運籌學第三章 (3)

1、第第1頁頁運運 籌籌 帷帷 幄幄 之之 中中決決 勝勝 千千 里里 之之 外外運運 籌籌 學學 課課 件件非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃Non-linear ProgrammingNon-linear Programming第第2頁頁非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃v基本概念基本概念v凸函數(shù)和凸規(guī)劃凸函數(shù)和凸規(guī)劃v一維搜索方法一維搜索方法v無約束最優(yōu)化方法無約束最優(yōu)化方法v約束最優(yōu)化方法約束最優(yōu)化方法第第3頁頁基本概念基本概念v非線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題v非線性規(guī)劃方法概述非線性規(guī)劃方法概述第第4頁頁非線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題例例1 曲線的最優(yōu)擬合問題曲線的最優(yōu)擬合問題已已知知某某物物體體的的溫溫度度 與與時時

2、間間 t 之之間間有有如如 下下形形式式的的經(jīng)經(jīng)驗驗函函數(shù)數(shù)關關系系： tcetcc321 (*) 其其中中1c，2c，3c是是待待定定參參數(shù)數(shù)。現(xiàn)現(xiàn)通通過過測測 試試獲獲得得 n 組組 與與 t 之之間間的的實實驗驗數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)),(iit ， i=1，2，,n。試試確確定定參參數(shù)數(shù)1c，2c，3c， 使使理理論論曲曲線線(*)盡盡可可能能地地與與 n 個個測測試試點點 ),(iit 擬擬合合。 t n1i221)( min3 itciietcc 第第5頁頁例例2 構件容積問題構件容積問題設計一個右圖所示的由圓錐和圓柱面 圍成的構件，要求構件的表面積為 S， 圓錐部分的高 h 和圓柱部分的高 x

3、2之 比為 a。確定構件尺寸，使其容積最 大。 x1x2x3 0, 0 2 .)3/1( max212121222211221xxSxxxxaxxtsxxaV 第第6頁頁數(shù)學規(guī)劃數(shù)學規(guī)劃設設nTnRxxx ),.,(1，RRqjxhpixgxfnji:,.,1),(;,.,1),();( , 如下的數(shù)學模型稱為如下的數(shù)學模型稱為數(shù)學規(guī)劃數(shù)學規(guī)劃(Mathematical Programming, MP)： qjxhpixgtsxfji,.,1, 0)( ,.,1, 0)( .)( min qjxhpixgRxXjin,.,1, 0)(,.,1, 0)(約束集或可行域約束集或可行域Xx MP的可

4、行解或可行點的可行解或可行點第第7頁頁向量化表示向量化表示令令 Tpxgxgxg)(),.,()(1 Tpxhxhxh)(),.,()(1 ， 其其中中，qnpnRRhRRg:,:，那那么么(MP)可可簡簡記記為為 0)( 0 .)( minxhg(x)tsxf或或者者)(minxfXx 當當p=0,q=0時，稱為時，稱為無約束非線性規(guī)無約束非線性規(guī)劃劃或者或者無約束最優(yōu)化問題無約束最優(yōu)化問題。否則，稱為否則，稱為約束非線性規(guī)劃約束非線性規(guī)劃或者或者約束約束最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題。第第8頁頁最優(yōu)解和極小點最優(yōu)解和極小點定定義義 4.1.1 對對于于非非線線性性規(guī)規(guī)劃劃(MP)，若若Xx *，并并

5、且且有有 X ),()(* xxfxf 則則稱稱*x是是(MP)的的整整體體最最優(yōu)優(yōu)解解或或整整體體極極小小點點，稱稱)(*xf是是 (MP)的的整整體體最最優(yōu)優(yōu)值值或或整整體體極極小小值值。如如果果有有 * ),()(xxX,xxfxf 則則稱稱*x是是(MP)的的嚴嚴格格整整體體最最優(yōu)優(yōu)解解或或嚴嚴格格整整體體極極小小點點，稱稱 )(*xf是是(MP)的的嚴嚴格格整整體體最最優(yōu)優(yōu)值值或或嚴嚴格格整整體體極極小小值值。 定義定義 4.1.2 對于非線性規(guī)劃對于非線性規(guī)劃(MP)，若，若Xx *，并且存在，并且存在*x的一個的一個 領域領域 ), 0( )(*RxxRxxNn ，使，使 XxN

