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文檔簡介
1、 一、差分的概念與性質一、差分的概念與性質 對于連續(xù)變量,可以用導數刻畫其變化率,但是在許多對于連續(xù)變量,可以用導數刻畫其變化率,但是在許多應用問題中,函數是否可導,甚至是否連續(xù)都不清楚,或函應用問題中,函數是否可導,甚至是否連續(xù)都不清楚,或函數根本就不可導,而只知道函數在某些時刻的函數值,這時數根本就不可導,而只知道函數在某些時刻的函數值,這時自變量與因變量都是離散變化的自變量與因變量都是離散變化的. . 因此,我們利用函數的差因此,我們利用函數的差商代替導數來刻畫函數的變化率商代替導數來刻畫函數的變化率. . 在許多情況下,時間的最在許多情況下,時間的最小變化單位為小變化單位為1 1,即使
2、不等于,即使不等于1 1,也可以通過適當的變換將時,也可以通過適當的變換將時間的改變量化為單位間的改變量化為單位1,1,即即 , ,故我們用故我們用就可以近似地表示變量關于時間的變化率就可以近似地表示變量關于時間的變化率 1 t)()1(tytyy 例例1 1某家庭在國慶節(jié)期間自己駕車外出旅游,每隔某家庭在國慶節(jié)期間自己駕車外出旅游,每隔 1 1小時小時通過里程表記錄下車輛行駛的里程數通過里程表記錄下車輛行駛的里程數S St t,其數據如下表,其數據如下表1 1所所示示. . 表表1 1 出發(fā)后經過出發(fā)后經過t 小時車輛里程表顯示的里程數小時車輛里程表顯示的里程數如果用如果用表示在第表示在第t
3、小時內車輛行駛的路程,則有小時內車輛行駛的路程,則有表表2 2 出發(fā)后在出發(fā)后在t 小時內車輛行駛的里程數小時內車輛行駛的里程數具體數據如表具體數據如表2 2所示:所示:)6, 2 , 1(1 tSSSttt t (小時)小時) 0 1 2 3 4 5 6St (小時)小時) 22 300 22 322 22 354 22 403 22 452 22 481 22 513 t (小時)小時) 1 2 3 4 5 6St (小時)小時) 22 32 49 49 29 32 為了研究的方便起見,將函數變量在單位時間內的增量,為了研究的方便起見,將函數變量在單位時間內的增量, 對于函數對于函數 ,當
4、其自變量,當其自變量t t 取離散等間隔的整數值取離散等間隔的整數值)()1(1tftfyytt 稱為函數在時刻的一階差分稱為函數在時刻的一階差分. .記作記作.)()1(1tftfyyyttt )(tf引入一個新的概念引入一個新的概念差分差分.時,相鄰兩時刻函數值的差時,相鄰兩時刻函數值的差幾何意義:幾何意義:由差分的定義知,由差分的定義知,函數函數 在在t 時刻的一階差分時刻的一階差分tttftftftfyyyttt )1()()1()()1(1t1tty1tytyyot 表示經過點表示經過點( (t, yt) )與與( (t+1, ,yt+1) )的直線的斜率的直線的斜率(如圖所示)(如
5、圖所示)經濟意義:經濟意義:對經濟變量對經濟變量 , ,其一階差分其一階差分 表表示該經濟變量當期較上期函數值的增量示該經濟變量當期較上期函數值的增量)(tfyt ty 定義定義2 2 一階差分一階差分 的差分稱為函數的差分稱為函數 在時在時刻刻 t 的二階差分,的二階差分,即即ty )(tfyt )(tfyt .2)()()(1211212tttttttttttyyyyyyyyyyy 依此類推,二階差分的差分稱為三階差分依此類推,二階差分的差分稱為三階差分, ,即即ttttyyyy21223)( )2()2(12123ttttttyyyyyy .33123ttttyyyy ), 3 , 2
6、, 1(C)1()(01 kyyyiktkiikitktk其中其中,)!(!Cikikik 二階或二階以上的差分統稱為二階或二階以上的差分統稱為高階差分高階差分. 一般地,函數一般地,函數 在在t 時刻的時刻的k-1階差分的差分稱為階差分的差分稱為k階差分(階差分(k為整數),記作為整數),記作)(tfyt 性質性質1 1 (C為常數)為常數). 性質性質2 2 一般地,有一般地,有性質性質3 3 特別地,當特別地,當 (C為常數)時,有為常數)時,有 0 C.)(ttttzyzy .)()()2()1()()2()1(ntttntttyyyyyy .)(11ttttttttttzyyzzyy
7、zzy Czt .)(ttyCCy 利用差分的定義可證明,差分具有與微分相似的四則運算利用差分的定義可證明,差分具有與微分相似的四則運算法則:法則:一般地,有般地,有 性質性質4 4 )()()2(2)1(1ntnttyCyCyC .)()2(2)1(1ntnttyCyCyC 1 ttttttttzzzyyzzy 證證 根據一階差分的定義,有根據一階差分的定義,有 .11111111 ttttttttttttttttttttttzzzyyzyzyzzzzyyzzyzyzy 例例2 2 求下列函數的一階差分求下列函數的一階差分 (1) (2) 解解 (1) (2) .1111)()( ttttt
