高中數(shù)學(xué)1.2.4平面及平面的位置關(guān)系同步輔導(dǎo)及檢測課件蘇教版必修

1、立體幾何初步 1 12 2點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系1 12.42.4平面與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系木工師傅用氣泡式水準(zhǔn)儀在桌面上交叉放兩次，如果水準(zhǔn)儀的氣泡都是居中的，就可以判定這個(gè)桌面和水平面平行，想一想，這是依據(jù)什么道理？如下圖，檢查工件的相鄰兩個(gè)平面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動，觀察尺邊是否是和這個(gè)面密合就可以了，你知道這是為什么嗎？1兩個(gè)平面之間有兩種位置關(guān)系：(1)兩個(gè)平面平行_；(2)兩個(gè)平面相交_.2(1)畫兩個(gè)平行平面時(shí)，表示平面的平行四邊形_；(2)畫兩個(gè)相交平面時(shí)，先畫表示平面的平行四邊形的

2、相交兩邊，再畫出表示兩個(gè)平面相交的線段，然后在各點(diǎn)引同向且相等的線段，成圖時(shí)注意：不可見的部分畫成_1(1)沒有公共點(diǎn)(2)有一條公共直線2(1)對應(yīng)邊平行(2)虛線或不畫3兩個(gè)平面平行的判定定理文字語言：如果_，那么這兩個(gè)平面平行；符號語言：若_，則.4利用判定定理證明兩個(gè)平面平行，必須具備的兩個(gè)條件是：_；_.5由兩個(gè)平面平行的判定定理可以得到推論：如果_，那么這兩個(gè)平面平行即aa，bb，abP，a，b，b.3一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面a，b，a，b，abP4有兩條直線平行于另一個(gè)平面這兩條直線必須相交5一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線6兩個(gè)平面平行

3、的性質(zhì)定理(1)文字語言：如果_，那么所得的兩條交線平行，簡記為：“若面面平行，則線線平行”(2)符號語言：若_，則ab.(3)若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的_，簡記為：“若面面平行，則線面平行”用符號表示是：若_，則_(4)若兩個(gè)平面平行，則夾在兩個(gè)平行平面間的_(1)兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交(2)，a，b(3)任一直線必平行于另一個(gè)平面，aa(4)平行線段長度相等7_叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線；_叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段；_叫做這兩個(gè)平行平面的距離8二面角的概念：_的圖形叫二面角7與兩個(gè)平行平面都垂直的直線公垂線夾在這兩個(gè)平行平面間的線段公垂線段的長度8一條直線和由這條直線

4、出發(fā)的兩個(gè)半平面所成9(1)二面角的平面角：在二面角l的棱l上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作_叫做二面角l的平面角二面角的范圍是_，其中當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，平面角為0；當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，平面角為180.(2)作出二面角的平面角時(shí)應(yīng)抓住三個(gè)要素：_；_；_.(3)求二面角的平面角的大小步驟是：_；_；_.(1)垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的AOB0，180(2)確定二面角的棱上一點(diǎn)經(jīng)過這點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)引射線所引的射線都垂直于棱(3)作出(或找出)二面角的平面角證明這個(gè)角是二面角的平面角作出這個(gè)角所在的三角形，解三角形，求出角10兩平面垂直的判定定理(1)

5、文字語言：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的_，那么這兩個(gè)平面互相垂直簡稱：若線面垂直，則面面垂直(2)符號語言：若_，則.(1)一條垂線(2)直線AB平面，AB平面，垂足為B11兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理(1)文字語言：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)_的直線垂直于另一個(gè)平面(2)符號語言：若_則AB.(3)該定理成立的條件：_；_，這兩個(gè)條件缺一不可(1)垂直于它們交線(2)平面，CD，AB且ABCD于B(3)線在平面內(nèi)垂直于交線的直線兩個(gè)平面平行的判定定理兩個(gè)平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行該定理是證明兩個(gè)平面平行的重要方法，定理告訴我們“

6、欲證明兩個(gè)平面平行只需證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線同時(shí)與另一個(gè)平面平行即可，而證明線面平行只需要證明線線平行”，其證明思路為：線線平行線面平行面面平行同學(xué)們要注意在面面平行的證明中要善于和線線平行、線面平行的概念、判定進(jìn)行類比總結(jié)，要特別注意轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用兩個(gè)平面平行的判定定理的推論是：(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行用數(shù)學(xué)符號表示為aa，bb，abP，a，b，a，b；(2)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行簡稱“若面