6、xxfxf)( ),()(* ， 則稱則稱*x是是(MP)的的局部最優(yōu)解局部最優(yōu)解或或局部極小點局部極小點，稱，稱)(*xf是是(MP)的的局部局部 最優(yōu)值最優(yōu)值或或局部極小點局部極小點。如果有。如果有 * ,)( ),()(xxXxNxxfxf ， 則稱則稱*x是是(MP)的的嚴格局部最優(yōu)解嚴格局部最優(yōu)解或或嚴格局部極小點嚴格局部極小點，稱，稱)(*xf是是(MP) 的的嚴格局部最優(yōu)值嚴格局部最優(yōu)值或或嚴格局部極小點嚴格局部極小點。 第第9頁頁非線性規(guī)劃方法概述非線性規(guī)劃方法概述定義定義 4.1.3 設設0,: pRpRxRRfnnn，若存在，若存在0 ，使，使 ), 0( ),()( tx

7、ftpxf 則稱向量則稱向量 p 是函數(shù)是函數(shù) f(x)在點在點x處的處的下降方向下降方向。 定義定義 4.1.4 設設0, pRpXxRXnn，若存在，若存在0 t，使，使 Xtpx 則稱向量則稱向量 p 是函數(shù)是函數(shù) f(x)在點在點x處關于處關于 X 的的可行方向可行方向。 第第10頁頁非線性規(guī)劃基本迭代格式非線性規(guī)劃基本迭代格式第第 1 步步 選取初始點選取初始點0 x，k:=0; 第第 2 步步 構造搜索方向構造搜索方向kp； 第第 3 步步 根據(jù)根據(jù)kp，確定步長，確定步長kt； 第第 4 步步 令令kkkkptxx 1， 若若1 kx已滿足某種終止條件，停止迭代，輸出已滿足某種終

8、止條件，停止迭代，輸出 近似解近似解1 kx；否則令；否則令 k:=k+1，轉回第，轉回第 2 步。步。 第第11頁頁凸函數(shù)和凸規(guī)劃凸函數(shù)和凸規(guī)劃q凸函數(shù)及其性質凸函數(shù)及其性質q凸規(guī)劃及其性質凸規(guī)劃及其性質第第12頁頁凸函數(shù)及其性質凸函數(shù)及其性質定義定義 4.2.1 設設nRS 是非空凸集，是非空凸集，RSf:，如果對任意的，如果對任意的)1 , 0( 有有 )()1()()1(2121xfxfxxf ，Sxx 21, 則稱則稱 f 是是 S 上的上的凸函數(shù)凸函數(shù)，或，或 f 在在 S 上是上是凸凸的。的。如果對于任意的如果對于任意的)1 , 0( 有有 )()1()()1(2121xfxfx

9、xf ，21xx 則稱則稱 f 是是 S 上的上的嚴格凸函數(shù)嚴格凸函數(shù)，或或 f 在在 S 上是上是嚴格凸嚴格凸的。的。 若若-f 是是 S 上上的的（嚴嚴格格）凸凸函函數(shù)數(shù)，則則稱稱 f 是是 S 上上的的（嚴嚴格格）凹凹函函數(shù)數(shù)， 或或 f 在在 S 上上是是（嚴嚴格格）凹凹的的。 第第13頁頁定理定理 4.2.1 設設nRS 是非空凸集。是非空凸集。 （1） 若若RRfn:是是 S 上的凸函數(shù)，上的凸函數(shù)，0 ，則，則f 是是 S 上的凸函數(shù)；上的凸函數(shù)； （2） 若若RRffn:,21都是都是 S 上的凸函數(shù)，則上的凸函數(shù)，則21ff 是是 S 上的凸函數(shù)。上的凸函數(shù)。 定定理理 4.

