空間向量及其加減運(yùn)算

1、一、平面向量復(fù)習(xí)定義：既有大小又有方向的量叫向量 幾何表示法：用有向線段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母 表示AB相等的向量： 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 ABCD平面向量的加減法運(yùn)算平面向量的加減法運(yùn)算向量的加法：向量的加法：aba+b平行四邊形法則平行四邊形法則aba+b三角形法則三角形法則(首尾相連首尾相連)向量的減法向量的減法aba-b三角形法則三角形法則 減向量減向量終點(diǎn)指向終點(diǎn)指向被減向量被減向量終點(diǎn)終點(diǎn)平面向量的加法運(yùn)算律平面向量的加法運(yùn)算律加法交換律：加法交換律： abba 加法結(jié)合律：加法結(jié)合律： (ab)ca(bc) 推廣推廣首尾相接的若干向量

2、之和，等于由起始向首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即：量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量即：則它們的和為零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA二、空間向量及其加減運(yùn)算二、空間向量及其加減運(yùn)算空間向量：空間向量：空間中具有空間中具有大小大小和和方向方向的量叫做向量的量叫做向量定義：定義：表示方法表示方法：空間向量的表示方法和平面向量一樣；空間向量的表示方法和平面

3、向量一樣；空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示內(nèi)的兩條有向線段表示同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量；相等的向量；2.空間向量的加法、減法向量空間向量的加法、減法向量ABOAOBa + babABbCOOCOACAa - - b空間向量加法運(yùn)算律空間向量加法運(yùn)算律加法交換律：加法交換律：a + b = b + a；加法結(jié)合律：加法結(jié)合律：(a + b) + c =a + (b + c)；abca + b + c abca + b + c a + b b + c 對(duì)空間向量的加法、減法的說(shuō)明對(duì)空間向量的加

4、法、減法的說(shuō)明空間向量的運(yùn)算就是平面向量運(yùn)算的推廣空間向量的運(yùn)算就是平面向量運(yùn)算的推廣兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立然成立空間向量的加法運(yùn)算可以推廣至若干個(gè)向空間向量的加法運(yùn)算可以推廣至若干個(gè)向量相加量相加推廣首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA例例1、給出以下命題：、給出以下命題：（1）兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)

5、、終點(diǎn)相同；）兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)相同；（2）若空間向量）若空間向量 滿足滿足 ，則，則 ；（3）在正方體）在正方體 中，必有中，必有 ；（4）若空間向量）若空間向量 滿足滿足 ，則，則 ；（5）空間中任意兩個(gè)單位向量必相等。）空間中任意兩個(gè)單位向量必相等。其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4a b 、ab| |ab1111ABCDABC D11ACACm n p 、 、,mn np mp C變式：變式：如圖所示，長(zhǎng)方體中，如圖所示，長(zhǎng)方體中，AD=2，AA1=1，AB=3。（1）是寫出與是寫出與 相等的所有向量；相等的所有向量；（

6、2）寫出與向量）寫出與向量 的相反向量。的相反向量。AB 1AA平行六面體：平行六面體：平行四邊形平行四邊形ABCD平移向量平移向量a到到A1B1C1D1的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體。的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體。ABCDA1B1C1D1A1D1C1B1BACD記作記作ABCDA1B1C1D1，它的六個(gè)面都是平行四邊形，它的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱。每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱。a化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：列向量表達(dá)式，并標(biāo)出，化簡(jiǎn)下已知平行六面體DCBAABCD ；BCAB ；AAADABABCDABCD例例2(4)ACD BDC (3)ABCBAA ABCD

7、A B C D例2、 已知平行六面體，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAAC CCAC AC始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量(4)ACD BDC (3)ABCBAA 例例3、在如圖所示的平行六面體中，、在如圖所示的平行六面體中， 求證：求證：2.ACABADAC ABCDABCD,ABCDA B C D 變式：變式：已知平行六面體已知平行六面體 則下列四式中：則下列四式中：其中正確的是其中正確的是 。(1);(2);(3);(4).ABCBACACABB CCCAACCABBBBCC CAC 例例4、如圖所示，在正方體、如圖所示，在正方體 中，中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量 的共有（的共有（ ）1111ABCDABC D11111111111111(1)();(2)();(3)();(4)().ABBCCCAAADDCABBBBCAAABBC A.1 B.2 C.3 D.41AC 變式：變式：()()(2)ABCDACBDABCBADAD 化簡(jiǎn)：(