現(xiàn)代控制理論(白濤)5-6

1、第第5 5章章 系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性5.1 外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性5.2 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性5.3 李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法5.4 線性系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)線性系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)Harbin Engineering University穩(wěn)定性與李雅普諾夫穩(wěn)定性理論穩(wěn)定性與李雅普諾夫穩(wěn)定性理論o 穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要特性，是系統(tǒng)正常運(yùn)行的前提。分析系統(tǒng)首先要分析其穩(wěn)定性，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不可能付諸于工程實(shí)現(xiàn)的。o 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般性的理論，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且適用于非線性、時變系統(tǒng)。

2、描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性有兩種方法o 外部穩(wěn)定性：通過系統(tǒng)的輸入外部穩(wěn)定性：通過系統(tǒng)的輸入- -輸出關(guān)系來輸出關(guān)系來描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性。描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性。o 內(nèi)部穩(wěn)定性：通過零輸入下的狀態(tài)運(yùn)動響應(yīng)內(nèi)部穩(wěn)定性：通過零輸入下的狀態(tài)運(yùn)動響應(yīng)來描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性。來描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性。o 本章主要討論系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性（特別是著本章主要討論系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性（特別是著重介紹在穩(wěn)定性分析中最為重要和應(yīng)用最廣重介紹在穩(wěn)定性分析中最為重要和應(yīng)用最廣的李雅普諾夫方法）。的李雅普諾夫方法）。5.1 外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性一一 外部穩(wěn)定性：外部穩(wěn)定性：o 對于一個因果系統(tǒng)，假定對于一個因果系統(tǒng)，假定系統(tǒng)的初始

3、條件系統(tǒng)的初始條件為零為零，如果對應(yīng)于一個有界的，如果對應(yīng)于一個有界的p維輸入維輸入u(t)，所產(chǎn)生的所產(chǎn)生的q維輸出維輸出y(t)也是有界的，則稱此系也是有界的，則稱此系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。也稱為有界輸入統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。也稱為有界輸入-有界輸出有界輸出穩(wěn)定穩(wěn)定(BIBO穩(wěn)定穩(wěn)定)。ttij0kd), t (g0tt , ijg (t, ) (i1,q; j1,p)線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)o 對于零初始條件的線性時變系統(tǒng)，對于零初始條件的線性時變系統(tǒng)，G(tG(t,) )為其為其單位脈沖響應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)BIBOBIBO穩(wěn)定的充要條穩(wěn)定的充要條件為：存

4、在一個有限常數(shù)件為：存在一個有限常數(shù)k k，使對于一，使對于一切切 ， G(tG(t,) )的每一個元均滿足如下關(guān)系式：的每一個元均滿足如下關(guān)系式： 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)BIBOBIBO穩(wěn)定判據(jù)：穩(wěn)定判據(jù)： 對于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，對于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，G(tG(t) )為為其單位脈沖響應(yīng)矩陣，其單位脈沖響應(yīng)矩陣，G(sG(s) )為其傳遞函數(shù)矩陣，為其傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)則系統(tǒng)BIBOBIBO穩(wěn)定的充要條件為：存在一個有限穩(wěn)定的充要條件為：存在一個有限常數(shù)常數(shù)k k，G(tG(t) )的每一個元的每一個元 均滿足如下關(guān)系式：均滿足如下關(guān)系式： 或或G(sG(s) )每個元的

5、所有極點(diǎn)每個元的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。均具有負(fù)實(shí)部。ijg (t) (i1,q; j1,p)tij0g (t) dtk 二二 內(nèi)部穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性t ,t tu,) t (Dx) t (Cyx)t (x, u) t (Bx) t (Ax000令外界輸入令外界輸入u=0u=0，初始狀態(tài)任意，如果零輸入響，初始狀態(tài)任意，如果零輸入響應(yīng)滿足下列關(guān)系式：應(yīng)滿足下列關(guān)系式：則稱該系統(tǒng)為內(nèi)部穩(wěn)定，或漸近穩(wěn)定。則稱該系統(tǒng)為內(nèi)部穩(wěn)定，或漸近穩(wěn)定。00tlim(t;t ,x ,0)0 線性時變系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定判據(jù)：線性時變系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定判據(jù)： 對對n n維連續(xù)時間線性時變自治系統(tǒng)，系統(tǒng)在時維連續(xù)時間線性時變自治系統(tǒng)，

6、系統(tǒng)在時刻刻 是內(nèi)部穩(wěn)定的充要條件為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對所是內(nèi)部穩(wěn)定的充要條件為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對所有有 為有界為有界, ,并滿足漸近屬性即成立：并滿足漸近屬性即成立： ,tt00lim( ,)0tt t 0t 線性時不變系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定判據(jù)：線性時不變系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定判據(jù)： 對對n n維連續(xù)時間線性時不變自治系統(tǒng)，系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定維連續(xù)時間線性時不變自治系統(tǒng)，系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的充要條件為：系統(tǒng)矩陣的充要條件為：系統(tǒng)矩陣A A所有特征值均具有負(fù)實(shí)部所有特征值均具有負(fù)實(shí)部, ,即成立：即成立： Re()0,1, 2,iAin三、線性定常系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系三、線性定常系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系o

7、 結(jié)論1： 若線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定，則其必是BIBO穩(wěn)定。o 結(jié)論2： 如果線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，則不能保證該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。o 結(jié)論3： 如果線性定常系統(tǒng)為既能控又能觀，則其內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性是等價的。 將非線性自治系統(tǒng)運(yùn)動將非線性自治系統(tǒng)運(yùn)動方程在足夠小的鄰域內(nèi)進(jìn)方程在足夠小的鄰域內(nèi)進(jìn)行泰勒展開導(dǎo)出一次性近行泰勒展開導(dǎo)出一次性近似線性化系統(tǒng)，再根據(jù)線似線性化系統(tǒng)，再根據(jù)線性化系統(tǒng)特征值在復(fù)平面性化系統(tǒng)特征值在復(fù)平面上的分布推斷非線性系統(tǒng)上的分布推斷非線性系統(tǒng)在鄰域內(nèi)的穩(wěn)定性。在鄰域內(nèi)的穩(wěn)定性。 由于間接法需要解系由于間接法需要解系統(tǒng)微分方程，并非易事，統(tǒng)微分方程，并非易事，

8、其應(yīng)用受到了很大的限制。其應(yīng)用受到了很大的限制。李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法（間接法）（間接法）先利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來構(gòu)先利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)，再利造李亞普諾夫函數(shù)，再利用李雅普諾夫函數(shù)來判斷用李雅普諾夫函數(shù)來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。直接法不需系統(tǒng)穩(wěn)定性。直接法不需解系統(tǒng)微分方程，獲得廣解系統(tǒng)微分方程，獲得廣泛應(yīng)用。泛應(yīng)用。李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法（直接法）（直接法）5.2 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性設(shè)設(shè)n n 維系統(tǒng)的維系統(tǒng)的自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)狀態(tài)方程為如下形式：狀態(tài)方程為如下形式：式中：式中：x x是系統(tǒng)的是系統(tǒng)的n n維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量；t t是時間