10、2.2 設設nRS 是是非非空空凸凸集集，RRfn:是是凸凸函函數(shù)數(shù)，Rc ，則則集集合合 cxfSxcfHS )(),( 是是凸凸集集。 第第14頁頁定理定理 4.2.3 設設nRS 是非空開凸集，是非空開凸集，RSf:可微，則可微，則 （1） f 是是 S 上的凸函數(shù)的充要條件是上的凸函數(shù)的充要條件是 )()()()(12121xfxfxxxfT ， Sxx 21, 其中其中Tnxxfxxfxf)(,.,)()(1111 是函數(shù)是函數(shù) f 在點在點1x處的一階處的一階 導數(shù)或梯度。導數(shù)或梯度。 （2） f 是是 S 上的嚴格凸函數(shù)的充要條件是上的嚴格凸函數(shù)的充要條件是 )()()()(12

11、121xfxfxxxfT ， 2121, xxSxx 第第15頁頁定理定理 4.2.4 設設nRS 是非空開凸集，是非空開凸集，RSf:二階連續(xù)可導，則二階連續(xù)可導，則 f 是是S 上的凸函數(shù)的充要條件是上的凸函數(shù)的充要條件是 f 的的 Hesse 矩陣矩陣)(2xf 在在 S 上是半正定的。上是半正定的。 當當)(2xf 在在 S 上是正定矩陣時，上是正定矩陣時，f 是是 S 上的嚴格凸函數(shù)。上的嚴格凸函數(shù)。（注意注意：該逆命題不成立。）：該逆命題不成立。） 22221222222122122122122)()()(.)(.)()()(.)()()(nnnnnxxfxxxfxxxfxxxfx

12、xfxxxfxxxfxxxfxxfxf 第第16頁頁凸規(guī)劃及其性質凸規(guī)劃及其性質 qjxhpixgtsxfji,.10,)( (MP) ,.,1, 0)( .)( min qjxhpixgRxXjin,.,1, 0)(,.,1, 0)(約束集如果如果(MP)的約束集的約束集X是凸集，目標函數(shù)是凸集，目標函數(shù)f是是X上的凸函數(shù)，則上的凸函數(shù)，則(MP)叫做叫做非線性凸規(guī)劃非線性凸規(guī)劃，或簡稱為或簡稱為凸規(guī)劃凸規(guī)劃。第第17頁頁定理定理 4.2.5 對于非線性規(guī)劃對于非線性規(guī)劃(MP)，若，若pixgi,.,1),( 皆為皆為nR上的凸函數(shù)，上的凸函數(shù)，qjxhj,.,1),( 皆為線性函數(shù)，皆為

13、線性函數(shù)， 并且并且 f 是是 X 上的凸函數(shù)，則上的凸函數(shù)，則(MP)是凸規(guī)劃。是凸規(guī)劃。 定理定理 4.2.6 凸規(guī)劃的任一局部最優(yōu)解都是它凸規(guī)劃的任一局部最優(yōu)解都是它的整體最優(yōu)解。的整體最優(yōu)解。第第18頁頁一維搜索方法一維搜索方法目目標標函函數(shù)數(shù)為為單單變變量量的的非非線線性性 規(guī)規(guī)劃劃問問題題稱稱為為一一維維搜搜索索問問題題 (t) min)0(0 max ttt 其其中中Rt 。 精確一維搜索方法精確一維搜索方法 0.618法法 Newton法法非精確一維搜索方法非精確一維搜索方法 Goldstein法法 Armijo法法第第19頁頁0.618法（近似黃金分割法）法（近似黃金分割法）

14、第第 1 步步 確定單谷區(qū)間確定單谷區(qū)間a,b，給定最后區(qū)間精度，給定最后區(qū)間精度0 ; 第第 2 步步 計算最初兩個探索點計算最初兩個探索點 )(618. 0)(382. 01abbabat )(618. 02abat 并計算并計算)(11t ，)(22t ； 第第 3 步步 若若21 ，轉第，轉第 4 步。步。否則轉第否則轉第 5 步；步； 第第 4 步步 若若 at2，停止迭代，輸出，停止迭代，輸出1t。否則令否則令2:tb ， 12:tt ，)(618. 0:1abbt ，12: ，計算，計算)(11t ，轉第，轉第 3 步；步； 第第 5 步步 若若 1tb，停止迭代，輸出，停止迭代

15、，輸出2t。否則令否則令1:ta ， 21:tt ，)(618. 0:2abat ，21: ，計算，計算)(22t ，轉第，轉第 3 步。步。 函函數(shù)數(shù))(t 稱稱為為在在a,b上上是是單單谷谷的的，如如果果存存在在一一個個,*bat ，使使得得)(t 在在,*ta上上嚴嚴格格遞遞減減，且且在在,*bt上上嚴嚴格格遞遞增增。區(qū)區(qū)間間a,b稱稱為為)(t 的的單單 谷谷區(qū)區(qū)間間。 第第20頁頁Newton法法)( mint 其中其中)(t 是二次可微的是二次可微的，且且0)( t 。 第第 1 步步 給給定定初初始始點點1t，0 ，1: k； 第第 2 步步 如如果果 )(kt，停停止止迭迭代代

