高中數(shù)學(xué)有關(guān)圓錐曲線的經(jīng)典結(jié)論

1、專業(yè).專注學(xué)習(xí)參考有關(guān)解析幾何的經(jīng)典結(jié)論一、橢圓1 .點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2 .PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)3 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.4 .以焦點(diǎn)半徑PFi為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.225.若Po(Xo,yo)在橢圓三十與=1上，則過(guò)Po的橢圓的切線方程是券+邛=1.abab22,xy一6.若Po(Xo,yo)在橢圓二十，=1外，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,則切ab點(diǎn)弦P1P2的直線方程是xox+耳=1.a2b222一xy7. 橢圓二十一=1(a&

2、gt;b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)ab/F1PF2=不，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為S缶pf2=b2tan-.22一xy8. 橢圓一十彳日(a>b>0)的焦半徑公式：ab|MFJ=aex0,|MF2|=a-e%(F1(-c,0),F2(c,0)M(x°,y°).9. 設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFXNF.10.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, Ai、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，AiP和11.12.A2Q交于點(diǎn)A2P和AiQ交于

3、點(diǎn)N ,則MF，NF.22一,一 x yAB是橢圓一十彳=1的不平行于對(duì)稱軸的弦，a bM (x0, y0)為AB的中點(diǎn)，則kOM kAB = ，a即 Kab = -brx0。a V。x2y2若P0(x0, y0)在橢圓w + =1內(nèi)，則被Po a b所平分的中點(diǎn)弦的方程是22XoXy°yXoyo-2,2-2,2.abab22xy13.若Po(Xo,yo)在橢圓+22-=1內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡萬(wàn)程是ab22XyXoXyoy'7T=-2',2.abab二、雙曲線1 .點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2 .PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線

4、PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.4 .以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)22xy5 .右Po(Xo,yo)在雙曲線=1(a>o,b>o)上，則過(guò)Po的雙曲線的切線萬(wàn)ab程是箋_寫=1.ab22xy6 .右Po(Xo,yo)在雙曲線二、=1(a>o,b>o)外，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切ab線切點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是第-岑=1.ab22xy7 .雙曲線J=1(a>o,b>o)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P為雙曲線

5、上任a2b2y意一點(diǎn)NF1PF2=¥,則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S限pf2=b2cot-.22xy8 .雙曲線0=1(a>o,b>o)的焦半徑公式：(F1(cQ),F2(cQ)ab當(dāng)M(xo,yo)在右支上時(shí)，|MF1|=exo+a,|MF2|二e%a.當(dāng)M(xo,yo)在左支上時(shí)，|MF1|=xo+a,|MF21=exoa9 .設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFXNF.10 .過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,Ai、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，AiP和A2Q

6、交于點(diǎn)M,A2P和AiQ交于點(diǎn)N,則MF，NF.22xy11.AB是雙曲線），=1（a>0,b>0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M（Xo,yo）為ABab的中點(diǎn)，則Komb2x。a y。Kb2x0,KAB=-2aV。12.22x y 右Po（xo,y。）在雙曲線-a b=1 （a>0,b >0）內(nèi)，則被 Po所平分的中點(diǎn)弦的2方程是第一誓:"222aba2 y。b213.22x y若Po（xo,y。）在雙曲線二4=1 a b（a>0,b>。）內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方2y _ x°x2 二 -Tb aVoV b2橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)（會(huì)推導(dǎo)

7、的經(jīng)典結(jié)論）22，一xy1 .橢圓2+2"=1（a>b>o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為A1（a,。），A2（a,。），與y軸平行的直ab2 2線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是x2一4=1.ab222.過(guò)橢圓二+4=1（a>0,b>。）上任一點(diǎn)A（x0,y。）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直ab線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC=畢°（常數(shù)）.aVo22xy3.若P為橢圓下十與=1（a>b>。）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn)a2b2:,a-c,-,-/PF1F2=豆，/PF2F1=F,則=tan-cot-.ac222

8、2、一xy4.設(shè)橢圓2"+T=1（a>b>。）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸漏點(diǎn)）為橢圓a2b2上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，iEF1PF2=»,NPF1F2=P,/F1F2P=¥,則有sin二_c_sin:sina22xy5.若橢圓二+上？=1（a>b>。）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、E,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)。abvew，2-1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的226.P為橢圓二十1=1(a>b>0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，a2b2則2a-|AF21qPA|+|PFi52a+|

9、AFi|,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成7.橢圓(x -x0)22aB2b22- + (y y0) =1與直線 Ax + By + C =0有公共點(diǎn)的充要條件是 b22一(Ax。By。C)2.28. x y已知橢圓-2十2=1 (a>b>0),bO為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP _OQ .、111 )2 +2|OP |2 |OQ |21+ ; (2) |OP|2+|OQ| 2 的取大值為 b22, 24a b-22 ;(3)a bSmPQ的最小值是a2b9.22一 x y過(guò)橢圓 丁+三=1 (a>b>0)的右焦點(diǎn)a2b2F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)