9、變量；是時間變量；f f表示函表示函數(shù)關(guān)系。數(shù)關(guān)系。 受擾運(yùn)動：受擾運(yùn)動：000( )(, ), , ttttt0uxx；相關(guān)概念相關(guān)概念)x,(xtf 對于所有對于所有t，滿足，滿足 的狀態(tài)的狀態(tài)xe稱為稱為平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)。(, )fteexx0u 若已知系統(tǒng)狀態(tài)方程，令若已知系統(tǒng)狀態(tài)方程，令 所求得的解所求得的解x， 就是平衡狀態(tài)。就是平衡狀態(tài)。u xe=0即狀態(tài)空間原點(diǎn)為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。此外系統(tǒng)即狀態(tài)空間原點(diǎn)為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。此外系統(tǒng)也可以有非零平衡狀態(tài)。也可以有非零平衡狀態(tài)。u 系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也

10、即偏離平衡狀態(tài)的受擾運(yùn)動能否依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因即偏離平衡狀態(tài)的受擾運(yùn)動能否依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素而返回到平衡狀態(tài)，或者限制在它的一個有限鄰域內(nèi)。素而返回到平衡狀態(tài)，或者限制在它的一個有限鄰域內(nèi)。( , )ft 0 xx假若對于任意實(shí)數(shù)假若對于任意實(shí)數(shù) ，都存在一個實(shí)，都存在一個實(shí)數(shù)數(shù) ，使得從滿足下式，使得從滿足下式00)t ,(0的初始狀態(tài)的初始狀態(tài) 出發(fā)的系統(tǒng)的所有解都滿足不等出發(fā)的系統(tǒng)的所有解都滿足不等式式則稱該系統(tǒng)的平衡態(tài)是則稱該系統(tǒng)的平衡態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。0 x)t ,(|xx|0e0 為歐幾里為歐幾里得范數(shù)，其幾得范數(shù)，其幾何意義是空間何意義是空間

11、距離的尺度。距離的尺度。一一 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性00e| (t;x ,t )x |二二 李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定性李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定性 若系統(tǒng)的平衡狀態(tài)若系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe不僅具有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)不僅具有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且有定性，且有則稱此則稱此平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的是漸近穩(wěn)定的。u 經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義與漸近穩(wěn)定性對應(yīng)。經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義與漸近穩(wěn)定性對應(yīng)。u 若若與與t0無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。u漸近穩(wěn)定即為工程意義下的穩(wěn)定，而李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定即為工程意義下的

12、穩(wěn)定，而李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定則是工程意義下的臨界穩(wěn)定。的穩(wěn)定則是工程意義下的臨界穩(wěn)定。 00lim| ( ;, )| 0etttxx三三 大范圍大范圍( (全局全局) )漸近穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性 如果對于任意初始狀態(tài)如果對于任意初始狀態(tài)x0 ，都能保證，都能保證成立，則稱成立，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定是大范圍漸近穩(wěn)定的，也稱為全局漸近穩(wěn)定的，也稱為全局漸近穩(wěn)定。 00lim | ( ;,)|0ettt xx全 局 漸 近全 局 漸 近穩(wěn) 定 系 統(tǒng)穩(wěn) 定 系 統(tǒng)只 能 有 一只 能 有 一個 平 衡 狀個 平 衡 狀態(tài)！態(tài)！四四 不穩(wěn)定性不穩(wěn)定性 如果對于某個實(shí)數(shù)如果

13、對于某個實(shí)數(shù)00和任一實(shí)數(shù)和任一實(shí)數(shù)00，不管，不管多么大多么大, ,也不管也不管有多么小，在有多么小，在S S( () )內(nèi)總存在著一內(nèi)總存在著一個狀態(tài)個狀態(tài)x x0 0，使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出，使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出S S( () ) ，則則平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)x xe e就稱為是不穩(wěn)定的就稱為是不穩(wěn)定的。)(Sxex0 x1x2)(Sxe 李雅普諾夫意義下穩(wěn)定李雅普諾夫意義下穩(wěn)定)(Sxex0 x1x2)(Sxe 漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定xex0 x1x2xe 全局漸近穩(wěn)定全局漸近穩(wěn)定)(Sxex0 x1x2)(Sxe 不穩(wěn)定不穩(wěn)定 李雅普諾夫第二法直接從系統(tǒng)的狀態(tài)方程出李雅普諾夫第二法

14、直接從系統(tǒng)的狀態(tài)方程出發(fā)，通過構(gòu)造一個類似于發(fā)，通過構(gòu)造一個類似于“能量能量”的李亞普諾夫的李亞普諾夫函數(shù)，并分析它和其一階導(dǎo)數(shù)的符號特征，從而函數(shù)，并分析它和其一階導(dǎo)數(shù)的符號特征，從而獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關(guān)信息。獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關(guān)信息。該方法無需求出系該方法無需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故又稱為直接法。統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故又稱為直接法。 5.3 李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法(1) (1) V V(x,t(x,t) )正定且有界；正定且有界；(2) (2) 負(fù)定且有界；負(fù)定且有界；) tx,(V定理定理1 1：對于時變系統(tǒng)：對于時變系統(tǒng) ，如果如果0t) tx,(xtf，則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大

15、范圍一致漸近穩(wěn)定的。則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。(3) (3) 當(dāng)當(dāng)|x|x|時，時，V V(x,t(x,t) ) 。存在一個對狀態(tài)存在一個對狀態(tài)x x和時間和時間t t具有連續(xù)一具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)量標(biāo)量函數(shù)函數(shù)V V(x,t(x,t), ), V V(0,t) = 0(0,t) = 0，且，且滿足如下條件：滿足如下條件：一一 大范圍漸近穩(wěn)定判別定理大范圍漸近穩(wěn)定判別定理(1) (1) V V(x)(x)為正定；為正定；(2) (2) 為負(fù)定；為負(fù)定；) x (V對于定常系統(tǒng)對于定常系統(tǒng) ，其平衡狀態(tài)，其平衡狀態(tài)0)x (xtf，則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的

16、則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。(3) (3) 當(dāng)當(dāng)|x|x|時，時，V V(x) (x) x xe e = 0 = 0，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)函數(shù)V V(x), (x), V V(0) = 0(0) = 0，并且對于狀態(tài)空間中的一，并且對于狀態(tài)空間中的一切非零切非零 x x 滿足如下條件：滿足如下條件：定理定理2 2（定常系統(tǒng)（定常系統(tǒng)）例：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為例：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。22121122221212()()xxx xxxxx xx 解：顯然解：顯然, 原點(diǎn)原點(diǎn)(x1=0, x2=0)是該

