2022年《拋物線》典型例題12例(含標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -拋物線典型例題12 例典型例題一例 1 指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程（1） ） x24 y（2） ） xay2 a0分析：（1）先依據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程（ 2）先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再對(duì)a 進(jìn)行爭論，確定是哪一種后，求p 及焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程解：（ 1）p2 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ 0，1），準(zhǔn)線方程是：y1（ 2）原拋物線方程為：y21 x ，2 p1aa當(dāng) a0 時(shí)， p21，拋物線開口向右，4a焦點(diǎn)坐標(biāo)是 1 ,0 ，準(zhǔn)線方程是：x1 4a4a當(dāng) a0 時(shí)， p21，

2、拋物線開口向左，4a焦點(diǎn)坐標(biāo)是 1 ,0 ，準(zhǔn)線方程是：x1 4a4a綜合上述，當(dāng) a0 時(shí)，拋物線 xay 2 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為典型例題二 1 ,04a，準(zhǔn)線方程是： x14a例 2 如直線 ykx2 與拋物線 y 28x 交于 A、B 兩點(diǎn)，且 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求此直線方程分析：由直線與拋物線相交利用韋達(dá)定理列出k 的方程求解 另由于已知與直線斜率及弦中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，故也可利用“作差法 ”求 k解法一：設(shè)Ax1,y1 、B x2, y2y ，就由：2ykx222可得： kx8x4k8 x40 直線與拋物線相交，k0 且0 ，就 k1 AB 中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x1x2 24k82 ，k 2解得

3、： k2 或 k1 （舍去）精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -故所求直線方程為：y2x2 解法二： 設(shè) Ax1,y1 、 B x2, y2 ，就有 y 2218 x1y28x2 兩式作差解： y1y2 y1y2 8 x1y1y2x2 ，即x1x28y1y2x1x24y1y2kx12kx22k x1x2 44k4 ，k8故 k4k42 或 k1 （舍去）就所求直線方程為：y2x2 典型例題三例 3 求證：以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓心與拋

4、物線的準(zhǔn)線相切分析： 可設(shè)拋物線方程為y22 px p0 如下列圖，只須證明AB2MM 1 ，就以 AB 為直徑的圓，必與拋物線準(zhǔn)線相切證明： 作AA1l 于 A1, BB1l 于 B1 M 為 AB 中點(diǎn)，作MM 1l 于 M 1 ，就由拋物線的定義可知：AA1AF ,BB1BF在直角梯形BB1 A1 A 中：MM 11 AA12BB1 1 AF2BF 1 AB2MM 11 AB2，故以 AB 為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切說明： 類似有： 以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線相離，以雙曲線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交典型例題四例 4（1）設(shè)拋物線 y24 x 被直線y2xk 截得的弦

5、長為 35 ，求 k 值（ 2）以（1）中的弦為底邊，以x 軸上的點(diǎn) P 為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為 9 時(shí)，求 P 點(diǎn)坐標(biāo)分析：（1）題可利用弦長公式求k，（2）題可利用面積求高，再用點(diǎn)到直線距離精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -求 P 點(diǎn)坐標(biāo)y2解：（ 1）由y4 x得：2 xk4 x24k4xk 20設(shè)直線與拋物線交于A x1 , y1 與B x2 ,y2 兩點(diǎn)就有： x1x2k 21k, x1x21224AB12 2 x

6、x 25 x1x 24x1x25 1k 2k 2512kAB35,512k35 ，即 k4（ 2）S9 ，底邊長為 35 ，三角形高 h2965355點(diǎn) P 在 x 軸上，設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)是 x0 ,0就點(diǎn) P 到直線 y2x4 的距離就等于 h，即2x0046522125x01 或 x05 ，即所求 P 點(diǎn)坐標(biāo)是（ 1，0）或（ 5，0）典型例題五例 5 已知定直線 l 及定點(diǎn) A（A 不在 l 上），n 為過 A 且垂直于 l 的直線，設(shè) N 為l 上任一點(diǎn)， AN 的垂直平分線交 n 于 B，點(diǎn) B 關(guān)于 AN 的對(duì)稱點(diǎn)為 P，求證 P 的軌跡為拋物線分析： 要證 P 的軌跡為拋物線，有兩