16、，輸輸出出kt。否否則則，當當0)( kt 時時，停停止止， 解解題題失失敗??；當當0)( kt 時時，轉轉下下一一步步； 第第 3 步步 計計算算)()(1kkkktttt ，如如果果 kktt1，停停止止迭迭代代，輸輸出出1 kt。否否則則1: kk，轉轉第第 2 步步。 第第21頁頁abcd)0( )(ty ty)0()0( tmy)0()0(1 tmy)0()0(2 Goldstein法法第第22頁頁第第 1 步步 給給定定滿滿足足1021 mm的的正正數(shù)數(shù)21,mm，增增大大探探索索點點系系數(shù)數(shù)1 ； 初初始始探探索索點點),0(0 t（或或,0(maxt）。令令 :,0:00ba（

17、或或maxt），0: k 第第 2 步步 計計算算)(kt 若若)0()0()(1 kktmt，進進行行第第 3 步步；否否則則，令令kkkktbaa :,:11 轉轉第第 4 步步； 第第 3 步步 若若)0()0()(2 kktmt，停停止止迭迭代代，輸輸出出kt。否否則則，令令 kkkkbbta :,:11 若若 1kb，進進行行第第 4 步步；否否則則，令令1:,:1 kkttkk ，轉轉第第 2 步步； 第第 4 步步 取取2:111 kkkbat，令令1: kk，轉轉第第 2 步步。 Goldstein法步驟法步驟第第23頁頁Armijo法法)0( )(ty tmy)0()0( k

18、tkMt取取定定Mm 10，用用一一下下兩兩個個式式子子限限定定kt不不太太大大也也不不太太小小： )0()0()( kkmtt )0()0()( kkmMtMt 第第24頁頁無約束最優(yōu)化方法無約束最優(yōu)化方法v無約束問題的最優(yōu)性條件無約束問題的最優(yōu)性條件v最速下降法最速下降法v共軛方向法共軛方向法)( minxf (UMP) 其其中中nTnRxxx ),.,(1，RRfn: 第第25頁頁無約束問題的最優(yōu)化條件無約束問題的最優(yōu)化條件定理定理 4.4.1 設設RRfn:在點在點nRx 處可微。處可微。若存在若存在nRp ，使，使 0)( pxfT 則向量則向量 p 是是 f 在點在點x處的下降方向

19、。處的下降方向。 定理定理 4.4.2 設設RRfn:在點在點nRx 處可微。若處可微。若*x是是(UMP)的局部的局部最優(yōu)解，則最優(yōu)解，則 0)(* xf 定定理理 4.4.3 設設RRfn:在在點點nRx 處處的的 Hesse 矩矩陣陣)(*2xf 存存在在。若若 0)(* xf，并并且且)(*2xf 正正定定 則則*x是是(UMP)的的局局部部最最優(yōu)優(yōu)解解。 定定理理 4.4.4 設設RRfn:，nRx *，f 是是nR上上得得可可微微凸凸函函數(shù)數(shù)。若若有有 0)(* xf 則則*x是是(UMP)的的整整體體最最優(yōu)優(yōu)解解。 第第26頁頁最速下降法最速下降法設（設（NMP）問題中的目標函數(shù)

20、）問題中的目標函數(shù)RRfn:一階連續(xù)可微一階連續(xù)可微 第第 1 步步 選取初始點選取初始點0 x，給定終止誤差，給定終止誤差0 ，令，令0: k； 第第 2 步步 計算計算)(kxf ，若，若 )(kxf，停止迭代，輸出，停止迭代，輸出kx。否則進行第否則進行第 3 步；步； 第第 3 步步 取取)(kkxfp 第第 4 步步 進行一維搜索，求進行一維搜索，求kt，使得，使得)(min)(0kktkkktpxfptxf 令令kkkkptxx 1，1: kk，轉第，轉第 2 步。步。 第第27頁頁共軛方向法共軛方向法定義定義 4.4.1 設設 A 為為 n 階實對稱，對于非零向量階實對稱，對于非

