掌握數(shù)制及其轉(zhuǎn)換

1、 掌握數(shù)制及其轉(zhuǎn)換；掌握掌握數(shù)制及其轉(zhuǎn)換；掌握定點(diǎn)數(shù)表示法；了解浮點(diǎn)數(shù)表示法；掌握定點(diǎn)數(shù)表示法；了解浮點(diǎn)數(shù)表示法；掌握機(jī)器數(shù)的表示機(jī)器數(shù)的表示。學(xué)習(xí)目的211 進(jìn)位記數(shù)制的概念 進(jìn)位記數(shù)制 使用有限個(gè)數(shù)碼來表示數(shù)據(jù)，按進(jìn)位的方法進(jìn)行記數(shù)，稱為進(jìn)位記數(shù)制。211 進(jìn)位記數(shù)制的概念 進(jìn)位記數(shù)制中有兩個(gè)重要的概念： 基數(shù)是指用來表示數(shù)據(jù)的數(shù)碼的個(gè)數(shù)，超過(等于) 此數(shù)后就要向相鄰高位進(jìn)一；同一數(shù)碼處在數(shù)據(jù)的不同位置時(shí)所代表的數(shù)值是不同的，它 所代表的實(shí)際值等于數(shù)字本身的值乘上一個(gè)確定的與位置有關(guān)的系數(shù)，這個(gè)系數(shù)則稱為 位權(quán)，位權(quán)是以基數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)。211 進(jìn)位記數(shù)制的概念 以十進(jìn)制為例： 十進(jìn)制

2、中采用0，1，2，3，4，5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字來表示數(shù)據(jù)，逢十向相鄰高位進(jìn)一；每一位的位權(quán)都是以10為底的指數(shù)函數(shù)，由小數(shù)點(diǎn)向左，各數(shù)位的位權(quán)依次是100，101，102，103 ；由小數(shù)點(diǎn)向右，各數(shù)位的位權(quán)依次為10-1 10-2 10-3可以看出相鄰兩位位權(quán)的比等于基數(shù)。 N=an 10n+ an-1 10n-1+ +a1 101+ a0 100+ a-1 10-1+ +a-m 10-m基數(shù)位權(quán)211 進(jìn)位記數(shù)制的概念 任意一個(gè)R進(jìn)制數(shù)NR的表示方法： 其中：R為基數(shù)； ki為位置i處的數(shù)碼，其范圍為0一R-1中的任一個(gè)整數(shù)；m，n，i為正整數(shù)。 niRiimNkR212 計(jì)算機(jī)中

3、常用的進(jìn)制 #十進(jìn)制表示法 #二進(jìn)制表示法 #八進(jìn)制表示法 #十六進(jìn)制表示法 211 進(jìn)位記數(shù)制的概念 十進(jìn)制十進(jìn)制數(shù)N10的表示表示方法： 其中： 10為基數(shù)； ki為位置i處的數(shù)碼，其范圍為0一9中的任一個(gè)整數(shù)；m，n，i為正整數(shù)。 例題：將十進(jìn)制數(shù)25.6表示出來： （25.6）2= 2 101+ 5 100+6 10-1 1010niiimNk展開式212 計(jì)算機(jī)中常用的進(jìn)制 十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的特點(diǎn)如下： 基數(shù)為10，10采用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)碼表示數(shù)值，逢十進(jìn)一； 位置i處的權(quán)值為10i。 211 進(jìn)位記數(shù)制的概念 二進(jìn)制二進(jìn)制數(shù)N2的表示表示方法： 其中： 2

4、為基數(shù)； ki為位置i處的數(shù)碼，其范圍為0一1中的任一個(gè)整數(shù)；m，n，i為正整數(shù)。 例題：將十進(jìn)制數(shù)1101.1表示出來： （1101.1）2= 1 23+ 1 22+021 + 120 + 1 2-1 22niiimNk212 計(jì)算機(jī)中常用的進(jìn)制 二進(jìn)制計(jì)數(shù)法的特點(diǎn)如下： 基數(shù)為2，10采用0，1二個(gè)數(shù)碼表示數(shù)值，逢二進(jìn)一； 位置i處的權(quán)值為2i。 211 進(jìn)位記數(shù)制的概念 八進(jìn)制八進(jìn)制數(shù)N8的表示表示方法： 其中： 8為基數(shù)； ki為位置i處的數(shù)碼，其范圍為0一7中的任一個(gè)整數(shù)；m，n，i為正整數(shù)。 例題：將十進(jìn)制數(shù)52.7表示出來： （ 52.7 ）2= 581 + 280 + 7 8-