7、個(gè)途徑，一個(gè)證明P 點(diǎn)的軌跡符合拋物線的定義，二是證明P 的軌跡方程為拋物線的方程，可先用第一種方法，由A 為定點(diǎn)， l 為定直線，為我們供應(yīng)了利用定義的信息，如能證明即可證明： 如下列圖，連結(jié)PA、PN、NBPAPN且 PNl由已知條件可知： PB 垂直平分 NA，且 B 關(guān)于 AN 的對(duì)稱點(diǎn)為 P AN 也垂直平分 PB就四邊形 PABN 為菱形即有 PAPN ABl.PNl .就 P 點(diǎn)符合拋物線上點(diǎn)的條件： 到定點(diǎn) A 的距離與到定直線的距離相等，所以 P點(diǎn)的軌跡為拋物線精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - -

8、- -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -典型例題六例 6 如線段P P 為拋物線C : y22 px p0 的一條12焦點(diǎn)弦， F 為 C 的焦點(diǎn)，求證：1P1F12 P2 Fp分析： 此題證的是距離問題，假如把它們用兩點(diǎn)間的距離表示出來，其運(yùn)算量是很大的我們可以用拋物線的定義，奇妙運(yùn)用韋達(dá)定理，也可以用拋物線的定義與平面幾何學(xué)問，把結(jié)論證明出來證法一：F p ,0 ，如過 F 的直線即線段 P P 所在122直線斜率不存在時(shí)，就有 P1FP2Fp ,1P1F1P2F112 ppp如線段 P P 所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)為k，就此直線為：yk xp k0

9、，且122設(shè) P1 x1, y1 , P2 x2 , y2 yk x由yk xp 2得：p 2k 2 x2p k 22 xk2 p 204x1x2p k22k 2p 2x1x241依據(jù)拋物線定義有：P Fxp , P Fxp ,P Pxxp11就1 P1F1P2 FP1 F P1F1P2 F P2F2x1 x12x2p x222pp2 x1 x221x1x2 p x122p2px2 4請(qǐng)將代入并化簡得：1P1F12P2 Fp精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - -

10、 - - - - - -證法二：如下列圖， 設(shè) P1 、P2 、F 點(diǎn)在 C 的準(zhǔn)線 l 上的射影分別是P1 、P2、F ，且不妨設(shè)P2 P2nmP1P1，又設(shè)P2 點(diǎn)在 FF、 P1 P1上的射影分別是A、B 點(diǎn)，由拋物線定義知，P2 Fn, P1 Fm, FFp又P AF AFP BP ，P2 F221即 pnn mnmnBP1P2 P1p mn 112mnp2mn故原命題成立例 7 設(shè)拋物線方程為y 22 px p典型例題七0 ，過焦點(diǎn) F 的弦 AB 的傾斜角為，求證：焦點(diǎn)弦長為 AB2 psin2分析： 此題做法跟上題類似，也可采納韋達(dá)定理與拋物線定義解決問題證法一： 拋物線 y 2

11、2 px p0 的焦點(diǎn)為 p ,0 ， 2過焦點(diǎn)的弦 AB 所在的直線方程為：ytanxp 2由方程組ytan xp 2消去 y 得：y22 px224 xtan24 p tan22ptan0設(shè) A x1, y1 , B x2 ,x1x2y2 ，就ptan2tan22p12 cot 2p2x1x24又 y1 y2tan x1x2 精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -AB1tan2 x1x 221tan222 x1x 4x1x2p21ta

12、n2p 2 1cot244sec24 p22 psin2即 AB4 p2 cot 21sin 42 psin21cot2證法二： 如下列圖，分別作AA1 、BB1 垂直于準(zhǔn)線 l 由拋物線定義有：AFAA1AFcospBFBB1pBFcos于是可得出：AFpBF1cosp1 cosABAFBFpp1cos1cos2 p1cos22 psin 2故原命題成立典型例題八例 8 已知圓錐曲線 C 經(jīng)過定點(diǎn)P 3,23 ，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），對(duì)應(yīng)于該焦點(diǎn)的準(zhǔn)線為 x1 ，過焦點(diǎn) F 任意作曲線 C 的弦 AB，如弦 AB 的長度不超過 8，且直線 AB 與橢圓3x22 y22 相交于不同的兩點(diǎn)

13、，求（ 1） AB 的傾斜角的取值范疇精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -（ 2）設(shè)直線 AB 與橢圓相交于 C、D 兩點(diǎn)，求 CD 中點(diǎn) M 的軌跡方程分析： 由已知條件可確定出圓錐曲線C 為拋物線， AB 為拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)其斜率為 k，弦 AB 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)， 可求出 k 的取值范疇， 從而可得的取值范疇，求 CD 中點(diǎn) M 的軌跡方程時(shí)，可設(shè)出M 的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理化簡即可解：（ 1）由已知得 PF4 故 P 到