21、零向量nRqp ,，若有，若有 0 AqpT 則稱則稱 p 和和 q 是是相互相互 A 共軛共軛的。對于非零向量組的。對于非零向量組1,.,1 , 0, niRpni，若有，若有 jinjiAppjTi 1,.,1 , 0, , 0)( 則稱則稱nppp,.,10是是 A 共軛方向組共軛方向組，也稱它們?yōu)橐唤M，也稱它們?yōu)橐唤M A 共軛方向共軛方向。 定定理理 4.4.5 設設 A 是是 n 階階實實對對稱稱正正定定矩矩陣陣，)1,.,1 , 0( niRpni是是 非非零零向向量量。若若110,., nppp是是一一組組 A 共共軛軛方方向向，則則它它們們一一定定是是線線性性無無 關關的的。

22、第第28頁頁二次嚴格凸函數(shù)的無約束最優(yōu)化問題二次嚴格凸函數(shù)的無約束最優(yōu)化問題cxbAxxxfTT 21)( min （AP） 其中其中 A 是是 n 階實對稱正定矩陣階實對稱正定矩陣，nRb ，Rc 定定理理 4.4.6 對對于于問問題題(AP)，若若110,., nppp為為任任意意一一組組 A 共共軛軛方方向向，則則由由任任意意初初始始點點 nRx 0出出發(fā)發(fā)，依依次次沿沿110,., nppp進進行行精精確確一一維維搜搜索索，則則最最多多經(jīng)經(jīng) n 次次迭迭代代可可達達(AP) 的的整整體體最最優(yōu)優(yōu)解解。 第第29頁頁F-R法步驟法步驟第第 1 步步 選取初始點選取初始點0 x，給定終止誤

23、差，給定終止誤差0 ； 第第 2 步步 計算計算)(0 xf ，若，若 )(0 xf，停止迭代，輸出，停止迭代，輸出0 x；否則，進行第；否則，進行第 3 步；步； 第第 3 步步 取取)(00 xfp ，令，令0: k； 第第 4 步步 進行一維搜索求進行一維搜索求kt使得使得)(min)(0kktkkktpxfptxf ，令，令kkkkptxx 1； 第第 5 步步 計算計算)(1 kxf，若，若 )(1kxf，停止迭代，輸出，停止迭代，輸出1 kx；否則，進行第；否則，進行第 6 步；步； 第第 6 步步 若若 k+1=n，令，令nxx :0，轉第，轉第 3 步；否則進行第步；否則進行第

24、 7 步；步； 第第 7 步步 用用 F-R 公式取公式取kkkkpxfp )(11，其中，其中221)()(kkkxfxf 。令。令 k:=k+1， 轉第轉第 4 步。步。 第第30頁頁約束最優(yōu)化方法約束最優(yōu)化方法v約束最優(yōu)化問題的最優(yōu)化條件約束最優(yōu)化問題的最優(yōu)化條件v簡約梯度法簡約梯度法v懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法qjRRhpiRRgRRfRxnjninn,.,1 :,.,1 ,: : , 其中其中 ,.,1 0)( 1 0)( .)( minqjxh,.,pixgtsxfji(MP)第第31頁頁約束最優(yōu)化問題的最優(yōu)化條件約束最優(yōu)化問題的最優(yōu)化條件 qjxhpixgRxXjin,.,1, 0)(

25、,.,1, 0)(, 0)( |)(*IixgixIi Xx * JjxhqJj , 0)(,.,2 , 1*，即，即令令定理定理 4.5.1 設設RRfn:和和)(,:*xIiRRgni 在點在點*x處可微，處可微， )(,*xIIigi 在點在點*x處連續(xù)，處連續(xù)，JjRRhnj ,:在點在點*x處連續(xù)處連續(xù) 可微，并且各可微，并且各JjxhxIixgji ),( ),( ),(*線性無關。線性無關。若若 *x是是(MP)的局部最優(yōu)解，則存在兩組實數(shù)的局部最優(yōu)解，則存在兩組實數(shù))(,*xIii 和和Jjj ,* ， 使得使得 )( , 00)()()(*)(*xIixhxgxfiJjjjx