5、1 88niiimNk212 計(jì)算機(jī)中常用的進(jìn)制 八進(jìn)制計(jì)數(shù)法的特點(diǎn)如下： 基數(shù)為8，采用0，1，2，3，4，5，6，7數(shù)碼表示數(shù)值，逢八進(jìn)一； 位置i處的權(quán)值為8i。 211 進(jìn)位記數(shù)制的概念 十六進(jìn)制十六進(jìn)制數(shù)N16的表示表示方法： 其中： 16為基數(shù)； ki為位置i處的數(shù)碼，其范圍為0一9，A，B，C，D，E，F(xiàn)中的任一個(gè)整數(shù)；m，n，i為正整數(shù)。 例題：將十進(jìn)制數(shù)3A.9表示出來： （ 3A.9 ）2= 3161 + A160 + 9 16-1 1616niiimNk212 計(jì)算機(jī)中常用的進(jìn)制 十六進(jìn)制計(jì)數(shù)法的特點(diǎn)如下： 基數(shù)為8，采用0一9，A，B，C，D，E，F(xiàn)數(shù)碼表示數(shù)值，逢十六

6、進(jìn)一； 位置i處的權(quán)值為16i。 212 計(jì)算機(jī)中常用的進(jìn)制 為了區(qū)別不同進(jìn)制的數(shù)據(jù)： 在數(shù)的右下角標(biāo)注: B或2表示二進(jìn)制數(shù)： 例如：1011B，(1011)2 O或8表示八進(jìn)制數(shù): 例如：1011O，(1011)8 H或16表示十六進(jìn)制數(shù): 例如：1011H，(1011)16 D或10表示十進(jìn)制: 例如：1011D或1011，(1011)10 注意：如果省略進(jìn)制字母，則默認(rèn)為十進(jìn)制數(shù)212 計(jì)算機(jī)中常用的進(jìn)制 十六進(jìn)制計(jì)數(shù)法的特點(diǎn)如下： 基數(shù)為8，采用0一9，A，B，C，D，E，F(xiàn)數(shù)碼表示數(shù)值，逢十六進(jìn)一； 位置i處的權(quán)值為16i。 213 進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 日常生活中，人們已經(jīng)習(xí)慣于使用十進(jìn)

7、制計(jì)數(shù)法，而在計(jì)算機(jī)內(nèi)部采用的是二進(jìn)制表示方法，在表示字符、地址等數(shù)據(jù)時(shí)，為了簡化書寫多采用十六進(jìn)制或八進(jìn)制表示法。 因此，有必要了解各種進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換規(guī)則。 這里主要掌握十進(jìn)制、二進(jìn)制、十六進(jìn)制、八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換規(guī)則 213 進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 二、八、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù) 方法：數(shù)按“權(quán)”展開相加即可 二進(jìn)制數(shù) （101.1）2= 1 22+021 + 120 + 1 2-1=4+1+0.5=5.5 八進(jìn)制數(shù) （87.4）8= 8 81 + 780 + 4 8-1=64+7+0.5=71.5 十六進(jìn)制數(shù) （5A.8）16= 5 161 + A160 + 8 16-1=80+10+0.5=90