17、系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。選取是該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。選取正定標(biāo)量函數(shù)為正定標(biāo)量函數(shù)為:2212( )Vxxx1 122222222222121121221212( )2222()22()2()V xx xx xx xxxxx xxxxxx 是負(fù)定的。是負(fù)定的。 由于當(dāng)由于當(dāng) 時，時， ，故系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是，故系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的。 x( )V x(1) (1) V V(x)(x)為正定；為正定；(2) (2) 為負(fù)半定；為負(fù)半定；) x (V對于定常系統(tǒng)對于定常系統(tǒng) ，其平衡狀態(tài)，其平衡狀態(tài)0)x (xtf，則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。則系

18、統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。(4) (4) 當(dāng)當(dāng)|x|x|時，時，V V(x) (x) x xe e = 0 = 0，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)函數(shù)V V(x), (x), V V(0) = 0(0) = 0，并且對于狀態(tài)空間中的一，并且對于狀態(tài)空間中的一切非零切非零 x x 滿足如下條件：滿足如下條件：定理定理3 3（定常系統(tǒng)（定常系統(tǒng)）(3)(3)對任意初始狀態(tài)，對任意初始狀態(tài)，0( (,0) 0Vt x ；(1) (1) V V(x,t(x,t) )正定且有界；正定且有界；(2) (2) 負(fù)半定且有界；負(fù)半定且有界；定理定理4 4：

19、對于時變系統(tǒng)：對于時變系統(tǒng) ，如果如果則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)在則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)在域內(nèi)一致域內(nèi)一致穩(wěn)定。穩(wěn)定。存在一個對狀態(tài)存在一個對狀態(tài)x x和時間和時間t t具有連續(xù)一具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量標(biāo)量函數(shù)函數(shù)V V(x,t),(x,t),V V(0,t)=0(0,t)=0和圍繞原點(diǎn)的一個吸引和圍繞原點(diǎn)的一個吸引二二 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的判別定理李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的判別定理區(qū)域區(qū)域，且滿足如下條件且滿足如下條件(x,t)V0 x(x,t)tft，(1) (1) V V(x)(x)為正定；為正定；定理定理5 5：對于定常系統(tǒng)：對于定常系統(tǒng) ，則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)在

20、在域內(nèi)域內(nèi)穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。 如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)函數(shù)V V(x),(x),V V(0)=0(0)=0和圍繞原點(diǎn)的一個吸引區(qū)域和圍繞原點(diǎn)的一個吸引區(qū)域并且并且 滿足如下條件：滿足如下條件：x(x)0ft，(x,t)V(2) (2) 為負(fù)半定；為負(fù)半定；三不穩(wěn)定判別定理三不穩(wěn)定判別定理 對于定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x),其中V(0)=0， 滿足：o (1) V(x)為正定；o (2) 為正定； 則系統(tǒng)平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定。(x,t)V一一 變量梯度方法變量梯度方法o 采用基于反向思維的構(gòu)造思路，先按定理?xiàng)l件構(gòu)造候選李雅普諾

21、夫函數(shù)導(dǎo)數(shù)，在此基礎(chǔ)上定出候選李雅普諾夫函數(shù)，進(jìn)一步再行判斷候選李雅普諾夫函數(shù)的正定性。o 不一定完全構(gòu)造成功。四四 李雅普諾夫函數(shù)的常用構(gòu)造方法李雅普諾夫函數(shù)的常用構(gòu)造方法o 非線性定常系統(tǒng)： o 其中，f(0)=0,即原點(diǎn)是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。o 選取候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)的梯度為： o 函數(shù)梯度定義為： o 由穩(wěn)定性結(jié)論得到： 可求出系數(shù)可求出系數(shù)a a，則候選，則候選V(xV(x) )為：為： 再根據(jù)：再根據(jù)： 判斷：o 當(dāng)V(x)0時，則得到的V(x)是李亞普諾夫 函數(shù)，表明系統(tǒng)穩(wěn)定。o 當(dāng)V(x)0時，表明變量梯度法對此系統(tǒng)不 成功，可選用其它方法構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)。其中，其中

22、，f(0)=0,f(0)=0,即原點(diǎn)是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。即原點(diǎn)是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。非線性定常系統(tǒng)：非線性定常系統(tǒng)： 二二 克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基方法系統(tǒng)的雅可比矩陣為：系統(tǒng)的雅可比矩陣為：Tnxfxf)()() x ( f10)x(xtf，nn1nn111Tx)x(fx)x(fx)x(fx)x(fx)x(f)x(FMM 定理定理1 1：對連續(xù)非線性定常系統(tǒng)：對連續(xù)非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點(diǎn)平衡態(tài)的域和圍繞原點(diǎn)平衡態(tài)的域，若，若 TF (x)F(x)0,x0 則有：則有：V(x)0其中其中x(x)0ft，TV(x)f (x)f(x) 定理定理2(2(克拉索夫斯基克拉索夫斯基) )：對連續(xù)

23、非線性定常系：對連續(xù)非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點(diǎn)平衡態(tài)的域統(tǒng)和圍繞原點(diǎn)平衡態(tài)的域，原點(diǎn)為域內(nèi)唯一，原點(diǎn)為域內(nèi)唯一平衡態(tài)，若平衡態(tài)，若 TF (x)F(x)0,x0則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡態(tài)為域則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡態(tài)為域內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定平衡態(tài)。內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定平衡態(tài)。且且 為一個李亞普諾夫函數(shù)。為一個李亞普諾夫函數(shù)。)x(f )x(f)x(VT 定理定理3 3：對線性定常系統(tǒng)：對線性定常系統(tǒng) ,A,A為非奇異為非奇異矩陣，矩陣，若若 TAA0,x0則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡態(tài)為大范圍則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡態(tài)為大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定平衡態(tài)。漸進(jìn)穩(wěn)定平衡態(tài)。Axx ，0 x) 0 ( xxx0tA定理定理1 1 特征值判據(jù)特征值判據(jù) ：考慮線性定常系統(tǒng)：考慮

24、線性定常系統(tǒng)u系統(tǒng)的每一平衡態(tài)是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充要系統(tǒng)的每一平衡態(tài)是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣條件是：系統(tǒng)矩陣A A的所有特征值均具有非正（負(fù)或零）的所有特征值均具有非正（負(fù)或零）實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值為實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值為A A的的最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式的單根；的單根； u系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)系統(tǒng)的唯一平衡態(tài) 是漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是：是漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是： 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。0 xe一一 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動的穩(wěn)定性判據(jù)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動的穩(wěn)定性判據(jù) 4.4 線性系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動穩(wěn)定性判據(jù)線性系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)

