線性代數(shù)§4.140836

1、4.1 向量組及其線性組合向量組及其線性組合n 定義定義1: n 個(gè)有次序的數(shù)個(gè)有次序的數(shù)a1, a2, , an所組成的數(shù)組所組成的數(shù)組稱為稱為n維向量維向量, 這這n個(gè)數(shù)稱為該向量的個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)個(gè)分量分量, 第第 i 個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)ai 稱為第稱為第 i 個(gè)分量個(gè)分量. 分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量實(shí)向量, 分量為復(fù)數(shù)的分量為復(fù)數(shù)的向量稱為向量稱為復(fù)向量復(fù)向量.例如例如: (1, 2, , n)為為 n 維實(shí)向量維實(shí)向量.(1+2i, 2+3i, , n+(n+1)i )為為 n 維復(fù)向量維復(fù)向量.第第2個(gè)分量個(gè)分量第第n個(gè)分量個(gè)分量第第1個(gè)分量個(gè)分量).,(21n

2、Taaa . 21 naaa 寫成一行的寫成一行的 n 維向量維向量, 稱為稱為行向量行向量, 也就是行矩陣也就是行矩陣,通常用通常用aT, bT, T, T 等表示等表示, 如如: 寫成一列的寫成一列的 n 維向量維向量, 稱為稱為列向量列向量, 也就是列矩陣也就是列矩陣,通常用通常用a, b, , 等表示等表示, 如如:注意注意: 1. 行向量和列向量總被看作是行向量和列向量總被看作是不同的向量不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩陣運(yùn)算法則矩陣運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算; 3. 當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時(shí)當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時(shí), 都當(dāng)都當(dāng)作作列向

3、量列向量. 向量向量 解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組有次序的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組幾何形象幾何形象:可隨意平可隨意平行移動(dòng)的有向線段行移動(dòng)的有向線段代數(shù)形象代數(shù)形象:向量向量的坐標(biāo)表示式的坐標(biāo)表示式當(dāng)當(dāng) n 3 時(shí)時(shí),Tzyxr),( 若干個(gè)同維數(shù)的列向量若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量或同維數(shù)的行向量)所組所組成的集合叫做成的集合叫做向量組向量組.例如例如: 矩陣矩陣A=(aij)m n有有n個(gè)個(gè)m維列向量維列向量: aaaaaaaaaaaamnmjmmnjnjA21222221111211a1a2ajan向量組向量組a1, a2

4、, an稱為矩陣稱為矩陣A的的列向量組列向量組. 在日常工作在日常工作, 學(xué)習(xí)和生活中學(xué)習(xí)和生活中, 有許多問題都需要用有許多問題都需要用向量來進(jìn)行描述向量來進(jìn)行描述. aaaaaaaaaaaamnmminiinnA21212222111211T1 T2 Ti Tm 向量組向量組 1T, 2T, mT 稱為矩陣稱為矩陣A的的行向量組行向量組. 反之反之, 由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣個(gè)矩陣. n個(gè)個(gè)m維列向量所組成的向量組維列向量所組成的向量組a1, a2, an構(gòu)成一構(gòu)成一個(gè)個(gè)m n矩陣矩陣),( 21naaaA 類似地類似地, 矩陣矩陣A=

5、(aij)m n有有m個(gè)個(gè)n 維行向量維行向量: TmTTA 21線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng). mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111bxaxaxann 2211 m個(gè)個(gè)n維行向量所組成的向量組維行向量所組成的向量組 1T, 2T, mT 構(gòu)構(gòu)成一個(gè)成一個(gè)m n矩陣矩陣 定義定義: 給定向量組給定向量組A: 1, 2, , m, 對(duì)于任何一組對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)k1, k2, ,km, 向量向量k1 1 + k2 2 + + km m稱為稱為

6、向量組向量組A: 1, 2, m的一個(gè)的一個(gè)線性組合線性組合, k1, k2, , km稱為這個(gè)稱為這個(gè)線性組合的線性組合的系數(shù)系數(shù). 給定向量組給定向量組A: 1, 2, , m和和向量向量b, 如果存在一如果存在一組數(shù)組數(shù) 1, 2, , m, 使使b = 1 1 + 2 2 + + m m則向量則向量b是向量組是向量組A的線性組合的線性組合, 這時(shí)稱這時(shí)稱向量向量b能由向能由向量組量組A線性表示線性表示. 即線性方程組即線性方程組 1 1 + 2 2 + + m m = b有解有解. 定理定理1: 向量向量b能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表線性表示的充分必要條件是矩陣示