8、.5 213 進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù) 方法：十進(jìn)制數(shù)到二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換比較復(fù)雜，要把整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后再把轉(zhuǎn)換結(jié)果進(jìn)行相加。 整數(shù)轉(zhuǎn)換采用除2(基數(shù))取余法：用2不斷地去除要轉(zhuǎn)換的數(shù)。直到商為0。再將每一步所得的余數(shù)，按逆序排列，便為轉(zhuǎn)換結(jié)果。 小數(shù)轉(zhuǎn)換采用乘2(基數(shù))取整法：每次用2與小數(shù)部分相乘，取乘積的整數(shù)部分，再取其小數(shù)部分乘2直到小數(shù)部分為0。將所取整數(shù)順序方在小數(shù)點(diǎn)后即為轉(zhuǎn)換結(jié)果。 213 進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 例例: :將將(92.625)(92.625)1010轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，轉(zhuǎn)換過程如下：轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，轉(zhuǎn)換過程如下： 整數(shù)部分：用除2取余法： (92)

9、(92)1010= =（10111001011100）2 2 213 進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 例例: :將將(92.625)(92.625)1010轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，轉(zhuǎn)換過程如下：轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，轉(zhuǎn)換過程如下： 小數(shù)部分：用乘2取整法： (0.625)(0.625)1010= =（0.1010.101）2 2 0.625 0.625 2 1.25 2 1.25 2 0.5 2 0.5 2 1.02 1.0 高高 低低 所以所以 (92.625) (92.625)1010= =（1011100.101)1011100.101)2 2注意注意：有些十進(jìn)制小數(shù)不能精確地轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)，即乘積的小數(shù)部分有些十進(jìn)

10、制小數(shù)不能精確地轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)，即乘積的小數(shù)部分永遠(yuǎn)不可能為永遠(yuǎn)不可能為0 0，此時(shí)應(yīng)根據(jù)精度要求，轉(zhuǎn)換到所需位數(shù)即可此時(shí)應(yīng)根據(jù)精度要求，轉(zhuǎn)換到所需位數(shù)即可 213 進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù) 方法：采用“三位化一位”,把要轉(zhuǎn)換的二進(jìn)制數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)開始向兩邊分別進(jìn)行分組。轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制時(shí)，向左每三位為一組，向右每三位為一組，向左不是三位的，從左邊補(bǔ)0；向右不足三位的，從右邊補(bǔ)0。 二進(jìn)制數(shù) （11101.1）2= （011 101.100）2=(35.4)8 3 5 4 213 進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù) 方法：采用“四位化一位”,把要轉(zhuǎn)換的二進(jìn)制數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)開始向兩邊分

11、別進(jìn)行分組。轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制時(shí)，向左每四位為一組，向右每四位為一組，向左不是四位的，從左邊補(bǔ)0；向右不足四位的，從右邊補(bǔ)0。 二進(jìn)制數(shù) （11101.1）2= （0001 1101.1000）2=(1D.8)16 1 D 8 213 進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù) 采用“一位化三位”的方法：即按順序?qū)懗雒课话诉M(jìn)制數(shù)字所對(duì)應(yīng)的三位二進(jìn)制數(shù)，所得結(jié)果即為對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。(最高位的0和小數(shù)點(diǎn)后最末位的0可以略去) 八進(jìn)制數(shù) (26.3)8 = ( 2 6 . 3 )8 = （10110.011）2 010 110 011 213 進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù) 采用“一位化四位”的方法：即

12、按順序?qū)懗雒课皇M(jìn)制數(shù)字所對(duì)應(yīng)的四位二進(jìn)制數(shù)，所得結(jié)果即為對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。(最高位的0和小數(shù)點(diǎn)后最末位的0可以略去) 十六進(jìn)制數(shù) (6C.7)16 = ( 6 C . 7 )16 =(10110.011）2 0110 1100 0111 213 進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù) 方法：采用“四位化一位”,把要轉(zhuǎn)換的二進(jìn)制數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)開始向兩邊分別進(jìn)行分組。轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制時(shí)，向左每四位為一組，向右每四位為一組，向左不是四位的，從左邊補(bǔ)0；向右不足四位的，從右邊補(bǔ)0。 二進(jìn)制數(shù) （11101.1）2= （0001 1101.1000）2=(1D.8)16 1 D 8 213 進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 總