7、面平行，則線線平行”該定理給出了兩個(gè)平行平面所具備的性質(zhì)，是證明線線平行和線面平行的重要依據(jù)結(jié)合線面平行的判定定理我們可以得出兩個(gè)平面平行的另一條性質(zhì)，即“若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個(gè)平面”，“兩個(gè)平行平面內(nèi)的所有直線并不一定相互平行，也可能是異面”這一點(diǎn)同學(xué)們要謹(jǐn)記二面角的平面角二面角的平面角在二面角l的棱l上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角l的平面角二面角的范圍是0，180二面角大小的度量方法是通過二面角的平面角來表示的，應(yīng)當(dāng)特別指出的是AOB的特征是：“OAl，OBl”；AOB的大小與點(diǎn)O在l上的位置無關(guān)

8、兩個(gè)平面垂直的判定定理兩個(gè)平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直該定理告訴我們證明兩平面垂直的問題可以轉(zhuǎn)化為直線與平面垂直的問題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直的問題定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“平面與平面垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想另外，利用定義證明兩平面垂直也是一種常用的方法，即通過計(jì)算給出證明兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面從性質(zhì)定理可以看出，由平面與平面垂直可以得到直線與平面垂直而由判定定理可以看出，由直線與平面垂直可以得到平面與平面垂直其轉(zhuǎn)化關(guān)系可表示為：這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系是解

9、決空間圖形問題的重要思想方法該定理也可以視為直線和平面垂直的判定定理，運(yùn)用該性質(zhì)定理證明相關(guān)問題時(shí)，一般需要作輔助線過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直判定兩平面的位置關(guān)系判定兩平面的位置關(guān)系 在以下四個(gè)命題中，正確的命題是_平面內(nèi)有兩條直線和平面平行，那么這兩個(gè)平面平行；平面內(nèi)有無數(shù)條直線和平面平行，則與平行；平面內(nèi)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等，則與平行；平面內(nèi)的兩條相交直線和平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則與平行分析：需要對四個(gè)命題一一作出真假判斷，而判斷時(shí)要應(yīng)用兩個(gè)平面平行的定義，因此要嚴(yán)格對照定義，不滿足定義的則應(yīng)從反面進(jìn)行思考，即舉反例

10、進(jìn)行判斷解析：如下圖(1)，正方體ABCDA1B1C1D1中對于平面A1D1DA中，AD平面A1B1C1D1，分別取AA1、DD1的中點(diǎn)E、F，連EF，則知EF平面A1B1C1D1但平面AA1D1D與平面A1B1C1D1是相交的，交線為A1D1，故命題錯(cuò)對于，在正方體ABCDA1B1C1D1中的面AA1D1D中，與平面A1B1C1D1平行的直線有無數(shù)條，但平面AA1D1D與平面A1B1C1D1不平行而是相交于直線A1D1，故是錯(cuò)的對于，如上圖(2)，平面平面l，ABC平面，A、B、C三點(diǎn)到平面的距離有可能相等，但與不平行，故是錯(cuò)的對于，命題是正確的，故填.規(guī)律總結(jié)：利用正方體(或長方體)這個(gè)“

11、百寶箱”能有效地判定與兩個(gè)平面的位置關(guān)系的有關(guān)命題的真假，因此我們要善于靈活地運(yùn)用這個(gè)“百寶箱”來判定兩個(gè)平面的位置關(guān)系另外像判定直線與直線、直線與平面位置關(guān)系一樣，反證法也是判定兩個(gè)平面位置關(guān)系的有效方法，特別是在剛剛接觸它時(shí)變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1如果兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是_解析：如下圖中的甲、乙分別為兩個(gè)平面平行、相交的情形答案：平行或相交兩平面平行的判定兩平面平行的判定 在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP平面A1BD.分析：有兩種方法可行。由于M、N、P都為中點(diǎn)，故添加B

12、1C、B1D1作為聯(lián)系的橋梁易證AC1平面PMN.答案：證法一：如圖(1)，連接B1D1、B1C.P、N分別是D1C1、B1C1的中點(diǎn)，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN面A1BD，PN平面A1BD.同理MN平面A1BD，又PNMNN，平面PMN平面A1BD.證法二：如圖(2)，連接AC1、AC.ABCDA1B1C1D1為正方體，ACBD.又CC1面ABCD，AC為AC1在面ABCD上的射影，AC1BD.同理可證AC1A1B，AC1平面A1BD.同理可證AC1平面PMN，平面PMN平面A1BD.規(guī)律總結(jié)：本例的證明體現(xiàn)了證明面面平行的兩種常用方法，解決此類問題的關(guān)鍵是選擇或添加適當(dāng)