7、的充分必要條件是矩陣A=( 1, 2, , m)與矩陣與矩陣B=( 1, 2, , m, b)的秩相等的秩相等. 定義定義: 設(shè)有兩設(shè)有兩向量組向量組A: 1, 2, , m 與與 B: 1, 2, , s .若若B組中的每一個(gè)向量都能由組中的每一個(gè)向量都能由A組線性表示組線性表示, 則稱則稱向量向量組組B能由向量組能由向量組A線性表示線性表示; 若向量組若向量組B與向量組與向量組A可可以相互線性表示以相互線性表示, 則稱這則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)兩個(gè)向量組等價(jià). 若若記記A=( 1, 2, , m)和和B=( 1, 2, , s), 向量組向量組B能由向量組能由向量組A線性表示線性表示, 即對(duì)每

8、一個(gè)向量即對(duì)每一個(gè)向量 j ( j =1, 2, s ), 存在數(shù)存在數(shù)k1j, k2j, , kmj , 使使 j = k1j 1+ k2j 2 + + kmj m,),2121 mjjjmjkkk （即即 ),(21s 從而從而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （矩陣矩陣K=(kij)m s稱為這一稱為這一線性表示的線性表示的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣. 若若Cm n=Am sBs n , 則矩陣則矩陣C的列向量組能由矩陣的列向量組能由矩陣A的列向量組線性表示的列向量組線性表示, B為這一表示的系數(shù)矩陣為這一表示的系數(shù)矩陣: snssnnsnkkbbbbbbbaaa

9、ccc2122221112112121),(),( 同時(shí)同時(shí), C的行向量組能由的行向量組能由B的行向量組線性表示的行向量組線性表示, A為這一表示的系數(shù)矩陣為這一表示的系數(shù)矩陣: TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A經(jīng)初等行變換變成經(jīng)初等行變換變成B, 則則B的每個(gè)行向量的每個(gè)行向量都是都是A的行向量組的線性組合的行向量組的線性組合, 即即B的行向量組能由的行向量組能由A的行向量組線性表示的行向量組線性表示. 由初等變換可逆性可知由初等變換可逆性可知: A的行的行向量組也能由向量組也能由B的行向量組線性表示的行向量組線性表示. 于是

10、于是, A的行向的行向量組與量組與B的行向量組等價(jià)的行向量組等價(jià). 類似地類似地, 若矩陣若矩陣A經(jīng)初等列變換變成經(jīng)初等列變換變成B, 則則A的列向的列向量組與量組與B的列向量組等價(jià)的列向量組等價(jià). 若若向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表示線性表示, 即存在矩陣即存在矩陣K, 使使( 1, 2, , s)=( 1, 2, , m)K也就是說矩陣方程也就是說矩陣方程( 1, 2, , m)X=( 1, 2, , s)有解有解. 則由上一章的結(jié)論可得則由上一章的結(jié)論可得: 定理定理2: 向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A:

11、 1, 2, m線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是矩陣矩陣A=( 1, 2, , m)的秩與矩陣的秩與矩陣(A|B)=( 1, 2, , m, 1, , s)的秩相的秩相等等, 即即R(A)=R(A|B). 推論推論: 向量組向量組A: 1, 2, m與與向量組向量組B: 1, 2, , s等價(jià)的等價(jià)的充分必要條件是充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A|B),其中其中A和和B是由向量組是由向量組A和和B所構(gòu)成的矩陣所構(gòu)成的矩陣.R(A)=R(A|B)事實(shí)上事實(shí)上,=R(B|A)=R(B) 定理定理3: 若若向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2

12、, , m線性表示線性表示, 則則R( 1, 2, , s) R( 1, 2, , m),即即R(B) R(A). 以上所討論的內(nèi)容建立在有限個(gè)向量的向量組與以上所討論的內(nèi)容建立在有限個(gè)向量的向量組與矩陣之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系矩陣之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系, 從而以上結(jié)論之間有如下結(jié)果從而以上結(jié)論之間有如下結(jié)果: 若若向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表示線性表示 有矩陣有矩陣K, 使使( 1, 2, , s)=( 1, 2, , m)K 矩陣方程矩陣方程( 1, 2, , m)X=( 1, 2, , s)有解有解.一般地一般地, R(B) R(A|B), R(A

