統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)2

1、大學(xué)物理（上）大學(xué)物理（上） 主講人：呂波主講人：呂波75 能量按自由度均分的統(tǒng)計(jì)規(guī)律能量按自由度均分的統(tǒng)計(jì)規(guī)律一、分子運(yùn)動(dòng)的自由度一、分子運(yùn)動(dòng)的自由度l定義：定義：確定一個(gè)物體的空間位置所需要的獨(dú)確定一個(gè)物體的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目立坐標(biāo)數(shù)目自由度。自由度。l質(zhì)點(diǎn)的自由度質(zhì)點(diǎn)的自由度直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng) x 一個(gè)自由度一個(gè)自由度 i=1平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng) x,y 兩個(gè)自由度兩個(gè)自由度 i=2空間運(yùn)動(dòng)空間運(yùn)動(dòng) x,y,z 三個(gè)自由度三個(gè)自由度 i=3l自由剛體自由剛體i=6 3 3個(gè)平動(dòng)個(gè)平動(dòng) 3 3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)坐標(biāo)一個(gè)坐標(biāo)q q 決定剛體轉(zhuǎn)過(guò)的角度決定剛體轉(zhuǎn)過(guò)的角度兩個(gè)獨(dú)立的兩個(gè)獨(dú)立的a

2、 a， b b 決定轉(zhuǎn)軸空間位置決定轉(zhuǎn)軸空間位置三個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)三個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo) x,y,z 決定轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)決定轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)xyzOA(x,y,z)xyza ab bq ql剛性桿：剛性桿：x,y,z, i=5l剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)： i=1l 分子的自由度分子的自由度單原子（單原子（看作看作自由質(zhì)點(diǎn)）自由質(zhì)點(diǎn)）i=3雙原子（雙原子（看作看作剛性桿）剛性桿） i=5多原子（多原子（看作看作自由剛體）自由剛體）i=6A(x,y,z)xyza ab bq ql 一個(gè)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為一個(gè)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為二、能量按自由度均分定理：二、能量按自由度均分定理：kTkt23 222221212121

3、zyxkvmvmvmvm 222231vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 結(jié)論：結(jié)論：分子的每一個(gè)平動(dòng)自由度上具有相同的平均平動(dòng)動(dòng)分子的每一個(gè)平動(dòng)自由度上具有相同的平均平動(dòng)動(dòng)能，都是能，都是kT/2 ，或者說(shuō)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能，或者說(shuō)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能3kT/2是均勻地是均勻地分配在分子的每一個(gè)自由度上分配在分子的每一個(gè)自由度上平方項(xiàng)的平均值平方項(xiàng)的平均值平動(dòng)自由度平動(dòng)自由度能量按自由度均分定理：能量按自由度均分定理：說(shuō)明：說(shuō)明：是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只適用于大量分是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只適用于大量分子組成的系統(tǒng)。子組成的系統(tǒng)。 氣體分子無(wú)規(guī)則碰撞的結(jié)果。氣體分子無(wú)規(guī)則碰撞的結(jié)果。統(tǒng)計(jì)物

4、理可給出嚴(yán)格證明。統(tǒng)計(jì)物理可給出嚴(yán)格證明。推廣：推廣：在溫度為在溫度為T(mén) 的平衡態(tài)下，分子的每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的平衡態(tài)下，分子的每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度上也具有相同的平均動(dòng)能，大小也為上也具有相同的平均動(dòng)能，大小也為kT/2。在溫度為在溫度為T(mén)的平衡態(tài)下，氣體分子每個(gè)自由度的平衡態(tài)下，氣體分子每個(gè)自由度的平均動(dòng)能都相等，都等于的平均動(dòng)能都相等，都等于kT/2。這就是這就是能量能量按自由度均分定理按自由度均分定理，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱能量均分定理。能量均分定理。單原子分子單原子分子 i=3 k=3kT/2 雙原子分子雙原子分子 i=5 k=5kT/2多原子分子多原子分子 i=6 k=6kT/2kTik2 1、熱力學(xué)

5、系統(tǒng)的內(nèi)能、熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能是指氣體分子各種形態(tài)的動(dòng)能與勢(shì)能的總和。熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能是指氣體分子各種形態(tài)的動(dòng)能與勢(shì)能的總和。即系統(tǒng)所包含的全部分子的能量總和稱為系統(tǒng)的內(nèi)能。即系統(tǒng)所包含的全部分子的能量總和稱為系統(tǒng)的內(nèi)能。三、理想氣體的內(nèi)能三、理想氣體的內(nèi)能2、理想氣體內(nèi)能公式、理想氣體內(nèi)能公式理想氣體內(nèi)能是所有分子的動(dòng)能之和理想氣體內(nèi)能是所有分子的動(dòng)能之和分子的自由度為分子的自由度為i，則一個(gè)，則一個(gè)分子能量為分子能量為ikT/2， 1摩爾理摩爾理想氣體，有個(gè)想氣體，有個(gè)NA分子，內(nèi)分子，內(nèi)能能RTiNkTiEA22 m/M摩爾理想氣體，內(nèi)能摩爾理想氣體，內(nèi)能RTiME2說(shuō)明：