13、結(jié)： 了解了二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制間的對(duì)應(yīng)關(guān)系后，對(duì)于位數(shù)較多的二進(jìn)制數(shù)到十制數(shù)的轉(zhuǎn)換，可以先將其轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的八(十六)進(jìn)制數(shù)，然后再由八(十六)進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，以簡化轉(zhuǎn)換過程。同理，對(duì)于八到十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換，可以通過二進(jìn)制來進(jìn)行。 221 定點(diǎn)數(shù)表示法在計(jì)算機(jī)內(nèi)部，符號(hào)位一般用一位二進(jìn)制數(shù)來表示。0表示正號(hào)，1表示負(fù)號(hào)，而小數(shù)點(diǎn)則不占位數(shù)，而是采用人為約定的方法。根據(jù)約定的小數(shù)點(diǎn)的位置不同，有兩種定點(diǎn) 數(shù)：定點(diǎn)整數(shù)和定點(diǎn)小數(shù)。 221 定點(diǎn)數(shù)表示法 定點(diǎn)整數(shù) 定點(diǎn)整數(shù)約定小數(shù)點(diǎn)在數(shù)值位的最低位之后，此時(shí)計(jì)算機(jī)中所表示的數(shù)一律為整數(shù)。 定點(diǎn)整數(shù)又被劃分為帶符號(hào)和不帶符號(hào)的兩類。 221 定

14、點(diǎn)數(shù)表示法 定點(diǎn)整數(shù) 帶符號(hào)整數(shù)：某個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)，其最高位為符號(hào)位，其他N1位為數(shù)值部分如下圖所示。 Nf Nn-2 Nn-3 N2 N1 N0 符號(hào)位 數(shù)值部分 小數(shù)點(diǎn)位置 n位帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)可表示的數(shù)值范圍為-2n-1=N=2n-1-1 (補(bǔ)碼) 。 16位定點(diǎn)數(shù)可表示數(shù)值范圍為一3276832767(補(bǔ)碼) 221 定點(diǎn)數(shù)表示法 定點(diǎn)整數(shù)無符號(hào)整數(shù)：所有的數(shù)位都用來表示數(shù)值，如下圖所示 Nn-1 Nn-2 Nn-3 N2 N1 N0 符號(hào)位 數(shù)值部分 小數(shù)點(diǎn)位置 n位無符號(hào)二進(jìn)制數(shù)可表示的數(shù)值范圍為0=N=2n-1 。 16位無符號(hào)定點(diǎn)數(shù)可表示數(shù)值范圍為065535 221 定點(diǎn)數(shù)表示

15、法 定點(diǎn)小數(shù) 定點(diǎn)小數(shù)用最高位表示符號(hào)。其他n一1位二進(jìn)制數(shù)表示數(shù)值部分。將小數(shù)點(diǎn)定在數(shù)值部分的最高位左邊。 221 定點(diǎn)數(shù)表示法 定點(diǎn)小數(shù) 如下圖所示： Nf Nn-2 Nn-3 N2 N1 N0 符號(hào)位 小數(shù)點(diǎn)位置 數(shù)值部分 n位帶符號(hào)二進(jìn)制數(shù)可表示的數(shù)值范圍為-1=N=1-2n-1 (補(bǔ)碼) 。 2 22 浮點(diǎn)數(shù)表示法 浮點(diǎn)數(shù)表示法 浮點(diǎn)數(shù)是指小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的位置可以左右移動(dòng)的數(shù)據(jù)。通常可表示成： N SRE Ef E(m位） Sf S（n位） 階碼部分 尾數(shù)部分 Ef：階符 E：階碼 Sf：數(shù)符 S：尾數(shù) 為了便于理解且與二進(jìn)制表示一致，約定R2，并規(guī)定浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)部分用定點(diǎn)小數(shù)表示，