14、x1 的距離 d4 ，從而 PFd曲線 C 是拋物線，其方程為y 24 x 設(shè)直線 AB 的斜率為 k，如 k 不存在，就直線AB 與3 x22 y 22 無交點(diǎn) k 存在設(shè) AB 的方程為 yk x1y24 x由yk x可得：1ky24 y4k0設(shè) A、B 坐標(biāo)分別為x1, y1 、 x2, y2 ，就： y1y24yy412kAB1211 y2k 21k 2y 22k 41kk2 y1y 24 y1 y241k 2 弦 AB 的長度不超過 8，8 即 k 21k 2yk x1由得： 2 k23x 24k 2 x2k 2103x22 y 22 AB 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，k 23由 k 2

15、1和 k 23 可得： 1k3 或3k1故1tan3 或3tan1又 0，所求的取值范疇是：或 234334（ 2）設(shè) CD 中點(diǎn)M x, y、C x3 , y3 、 D x4 , y4 精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -yk x1由得： 2 k23x 24k 2 x2k 2103x22 y 22x3x44k 22k 2, x3x132k 212 k 23xx3x4 23x122k 22k 232k31k 2352 k 239就 21

16、12 即 2x2 52k 2kyx12k 233532y2 x12x2k 23y22 x1 23化簡得：3x 22 y23 x0所求軌跡方程為：3x 22 y23x0 2x253典型例題九例 9定長為 3 的線段 AB 的端點(diǎn) A 、B 在拋物線 y2x 上移動(dòng)， 求 AB 的中點(diǎn)到y(tǒng) 軸的距離的最小值，并求出此時(shí)AB 中點(diǎn)的坐標(biāo)分析： 線段 AB 中點(diǎn)到 y 軸距離的最小值，就是其橫坐標(biāo)的最小值這是中點(diǎn)坐標(biāo)問題，因此只要爭論A 、 B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和取什么最小值即可解： 如圖，設(shè) F 是 y2x 的焦點(diǎn)， A 、 B 兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是AC 、 BD ，又 M 到準(zhǔn)線的垂線為 MN ，

17、 C 、 D 和 N 是垂足，就精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -MN1 AC 2BD 1 AF2BF 1 AB3 22設(shè) M 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x ，縱坐標(biāo)為 y ， MN等式成立的條件是AB 過點(diǎn) F 1315x，就 x42445當(dāng) x時(shí)，2412y1 y2P，故224 y1y 2y1y22 y1 y22x12 ，2y1y22 ， y2 2所以 M 5 ,42 ，此時(shí) M 到 y 軸的距離的最小值為524說明：此題從分析圖形性質(zhì)動(dòng)身，

18、 把三角形的性質(zhì)應(yīng)用到解析幾何中， 解法較簡 典型例題十例 10過拋物線 y2 px 的焦點(diǎn) F 作傾斜角為的直線，交拋物線于 A 、B 兩點(diǎn)，求 AB 的最小值分析：此題可分和兩種情形爭論當(dāng)時(shí)，先寫出 AB 的表達(dá)式，222再求范疇解： 1如，此時(shí)2AB2 p 2如，因有兩交點(diǎn)，所以0 2AB： ytan xp ，即 x 2yp tan2代入拋物線方程，有y24 p22 pyp 20 tan1故 y2y 2tan 24 p 24 p 2 csc2， xx 221 y2y 4 p 2csc2212故 ABtan24 p2 csc211tan2tan24 p2 csc4所以 AB2p sin 2

19、2 p 因，所以這里不能取 “ =”2精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 9 頁，共 11 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -綜合12，當(dāng)時(shí)，2說明：AB 最小值2 p 1此題須對(duì)分和兩種情形進(jìn)行爭論；222從解題過程可知，拋物線點(diǎn)弦長公式為l2 p；sin 23當(dāng)時(shí)， AB 叫做拋物線的通徑通徑是最短的焦點(diǎn)弦2典型例題十一'例 11過拋物線 y22 px p0 的焦點(diǎn) F 作弦 AB ， l 為準(zhǔn)線，過 A 、 B 作 l 的'垂線，垂足分別為A 、 B ，就A FB 為（），AF B 為（）'''A大于等于 90B小于等于 90C等于 90D 不確定分析： 此題考查拋物線的定義、 直線與圓的位置關(guān)系等方面的學(xué)問，關(guān)鍵是求角的大小以及判定直線與圓是否相切解： 點(diǎn) A 在拋物線上，由拋物線定義，就AA'AF12 ，又