全國中學(xué)生物理競賽課件19：電阻等效方法ABC

1、 對稱法對稱法 電流疊加法電流疊加法 Y-變換法變換法 對具有一定對稱性的電路對具有一定對稱性的電路,通過對等勢點(diǎn)的拆、合，對通過對等勢點(diǎn)的拆、合，對稱電路的稱電路的“折疊折疊”，將電路簡化為基本的串并聯(lián)電路。，將電路簡化為基本的串并聯(lián)電路。 直流電路中各電源單獨(dú)存在時的電路電流代數(shù)疊加后與所直流電路中各電源單獨(dú)存在時的電路電流代數(shù)疊加后與所有電源同時存在的電路電流分布是一樣的，任一直流電路電流有電源同時存在的電路電流分布是一樣的，任一直流電路電流分布，總可歸結(jié)為只含某一個直流電源的電路電流分布這就分布，總可歸結(jié)為只含某一個直流電源的電路電流分布這就是電流的可疊加性對于一些并不具備直觀的對稱性

2、的電路，是電流的可疊加性對于一些并不具備直觀的對稱性的電路，可根據(jù)電流的可疊加性，重新設(shè)置電流的分布方式，將原本不可根據(jù)電流的可疊加性，重新設(shè)置電流的分布方式，將原本不對稱問題轉(zhuǎn)化成具有對稱性的問題加以解決對稱問題轉(zhuǎn)化成具有對稱性的問題加以解決 。利用利用Y型聯(lián)接電阻與型聯(lián)接電阻與型聯(lián)接電阻間等價關(guān)系的結(jié)論，通型聯(lián)接電阻間等價關(guān)系的結(jié)論，通過電阻過電阻Y型聯(lián)接與型聯(lián)接與型聯(lián)接方式的互換，達(dá)到簡化電路成單純型聯(lián)接方式的互換，達(dá)到簡化電路成單純串聯(lián)或并聯(lián)的目的串聯(lián)或并聯(lián)的目的 解解: :ABCDEFHGACBDEGFH3343ACR RRRRR 則則AC間等效電阻間等效電阻: 如圖所示，如圖所示，

3、12個阻值都是個阻值都是R的電阻，組成一立的電阻，組成一立方體框架，試求方體框架，試求AC間的電阻間的電阻RAC 、AB間的電阻間的電阻RAB與與AG間的電阻間的電阻RAG 續(xù)解續(xù)解ABCDEFHGAB間等效電阻間等效電阻:EGFHABCD2RR222.5222.5712ABRRRRRRRRRRRR 則則續(xù)解續(xù)解ABCDEFHGAG間等效電阻間等效電阻:FHCABEDG6R3R3R56AGRR 則則解解: :AB02r電源外電路電源外電路等效電阻等效電阻:000002.55240.577ABrrRrrr 通過電源的電流由通過電源的電流由6.0A40/71.05A ABIR 如圖所示的正方形網(wǎng)格

4、由如圖所示的正方形網(wǎng)格由24個電阻個電阻r0=8的電阻的電阻絲構(gòu)成，電池電動勢絲構(gòu)成，電池電動勢=6.0 V，內(nèi)電阻不計(jì)，求通過電池的電流，內(nèi)電阻不計(jì)，求通過電池的電流 波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1916年研究了一個有趣的幾何圖形他年研究了一個有趣的幾何圖形他將如圖將如圖1所示的一塊黑色的等邊三角形所示的一塊黑色的等邊三角形ABC的每一個邊長平分為二，再把平分點(diǎn)的每一個邊長平分為二，再把平分點(diǎn)連起來，此三角形被分成四個相等的等邊三角形，然后將中間的等邊三角形挖掉，連起來，此三角形被分成四個相等的等邊三角形，然后將中間的等邊三角形挖掉，得到如圖得到如圖2的圖形；接著再將剩下的黑色的

5、三個等邊三角形按相同的方法處理，的圖形；接著再將剩下的黑色的三個等邊三角形按相同的方法處理，經(jīng)過第二次分割就得到圖經(jīng)過第二次分割就得到圖3的圖形經(jīng)三次分割后，又得到圖的圖形經(jīng)三次分割后，又得到圖4的圖形這是帶有的圖形這是帶有自相似特征的圖形，這樣的圖形又稱為謝爾賓斯基鏤墊它的自相似性就是將其自相似特征的圖形，這樣的圖形又稱為謝爾賓斯基鏤墊它的自相似性就是將其中一個小單元（例如圖中一個小單元（例如圖4中的中的BJK）適當(dāng)放大后，就得到圖）適當(dāng)放大后，就得到圖2的圖形如果這個的圖形如果這個分割過程繼續(xù)下去，直至無窮，謝爾賓斯基鏤墊中的黑色部分將被不斷地鏤空分割過程繼續(xù)下去，直至無窮，謝爾賓斯基鏤墊