26、Iiii K-T條件條件第第32頁頁定定理理 4.5.2 對對于于(MP)問問題題，若若JjhIigfji , , ,在在點點*x處處連連續(xù)續(xù)可可微微， 可可行行點點*x滿滿足足(MP)的的 K-T 條條件件，且且)(, ,*xIigfi 是是凸凸函函數(shù)數(shù)，Jjhj , 是是線線性性函函數(shù)數(shù)，則則*x是是(MP)的的整整體體最最優(yōu)優(yōu)解解。 第第33頁頁簡約梯度法簡約梯度法 0 .)( minxbAxtsxf 其中，RRfRxnn: , ，mArnm )(，mRb (4.5.12)定理定理 4.5.3 對于非線性規(guī)劃問題對于非線性規(guī)劃問題(4.5.12)，設，設 f 是可微函數(shù)，是可微函數(shù)，lk

27、Xx ，并且有分解，并且有分解 kNkBkxxx，0 kBx。若。若 kNkBkppp由下式確定由下式確定， kNkkkBkBkikikikikikikNpNBpIirrxrrpp1 0 0 ,: (*) 則則 （1） 當當0 kp時，時，kp是是 f 在點在點kx處關于處關于lX的可行下降方向；的可行下降方向； （2） 0 kp的充要條件是的充要條件是kx是問題是問題(4.5.12)的的 K-T 點。點。 0 , | xbAxRxXnl第第34頁頁Wolfe法步驟法步驟第第 1步步 選選取取初初始始可可行行點點lXx 0，給給定定終終止止誤誤差差0 ，令令 k:=0; 第第 2步步 設設kB

28、I是是kx的的 m個個最最大大分分量量的的下下標標集集，對對矩矩陣陣 A進進行行相相應應分分解解 ),(kkNBA 第第 3步步 計計算算 )()()(kNkBkxfxfxf，然然后后，計計算算簡簡約約梯梯度度 )()()(1kNkBTkkkNxfxfNBr 記記kNr的的第第)(kBIii 個個分分量量為為kir； 第第 4步步 按按(*)式式構構造造可可行行下下降降方方向向kp。若若 kp，停停止止迭迭代代，輸輸出出kx； 否否則則進進行行第第 5步步； 第第 5步步 進進行行有有效效一一維維搜搜索索，求求解解 )(minmax0kktttpxfk 得得到到最最優(yōu)優(yōu)解解kt，其其中中 00

29、 0min0 1maxkkkikikinikkppppxpt或或者者， 令令kkkkptxx 1，k:=k+1，轉轉第第 2步步 第第35頁頁懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法思想思想：利用問題中的約束函數(shù)做出適當?shù)膸в袇?shù)的懲：利用問題中的約束函數(shù)做出適當?shù)膸в袇?shù)的懲罰函數(shù)，然后在原來的目標函數(shù)上加上懲罰函數(shù)構造出罰函數(shù)，然后在原來的目標函數(shù)上加上懲罰函數(shù)構造出帶參數(shù)的增廣目標函數(shù)，把帶參數(shù)的增廣目標函數(shù)，把(MP)問題的求解轉換為求解問題的求解轉換為求解一系列無約束非線性規(guī)劃問題。一系列無約束非線性規(guī)劃問題。罰函數(shù)法罰函數(shù)法障礙函數(shù)法障礙函數(shù)法第第36頁頁罰函數(shù)法罰函數(shù)法 qjxhpixgtsxfji

30、,.,1, 0)( ,.,1, 0)( .)( min qjxhpixgRxXjin,.,1, 0)(,.,1, 0)(設法適當?shù)丶哟蟛豢尚悬c處對應的目標函數(shù)值，使設法適當?shù)丶哟蟛豢尚悬c處對應的目標函數(shù)值，使不可行點不能成為相應無約束極小化問題的最優(yōu)解。不可行點不能成為相應無約束極小化問題的最優(yōu)解。 qjjpiicxhcxgcxp1212)(2)0),(max()(罰函數(shù)罰函數(shù))( minxFc)()()(xpxfxFcc 第第37頁頁實際應用中，選取一個實際應用中，選取一個遞增且趨于無窮的正罰遞增且趨于無窮的正罰函數(shù)參數(shù)列函數(shù)參數(shù)列 qjjkpiikcxhcxgcxpk1212)(2)0),(max()(其中其中*)()()( minx