(zhǎng)為1的正方形邊長(zhǎng)為-,截面積為-|40Jr1弋?12問(wèn)題只需證：ni!>-iJ<4）22即證：>2

37、2證:由 x > 0 , y > 0 , 2x + y = 1 ,可設(shè) x= -sin & y cos 口4二216,一4r11兩邊同乘:,得:'1二4因此只需證：4>n（顯然成立）f1、2八>2，兀一i>-也可用比較法（取商）證，也不困難。<2nJ44j三、作業(yè)：P18練習(xí)13及習(xí)題6.3余下部分補(bǔ)充作業(yè)：01.已知0<0<幾證明：2sin28Wcot-21cos?略證：只需證：4sin9cos90<6<nsin日>0sin1故只需證：4sin2ccos:1-cosu即證：4(1+cos8)(1-cos8)co

38、s8«1+cos8-1+cos8>0只需證：4(1-cosu)cos:1即只需證：4cos21-4cos1_0即：（2cos91）2之0（成立）一-育_29www.ic5000.co2 .已知a>b>0,劭銳角，求證：asec日btane之Ja2-b1，略證：只需證：（asec?-btan32：二a2-b2即：a2tan2e+b2sece22abtanQsecQ=（atan0-bsec®2>0（成立）3 .設(shè)a,b,c是的ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2a2b2+4ab至4J3s略證：正弦、余弦定理代入得：_2abcosC+4ab士2j3ab

39、sinC即證：2-cosC_2.3sinC即：，3sinCcosC三2即證：sin（C+'）El（成立）6第九教時(shí)教材：不等式證明四（換元法）目的：增強(qiáng)學(xué)生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問(wèn)題。過(guò)程：一、提出課題：（換元法）二、三角換元：一，、一121例一、求證：-_X-.1-x22證一：（綜合法）|xJ1_x2HX|V1-X2=vx2(1-x2)<X+(2-X)j=即：|xJi-x2|E1，-1ExJi-x2<1222證二：(換元法)-1<x<1，令x=cos仇曰可0,n1 .則x1-x=cos-sin-ssin22-一1wsin日

40、63;1-1<x、'1一x2M12211例二、已知x>0,y>0,2x+y=1,求證：+>3+2v'2xy證一：1+1(2x+y)=3+2+、之3+272即：1+->3+2<2<xyJyxxy31教自www.ic5000.co-教 育3311212、，2、貝U一=22=2(1-cot:工)-(1-tan:工)xysin:cos:一_22一=3(2cot:工qtan.不)二32.2例三：若x2+y2<1,求證：|x2+2xy一y2|<22證：設(shè)*=since,y=rcosot,(0<r<1),則|x22xy-y2|

41、=|r2cos2二：2r2cos：sin二一r2sin2：|=r2 | cos2 ：.，sin 2 ： |_ . 2r2cos 2a - - 'i < < 2r2 < <2<4 J例四：若 x > 1 , y > 1 ,求證：v-'xy >1 +、'(x 1)( y 一1)證：設(shè) x = sec2 ：, y = sec2 :, (0 ：二二，：二一)2貝U1 - J(x -1)( y -1) =1 tan : tan := cos(-) _1r = xycos 工cos : cos 工cos :例五：已知：a > 1

42、, b > 0 ,a - b = 1 ,求證：0二 fva 一1 ) bb + al 7 a 人1<1b證：a > 1, b > 0 , a - b = 1，不妨設(shè)2=$3，日，b = tan2 0, (0 < 曰 < ')2加 1廣 1 丫二 + 1 11 f 口 1 丫，目 . 1 、7a vb2sec8tan。a I 啟人b ) sec 6 <sec8 人tan6)sec 1冗0 < 0 < ,0 < sin 9 < 12小結(jié)：若0WxW1,則可令 x = sin 6 ( 0若 x2 + y2 = 1 ,則可令 x

43、 = cos g,若 x2 - y2 =1 ,則可令 x = sec Q若 x>1,則可令 x = sec 6 ( 0 < 6tan2 1 sec2sin 1sec tan?1fL 1 丫 廠 1、'. - 0 < Va - Jb+- <1a <Va A <b )E6£_)或 x = sin 2Q ( - <Q<)O 222y = sin 0( 0 W 0 W 2n) oy = t an6 ( 0 M 日 M 2工)。冗 %)。產(chǎn)教A育若xeR,則可令x=tane(<q<o22三、代數(shù)換元：I例六：證明：若a>

44、0,則1a2十二一J2至a十12aa.、-111證：設(shè)x=a,y=a+2，(a0,x_2,y_12)aami22f1)jF_21c則x-y=a+i-Ja+(=2<aJJaJx+y=a+二+Ja2+口之2+J2(當(dāng)a=1時(shí)取"=")a'a22cx-y.299-X。y=-=2-2Xy2、2即y一J2>x-2，原式成立四、小結(jié)：還有諸如“均值換元”“設(shè)差換元”的方法，有興趣的課后還可進(jìn)一步學(xué)習(xí)。五、作業(yè)：1 .若a2+b2=1,求證：asinx+bcosx<12 .若|a|<1,|b|<1,則|ab±J(1a2)(1b2)怪13 .