8、tttttttttzzzyyzzzzzyyyztytsin . )1, 0( aaaytt.21sin212cos2sin)1sin(1 tttyyyttt. )1(11 aaaayyytttttt.ty 由此可知,指數函數的差分等于指數函數與某常數的乘積由此可知,指數函數的差分等于指數函數與某常數的乘積. . 例例3 3 求求 解解 設設 ,則則 .)(, )(,)(23222ttt 2tyt ,12)1(221 tttyyyttt,2)12(1)1(2)12()(2 tttyytt.022)2()(23 ttyy注注 能否從本例總結出冪函數,乃至能否從本例總結出冪函數,乃至n次多項式差分的
9、性質?次多項式差分的性質?定義定義4 4 含有自變量及未知函數的兩個或兩個以上的函數含有自變量及未知函數的兩個或兩個以上的函數值值 、 、 的方程稱為的方程稱為差分方程差分方程方程中未知函方程中未知函 數數 的下標的最大下標與最小下標的差稱為該的下標的最大下標與最小下標的差稱為該差分方差分方程的階程的階 (3)1 ty,0),(1 ntttyyytF n 階差分方程的一般形式又可表示為階差分方程的一般形式又可表示為. 0數數均均不不等等于于的的系系與與為為未未知知函函數數,且且為為自自變變量量,其其中中ntttyyyt tyty 例如,對于差分方程例如,對于差分方程 ,寫成定義,寫成定義3 3
10、的形式為的形式為三階差分方程;而如果按定義三階差分方程;而如果按定義4 4形式表示,方程變形為形式表示,方程變形為03 ttyy,023)()33(12311233 tttttttttttyyyyyyyyyyy則此方程卻為二階差分方程因此用上述兩種不同形式表示的則此方程卻為二階差分方程因此用上述兩種不同形式表示的 同一差分方程,其階有時是不同的同一差分方程,其階有時是不同的定義定義5 5 如果將某個函數代入差分方程能使方程成為恒等式,如果將某個函數代入差分方程能使方程成為恒等式,則稱此函數為則稱此函數為差分方程的解差分方程的解例例4 4 對于差分方程對于差分方程 ,容易驗證函數,容易驗證函數
11、( (C為任意常數為任意常數) )為此方程的解,又由于它含有一個任意常數,為此方程的解,又由于它含有一個任意常數, 故為該差分方程的通解,而函數故為該差分方程的通解,而函數 就是此方程就是此方程 滿足初始條件滿足初始條件 的特解的特解. .41 ttyyCtyt 4104 tyt100 y 在差分方程的解中,如果某解含有相互獨立的任意常在差分方程的解中,如果某解含有相互獨立的任意常數的個數與方程階數相同,則稱此解為該數的個數與方程階數相同,則稱此解為該差分方程的通解差分方程的通解. . 如果通解中的任意常數被某些條件確定后的解稱為該如果通解中的任意常數被某些條件確定后的解稱為該差分方程的特解差
12、分方程的特解. . 確定任意常數的條件稱為確定任意常數的條件稱為初始條件初始條件. . 在差分方程的解中,如果某解含有相互獨立的任意常在差分方程的解中,如果某解含有相互獨立的任意常數的個數與方程階數相同,則稱此解為該數的個數與方程階數相同,則稱此解為該差分方程的通解差分方程的通解. 如果通解中的任意常數被某些條件確定后的解稱為該如果通解中的任意常數被某些條件確定后的解稱為該 差分方程的特解差分方程的特解. 確定任意常數的條件稱為確定任意常數的條件稱為初始條件初始條件.)(1111tfyayayaytntnntnt (5)n階常系數線性差分方程的一般形式為階常系數線性差分方程的一般形式為n階常系
13、數線性差分方程的一般形式為階常系數線性差分方程的一般形式為.01111 tntnntntyayayay(6)定理定理1 1 如果如果 是齊次線性差分方程是齊次線性差分方程(6)(6)的的解,則對任意的常數解,則對任意的常數 ,函數,函數)(,),(),(21tytytynnCCC,21)()()()(2211tyCtyCtyCtynn 仍是差分方程仍是差分方程(6)(6)的解的解定理定理2 2 (齊次線性差分方程通解結構)如果(齊次線性差分方程通解結構)如果 是齊次線性差分方程是齊次線性差分方程(6)(6)的的n個線性無關解,則差分方程個線性無關解,則差分方程(6)(6)的通解為的通解為)(,),(),(21tytytyn,)()()()(2211tyCtyCtyCtynn (7) 其中其中 為任意常數為任意常數nCCC,21定理定理3 3 (非齊次線性差分方程通解結構)(非齊次線性差分方程通解結構) 如果如果 是差分是差分方程方程(5)(5)的一個特解,的一個特解, 是其對應齊次差分方程是其對應齊次差分方程(6)(6)的通解的通解, , 則則)(ty)()(tytyyct 定理定理4 4 (疊加原理)(疊加原理) 如果如果 分別為差分方程分別為差分方程
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