高中數(shù)學(xué)不等式知識點

1、不等式知識點歸納:一、不等式的概念與性質(zhì)1、實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)之間的關(guān)系：abab0abab0abab02、不等式的性質(zhì)：（1）abba,abba（反對稱性）（2）ab,bcac,ab,bcac（傳遞性）（3）abacbc,故abcacb（移項法則）推論：ab,cdacbd（同向不等式相加）(4) a b, c 0ac bc , a b,c 0ac bc推論1:ab0,cd0acbd推論2:ab0anbn推論3:ab0"anJb不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對于這些性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解和熟練運用，要弄清每一個條件和結(jié)論，學(xué)會對不等式進行條件的放寬和加強。3、常用的基本不等式

2、和重要的不等式(1) aR,a20,a0當(dāng)且僅當(dāng)a0,取(2) a,bR,則a2b22ab(3) a,bR,貝Uab2vab(4)4、最值定理：設(shè)x,y0,由xy2jXy（1）如積xyP（定值），則積xy有最小值2yp（2）如積xyS（定值），則積xy有最大值（斗22即：積定和最小，和定積最大。運用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等5、均值不等式：.ab兩個正數(shù)的均值不等式:2三個正數(shù)的均值不等是：U_二3abc3n個正數(shù)的均值不等式：久發(fā)電；匕:2ann6、，四種均值的關(guān)系：兩個正數(shù)a、b的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系是ab小結(jié)：在不等式的性質(zhì)中，要特別注意下面4

3、點：1 、不等式的傳遞性：若a>b,b>c,則a>c,這是放縮法的依據(jù)，在運用傳遞性時，要注意不等式的方向，否則易產(chǎn)生這樣的錯誤：為證明a>c,選擇中間量b,在證出a>b,c>b,后，就誤認(rèn)為能得到a>c。2 、同向不等式可相加但不能相減，即由a>b,c>d,可以得出a+c>b+d,但不能得ac>bdo3、不等式兩邊同時乘以一個數(shù)或式時，只有該數(shù)或式保證為正，才能得到同向的不等式，否則不能保證所乘之?dāng)?shù)或式為正，則不等式兩邊同時乘以該數(shù)或式后不能確定不等式的方向；不等式兩邊同偶次乘方時，也要特別注意不等式的兩邊必須是正。不等式的應(yīng)

4、用范圍十分廣泛，在數(shù)學(xué)中，諸如集合問題，方程（組）的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。二、不等式的證明方法（1）比較法：作差比較：AB0AB作差比較的步驟：作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差。變形：對差進行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和。判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號。注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。（2）綜合法：由因?qū)Ч?，由已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直到推

5、導(dǎo)出前面的不等式。常用的基本不等式有均值不等式；若aama,b,m0,ab,則一；右a,bR,則|a|b|ab|a|b|;bbmnnn柯西不等式（aibi）2（a2）（b：）i1i1i1（3）分析法：執(zhí)果索因.基本步驟：要證只需證，只需證“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件?！胺治龇ā弊C題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達(dá)。(4)反證法：正難則反直接證明難，就用反證。(5)放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的.放縮法的方法有：添加或舍去一些項，如：va21a；<n(n1)n；將分子或

6、分母放大(或縮小)利用基本不等式，如：10g31g5(lg31g5)21gV15lg屈lg4；2n(n1),n(n1)利用常用結(jié)論：11Jk1五2A'(程度大)1111111-2"-5-2-k2k(k1)k1kk2k(k1)k田、1k2 111,11 、( ) ；(k 1)(k 1)2 k 1 k 1(程度小)(6)換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：已知x2y2a2,可設(shè)xacos,yasin;已知x2y21,可設(shè)xrcos,yrsin(0r1);22已知、y2-1,可設(shè)xacos,ybsin；ab22已知

7、二y-r-1,可設(shè)xasec,ybtan；ab(7)構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點。數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式將在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究。例1已知a,bCR,且a+b=10求證：a22b2225o2證法一：（比較法）a,bR,ab1,b1a2225229a2b2a2b24(ab)-222/、2,9c2c11、2ca(1a)4-2a2a2(a)0222即a22b22斗