25、動穩(wěn)定性判據(jù) 對于任意一個對于任意一個n階方陣階方陣A，總存在一個多項(xiàng)式，總存在一個多項(xiàng)式f(s)滿足滿足f(A)=0，這樣的多項(xiàng)式稱為，這樣的多項(xiàng)式稱為A的一個化零的一個化零多項(xiàng)式。多項(xiàng)式。 矩陣矩陣A的特征多項(xiàng)式是的特征多項(xiàng)式是A的一個化零多項(xiàng)式。的一個化零多項(xiàng)式。 方陣方陣A的化零多項(xiàng)式不唯一，有無窮多個，在的化零多項(xiàng)式不唯一，有無窮多個，在所有化零多項(xiàng)式中，次數(shù)最低且最高次冪項(xiàng)系數(shù)所有化零多項(xiàng)式中，次數(shù)最低且最高次冪項(xiàng)系數(shù)為為1的多項(xiàng)式稱為的多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式。的最小多項(xiàng)式。定理：已知定理：已知設(shè)設(shè)m(s)為為adj(sI- -A)中所有元素的首中所有元素的首1最大公約式最大公約

26、式,則則 為矩陣為矩陣A的最小多項(xiàng)式。的最小多項(xiàng)式。1det()( )adj sIAadj sIAsIAsIAs( )( )sm s注：換言之，矩陣注：換言之，矩陣A的最小多項(xiàng)式就是的最小多項(xiàng)式就是(sI- -A)-1中所有元素的最小公分母。中所有元素的最小公分母。或者或者,在在A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中,與與A的零實(shí)部特征值的零實(shí)部特征值相關(guān)聯(lián)的約當(dāng)塊均為一階的。相關(guān)聯(lián)的約當(dāng)塊均為一階的。例：判斷下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性例：判斷下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性000000001xx解：解：1）系統(tǒng)矩陣）系統(tǒng)矩陣A為奇異矩陣，故系統(tǒng)存在無窮多個平衡為奇異矩陣，故系統(tǒng)存在無窮多個平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡

27、狀態(tài)為狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為120Texxx2）解系統(tǒng)的特征方程）解系統(tǒng)的特征方程2det()(1)0sIAss1231,0 零實(shí)部！零實(shí)部！最小多項(xiàng)式為最小多項(xiàng)式為f f( (s s)=)=s s( (s s+1)+1)。特征值零是最小多項(xiàng)式的單根，。特征值零是最小多項(xiàng)式的單根，穩(wěn)定！穩(wěn)定！解：解：1）系統(tǒng)矩陣）系統(tǒng)矩陣A為奇異矩陣，故系統(tǒng)存在無窮多個平衡為奇異矩陣，故系統(tǒng)存在無窮多個平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為2）解系統(tǒng)的特征方程）解系統(tǒng)的特征方程最小多項(xiàng)式為最小多項(xiàng)式為f f( (s s)=)=s s( (s s+1)+1)。特征值零是最小多項(xiàng)式的單根，。特征值零是最

28、小多項(xiàng)式的單根，解：解：1）系統(tǒng)矩陣）系統(tǒng)矩陣A為奇異矩陣，故系統(tǒng)存在無窮多個平衡為奇異矩陣，故系統(tǒng)存在無窮多個平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為2）解系統(tǒng)的特征方程）解系統(tǒng)的特征方程線性定常系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)線性定常系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)x xe e=0=0定理定理22李亞普諾夫判據(jù)李亞普諾夫判據(jù) ：為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，對于任意給定的為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，對于任意給定的正定對稱矩陣正定對稱矩陣Q Q ，如下形式的李雅普諾夫方程有，如下形式的李雅普諾夫方程有唯一正定對稱解唯一正定對稱解P P。QPAPAT二二 線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù) （1 1）

29、系統(tǒng)的每一平衡態(tài)在）系統(tǒng)的每一平衡態(tài)在 時刻是李亞普諾夫時刻是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充要條件是：存在一個依賴于意義下穩(wěn)定的充要條件是：存在一個依賴于的常數(shù)的常數(shù) ，使下式成立，使下式成立定理定理11狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣判據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣判據(jù) ：對于線性時變系統(tǒng)：對于線性時變系統(tǒng)000tx)t ( xx) t (xtA，000(t,t )k(t )tt ，)k(t00t0t（2 2）系統(tǒng)的平衡態(tài)在）系統(tǒng)的平衡態(tài)在t t0 0時刻是漸近穩(wěn)定時刻是漸近穩(wěn)定的充要條件是：滿足下式的充要條件是：滿足下式0t0000t(t,t )k(t )tlim(t,t )0t ， 為其唯一平衡態(tài)，則原點(diǎn)平衡態(tài)為一致漸進(jìn)穩(wěn)為其唯

30、一平衡態(tài)，則原點(diǎn)平衡態(tài)為一致漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是：對任意給定的一個實(shí)對稱、一致有定的充要條件是：對任意給定的一個實(shí)對稱、一致有界和一致正定的時變矩陣界和一致正定的時變矩陣Q(tQ(t) )，如下形式的李亞普諾，如下形式的李亞普諾夫方程夫方程定理定理22李亞普諾夫判據(jù)李亞普諾夫判據(jù) ：對于線性時變系統(tǒng)：對于線性時變系統(tǒng)0Ttt),t (Q) t (P) t (A) t (A) t (P) t (P 有唯一的實(shí)對稱、一致有界和一致正定的矩陣解有唯一的實(shí)對稱、一致有界和一致正定的矩陣解P(tP(t) )。0 xe000tx)t ( xx) t (xtA，第6章 線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合 o 6.1

31、常用反饋結(jié)構(gòu)及其對系統(tǒng)特性的影響 o 6.2 系統(tǒng)的極點(diǎn)配置 o 6.3 狀態(tài)反饋動態(tài)解耦 o 6.4 狀態(tài)觀測器及其設(shè)計(jì) 在控制理論中，反饋結(jié)構(gòu)是系統(tǒng)設(shè)計(jì)在控制理論中，反饋結(jié)構(gòu)是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的主要方式。的主要方式。 對輸入輸出模型，只能采用輸出反饋；對輸入輸出模型，只能采用輸出反饋； 狀態(tài)空間模型能夠提供系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)狀態(tài)空間模型能夠提供系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)信息，所以，能夠采用狀態(tài)反饋，對系統(tǒng)進(jìn)信息，所以，能夠采用狀態(tài)反饋，對系統(tǒng)進(jìn)行更細(xì)致的控制。行更細(xì)致的控制。 系統(tǒng)的綜合：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，系統(tǒng)的綜合：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，設(shè)計(jì)控制規(guī)律設(shè)計(jì)控制規(guī)律u u，使系統(tǒng)在其作用下的行為，使系統(tǒng)在其作用

