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1、1 第八章 * *第十節(jié)第十節(jié)問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出: 已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系 yf (x) .,0(),(kyxkkoyx需要解決兩個(gè)問(wèn)題: 1. 確定近似函數(shù)的類(lèi)型 根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景2. 確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn) )(iixfy 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤差,不能要求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ), 1n最小二乘法最小二乘法 2oyx 偏差)(iiixfyr有正有負(fù), 值都較小且便于計(jì)算, 可由偏差平方和最小 min)(20iinixfy為使所有偏差的絕對(duì)來(lái)確定近似函數(shù) f (x) .最小二乘法原理最小二乘法原理:設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布在某條曲線上, 通過(guò)偏差平方和最
2、小求該曲線的方法稱(chēng)為最小二乘法最小二乘法, 找出的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)公式經(jīng)驗(yàn)公式 .), 1 ,0(),(nkyxkk, 它們大體 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3特別, 當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線時(shí),問(wèn)題為確定 a, b 令min)(20bxayknkk),(baMaM0)(20kknkkxbxaybM0)(20bxayknkkbxay滿(mǎn)足:使oyx得axnkk02bxnkk0nkkkyx0axnkk0bn) 1( nkky0解此線性方程組即得 a, b稱(chēng)為法方程組機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4例例1. 為了測(cè)定刀具的磨損速度, 每隔 1 小時(shí)測(cè)一次刀具的厚度, 得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:找
3、出一個(gè)能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗(yàn)公式. 解解: 通過(guò)在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)可看出它們大致在一條直線上,列表計(jì)算:故可設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為(P67 例1)bxayoyt27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7(mm)iy(h)iti機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5得法方程組a140b28a285 .2088 b717解得 ,125.27,3036. 0ba故所求經(jīng)驗(yàn)公式為125.273036. 0)(ttfyit0i2itiyiity70 0 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208
4、.5 717.0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 為衡量上述經(jīng)驗(yàn)公式的優(yōu)劣, 計(jì)算各點(diǎn)偏差如下: 6oyt稱(chēng)為均方誤差, Mn1對(duì)本題均方誤差124. 071M它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 108165. 0)(270iiitfyM偏差平方和為27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7/mm)(itf算得的/mmiy實(shí)測(cè)的i27.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.
5、021 0.086 0.093 0.200 )(iitfy 7oyt稱(chēng)為均方誤差, Mn1對(duì)本題均方誤差124. 071M它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 108165. 0)(270iiitfyM偏差平方和為i27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7/mm)(itf算得的/mmiy實(shí)測(cè)的27.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.20
6、0 )(iitfy 8例例2. 在研究某單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí), 得到下列數(shù)據(jù):57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 3 6 9 12 15 18 21 241 2 3 4 5 6 7 8iyii其中 表示從實(shí)驗(yàn)開(kāi)始算起的時(shí)間, y 表示時(shí)刻 反應(yīng) 物的量. 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)定出經(jīng)驗(yàn)公式).(fy (P70例2) 解解:由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知, 經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)取meky 其中k , m 為待定常數(shù). 對(duì)其取對(duì)數(shù)得kmylnlnkbmaXyYln,ln令bXaY(線性函數(shù))(書(shū)中取的是常用對(duì)數(shù))機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 9oy因此 a , b 應(yīng)滿(mǎn)足法方程組: akk812bkk8181lnkkkyakk81b881lnkky經(jīng)計(jì)算得 994.2801081836ba714.238108ba解得: 364. 4,104. 0ba,57.78,104. 0bekm所求經(jīng)驗(yàn)公式為104. 057.78ey其均方誤差為135. 071M機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 10觀測(cè)數(shù)據(jù):用最小二乘法確定a, b 通過(guò)計(jì)算確定某些經(jīng)驗(yàn)公式類(lèi)型的方法通過(guò)計(jì)算確定某些經(jīng)驗(yàn)公式類(lèi)型的方法:), 1 ,0(),(niyxii),2, 1(,11niyyyxxxiiiiii令,) 1 (定值若iixybxay則考慮,lnln)2(定值若iixybxay
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