8、(當(dāng)且僅當(dāng)ab1時，取等號)22證法二：(分析法)22252,225a2B2ab4(ab)822b1a2、225/1、2ca(1a)48(a)022因為顯然成立，所以原不等式成立。點評：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件。證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）。證法四：（反證法）假設(shè)（a2）2（b2）225,2則a2b24（ab）8"。252由a+b=1,得b1a,于是有a2(1a)212所以(a1)20,22這與a-0矛盾2所以a22b22型。2證法五：（放縮法）;ab1二左邊=a21ab42空=右邊。22點評：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a

9、+b=1這個特點，選用基本不等式證法六：(均值換元法)Vab212t 2)2 ( t 2)22所以可設(shè)a1t,b 當(dāng)且僅當(dāng)3a 1t,2222左邊=a2b2(2M2525上、由2t右邊-22當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，等號成立。點評：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元證法七：(利用一元二次方程根的判別式法)設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2,由a+b=1,有y(a2)解：由題可得 3a 1(3a)22a22a13,所以 2a2 2a 130,因為a R,所以4 4 2 (13 y)0,即25y T0252。a,b,c0,求證：bcaacabbc2(7 7 R 2(a b »即氣證：

10、bcac2c,同樣地,ab_,bcacab、一利用均值不等式，我們可以得到1) 9 y1已知x,y0,xy1,求證(1-)(1x證:11(1-)(1一)(1xy7)(1x已知a,b,c0,a2y2xxy求3a1.3b173d的最大值。3a12-1,2即a-時等式成立。3同理，可得2(3a1.3b13c1)3(abc)9故而可知其最大值為6.例5已知xyz1,求證x2證：令,y,z1工曰一,于是3132)2)例6已知n是正整數(shù)，求證:111,13, 23、33證：當(dāng)n2時，有2.n、n 1(. n 、n 1)1.n)2n%n1(n1)、n于是111一13一 F -333 2 Tn111112()

11、2().1.223小結(jié)：1、掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面。如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點。2、在不等式證明中還要注意數(shù)學(xué)方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，還要注意一些數(shù)學(xué)技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等。3、比較法是證明不等式最常用最基本的方法當(dāng)欲證的不等式兩端是多項式或分式時，常用差值比較法當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積的

12、形式或幕指不等式時常用商值比較法，即欲證ab,（aQb0）可證91b4、基本思想、基本方法：用分析法和綜合法證明不等式常要用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的換元的基本方法。用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法?！胺治龇ā弊C明不等式就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷利用充分條件或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習(xí)慣上用“”來表達(dá)分析法是數(shù)學(xué)解題的兩個重要策略原則的具體運用，兩個重要策略原則是：正難則反原則：若從正面考慮問題比較難入手時，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結(jié)論向條件追

13、溯。簡單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，在證明較復(fù)雜的不等式時，可以考慮將這個不等式不斷地進行變換轉(zhuǎn)化，得到一個較易證明的不等式。凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法。換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的三角問題。含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時，這時可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件。有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\用放縮法可以很快得證，放縮時要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度。三、解不等式1、解不等式問題的分類(1)

14、解一元一次不等式(2)解一元二次不等式(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解無理不等式；解指數(shù)不等式；解對數(shù)不等式；解帶絕對值的不等式；解不等式組2、解不等式時應(yīng)特別注意下列幾點：(1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)(2)正確應(yīng)用幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍3、不等式的同解性(1)f(x) . g(x) > 0與f(x) > 0g(x) > 0f(x) < 0同解.g(x)< 0(2)f(x) g(x)<0與f(x) >0 > f(x) <0 或同解.g(x)<

