第三章 3.4 第2課時(shí)

1、第2課時(shí)基本不等式的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.2.會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.3.能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題.知識(shí)點(diǎn)用基本不等式求最值思考因?yàn)閤212x，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)x1時(shí)，(x21)min2.以上說法對嗎？為什么？答案錯(cuò).顯然(x21)min1.x212x，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào).僅說明曲線yx21恒在直線y2x上方，僅在x1時(shí)有公共點(diǎn).使用基本不等式求最值，不等式兩端必須有一端是定值.如果都不是定值，可能出錯(cuò).梳理基本不等式求最值的條件：(1)x，y必須是正數(shù)；(2)求積xy的最大值時(shí)，應(yīng)看和xy是否為定值；求和xy的最小值時(shí)，

2、應(yīng)看積xy是否為定值；(3)等號(hào)成立的條件是否滿足.1.當(dāng)a>0，b>0時(shí)，有.()2.由于sin2x24，所以sin2x的最小值為4.(×)類型一基本不等式與最值例1(1)若x>0，求函數(shù)yx的最小值，并求此時(shí)x的值；(2)設(shè)0<x<，求函數(shù)y4x(32x)的最大值；(3)已知x>2，求x的最小值；(4)已知x>0，y>0，且 1，求xy的最小值.考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本不等式求最值解(1)當(dāng)x>0時(shí)，x24，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x24，x2時(shí)，取等號(hào).函數(shù)yx(x>0)在x2處取得最小值4.(2)0<x<，

3、32x>0，y4x(32x)22x(32x)22.當(dāng)且僅當(dāng)2x32x，即x時(shí)，等號(hào)成立.，函數(shù)y4x(32x)的最大值為.(3)x>2，x2>0，xx222 26，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x4時(shí)，等號(hào)成立.x的最小值為6.(4)方法一x>0，y>0，1，xy(xy)1021061016，當(dāng)且僅當(dāng)，1，即x4，y12時(shí)，上式取等號(hào).故當(dāng)x4，y12時(shí)，(xy)min16.方法二由1，得(x1)(y9)9(定值).由1可知x>1，y>9，xy(x1)(y9)1021016，當(dāng)且僅當(dāng)x1y93，即x4，y12時(shí)，上式取等號(hào)，故當(dāng)x4，y12時(shí)，(xy)min16.反

4、思與感悟在利用基本不等式求最值時(shí)要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)均為正；二是尋求定值，求和式最小值時(shí)應(yīng)使積為定值，求積式最大值時(shí)應(yīng)使和為定值(恰當(dāng)變形，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧)；三是考慮等號(hào)成立的條件是否具備.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知x>0，求f(x)3x的最小值；(2)已知x<3，求f(x)x的最大值.考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本不等式求最值解(1)x>0，f(x)3x212，當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x2時(shí)，取等號(hào)，f(x)的最小值為12.(2)x<3，x3<0，f(x)xx333231，當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x1時(shí)，取等號(hào).f(x)的最大值為1.類型二基本不等式在實(shí)際問題

5、中的應(yīng)用例2(1)用籬笆圍一個(gè)面積為100 m2的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？(2)一段長為36 m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？考點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用題點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用解(1)設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m，則xy100，籬笆的長為2(xy) m.由，可得xy2，2(xy)40.當(dāng)且僅當(dāng)xy10時(shí)等號(hào)成立.所以這個(gè)矩形的長、寬都為10 m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為40 m.(2)設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m，則2(xy)36，xy18，矩形菜園的面積為xy m2.由9，可得

6、xy81，當(dāng)且僅當(dāng)xy9時(shí)，等號(hào)成立.所以這個(gè)矩形的長、寬都為9 m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為81 m2.反思與感悟利用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)，一般是先建立關(guān)于目標(biāo)量的函數(shù)關(guān)系，再利用基本不等式求解目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值及取最大(小)值的條件.跟蹤訓(xùn)練2以斜邊為2的直角三角形的斜邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得一幾何體，求該幾何體體積的最大值，并求此時(shí)幾何體的表面積.考點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用題點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用解如圖，設(shè)RtABC的斜邊AB2，ACb，BCa，CD為斜邊上的高，則CD，且a2b24.則以AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為V·CD2·AD

7、83;CD2·DB·CD2·AB·2·2(ab)2.由a2b24與a2b22ab得ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取“”.所以V(ab)2×22.即當(dāng)ab時(shí)，Vmax.此時(shí)該幾何體的表面積為S·CD·AC·CD·BC·CD·(ACBC)·()2.即幾何體的表面積為2.例3某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1 800元，面粉的保管費(fèi)及其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用

8、最少？考點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用題點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用解設(shè)該廠每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸.由題意可知，面粉的保管及其他費(fèi)用為3×6x6(x1)6(x2)6×19x(x1).設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y元，則y9x(x1)9006×1 8009x10 8092 10 80910 989(元)，當(dāng)且僅當(dāng)9x，即x10時(shí)，等號(hào)成立.所以該廠每10天購買一次面粉時(shí)，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少.引申探究若受車輛限制，該廠至少15天才能去購買一次面粉，則該廠應(yīng)多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的費(fèi)用最少？解設(shè)x1，x215，)，且x1<x2.則9