13、的輔助線(或輔助面)，使問題轉(zhuǎn)化為證線面平行或線線平行變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2已知點(diǎn)S是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn)求證：平面DEF平面SAB.證明：EF為SBC的中位線，EFSB.EF平面SAB，SB平面SAB，EF平面SAB.同理DF平面SAB，EFDFF.平面SAB平面DEF.兩平面平行的性質(zhì)定理兩平面平行的性質(zhì)定理 如右圖，已知兩條異面直線a、b分別與三個(gè)平行平面、相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)P、Q、R，又AR、CP與平面分別相交于點(diǎn)N、M.求證：四邊形MBNQ為平行四邊形分析：要證四邊形MBNQ為平行四邊形，只需證明兩組對邊分別平行即可，而四邊形的兩組對邊

14、分別為兩個(gè)平面的交線，可以由面面平行的性質(zhì)定理解決證明：連接AP.，平面ACP平面AP，平面ACP平面BM，BMAP.同理QNAP.BMQN.同理可證BNMQ.四邊形MBNQ為平行四邊形規(guī)律總結(jié)：(1)通過面面平行的性質(zhì)定理將面面平行轉(zhuǎn)化得到線線平行，這是直接利用面面平行的性質(zhì)定理利用面面平行的關(guān)鍵是要找到過已知的直線和與已知直線平行的平面證明線線平行現(xiàn)在主要有以下幾種方法：定義法；線面平行的性質(zhì)定理；面面平行的性質(zhì)定理以及性質(zhì)定理的幾個(gè)推論，在以后還將學(xué)習(xí)到線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行(2)利用面面平行的性質(zhì)定理判定兩直線平行的程序是：先找兩個(gè)平面，使這兩個(gè)平面分別經(jīng)過這

15、兩條直線中的一條；判定這兩個(gè)平面平行；再找一個(gè)平面，使這兩條直線都在這個(gè)平面上；由定理得出結(jié)論變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3已知：如下圖，平面平面，直線a、b是異面直線，a與、分別交于A、B兩點(diǎn)，b與、分別交于C、D，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)求證：EF平面.證明：如右圖，過點(diǎn)E作GHCD，G、H分別在平面、內(nèi)，連接GC、HD，則四邊形GHDC是一個(gè)平面四邊形，平面GHDC平面CG，平面GHDC平面HD，又，CGHD，故四邊形GHDC是平行四邊形E、F分別是GH、CD的中點(diǎn)，EFGC.GC，EF，EF平面.利用二面角解決相關(guān)問題利用二面角解決相關(guān)問題 如右圖，正方體的棱長為1，BCBCO求：(1)AO與

16、AC所成角的度數(shù)；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)平面與平面垂直的性質(zhì)及其應(yīng)用平面與平面垂直的性質(zhì)及其應(yīng)用 已知：如下圖所示，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E為垂足(1)求證：PA平面ABC；(2)當(dāng)E為PBC的垂心時(shí)，求證：ABC是直角三角形分析：利用線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)來解證明：(1)在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DFAC于F.平面PAC平面ABC，且交線為AC，DF平面PAC，PA平面PAC，DFAP.作DGAB于G.同理可證DGAP.DG、DF都在平面ABC內(nèi)，且DGDFD，PA平面ABC.(2)連接B

17、E并延長交PC于H.E是PBC的垂心，PCBE.又已知AE是平面PBC的垂線，PCAE.PC面ABE.PCAB.又PA平面ABC，PAAB.AB平面PAC.ABAC，即ABC是直角三角形變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4如下圖所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，ABAC，側(cè)面BB1C1C底面ABC.(1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：ADCC1；(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于點(diǎn)M，若AMMA1，求證：截面MBC1側(cè)面BB1C1C；(3)若截面MBC1平面BB1C1C，則AMMA1嗎？請敘述你的判斷理由證明： (1) ABAC，D是BC的中點(diǎn)，ADBC.底面ABC平面BB1C1C，AD側(cè)面BB1C1C.ADCC1.(2)延長B1A1與BM交于點(diǎn)N，連接C1N.AMMA1，NA1A1B1.A1C1A1NA1B1