10、，弦|PF |MN的垂直平分線交x軸于P,則| MN | 210.2,2a - b:二 x0:二a11.設(shè)P點(diǎn)是橢圓x y=1 ( a>b>0)上異于長(zhǎng)軸漏點(diǎn)的任一點(diǎn)b2,日、F2為其焦點(diǎn)12.13.記/F1PF2 =日，設(shè)A、B是橢圓2b22則1即葉四二工.SPF1btan3.22xy.+ =1 ( a>b>0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)， abZPAB=« , /PBA =P ,/BPA =¥ , c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有22. 2- 2ab |cos |二 2 八 2ab |PA|=122 .(2) tan = tan =1 -

11、 e .(3) Sab=2 cot .a -c cosb - a2 X 已知橢圓-2 ab2=1 ( a>b>0)的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)22，一xy已知橢圓二十彳=1(a>b>0),A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平aba2,b2分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0,0),則aF的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右7B線l上，且BC_LX軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).14 .過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15 .過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半

12、徑互相垂直.16 .橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).)17 .橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18 .橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)雙曲線22xy1.雙曲線-2-=1(a>0,b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A1(-a,0),A2(a,0)，與y軸ab22平行的直線交雙曲線于Pi、P2時(shí)AiPi與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是'+4=1.a2b222xy2.過(guò)雙曲線=-匕=1(a>0,b>o)上任一點(diǎn)A(Xo,

13、yo)任意作兩條傾斜角互ab補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC=-b2°(常數(shù)).aV。2 2,，一xy3 .右P為雙曲線2一一T=1(a>0,b>0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任ab點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn)，/PF1F2="，/PF2F1=P,則"ca=tan%cot?(或ca22c-a工=tancot).ca2222，-xy4.設(shè)雙曲線下一22=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))a2b2為雙曲線上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記/F1PF2=0t/PF1F2 = P ,/FiF2P =尸，則有二(s

14、in一sin ：)c一二e. a22xy5.若雙曲線工_馬=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,左準(zhǔn)線為abL,則當(dāng)1vewJ2+1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).22xy6.P為雙曲線-=1(a>0,b>0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線ab內(nèi)一定點(diǎn)，則|AF2|2a目PA|十|PFi|,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線且P和A,F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.7.雙曲線條件是22x y0 F=1 (a>0,b>0)與直線 Ax+By十C =0有公共點(diǎn)的充要a2b2A2a2 -B2b2 <

15、C2.228.已知雙曲線32一看=1(b>a>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩ab動(dòng)點(diǎn)，且OP_LOQ.11(1) 2+2|OP|2 |OQ|211-;(2)|OP|2+|OQ|2a2b2.2.2的最小值為粵，；(3)b-aSaPQ的最小值是9.2,2ab222.b-a2y-22=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)Fb作直線交該雙曲線的右支于10.11.M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P,則|PF|=e|MN|222xy已知雙曲線%=1(a>0,b>0),A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的a2b2垂直平分線與2,22,2ab,abx軸相父于點(diǎn)P(x0,

16、0),則x0之或x0w-aa22xy設(shè)P點(diǎn)是雙曲線-=1(a>0,b>0)上異于頭軸漏點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2a2b2為其焦點(diǎn)記/f1Pf2=at2b2°、則(1)|PFi|PF2|=1_cosr.(2)C.2，SPF1F2=bcot2.22a>0,b>0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的12.設(shè)A、B是雙曲線x2_4=1ab一點(diǎn)，/PAB=o（,/PBA=P,/BPA=¥,c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有|PA|二2 ,2ab |cos 二 |r222.| a -c cos |(2)tan : tan ： = 1 - e2 .(3)- 2, 2o

17、2abSPAB =-2-2 b acot22xy13 .已知雙曲線Fq=1（a>0,b>0）的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E,過(guò)雙曲ab線右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC_LX軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).14 .過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15 .過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16 .雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注:在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸

18、交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)）.17 .雙曲線焦三角形中，其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18 .雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來(lái)計(jì)算弦長(zhǎng)，常用的弦長(zhǎng)公式：|ab=J1+k2|x1-x2=J1+j|y1y22、直線的一般式方程：任何直線均可寫成出+W+C=O（a,b不同日為0）的形式。3、知直線橫截距工。，常設(shè)其方程為工二期+10（它不適用于斜率為0的直線）與直線上出+階+。=。垂直的直線可表示為所-功+。二。d_.一叫4、兩平行線*山+孫+c1=o,4：出+e+G=°間的距離為5、若直線v小+跖=0與直線k&x+B/G=0平行則里44二。（斜率）且&CC】*Q（在y軸上截距）（充要條件）6、圓的一般方程：，+/+烝+即+£=°儼+£?-4?>0）,特別提醒：只有當(dāng)（££）D3e）4F0時(shí)，方程/+/+%+珈+尸=0才表示圓心為2'2,半徑為+'行的圓。二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+的+F=0表示圓的充要條件是幺二C，0,且目=0且+我一4HF-。A=a+rcos7、圓的參數(shù)方程：O=8+rsinS（J為參數(shù)），其中圓心為&切,半徑為。圓的