4.3直線與圓錐曲線的交點(diǎn)

1、長(zhǎng)武縣中學(xué) 賈小英PoxyPP探究探究1：已知橢圓：已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦引一弦，使弦在這點(diǎn)被平分，求此弦所在直線的方程在這點(diǎn)被平分，求此弦所在直線的方程.解法一：解法一：由由消去消去 y得得:探究探究1：已知橢圓：已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦引一弦，使弦在這點(diǎn)被平分，求此弦所在直線的方程在這點(diǎn)被平分，求此弦所在直線的方程.解法一：解法一：韋達(dá)定理韋達(dá)定理斜率斜率韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)構(gòu)造韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)構(gòu)造探究探究1：已知橢圓：已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直

2、線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點(diǎn)差法：點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率點(diǎn)點(diǎn)作差作差22112222416416xyxy 探究探究1：已知橢圓：已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而從而A ,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過(guò)而過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線有且只有一條兩點(diǎn)的直線有且只有一條解后反思解后反思：中點(diǎn)弦問(wèn)題求解關(guān)鍵在于充分利用

3、：中點(diǎn)弦問(wèn)題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點(diǎn)中點(diǎn)”這一條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，這一條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，2222416(4)4(2)16xyxy 22ABOPabkk )ba(byax012222 例一：如圖：如圖：AB為橢圓為橢圓 的弦，的弦，點(diǎn)點(diǎn)P為弦為弦AB的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證： .點(diǎn)差法點(diǎn)差法例2.例一：若改為：若改為：AB為橢圓為橢圓 的弦，的弦，點(diǎn)點(diǎn)P為弦為弦AB的中點(diǎn)，則：的中點(diǎn)，則： .ABOPkk)0( 12222baaybx思考解析解析：則則2222222222212212bayaxbbayaxb兩式相減得：兩式相減得：0)()(2221222

4、212yyaxxb0)()(2121221212yyyyaxxxxb2121222121yyxxabxxyy即即 P為弦為弦AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)2221212121.abxxyyxxyykkOPAB1.1.1.弦中點(diǎn)問(wèn)題弦中點(diǎn)問(wèn)題的兩種處理方法：的兩種處理方法： （1）韋達(dá)定理法：韋達(dá)定理法：聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用韋達(dá)定理；知數(shù)，利用韋達(dá)定理； （2）點(diǎn)差法：點(diǎn)差法：設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。相減可求出弦的斜率。 小小 結(jié)結(jié)：2.點(diǎn)差法的具體步驟為點(diǎn)差法的具體步驟為：（1）設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)，設(shè)定交點(diǎn)坐標(biāo)，帶入橢圓方程，設(shè)定交點(diǎn)坐標(biāo)，帶入橢圓方程. (2) 作作差差，兩式相減，整理等式；，兩式相減，整理等式；（3）求斜率求斜率，代入中