6、說(shuō)明：理想氣體的內(nèi)能與溫度和分子的理想氣體的內(nèi)能與溫度和分子的自由度有關(guān)。自由度有關(guān)。內(nèi)能僅是溫度的函數(shù)，即內(nèi)能僅是溫度的函數(shù)，即E=E(T)，與與P，V無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。狀態(tài)從狀態(tài)從T1T2,不論經(jīng)過(guò)什么過(guò)程，不論經(jīng)過(guò)什么過(guò)程，內(nèi)能變化為內(nèi)能變化為)(21212TTRiMEEE例：求水蒸汽分解為同溫度下的氧氣和氫氣時(shí)例：求水蒸汽分解為同溫度下的氧氣和氫氣時(shí),其內(nèi)能其內(nèi)能增加的百分?jǐn)?shù)增加的百分?jǐn)?shù)分子的自由度分子的自由度 6 5 5內(nèi)能內(nèi)能2152215內(nèi)能增加的百分?jǐn)?shù)內(nèi)能增加的百分?jǐn)?shù)626255276 氣體速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律氣體速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律引言：引言：氣體分子處于無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)之中，由于碰撞，

7、每個(gè)分氣體分子處于無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)之中，由于碰撞，每個(gè)分子的速度都在不斷地改變，所以在某一時(shí)刻，對(duì)某個(gè)分子的速度都在不斷地改變，所以在某一時(shí)刻，對(duì)某個(gè)分子來(lái)說(shuō)，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大子來(lái)說(shuō)，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律氣體速率分布律氣體速率分布律。氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律最早是有氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律最早是有麥克斯韋麥克斯韋于于1859年年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，1877年年玻耳茲曼玻耳茲曼由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)由經(jīng)典

8、統(tǒng)計(jì)力學(xué)中導(dǎo)出，中導(dǎo)出，1920年年斯特恩斯特恩從實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了麥克斯韋分子按速率從實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。麥克斯韋（麥克斯韋（James Clerk Maxwell 18311879)19世紀(jì)偉大的英世紀(jì)偉大的英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電磁學(xué)家。經(jīng)典電磁理論的奠基人，理論的奠基人，氣體動(dòng)理論的創(chuàng)氣體動(dòng)理論的創(chuàng)始人之一。始人之一。 他提出了有旋電場(chǎng)和位移電流概念，建他提出了有旋電場(chǎng)和位移電流概念，建立了經(jīng)典電磁理論，預(yù)言了以光速傳播立了經(jīng)典電磁理論，預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在。的電磁波的存在。1873年，他的年，他的電磁學(xué)通論電磁學(xué)通論問(wèn)世

9、，這問(wèn)世，這是一本劃時(shí)代巨著，它與牛頓時(shí)代的是一本劃時(shí)代巨著，它與牛頓時(shí)代的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理并駕齊驅(qū)，它并駕齊驅(qū)，它是人類探索電磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。是人類探索電磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。1859年，在氣體動(dòng)理論方面，他還提出年，在氣體動(dòng)理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。設(shè)有設(shè)有N=100個(gè)分子，速率范圍：個(gè)分子，速率范圍：0 300 ms-1 v11000sm1200100sm1300200smN205030NN0.20.50.3葛正權(quán)簡(jiǎn)介葛正權(quán)簡(jiǎn)介 年畢業(yè)于南京高等師范工科，年畢業(yè)于南京高等師范工科，1929年年自費(fèi)赴美留學(xué)，在南加州

10、大學(xué)攻讀物理，自費(fèi)赴美留學(xué)，在南加州大學(xué)攻讀物理，1930年年獲碩士學(xué)位后，入舊金山加州大學(xué)伯克利研究院獲碩士學(xué)位后，入舊金山加州大學(xué)伯克利研究院攻讀博士學(xué)位，研究課題是攻讀博士學(xué)位，研究課題是“用分子束方法證明麥用分子束方法證明麥克斯韋波爾茲曼分子速率分布定律實(shí)驗(yàn)克斯韋波爾茲曼分子速率分布定律實(shí)驗(yàn)”，1933年完成重要學(xué)術(shù)論文年完成重要學(xué)術(shù)論文用分子束方法證明麥克斯韋用分子束方法證明麥克斯韋 -波爾茲曼分子速率分布定律，并測(cè)定雙原子的鉍分波爾茲曼分子速率分布定律，并測(cè)定雙原子的鉍分子的分解熱子的分解熱獲物理學(xué)博士及美國(guó)物理學(xué)會(huì)和數(shù)學(xué)獲物理學(xué)博士及美國(guó)物理學(xué)會(huì)和數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)金鑰匙各一枚。學(xué)會(huì)金鑰匙