32、下的行為滿足所給出的期望的性能指標(biāo)。滿足所給出的期望的性能指標(biāo)。 性能指標(biāo)可分為非優(yōu)化型性能指標(biāo)和性能指標(biāo)可分為非優(yōu)化型性能指標(biāo)和優(yōu)化型性能指標(biāo)。優(yōu)化型性能指標(biāo)。 一一 兩種常用反饋結(jié)構(gòu)兩種常用反饋結(jié)構(gòu) ；xyuxxCBA式中式中 v v是參考輸入；是參考輸入；K KR Rp pn n是定常反饋矩陣。是定常反饋矩陣。引入狀態(tài)的線性反饋引入狀態(tài)的線性反饋1 狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋設(shè)系統(tǒng)為設(shè)系統(tǒng)為6.1常用反饋結(jié)構(gòu)及其對系統(tǒng)特性的影響常用反饋結(jié)構(gòu)及其對系統(tǒng)特性的影響 。xvuK狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋( (閉環(huán)閉環(huán)) )系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為特征多項(xiàng)式：

33、特征多項(xiàng)式：；)I(det)(KBAss；BBKAsCsGK1)I()(傳遞函數(shù)矩陣：傳遞函數(shù)矩陣：；xyvx)(xCBBKAuxy+BCAx K+- -v2 2 輸出反饋輸出反饋xvyvuFCF引入輸出向量的線性反饋引入輸出向量的線性反饋輸出反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖輸出反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖輸出反饋輸出反饋( (閉環(huán)閉環(huán)) )系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為；xyvx)(xCBBFCAv+-Fuxy+BCAx 特征多項(xiàng)式：特征多項(xiàng)式：傳遞函數(shù)矩陣：傳遞函數(shù)矩陣：；)I(det)(FCBAss；BBFCAsCsGF1)I()(o 相同點(diǎn)：相同點(diǎn)： 1)1)無論是狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)還是輸出反饋結(jié)構(gòu)都使閉無論

34、是狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)還是輸出反饋結(jié)構(gòu)都使閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣不同于原系統(tǒng)矩陣環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣不同于原系統(tǒng)矩陣 A A 。 2) 2) 狀態(tài)反饋是一種完全的系統(tǒng)信息反饋，輸出反狀態(tài)反饋是一種完全的系統(tǒng)信息反饋，輸出反饋饋 則是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的一種不完全反饋。則是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的一種不完全反饋。 3)3)設(shè)計(jì)者可以通過選取適當(dāng)?shù)姆答伨仃囋O(shè)計(jì)者可以通過選取適當(dāng)?shù)姆答伨仃嘖 K或或F F來改來改變系統(tǒng)的特性，達(dá)到設(shè)計(jì)要求。變系統(tǒng)的特性，達(dá)到設(shè)計(jì)要求。 o 不同點(diǎn)：不同點(diǎn)： 輸出反饋能完成的設(shè)計(jì)任務(wù)輸出反饋能完成的設(shè)計(jì)任務(wù), ,狀態(tài)反饋必狀態(tài)反饋必然能夠完成；狀態(tài)反饋能完成的設(shè)計(jì)任務(wù)然能夠完成；狀態(tài)反饋能完成的設(shè)計(jì)

35、任務(wù), ,輸出反輸出反饋不一定能完成。饋不一定能完成。 二二 反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)性能的影響反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)性能的影響1 1 對系統(tǒng)的可控性和可觀測性的影響對系統(tǒng)的可控性和可觀測性的影響 定理：狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性，但定理：狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性，但可能改變系統(tǒng)的可觀測性?？赡芨淖兿到y(tǒng)的可觀測性。定理：輸出反饋不改變系統(tǒng)可控性可觀性。定理：輸出反饋不改變系統(tǒng)可控性可觀性?？聪旅婵聪旅娴睦拥睦?狀態(tài)反饋改變系統(tǒng)的極點(diǎn)狀態(tài)反饋改變系統(tǒng)的極點(diǎn)( (特征值特征值) )，若發(fā)生，若發(fā)生零點(diǎn)與極點(diǎn)抵消情況，則改變系統(tǒng)的可觀性。零點(diǎn)與極點(diǎn)抵消情況，則改變系統(tǒng)的可觀性。 若采用的狀態(tài)反饋是若采用的狀態(tài)反

36、饋是；) 3)(1(1)(ssssG閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例：可控可觀測系統(tǒng)例：可控可觀測系統(tǒng)；，x1110 x3021xyu40103021BKA；1021沒有零極沒有零極點(diǎn)對消！點(diǎn)對消！x04xuvKv；可控性判別矩陣可控性判別矩陣閉環(huán)系統(tǒng)為閉環(huán)系統(tǒng)為120 xx1 1 x011v y ，；21rank1111KKVV閉環(huán)系統(tǒng)是不完全可觀測，其傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)是不完全可觀測，其傳遞函數(shù)為可觀測性判別矩陣可觀測性判別矩陣有零極點(diǎn)有零極點(diǎn)對消！對消?。?rank1120KKUU；11) 1)(1(1)(sssssGK36 考慮系統(tǒng)考慮系統(tǒng) ( (

37、1) 求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（2）引入狀態(tài)變量的線性反饋，反饋增益矩陣為）引入狀態(tài)變量的線性反饋，反饋增益矩陣為 ， 反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的可控性和可觀性是否改變，請說明理由。反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的可控性和可觀性是否改變，請說明理由。 01000010,1 1 00031u xxyx4 8 2K ABxxuvKux()ABKBvxx對于線性定常受控系統(tǒng)對于線性定常受控系統(tǒng)如果可以找到狀態(tài)反饋控制律如果可以找到狀態(tài)反饋控制律使得通過反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)使得通過反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即是漸近穩(wěn)定的，即（A-BK）的特征值均具有負(fù)的特征值均具有負(fù)實(shí)部，則稱系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。實(shí)部，則稱

38、系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。定理：當(dāng)線性定常系統(tǒng)的定理：當(dāng)線性定常系統(tǒng)的不可控不可控部分漸近穩(wěn)定部分漸近穩(wěn)定時，系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。時，系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。2. 反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響 證明：設(shè)系統(tǒng)證明：設(shè)系統(tǒng) A A, , B B 不完全可控，其結(jié)構(gòu)分解為不完全可控，其結(jié)構(gòu)分解為；00121cccBPBBAAAPAPA對于任意的狀態(tài)反饋矩陣對于任意的狀態(tài)反饋矩陣 ，得到，得到；)I(det)I(detcn-rcccrAsKBAs即狀態(tài)反饋即狀態(tài)反饋K K不能改變不可控極點(diǎn)，使閉環(huán)系統(tǒng)不能改變不可控極點(diǎn)，使閉環(huán)系統(tǒng)；1PKKPKK穩(wěn)定的必要條件是不可控部分是漸