6、中的黑色部分將被不斷地鏤空 圖圖1 圖圖2 圖圖3 圖圖4 數(shù)學(xué)家對這類幾何圖形的自相似性進(jìn)行了研究，創(chuàng)造和發(fā)展出了一門稱為數(shù)學(xué)家對這類幾何圖形的自相似性進(jìn)行了研究，創(chuàng)造和發(fā)展出了一門稱為“分形幾何學(xué)分形幾何學(xué)”的新學(xué)科近三十多年來，物理學(xué)家將分形幾何學(xué)的研究成果和的新學(xué)科近三十多年來，物理學(xué)家將分形幾何學(xué)的研究成果和方法用于有關(guān)的物理領(lǐng)域，取得了有意義的進(jìn)展方法用于有關(guān)的物理領(lǐng)域，取得了有意義的進(jìn)展 我們現(xiàn)在就在這個背景下研究按謝爾賓斯基鏤墊圖形的各邊構(gòu)成的電阻網(wǎng)絡(luò)的我們現(xiàn)在就在這個背景下研究按謝爾賓斯基鏤墊圖形的各邊構(gòu)成的電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻問題：設(shè)如圖等效電阻問題：設(shè)如圖1所示的三角形所示

7、的三角形ABC邊長邊長L0的電阻均為的電阻均為r；經(jīng)一次分割得到；經(jīng)一次分割得到如圖如圖2所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形ABC的邊長的電阻的邊長的電阻r的二分之一；經(jīng)二次分割得到如圖的二分之一；經(jīng)二次分割得到如圖3所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形是原三角形ABC的邊長的電阻的邊長的電阻r的四分之一；三次分割得到如圖的四分之一；三次分割得到如圖4所示的圖形，其所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形中每個小三角形邊長的電阻是原三角形ABC的邊長的電阻的邊長的電阻r的八分

8、之一的八分之一 試求經(jīng)三次分割后，三角形試求經(jīng)三次分割后，三角形ABC任意兩個頂點(diǎn)間的等效電阻任意兩個頂點(diǎn)間的等效電阻 試求按此規(guī)律作了試求按此規(guī)律作了n次分割后，三角形次分割后，三角形ABC任意兩個頂點(diǎn)間的等效電阻任意兩個頂點(diǎn)間的等效電阻ABCDEFABCDEFABCl0ABCDEFKGI J解答解答解解: :讀題讀題對三角形對三角形ABC,任意兩點(diǎn)間的電阻任意兩點(diǎn)間的電阻 r023Rr A BC對分割一次后對分割一次后的圖形的圖形 2r1635925Rrr 56r對分割二次后對分割二次后的圖形的圖形 512r256r 225623Rr 可見可見, ,分割三次后分割三次后的圖形的圖形 331

9、252235634rrR 2536nnRr 遞推到分割遞推到分割n次后的圖形次后的圖形 如圖所示的平面電阻絲網(wǎng)絡(luò)中，每一直如圖所示的平面電阻絲網(wǎng)絡(luò)中，每一直線段和每一弧線段電阻絲的電阻均為線段和每一弧線段電阻絲的電阻均為r試求試求A、B兩點(diǎn)間兩點(diǎn)間的等效電阻的等效電阻 解解: :ABABBABAr34ABRr ABAB 三個相同的均勻金屬圓圈兩兩相交地連三個相同的均勻金屬圓圈兩兩相交地連接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)已知每一個金屬圓圈的電阻都是接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)已知每一個金屬圓圈的電阻都是R，試求圖中試求圖中A、B兩點(diǎn)間的等效電阻兩點(diǎn)間的等效電阻RAB 解解: : 三個金屬圈共有六個結(jié)點(diǎn)，每四分之三個金屬

10、圈共有六個結(jié)點(diǎn)，每四分之一弧長的電阻一弧長的電阻R/4. . 將三維金屬圈將三維金屬圈“壓扁壓扁”到到ABAB所在平面并所在平面并“抻直抻直”弧線成下圖弧線成下圖4R8RBA882882ABRRRRRRR 548R 4R 正四面體框架形電阻網(wǎng)絡(luò)如圖所示，其中每一小正四面體框架形電阻網(wǎng)絡(luò)如圖所示，其中每一小段電阻均為段電阻均為R試求試求RAB和和RCD 解解: :34ABRr BAEF2R4R2R2RABHIE乙乙2R2RDCIGHL甲甲甲甲BAFDCIGHLEDC丙丙2R2R2R2R38CDRr 解解: :解題方向解題方向:由于對稱，可將由于對稱，可將ABAB中垂線上各電勢點(diǎn)拆分，中垂線上各電