45、若|X|W1,求證：(1+x)n+(1x)nW2n4 .若a>1,b>0,a-b=1，求證：0<1"十石一JX/b+J<1a1:;ab5 .求證：0<d'1+x-Vx<16 .已知|a|wi,|b|wi,求證：|a二b7b*；1a2區(qū)1第十教時(shí)教材：不等式證明五(放縮法、反證法)目的：要求學(xué)生掌握放縮法和反證法證明不等式。過(guò)程：一、簡(jiǎn)要回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的幾種不等式證明的方法提出課題：放縮法與反證法二、放縮法：www.ic5000.cor35例一、若a,b,c,dwR+,求證：1證：記m=aa<abdc例二、證:例三、證:a,+abdbc

46、acdbb,c,d三R+-1<m<2當(dāng)n>2時(shí),.bbcad+dacd:二2dac+abcacdabcd+=2cddc即原式成立求證：logn(n-1)logn(n1)<1logn(n-1)0,logn(n1)0logn(n-1)logn(n1)二1logn(n-1)+logn(n+1)Tlogn(n2-1)12r2一lognn2F二1n>2時(shí)，logn(n-1)logn(n+1)<1求證:十1222J32三、反證法:例四、設(shè)n(nT)11+_2222321+3111c2二2n-1nn0<a,b,c<1求證：(1-a)b,(1-b)c,(1一1-

47、c)a,不可能同時(shí)大于一4證：設(shè)(1-a)b>-,(14-,(14、1c)a>4則三式相乘：ab<(1-a)b?(1-b)c?(1一c)a<又<0<a,b,同理：(1-b)b.J4以上三式相乘:(1原式成立64,0產(chǎn)川(1-c)c-一.一1一一一-a)a?(1-b)b?(1-c)c<一與矛盾64www.ic5000.con例五、已知a + 證：設(shè)a < 0, 又由a +c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求證：a,b,c>0abc>0,bc<0c>0,則b+c=-a>0、城教 育37ab+bc

48、+又：若a=0ca=a(b+c)同理可證：b>0,四、作業(yè)：證明下列不等式：abc>0c>0+bc<0與題設(shè)矛盾矛盾，必有a>0設(shè)x>0,y>0,放縮法:2.lg9?lgg91g11<pg9+lg11=pg99式但；：二11ogn(n-1)1ogn(n1)<1logn(n-1)logn(n1)<-：1ogn(n*2_1)1<_log'2一J,11右a>b>c,貝U+a-bb-c(a-b)(b-c)+1+2n二1-21(ab)+(bc),(nR,n-2)2-n2n6.+n2L：12n2n7.已

49、知n工中式工na,b,c>0,1且a2+：二1b2=求證:an+bn<cn(n>3,nR)cb,c>0,an8.設(shè)0<a,b,c<2,求證:(2一a)c,(2b)a,(2c)b,不可能同時(shí)大于1www.ic5000.co-P)+ - ct1(、工. l：')(:姨. 1)廠顯然2< a<Pa - P > 0, aP - 1 > 0,Otp仿例四1，y一1，x.9.右x,y>0,且x+y>2,則和中至少有一個(gè)小于21-y1-x反設(shè)>2,>2.x,y>0,可得x+y<2與x+y>2矛盾第H

50、一教時(shí)教材：不等式證明六（構(gòu)造法及其它方法）目的：要求學(xué)生逐步熟悉利用構(gòu)造法等方法證明不等式。過(guò)程：一、構(gòu)造法：1.構(gòu)造函數(shù)法一一1例一、已知x>0,求證：x十x1.一證：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+（xA0）則x.-1-1由f(二)-f(：)=:一-()=(：ap4京 、城教 育39x）在2,收）上單調(diào)遞增，左邊>f（2）例二、求證:x210y:2一x9證：設(shè) t = , x2 9(t .3)則 f (t) = y =t2 1用定義法可證：f（t）在3,）上單調(diào)遞增人，t12-1令:3wt<2則f(t1)-f(t2)=1t1t22t2(t1川弘-1)0"2x210y-一

51、2一,x29-f(3)=331102.構(gòu)造方程法：例三、已知實(shí)數(shù)a,b,c,滿足a+b+c=0和abc=2,求證：a,b,c中至少有一個(gè)不小于2。證：由題設(shè)：顯然a,b,c中必有一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)a>0,bc二一a22即b,c是二次方程x2+ax+=0的兩個(gè)實(shí)根。bcaawww.ic5000.cor28=a00即：a>2a21sec二-tan?二、例四、求證：_2-3(了；k二一，k-Z)3sec二tan22.,、丁、幾sec二-tan.,2證：設(shè)y=-2則：(y1)tan日+(y+1)tan日+(y1)=0sec二tan?當(dāng)y=1時(shí)，命題顯然成立當(dāng)y#1時(shí)，=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y3)>01一_y三3綜上所述，原式成立。(此法也稱判別式法).構(gòu)造圖形法：例五、已知0<a<1,0<b<1,求證：.a2b2,(a-1)2b2.a2(b-1)2,(a-1)2(b-1)2-22證：構(gòu)造單位正方形，O是正方形內(nèi)一點(diǎn)B| AC |=| BD 尸 /2O到ADAB的距離為a,b,則|AO+|BO+|CO+|DO刁AC+|其中|AO|=Ja2+b2,|BO|=(a-1)2b2|CO|=,(a-1)2(b-1)2|DO|=Ja2+(b-1