39、近穩(wěn)定的。穩(wěn)定的必要條件是不可控部分是漸近穩(wěn)定的。ccKKK )I(det)I(detKBAsBKAs36 考慮系統(tǒng)考慮系統(tǒng) 能否通過狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定？請說明理由。能否通過狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定？請說明理由。 u201xxx300020001xxx3213216.2 系統(tǒng)的極點(diǎn)配置系統(tǒng)的極點(diǎn)配置 o 利用狀態(tài)反饋和輸出反饋使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位利用狀態(tài)反饋和輸出反饋使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于所希望的極點(diǎn)位置，稱為極點(diǎn)配置。狀態(tài)反于所希望的極點(diǎn)位置，稱為極點(diǎn)配置。狀態(tài)反饋和輸出反饋都能配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。饋和輸出反饋都能配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。 o 狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋K不能改變不可控部分的極點(diǎn)，但能不能改變不可控部分的極點(diǎn)，

40、但能夠任意配置可控部分的極點(diǎn)。夠任意配置可控部分的極點(diǎn)。 o 輸出反饋輸出反饋F也只能配置可控部分的極點(diǎn)，但不也只能配置可控部分的極點(diǎn)，但不一定能實(shí)現(xiàn)期望極點(diǎn)的任意配置；肯定不能將一定能實(shí)現(xiàn)期望極點(diǎn)的任意配置；肯定不能將極點(diǎn)配置到系統(tǒng)的零點(diǎn)處。極點(diǎn)配置到系統(tǒng)的零點(diǎn)處。 一一 單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置 定理定理1 1 對對n n階單輸入線性定常系統(tǒng)，通過階單輸入線性定常系統(tǒng)，通過狀態(tài)反饋，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)全部狀態(tài)反饋，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)全部n n個極點(diǎn)任意配置的充個極點(diǎn)任意配置的充要條件是要條件是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。1 1 極點(diǎn)可配置條件極點(diǎn)可配置條件例如下列系統(tǒng)：例如下列系統(tǒng)：能否

41、使閉環(huán)極點(diǎn)能否使閉環(huán)極點(diǎn)配置到這些位置？配置到這些位置？-2-2，-2-2，-1-1，-1-1-2-2，-2-2，-2-2，-2-2-2-2，-2-2，-2-2，-1-1；u1110 x1000010000200012x1 1 極點(diǎn)可配置條件極點(diǎn)可配置條件證明：設(shè)系統(tǒng)證明：設(shè)系統(tǒng) A A, b, b完全可控，其可控標(biāo)準(zhǔn)形為完全可控，其可控標(biāo)準(zhǔn)形為；1000bb10000100001012101MMMMPaaaaPAPAnn1011nkkPkkk1uvvPvkx =kx =kx引入狀態(tài)反饋：引入狀態(tài)反饋： ；nnkakakakaKA1322110100001000010bMMM則閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)

42、式為則閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為據(jù)期望極點(diǎn)據(jù)期望極點(diǎn) ，得到期望特征多項(xiàng)式，得到期望特征多項(xiàng)式n,21112110det( I)det( I)()()()nnnnsABKsABKskaska ska；121110( )()()()nnnnsssssasa sa； 由閉環(huán)特征多項(xiàng)式與期望特征多項(xiàng)式相等由閉環(huán)特征多項(xiàng)式與期望特征多項(xiàng)式相等得到得到n n個簡單的代數(shù)方程，即可計(jì)算出可控標(biāo)準(zhǔn)個簡單的代數(shù)方程，即可計(jì)算出可控標(biāo)準(zhǔn)形的狀態(tài)反饋矩陣，進(jìn)而得到形的狀態(tài)反饋矩陣，進(jìn)而得到。PKK ，)()I(det)I(detsKBAsBKAs；niaakiii, 2, 1,1必要性：如果系統(tǒng)（必要性：如果系統(tǒng)（A,

43、 b）不可控，說明系統(tǒng)的有些狀）不可控，說明系統(tǒng)的有些狀態(tài)將不受態(tài)將不受u的控制，則引入狀態(tài)反饋時就不可能通過控的控制，則引入狀態(tài)反饋時就不可能通過控制制 k 來影響不可控的極點(diǎn)。來影響不可控的極點(diǎn)。 給定可控系統(tǒng)給定可控系統(tǒng)(A,b,c)和一組期望的閉環(huán)特征和一組期望的閉環(huán)特征值值 , 要確定要確定(1n)維的反饋增益向量維的反饋增益向量k,使閉環(huán)系統(tǒng)矩陣使閉環(huán)系統(tǒng)矩陣(A-bk)的特征值為的特征值為 。*12,n 12nkkkk設(shè)設(shè)(1) 計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式：計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式：*1*1110( )()()nnnnssssasa sa*12,n 2 2 單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置算法單輸入系

44、統(tǒng)的極點(diǎn)配置算法(2) 用待定系數(shù)計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：用待定系數(shù)計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：1110( )det( I)nnnssA bksa sas a (3) 由下列由下列n個方程計(jì)算反饋矩陣個方程計(jì)算反饋矩陣k的元素：的元素：*11221100nnnnaaaaaaaa，系統(tǒng)完全可控，單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置有系統(tǒng)完全可控，單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置有唯一解；系統(tǒng)不完全可控，若期望極點(diǎn)中包含所唯一解；系統(tǒng)不完全可控，若期望極點(diǎn)中包含所有不可控極點(diǎn)，極點(diǎn)配置有解，否則無解。有不可控極點(diǎn)，極點(diǎn)配置有解，否則無解。例例 已知線性定常系統(tǒng)為已知線性定常系統(tǒng)為求反饋向量求反饋向量K K，使系統(tǒng)的閉環(huán)特征值

45、為，使系統(tǒng)的閉環(huán)特征值為解：) 22)(2()(2ssss；46423sss；321kkkK 1210061det)(321sskkkss；01223asasas；u001x1210061000 x。j1, 23 , 21 ；4181k；41272321kkk；6721821kk；141k；1862k；12203k；464)(23sss )()(6)(12)(12)(18)(1872)7212ssksskk sskskkskkk；123x141861220uvKvxxx；122018614K1110( )det ( I)nnnssAsa sas a(1) 計(jì)算計(jì)算A的