11、勢點(diǎn)拆分，原電路變換為圖乙，我們看到這是一個具有自相似性的無原電路變換為圖乙，我們看到這是一個具有自相似性的無限網(wǎng)絡(luò)，其基本單元如圖丙限網(wǎng)絡(luò)，其基本單元如圖丙BBnAnnA nB RxRRRR2R丙丙BA甲甲AABAB乙乙當(dāng)當(dāng)n時，多一個單元，只是使時，多一個單元，只是使Rx按邊長同比增大，即按邊長同比增大，即 222222222xxxxxRRRRRRRRRRRRR 713xRR 713ABaR 試求框架上試求框架上A、B兩點(diǎn)間的電阻兩點(diǎn)間的電阻RAB此框架是用同種細(xì)金此框架是用同種細(xì)金屬制作的，單位長度的電阻為屬制作的，單位長度的電阻為一連串內(nèi)接等邊三角形的數(shù)目可認(rèn)為趨向無窮，一連串內(nèi)接等邊

12、三角形的數(shù)目可認(rèn)為趨向無窮，如圖所示取如圖所示取AB邊長為邊長為a，以下每個三角形的邊長依次減少一半，以下每個三角形的邊長依次減少一半 解解: :解題方向解題方向:將原無限長立體正三棱柱框?qū)⒃瓱o限長立體正三棱柱框架沿左、右遞縮為三棱臺再架沿左、右遞縮為三棱臺再“壓壓”在在AB所在平面，各電阻連接如圖所在平面，各電阻連接如圖 ABC2rr23r3r33rxrxrx 由由3216xr AB2 2121ABrR 如圖所示是由電阻絲連接成的無限電阻網(wǎng)絡(luò)，已如圖所示是由電阻絲連接成的無限電阻網(wǎng)絡(luò)，已知每一段電阻絲的電阻均為知每一段電阻絲的電阻均為r，試求，試求A、B兩點(diǎn)之間的總電阻兩點(diǎn)之間的總電阻 AB

13、C返回返回解解: :ABABOO2I8IABO2 4I52 4I52842422ABIRIRIRII 2924ABRR 田字形電阻絲網(wǎng)絡(luò)如圖所示，每小段電阻絲的電田字形電阻絲網(wǎng)絡(luò)如圖所示，每小段電阻絲的電阻均為阻均為R，試求網(wǎng)絡(luò)中，試求網(wǎng)絡(luò)中A、B兩點(diǎn)間的等效電阻兩點(diǎn)間的等效電阻RAB R2R 如圖所示的一個無限的平面方格導(dǎo)線網(wǎng)，連接兩如圖所示的一個無限的平面方格導(dǎo)線網(wǎng)，連接兩個結(jié)點(diǎn)的導(dǎo)線的電阻為個結(jié)點(diǎn)的導(dǎo)線的電阻為r0，如果將，如果將A和和B接入電路，求此導(dǎo)線網(wǎng)的等接入電路，求此導(dǎo)線網(wǎng)的等效電阻效電阻RAB 解解: :BA044ABIrIRI 02ABRr 解解: :ba006336abII

14、IIRRIR 0abRR 有一無限大平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六有一無限大平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六邊形網(wǎng)眼組成，如圖所示，所有六邊形每邊的電阻均為邊形網(wǎng)眼組成，如圖所示，所有六邊形每邊的電阻均為R0，求間位，求間位結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)a、b間的等效電阻間的等效電阻 如圖是一個無限大導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由無數(shù)個大小相如圖是一個無限大導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由無數(shù)個大小相同的正三角形網(wǎng)眼構(gòu)成，小三角形每邊的電阻均為同的正三角形網(wǎng)眼構(gòu)成，小三角形每邊的電阻均為r，求把該網(wǎng)絡(luò)，求把該網(wǎng)絡(luò)中相鄰的中相鄰的A、B兩點(diǎn)接入電路中時，兩點(diǎn)接入電路中時，AB間的電阻間的電阻RAB 解解: :AB66ABIIIRR 3ABRR 半徑

15、為半徑為R的薄壁導(dǎo)電球由連在的薄壁導(dǎo)電球由連在A、B兩點(diǎn)上的（兩點(diǎn)上的（AOBO，O點(diǎn)是球心）兩根細(xì)導(dǎo)線接到直流電源上，如圖通過電源的電流為點(diǎn)是球心）兩根細(xì)導(dǎo)線接到直流電源上，如圖通過電源的電流為I0問在球問在球面上面上C點(diǎn)處（點(diǎn)處（OCOA，OCOB）電荷朝什么方向運(yùn)動？若在）電荷朝什么方向運(yùn)動？若在C點(diǎn)附近球面上作點(diǎn)附近球面上作兩個小標(biāo)志，使它們相距兩個小標(biāo)志，使它們相距R1000，其連線垂直電荷運(yùn)動方向問總電流中有多，其連線垂直電荷運(yùn)動方向問總電流中有多大部分通過這兩標(biāo)志之連線？大部分通過這兩標(biāo)志之連線？ 解解: :BAB A Ci1i2C處單位長度上電流處單位長度上電流0212 2cI