13、) R(A|B),則有則有 1. 對(duì)方程組對(duì)方程組A的各個(gè)方程作線性運(yùn)算所得到的一的各個(gè)方程作線性運(yùn)算所得到的一個(gè)方程稱為個(gè)方程稱為方程組方程組A的一個(gè)線性組合的一個(gè)線性組合; 2. 若方程組若方程組B的每一個(gè)方程都是方程組的每一個(gè)方程都是方程組A的線性的線性組合組合, 則稱則稱方程組方程組B能由方程組能由方程組A線性表示線性表示, 此時(shí)方程此時(shí)方程組組A的解一定是方程組的解一定是方程組B的解的解; 3. 若方程組若方程組A與方程組與方程組B能相互能相互線性表示線性表示, 則稱則稱方方程組程組A與方程組與方程組B等價(jià)等價(jià), 等價(jià)方程組是同解的等價(jià)方程組是同解的. 向量組的向量組的線性組合線性組

14、合, 線性表示線性表示, 等價(jià)等價(jià)等概念也可以等概念也可以用來描述用來描述線性方程組線性方程組:例例1: 設(shè)設(shè)證明向量證明向量b能由向量組能由向量組a1, a2, a3線性表示線性表示, 并求表示式并求表示式.,1301,0411,3121,2211321 baaa 證明證明: 要證向量要證向量b能由向量組能由向量組a1, a2, a3線性表示線性表示, 需需要證明要證明: 矩陣矩陣A=(a1, a2, a3)與與B=(a1, a2, a3, b)的秩相等的秩相等. B = 1032341201211111 0000000012102301行變換行變換可知可知, R(A)=R(B),因此因此,

15、 向量向量b能由向量組能由向量組a1, a2, a3線性表示線性表示.由由B的行最簡(jiǎn)形可得方程組的行最簡(jiǎn)形可得方程組Ax=b通解為通解為: ccccx1223012123故表示式為故表示式為: b=(a1, a2, a3)x=(3c+2)a1+(2c1)a2+ca3,其中其中c為任意常數(shù)為任意常數(shù). b=2a1a2.為此將為此將B化為行最簡(jiǎn)形化為行最簡(jiǎn)形:特別地特別地, 取取c =0, 得表示式為得表示式為:例例2: 設(shè)設(shè)證明向量組證明向量組a1, a2與向量組與向量組b1, b2, b3等價(jià)等價(jià).,0213,2011,1102,3113,111132121 bbbaa證明證明: 記記A=(a

16、1, a2), B=(b1, b2, b3). 論論, 只需證只需證R(A)=R(B)=R(A|B). 將將(A|B)化為行階梯形化為行階梯形:根據(jù)定理根據(jù)定理2的推的推行變換行變換(A|B) = 02131201111101131231 00000000001112031231得得R(A) =R(A|B)=2.又容易看出又容易看出B中有中有2階非零子式階非零子式,則則 2 R(B)R(A)=R(B)=R(A|B).因此因此故故 R(B)=2. R(A|B)=2. 例例3: n 階單位矩陣階單位矩陣E=(e1, e2, , en)的列向量稱為的列向量稱為n維單位坐標(biāo)向量維單位坐標(biāo)向量. 證明證

17、明: n維單位坐標(biāo)向量組維單位坐標(biāo)向量組E: e1, e2, , en能由能由n m矩陣矩陣A=(a1, a2, , am)的列向量組的列向量組A: a1, a2, , am線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是R(A)=n. 證明證明: 根據(jù)定理根據(jù)定理2, 向量組向量組E: e1, e2, , en能由向量能由向量組組A線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是R(A)=R(A|E).因此因此R(A)=R(A|E)=n.故故R(A|E) n,而而 R(A|E) R(E)=n,又因矩陣又因矩陣(A|E)僅有僅有n行行,本例的結(jié)論本例的結(jié)論用矩陣方程的方式可描述為用矩陣方程的方式可描述為:矩陣方程矩陣方程An mX=E有解的充分必要條件是有解的充分必要條件是R(A)=n. 1. n維向量的概念維向量的概念, 實(shí)向量實(shí)向量, 復(fù)向量復(fù)向量; 2. 向量的表示方法向量的表示方法, 行向量與列向量行向量與列向量; 3. 向量向量, 向量組及線性組合與線性表示的概念向量組及線性組合與線性表示的概念, 由矩陣的秩給出判定的結(jié)論由矩陣的秩給出判定的結(jié)論; 4. 有限個(gè)向量的向量組與矩陣和線性方程組之有限個(gè)向量的向量組與矩陣和線性方程組之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.用矩陣的方式可描述為用矩陣的方式可描述為: 對(duì)矩陣對(duì)矩陣Am n, 存在存在Qn m使使AQ=Em的