46、特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式:(2) 計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式:*12*1*110( )()()()nnnnsssssasa sa(3) 計(jì)算計(jì)算(可控標(biāo)準(zhǔn)型可控標(biāo)準(zhǔn)型)反饋矩陣反饋矩陣 :*001111nnaaaaaakk 完全可控系統(tǒng)極點(diǎn)配置的規(guī)范計(jì)算方法完全可控系統(tǒng)極點(diǎn)配置的規(guī)范計(jì)算方法kkP(6) 計(jì)算原系統(tǒng)的反饋增益陣：計(jì)算原系統(tǒng)的反饋增益陣：；11)( PP(4) 計(jì)算變換矩陣計(jì)算變換矩陣P- -1:121211211110011000nnnnnaaaaaPSAAAabbbbM；(5) 計(jì)算計(jì)算P：上例的規(guī)范計(jì)算方法上例的規(guī)范計(jì)算方法解：系統(tǒng)是完全可控的解：系統(tǒng)是完全可控

47、的；46423sss) 22)(2()(2ssss；sss721823)I(det)(Ass121006100detsss 406724 18 46614K ；UP1001011811872100610001；001011211872。122018614PKK；14418112101000010112118721P二二 多輸入系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置多輸入系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置循環(huán)矩陣性質(zhì)：循環(huán)矩陣性質(zhì)：u 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中相應(yīng)于每個不同的的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中相應(yīng)于每個不同的 特征值僅有一個約當(dāng)小塊時，特征值僅有一個約當(dāng)小塊時，A A為循環(huán)矩陣。為循環(huán)矩陣。 1 1 直接法直接法循

48、環(huán)矩陣定義：矩陣循環(huán)矩陣定義：矩陣A A的特征多項(xiàng)式等于其最小多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式等于其最小多項(xiàng)式u 若若A A的的n n個特征值兩兩互異，則個特征值兩兩互異，則A A為循環(huán)矩陣；為循環(huán)矩陣；u 若若A A為循環(huán)矩陣，則至少存在一個為循環(huán)矩陣，則至少存在一個n n維列向維列向 量量b b，使，使A,bA,b 可控可控循環(huán)矩陣相關(guān)定理：循環(huán)矩陣相關(guān)定理： 定理定理1 1：若系統(tǒng)若系統(tǒng)A,BA,B完全能控，且完全能控，且A A為循環(huán)矩陣，為循環(huán)矩陣，則幾乎對任意的實(shí)向量則幾乎對任意的實(shí)向量 ，單輸入系統(tǒng)，單輸入系統(tǒng)A,BA,B 狀態(tài)狀態(tài)完全能控完全能控. .1p 定理定理2 2： 若若A A不是循環(huán)

49、矩陣，且系統(tǒng)不是循環(huán)矩陣，且系統(tǒng)A,BA,B完全能控，則幾乎對任意的矩陣完全能控，則幾乎對任意的矩陣 ，A-BKA-BK的全的全部特征值均不相同，因而部特征值均不相同，因而A-BKA-BK是循環(huán)矩陣。是循環(huán)矩陣。npK 定理定理3 3： 對對n n階多輸入線性定常系統(tǒng)，通過階多輸入線性定常系統(tǒng)，通過狀態(tài)反饋，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)全部狀態(tài)反饋，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)全部n n個極點(diǎn)任意配置的充個極點(diǎn)任意配置的充要條件是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。要條件是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。 第第1 1步：判斷矩陣步：判斷矩陣A A是否為循環(huán)矩陣是否為循環(huán)矩陣 若不是，則引入一狀態(tài)反饋若不是，則引入一狀態(tài)反饋 使得系統(tǒng)使得系統(tǒng) 的系統(tǒng)矩陣的系統(tǒng)矩陣

50、為循環(huán)矩陣，即為循環(huán)矩陣，即 xK-wu1Bw)xBK-A(x11BK-A是循環(huán)矩陣若不是循環(huán)矩陣若AAABK-AA1多輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置算法多輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置算法 直接法直接法 第第2 2步步：對循環(huán)矩陣對循環(huán)矩陣 ，適當(dāng)選取實(shí)常向量，適當(dāng)選取實(shí)常向量 ， 令：令： ，使，使 為狀態(tài)完全能控。為狀態(tài)完全能控。 A1ppn1nBb1pb,A第第3 3步步：對于等價單輸入系統(tǒng)：對于等價單輸入系統(tǒng) ，利用單輸入，利用單輸入 極點(diǎn)配置問題的算法，求出狀態(tài)增益向量極點(diǎn)配置問題的算法，求出狀態(tài)增益向量 b,An1k第第4 4步步：當(dāng)：當(dāng)A A為循環(huán)矩陣時，所求的增益矩陣為為循環(huán)矩陣時，所求的增益矩陣為：

51、當(dāng)當(dāng)A A為非循環(huán)矩陣時，所求的增益矩陣為：為非循環(huán)矩陣時，所求的增益矩陣為：n11pnpkK1n11pnpKkK2 2 李亞普諾夫方程法李亞普諾夫方程法 給定完全能控的多輸入線性定常系統(tǒng)給定完全能控的多輸入線性定常系統(tǒng) 和一組任意的期望閉環(huán)特征值和一組任意的期望閉環(huán)特征值 ，要求，要求 通過狀態(tài)反饋通過狀態(tài)反饋 ，使閉環(huán)系統(tǒng)的特征，使閉環(huán)系統(tǒng)的特征 值值 。同時要求：。同時要求： DuxyuxxCBA*n21,xvuKn, 2 , 1i ,)BKA(ii*n, 2 , 1i ,)A(ii*第第1 1步步：任選：任選n nn n矩陣矩陣F F，要求，要求F F的特征值為期望的特征值為期望 的特

52、征值。的特征值。 K第第2 2步步：選取一個：選取一個p pn n實(shí)常值矩陣實(shí)常值矩陣 ，使，使 為狀態(tài)完全能觀。為狀態(tài)完全能觀。 第第3 3步步：對給定矩陣：對給定矩陣A A，B B，F(xiàn) F和和 ，解李亞普諾夫，解李亞普諾夫 方程：方程： 確定出唯一確定出唯一n nn n的解矩陣的解矩陣T T。KBTFATK,FKn, 2 , 1i ,)F(ii*第第4 4步步：若：若T T為非奇異的，則所確定的狀態(tài)為非奇異的，則所確定的狀態(tài) 反饋矩陣反饋矩陣K K為：為： 若若T T為奇異矩陣，則返回步驟為奇異矩陣，則返回步驟2 2重新選擇重新選擇 。K1TKK3 3 能控規(guī)范形法能控規(guī)范形法 給定完全能

53、控的多輸入線性定常系統(tǒng)給定完全能控的多輸入線性定常系統(tǒng) DuxyuxxCBA 和一組任意的期望閉環(huán)特征值和一組任意的期望閉環(huán)特征值 ， 要求通過狀態(tài)反饋要求通過狀態(tài)反饋 ，使閉環(huán)系統(tǒng)，使閉環(huán)系統(tǒng) 的特征值為的特征值為 xvuK*n21,n, 2 , 1i ,)BKA(ii* 以以n=9n=9，p=3p=3為例。為例。 第第1 1步步：將系統(tǒng)：將系統(tǒng)A,BA,B化為龍伯格能控規(guī)范形?；癁辇埐衲芸匾?guī)范形。3332313035343332312928272621202322211918171615141211101 -100000000010000000001000000-000010000-00