15、0 g(x) > 0f(x) 一> 0與 g(x)f(x)>0 T或g(x) > 0f(x) < 0同解.g(x)< 0(g(x) w 0),小 f(x)(4) vr g(x)(5)|f(x)|(6)|f(x)| f(x)<0與f(x)>0 T或g(x)< 0f(x) < 0 " 同解.g(x) > 0(g(x) w 0)<g(x)與一g(x) <f(x)>g(x)與>g(x)或 f(x) < g(x)(2f(x)>g(x)2<g(x)同解.(g(x) >0)其中g(shù)(x)

16、 >0);g(x) <0同解、/f(x) >g(x)與 f(x) >0 或 g(x)> 0f(x)0 同解.g(x) < 0f(x)<g(x)2“即<g(x)與f(同解.(9)當(dāng)a>1時,af(x)>ag(x)與f(x)>g(x)同解，當(dāng)0<a<1時，af(x)>ag(x)與f(x)<g(x)同解.(10)當(dāng)a>1時,logaf(x)>logag(x)與()一)同解.f(x)>0f(x)<g(x)當(dāng)0<a<1時，logaf(x)>logag(x)與f(x)>

17、0同解.g(x)>04、零點分段法：高次不等式與分式不等式的簡潔解法步驟：形式：E為0移項，通分(不輕易去分母)Q(x)首項系數(shù)符號>0標(biāo)準(zhǔn)式，若系數(shù)含參數(shù)時，須判斷或討論系數(shù)的符號，化負(fù)為正判斷或比較根的大小小結(jié)：1、帶等號的分式不等式求解時，要注意分母不等于0,二次函數(shù)yax2bxc的值恒大于0的條件是a0且0;若恒大于或等于0,則a0且0。若二次項系數(shù)中含參數(shù)且未指明該函。是二次函數(shù)時，必須考慮二次項系數(shù)為0這一特殊情形。2、忽略對定義域的考慮以及變形過程的不等價，是解無理不等式的常見錯誤，因此要強化對轉(zhuǎn)化的依據(jù)的思考。3、數(shù)形結(jié)合起來考慮，可以簡化解題過程，特別是填空、選擇

18、題，還可利用圖形驗證，解題的結(jié)果。4、解指數(shù)、對數(shù)不等式的過程中常用到換元法。底數(shù)是參數(shù)時，須不重不漏地分類討論。化同底是解不等式的前提取對數(shù)也是解指數(shù)、對數(shù)不等式的常用方法之一，在取對數(shù)過程中，特別要注意必須考慮變量的取值范圍。當(dāng)所取對數(shù)的底數(shù)是字母時，隨時要把“不等號是否變向”這一問題斟酌再三。5、解含參數(shù)的不等式時，必須要注意參數(shù)的取值范圍，并在此范圍內(nèi)對參數(shù)進行分類討論。分類的標(biāo)準(zhǔn)要通過理解題意(例如能根據(jù)題意挖掘出題目的隱含條件)，根據(jù)方法(例如利用單調(diào)性解題時，抓住使單調(diào)性發(fā)生變化的參數(shù)值)，按照解答的需要(例如進行不等式變形時必須具備的變形條件)等方面來決定，要求做到不重復(fù)、不遺

19、漏。四、含絕對值的不等式1、解絕對值不等式的基本思想：解絕對值不等式的基本思想是去絕對值，常采用的方法是討論符號和平方。2、注意利用三角不等式證明含有絕對值的問題.|a|一|b|a+b|a|+|b|；|a|一|b|ab|a|+|b|；并指出等號條3、(1)|f(x)|<g(x)g(x)<f(x)<g(x);|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<g(x).(無論g(x)是否為正)(3)含絕對值的不等式性質(zhì)(雙向不等式)a|bab|a|b左邊在ab0(0)時取得等號，右邊在ab0(0)時取得等號。五、簡單的線性規(guī)劃問題1、二元一次不等式表示平面區(qū)域

20、：在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ax+By+C=0,坐標(biāo)平面內(nèi)的點P(x。，y。)。B>0時，Ax0+By0+C>0,則點P(x°,y°)在直線的上方；A%+By0+C<0,則點P(x°,V。)在直線的下方。對于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0),無論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù)。當(dāng)B>0時，Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域。,2線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。