16、iR C處垂直于電荷運(yùn)動方向處垂直于電荷運(yùn)動方向上一段弧是的電流為上一段弧是的電流為0212 21000IRiR 024000I 如圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)包括兩個立方形，每邊電阻均為如圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)包括兩個立方形，每邊電阻均為2r，求，求A、B間的電阻間的電阻 解解: :ABBACC15I1115I415IBA815I715IC215I1151072415151515ABRrIIIr 2ABRr 2rr4r返回返回ACIAIc甲甲BIBRABRACRBCacIaIcO乙乙RaRbRcbIbA CA BAA BA CB CB ABA BB CC AC BCC AB CUUIRRUUIRRUUIRR

17、0a baabba caaccb cbbccabcUIRIRUIRIRUIRIRIII abcacbaacabbcU RU RIR RR RR R AaBbCcIIIIII ABabACacBCbcUUUUUU bcabacbacabbcU RU RIR RR RR R cabcbacacabbcU RU RIR RR RR R abcacbacabbcU RU RR RR RR R bcabacacabbcU RU RR RR RR R cabcbaacabbcU RU RR RR RR R 1cacabbcABRR RR RR RR 1bacabbcACRR RR RR RR 1aacab

18、bcBCRR RR RR RR Y變換變換 YYYABBCcaACbRRRRRR Y變換變換 ABACABBCACBCabcRRRRRRRRR ABBCACRRR 解解: :abBAdcDCAB4r AB間等效電阻間等效電阻:cabO/2r/2r/4r2rr1.5r1.25rOBAC2Y6r 24 /5r4r4rABR 242445245525242445245525r 4780r 如圖所示如圖所示,一個原來用一個原來用12根相同的電阻絲構(gòu)成的根相同的電阻絲構(gòu)成的立方體框架，每根電阻絲的電阻均為立方體框架，每根電阻絲的電阻均為r，現(xiàn)將其中一根拆去，求，現(xiàn)將其中一根拆去，求A、B兩點(diǎn)間的電阻兩點(diǎn)

19、間的電阻 244acbr rr rrRRRr221.264451.2655ACABBCRRrrrrrR r 如圖所示如圖所示,甲中三端電容網(wǎng)絡(luò)為甲中三端電容網(wǎng)絡(luò)為型網(wǎng)絡(luò)元，乙型網(wǎng)絡(luò)元，乙中三端電容網(wǎng)絡(luò)為型網(wǎng)絡(luò)元，試導(dǎo)出其間的等效變換公式中三端電容網(wǎng)絡(luò)為型網(wǎng)絡(luò)元，試導(dǎo)出其間的等效變換公式 解解: :ACqAqC甲甲BqBCABCACCBC乙乙acqaqcbqbCbCaCcOAaBbCcqqqqqq ABabACacBCbcUUUUUU AABABACACBBAABBCBCCCACACBBCqUCUCqUCUCqUCUC0abababacacacabcqqUCCqqUCCqqqY變換變換 YYYa

20、bbcacABBCCAC CC CCCCCC Y變換變換 abBCCAABcCCCCCC YabcCCCABACBABCCBCACCCCCC 解解: :RABR/3R/8R/2R/6ABR 1511R 電阻均為電阻均為R的九個相同的金屬絲組成構(gòu)架的九個相同的金屬絲組成構(gòu)架如圖所示，求構(gòu)架上如圖所示，求構(gòu)架上A、B兩點(diǎn)間電路的電阻兩點(diǎn)間電路的電阻 如圖所示，由九根相同的導(dǎo)線組成的一個三棱如圖所示，由九根相同的導(dǎo)線組成的一個三棱柱框架，每根導(dǎo)線的電阻為柱框架，每根導(dǎo)線的電阻為R，導(dǎo)線之間接觸良好，求，導(dǎo)線之間接觸良好，求BD之間的電之間的電阻值阻值 解解: :BDRBR/3DR/62R/32RDRR 1115R 解解: :AB2RRR/8R/4ABR131118421242R 4722R 如圖所示，由電阻絲構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)中，每如圖所示，由電阻絲構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)中，每一段電阻絲的電阻均為一段電阻絲的電阻均為R，試求，試求RAB 由由7個阻值相同的均為個阻值相同的均為r的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如圖所示，由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的無限網(wǎng)絡(luò)如圖圖所示，由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的無限網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試求所示，試求P