54、0000100000000010ASSAbbbbbbbbbbbbbbbbbb第第2 2步步：將期望的將期望的閉環(huán)特征值，按閉環(huán)特征值，按龍伯格能控規(guī)范龍伯格能控規(guī)范形中形中 的對角塊的對角塊個數(shù)和維數(shù)，分個數(shù)和維數(shù)，分組，并計(jì)算每組組，并計(jì)算每組對應(yīng)多項(xiàng)式。對應(yīng)多項(xiàng)式。A10000000000001000001000000BSB1 -g第第3 3步步：對龍伯格能控規(guī)范形對龍伯格能控規(guī)范形 ，按如下形，按如下形 式選取式選取p pn n狀態(tài)反饋矩陣狀態(tài)反饋矩陣 。KB,A*33333232313130302928272621212020291928182717261621211520201412

55、121111101000000000)()(Kbbbbgbbgbbgbbgbbgbgb第第4 4步步：計(jì)算所求狀態(tài)反饋增益矩陣計(jì)算所求狀態(tài)反饋增益矩陣K K。-1SKK 三三 狀態(tài)反饋對傳遞函數(shù)矩陣的影響狀態(tài)反饋對傳遞函數(shù)矩陣的影響 結(jié)論結(jié)論：對狀態(tài)完全能控的單輸入單輸出系：對狀態(tài)完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng)，引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)統(tǒng)，引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)不發(fā)生改變，極點(diǎn)可能發(fā)生改變。不發(fā)生改變，極點(diǎn)可能發(fā)生改變。 1 1 單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)單輸入單輸出線性定常系統(tǒng) 結(jié)論結(jié)論：對狀態(tài)完全能控的多輸入多輸出線性：對狀態(tài)完全能控的多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)

56、反饋在配置傳遞函數(shù)矩陣全部定常系統(tǒng)，狀態(tài)反饋在配置傳遞函數(shù)矩陣全部n n個個極點(diǎn)的同時，一般不影響極點(diǎn)的同時，一般不影響G(sG(s) )的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。 2 2 多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)多輸入多輸出線性定常系統(tǒng) G(sG(s) )的零點(diǎn)的零點(diǎn)：對既能控又能觀的系統(tǒng)，滿足對既能控又能觀的系統(tǒng)，滿足 的所有的所有s s的值。的值。 )q, p(minn0C-BA-sIrankxu uy yw wBAC狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器全維狀態(tài)觀測器：全維狀態(tài)觀測器：維數(shù)等同于原系統(tǒng)維數(shù)等同于原系統(tǒng)降維狀態(tài)觀測器：降維狀態(tài)觀測器：維數(shù)小于原系統(tǒng)維數(shù)小于原系統(tǒng)觀測器的直觀說明觀測器的直觀說明6

57、.4 狀態(tài)觀測器及其設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器及其設(shè)計(jì)1 1、觀測器的結(jié)構(gòu)形式、觀測器的結(jié)構(gòu)形式考慮考慮n n維線性時不變系統(tǒng)維線性時不變系統(tǒng) 0 xy) 0(uxx0tCxxBA要求觀測器系統(tǒng)的輸出滿足如下關(guān)系：要求觀測器系統(tǒng)的輸出滿足如下關(guān)系：)(lim)(limtxtwtt1 1 全維狀態(tài)觀測器全維狀態(tài)觀測器BACuy狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器+ 開環(huán)狀態(tài)觀測器開環(huán)狀態(tài)觀測器xwAB+開環(huán)狀態(tài)觀測器開環(huán)狀態(tài)觀測器 xABACBLCuyw+狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器x閉環(huán)狀態(tài)觀測器閉環(huán)狀態(tài)觀測器觀測器的狀態(tài)空間描述為：觀測器的狀態(tài)空間描述為：()xAxBuL y Cxwx x上式中，上式中，L L是待確定的常值陣

58、，改寫成：是待確定的常值陣，改寫成：()xA LC xLyBuwx將上圖改為：將上圖改為：LCA BACBLuxyw x定理：如果定理：如果AA，CC能觀，則必可采用形如能觀，則必可采用形如 所示的全維狀態(tài)觀測器來重構(gòu)其狀態(tài)，并所示的全維狀態(tài)觀測器來重構(gòu)其狀態(tài)，并 且必可通過選擇增益矩陣且必可通過選擇增益矩陣L L任意配置任意配置（A-LCA-LC）的特征值。）的特征值。()xALC xLyBuwx2 2、觀測器存在條件、觀測器存在條件3 3、觀測器綜合算法、觀測器綜合算法對于給定的被觀測系統(tǒng)：對于給定的被觀測系統(tǒng)：xyuxxCBA設(shè)設(shè)A,CA,C能觀，觀測器系統(tǒng)的期望特征值為：能觀，觀測器系

59、統(tǒng)的期望特征值為：*2*1,n設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測器。設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測器。方法一：實(shí)用算法（單變量系統(tǒng)）方法一：實(shí)用算法（單變量系統(tǒng)）1) 1) 計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式計(jì)算期望的特征多項(xiàng)式*0*11*1*2*1*)()()(sssssssnnnn0111)det()(sssLCAsIsnnn2)2)設(shè)反饋增益陣設(shè)反饋增益陣 ，用待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法 計(jì)算閉環(huán)觀測系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式計(jì)算閉環(huán)觀測系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式TnlllL,213 3）求解下列）求解下列n n個方程，計(jì)算出矩陣個方程，計(jì)算出矩陣L L的元素的元素*00*11*11，nn()xA LC x Ly Buwx4 4）計(jì)算（）計(jì)算（A-LCA-LC）, ,則所要設(shè)計(jì)的全維狀態(tài)觀測器為：則所要設(shè)計(jì)的全維狀態(tài)觀測器為： 方法二：規(guī)范算法（多變量系統(tǒng)）方法二：規(guī)范算法（多變量系統(tǒng)） 1 1）寫出被觀測系統(tǒng)）寫出被觀測系統(tǒng)AA，B B，CC的對偶系統(tǒng)的對偶系統(tǒng) 2 2）利用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問題的算法，對利用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問題的算法，對 確定反饋增益矩陣確定反饋增益矩陣 3 3）計(jì)算）計(jì)算A-LCA-LC，即可得出所設(shè)計(jì)的觀測器為：，即可得出所設(shè)計(jì)的觀測器為：TLK 并有并有()xA LC x Ly BuwxTTTBC