16、階碼部分用定點(diǎn)整數(shù)宋表示，因此一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)實(shí)際由兩個(gè)定點(diǎn)數(shù)組成：階碼是定點(diǎn)整數(shù)，尾數(shù)是定點(diǎn)小數(shù) 2 3機(jī)器數(shù)表示法 機(jī)器數(shù)的表示方案：原碼、反碼、補(bǔ)碼 數(shù)值數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中的編碼表示稱為機(jī)器數(shù)，而把機(jī)器數(shù)所代表的實(shí)際數(shù)值稱為機(jī)器數(shù)的真值 2 3機(jī)器數(shù)表示法 原碼表示法： 原碼表示法中用最高位表示符號(hào)，其中0表示正號(hào)，l表示負(fù)號(hào)，其他n位表示數(shù)值的絕對(duì)值。 X 0X 2n-1 X原= 2n+X -(2n-1)X 0 例：假定字長（機(jī)器數(shù)長度）為8，求X=-17的原碼 公式法：X原= 2n+X= 27+10001=10010001 求法： X原=10010001 補(bǔ)0符號(hào) -數(shù)值 17 2 3機(jī)器數(shù)表

17、示法 原碼表示法： 1、 0的表示形式:(8位） +0原= 00000000 -0原= 10000000 2、表示范圍： 字長為8位 ：-127+127 -（2n-1）X 2n-1 16位 ：-（215-1）X 215-1 3、特點(diǎn) 符號(hào)位不是數(shù)值的一部分，是人為約定的“0正l負(fù)”，所以在運(yùn)算過程中符號(hào)位要單獨(dú)處理。 2 3機(jī)器數(shù)表示法 反碼表示法： 用機(jī)器數(shù)的最高一位表示符號(hào)，數(shù)值位是對(duì)負(fù)數(shù)的各位取反。 X 0X 2n X反= （2n+1 1） +X -2nX 0 例：假定字長（機(jī)器數(shù)長度）為8，求X=-17的原碼 公式法：X反= 2n+1 - 1+X= 28-1-10001=1110111

18、0 求法： X原=10010001 X反= 11101110 2 3機(jī)器數(shù)表示法 反碼表示法： 1、 0的表示形式:(8位） +0反= 00000000 -0反= 11111111 2、表示范圍： 字長為8位 ：-127+127 -（2n-1）X 2n-1 16位 ：-（215-1）X 215-1 3、特點(diǎn) 符號(hào)位也不是數(shù)值的一部分，所以在運(yùn)算過程中符號(hào)位要單獨(dú)處理。 2 3機(jī)器數(shù)表示法 補(bǔ)碼表示法： 模的概念： 模可以理解為一個(gè)進(jìn)位制，用日常生活中的時(shí)鐘可以說明模的概念。時(shí)鐘以12小時(shí)記數(shù)，對(duì)于2點(diǎn)鐘，既可以看作從0點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針撥2格(+2)，也可以看作從0出發(fā)逆時(shí)針撥10格(一10)，即在

19、模為12時(shí)，一10可以映射為+2。通過引進(jìn)模的概念可以將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算來實(shí)現(xiàn) 例：例：10-4=10+8=12+6=610-4=10+8=12+6=6（mod 12)mod 12) 2 3機(jī)器數(shù)表示法 補(bǔ)碼表示法： 計(jì)算機(jī)的運(yùn)算部件都有一定的字長限制，因此它的運(yùn)算也是一種有模運(yùn)算。對(duì)于定點(diǎn)小數(shù)，可以在模為2的前提下，實(shí)現(xiàn)正負(fù)數(shù)問的互補(bǔ)。對(duì)于n+1位的定點(diǎn)整數(shù)，取模為2n+1，下面給出二進(jìn)制數(shù)補(bǔ)碼的定義。 X 0X 2n X反= 2n+1 +X -2nX 0 2 3機(jī)器數(shù)表示法 補(bǔ)碼表示法： 1、 0的表示形式:(8位） +0反= 00000000 ；補(bǔ)碼表示中零的表示是唯一的 -0反= 00000000 2、表示范圍： 字長為8位 ：-128+127 -（2n-1）X 2n-1 16位 ：-215X 215-1 2 3機(jī)器數(shù)表示法 補(bǔ)碼的求法： 假定字長（機(jī)器數(shù)長度）為8，求X真=-17的補(bǔ)碼 1、公式法： X補(bǔ)= 2n+1 +X=