11、各一枚。 年回國(guó)，先后在武漢大學(xué)年回國(guó)，先后在武漢大學(xué).解放軍第二軍解放軍第二軍醫(yī)大學(xué)任教，積極從事教學(xué)、科研工作醫(yī)大學(xué)任教，積極從事教學(xué)、科研工作,指導(dǎo)制成國(guó)指導(dǎo)制成國(guó)內(nèi)第一架內(nèi)第一架腦電波直流放大器腦電波直流放大器，裝配成，裝配成50萬(wàn)倍的萬(wàn)倍的 場(chǎng)場(chǎng)效應(yīng)電子顯微鏡效應(yīng)電子顯微鏡 并與一機(jī)部、上海照相器材廠等合并與一機(jī)部、上海照相器材廠等合作研制作研制靜電復(fù)印機(jī)靜電復(fù)印機(jī)。 年月因病逝世。年月因病逝世。葛正權(quán)關(guān)于氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)測(cè)定葛正權(quán)關(guān)于氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)測(cè)定OS1S2 銀原子從小爐銀原子從小爐O上小孔逸出，通過(guò)狹縫上小孔逸出，通過(guò)狹縫S1，S2進(jìn)進(jìn)入真空區(qū)域，圓筒入真空區(qū)域，圓筒C

12、可繞中心軸可繞中心軸A旋轉(zhuǎn)，通過(guò)狹縫旋轉(zhuǎn)，通過(guò)狹縫S3進(jìn)入圓筒的分子束將投射并粘附在玻璃板進(jìn)入圓筒的分子束將投射并粘附在玻璃板G上，上，用儀器可測(cè)定到達(dá)玻璃板上任一部分的分子數(shù)。用儀器可測(cè)定到達(dá)玻璃板上任一部分的分子數(shù)。分子僅能在狹縫分子僅能在狹縫S3穿過(guò)分子束的短暫時(shí)間間隔內(nèi)穿過(guò)分子束的短暫時(shí)間間隔內(nèi)進(jìn)入圓筒，圓筒以順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)這些分子進(jìn)入圓筒，圓筒以順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)這些分子穿越圓筒直徑時(shí)，玻璃板穿越圓筒直徑時(shí)，玻璃板G向右移動(dòng)，則分子速向右移動(dòng)，則分子速率愈小，其撞擊點(diǎn)愈偏左。玻璃板變黑程度就是率愈小，其撞擊點(diǎn)愈偏左。玻璃板變黑程度就是分子束的分子束的“速率譜速率譜”。如圓筒直徑為

13、。如圓筒直徑為D，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速 ，撞擊點(diǎn)撞擊點(diǎn)P離離B距離為距離為L(zhǎng)BAGS3CP則分子穿越直徑的時(shí)間為 t=D/ t時(shí)間內(nèi)P點(diǎn)的角位移qq= t L= Dqq/2= D2/（2 ） = D2/（2L） 式中式中D、 一定，一定， 愈小則愈愈小則愈L大，即撞擊點(diǎn)愈偏左大，即撞擊點(diǎn)愈偏左 實(shí)驗(yàn)結(jié)果：實(shí)驗(yàn)結(jié)果：分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的大小有率與速率和速率間隔的大小有關(guān)；關(guān)；速率特別大和特別小的分子數(shù)速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常?。坏谋嚷史浅Ｐ?；在某一速率附近的分子數(shù)的比在某一速率附近的分子數(shù)的比率最大；率最大；改變氣體的種類或氣體的溫度改變氣體

14、的種類或氣體的溫度時(shí)，上述分布情況有所差別，時(shí)，上述分布情況有所差別，但都具有上述特點(diǎn)。但都具有上述特點(diǎn)。一、速率分布函數(shù)一、速率分布函數(shù)1、速率分布函數(shù)的定義：、速率分布函數(shù)的定義：一定量的氣體分子總數(shù)為一定量的氣體分子總數(shù)為N，dN表示速率分布在某區(qū)表示速率分布在某區(qū)間間 vv+dv內(nèi)的分子數(shù)，內(nèi)的分子數(shù)， dN/N表示分布在此區(qū)間內(nèi)表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。實(shí)驗(yàn)規(guī)律：實(shí)驗(yàn)規(guī)律：dN/N 是是 v 的函數(shù)；的函數(shù)；當(dāng)速率區(qū)間足夠小時(shí)（宏觀小，微觀大）當(dāng)速率區(qū)間足夠小時(shí)（宏觀小，微觀大）， dN/N還應(yīng)與區(qū)間大小還應(yīng)與區(qū)間大小dv成正比。成正比。d

15、vvfNdN)( NdvdNvf )(速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)2、物理意義：、物理意義：速率在速率在 v 附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。的比率。 100 dvvfNdNNNdNdvvf )(表示速率分布在表示速率分布在vv+dv內(nèi)的內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率分子數(shù)占總分子數(shù)的比率 21)(vvdvvfNdN表示速率分布在表示速率分布在v1v2內(nèi)的分內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的子數(shù)占總分子數(shù)的比率比率3、速率分布曲線、速率分布曲線歸一化條件歸一化條件在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在任在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布

16、在任一速率區(qū)間一速率區(qū)間 vv+dv 的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為dvvekTmNdNkTmvv2223224 2223224vekTmvfkTmv麥克斯韋麥克斯韋速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)m分子的質(zhì)量分子的質(zhì)量T熱力學(xué)溫度熱力學(xué)溫度k玻耳茲曼常量玻耳茲曼常量vPv v+dvv面積面積= dN/Nf(v)f(vP)曲線下面寬度為曲線下面寬度為 dv 的小窄條面積等于的小窄條面積等于分布在此速率區(qū)間分布在此速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率子數(shù)的概率dN/N 。二、麥克斯韋氣體分子速率分布律二、麥克斯韋氣體分子速率分布律定義：定義：與與 f( (v) )極大

17、值相對(duì)應(yīng)的速率，稱為最概然速率。極大值相對(duì)應(yīng)的速率，稱為最概然速率。物理意義：物理意義：若把整個(gè)速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，若把整個(gè)速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在則分布在vP所在所在區(qū)間的分子數(shù)比率最大。區(qū)間的分子數(shù)比率最大。 vP的值：的值： 0dvvdfRTRTmkTvp41. 1 22三、三、麥克斯韋速率分布律的應(yīng)用麥克斯韋速率分布律的應(yīng)用1、最可幾速率、最可幾速率2、平均速率、平均速率定義：定義：大量氣體分子速率的算術(shù)平均值叫做平均速率。大量氣體分子速率的算術(shù)平均值叫做平均速率。NvNNvNviiiii 計(jì)算：計(jì)算：NvdNv dvvNfdN)( dvvvfNdvvvNf

18、NvdNv)()(RTRTmkTv60. 1 8 83、方均根速率、方均根速率定義：定義：大量氣體分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。大量氣體分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。NvNNvNviiiii 222計(jì)算：計(jì)算： dvvfvNdvvNfvNdNvv)()(2222 73. 1 3 32RTRTmkTv4、討論、討論vp 隨隨 T 升高而增大升高而增大，隨，隨m 增大而減小。增大而減小。三種速率的大小順序?yàn)槿N速率的大小順序?yàn)?rmspvvv 三種速率的意義三種速率的意義討論速率分布時(shí)討論速率分布時(shí)用最概然速率用最概然速率討論分子碰撞時(shí)討論分子碰撞時(shí)用平均速率用平均速率

19、討論分子平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)討論分子平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)用方均根用方均根速率速率都含有統(tǒng)計(jì)的平均意義，反映大量分子作熱都含有統(tǒng)計(jì)的平均意義，反映大量分子作熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。21mm ov)(vf1Pv2Pvm 2m 1T 112TT ov)(vf1Pv2PvT 2說(shuō)明下列各量的物理意義：說(shuō)明下列各量的物理意義：dvvf)(.1dvvNf)(.2dvvnf)(. 3 21)(.4vvdvvf 21)(.5vvdvvNf 0)(.6dvvf 02)(.7dvvfv 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。 單位體積內(nèi)分子速率分布在速率單位體

20、積內(nèi)分子速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v速速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。dNdvvNf )(. 2VdNNdNVNdvvnf )(. 3解：解： 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率?？偡肿訑?shù)的比率。NdNdvvf )(.1NdvdNvf )( )()(2121)(.4vNvNvvNdNdvvf 分布在有限速率區(qū)間分布在有限速率區(qū)間v1 v2 內(nèi)的分子數(shù)占總分內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。子數(shù)的比率。 )()(2121)(.5vNvNvvdNdvvNf 分布在有限速率區(qū)間分布在有限速率區(qū)間 v1 v2 內(nèi)的分子數(shù)。內(nèi)的分子數(shù)。1)(.60 dvvf 分布在分布在 0 速率區(qū)間速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。（ 歸一化條件）歸一化條件）202)(.7vdvvfv v2 的平均值。的平均值。* 玻爾茲曼能量分布律玻爾茲曼能量分布律 hh+dhpP+dpnkTp 一、重力場(chǎng)中粒子按高度的分布一、重力場(chǎng)中粒子按高度的分布在重力場(chǎng)中，大氣分子受重力和熱運(yùn)動(dòng)的雙