9、(x1x2)900(x1x2)(x1x2).15x1<x2，x1x2<0，x1x2225，(x1x2)<0，即y9x10 809在15，)上為增函數(shù).當(dāng)x15，即每15天購買一次面粉時(shí)，平均每天支付的費(fèi)用最少.反思與感悟應(yīng)用題，先弄清題意(審題)，建立數(shù)學(xué)模型(列式)，再用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題(求解)，最后要回應(yīng)題意下結(jié)論(作答).使用基本不等式求最值，要注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立，若等號(hào)不成立，可考慮利用函數(shù)單調(diào)性求解.跟蹤訓(xùn)練3一批貨物隨17列貨車從A市以v千米/小時(shí)勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車的間距不得小于2千米，那么這批貨物全部運(yùn)到B市，

10、最快需要_小時(shí).考點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用題點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用答案8解析設(shè)這批貨物從A市全部運(yùn)到B市的時(shí)間為t，則t28(小時(shí))，當(dāng)且僅當(dāng)，即v100時(shí)，等號(hào)成立，所以這批貨物全部運(yùn)到B市，最快需要8小時(shí).1.已知x，則f(x)有()A.最大值 B.最小值C.最大值1 D.最小值1考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本不等式求最值答案D解析由x>2得，f(x)1.當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x3時(shí)等號(hào)成立.2.將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為2 m2，形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是()A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m考點(diǎn)基本不等

11、式的實(shí)際應(yīng)用題點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用答案C解析設(shè)兩直角邊分別為a，b，直角三角形的框架的周長為l，則ab2，ab4，lab2426.828(m)(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取等號(hào)).因?yàn)橐髩蛴们依速M(fèi)最少，故選C.3.設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為()A.8 B.4 C.1 D.考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本不等式求最值答案B解析由題意知3a·3b3，即3ab3，所以ab1.因?yàn)閍>0，b>0，所以(ab)222 4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立.4.已知0<x<1，則f(x)2log2x的最大值是_.考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本

12、不等式求最值答案22解析當(dāng)0<x<1時(shí)，log2x<0，所以f(x)2log2x222.當(dāng)且僅當(dāng)log2x，即(log2x)25，即x時(shí)，等號(hào)成立.1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通過恒等變形，以及配湊，使得“和”或“積”為定值，從而求得函數(shù)最大值或最小值.這種方法在應(yīng)用的過程中要把握下列三個(gè)條件：“一正”各項(xiàng)為正數(shù)；“二定”“和”或“積”為定值；“三相等”等號(hào)一定能取到.這三個(gè)條件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)建應(yīng)用基本不等式的條件.(3)在求最值的一些問題中，有

13、時(shí)看起來可以運(yùn)用基本不等式求最值，但由于其中的等號(hào)取不到，所以運(yùn)用基本不等式得到的結(jié)果往往是錯(cuò)誤的，這時(shí)通?？梢越柚瘮?shù)yx(p>0)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值.2.求解應(yīng)用題的方法與步驟(1)審題；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.一、選擇題1.已知x>1，y>1且lg xlg y4，則lg xlg y的最大值是()A.4 B.2 C.1 D.考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本不等式求最值答案A解析x>1，y>1，lg x>0，lg y>0，lg xlg y24，當(dāng)且僅當(dāng)lg xlg y2，即xy100時(shí)取等號(hào).2.已知點(diǎn)P(x，y)在經(jīng)過A(3

14、,0)，B(1,1)兩點(diǎn)的直線上，則2x4y的最小值為()A.2 B.4C.16 D.不存在考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本不等式求最值答案B解析點(diǎn)P(x，y)在直線AB上，x2y3，2x4y224.當(dāng)且僅當(dāng)2x4y，即x，y時(shí)，等號(hào)成立.3.函數(shù)ylog2(x>1)的最小值為()A.3 B.3 C.4 D.4考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本不等式求最值答案B解析x>1，x1>0，x5x162 68，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x2時(shí)，等號(hào)成立.log23，ymin3.4.已知a>0，b>0，ab2，則y的最小值是()A. B.4 C. D.5考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本

15、不等式求最值答案C解析ab2，1.2 ，故y的最小值為.5.若xy是正數(shù)，則22的最小值是()A.3 B. C.4 D.考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本不等式求最值答案C解析22x2y21124，當(dāng)且僅當(dāng)xy或xy時(shí)取等號(hào).6.已知直線axbyc10(b>0，c>0)經(jīng)過圓C：x2y22y50的圓心，則的最小值是()A.9 B.8 C.4 D.2考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本不等式求最值答案A解析將圓C：x2y22y50化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得x2(y1)26，所以圓心為C(0,1).因?yàn)橹本€axbyc10經(jīng)過圓心C，所以a×0b×1c10，即bc1.因此(bc)5.

16、因?yàn)閎>0，c>0，所以2 4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由此可得b2c且bc1，即b，c時(shí)，取得最小值9.二、填空題7.周長為1的直角三角形面積的最大值為_.考點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用題點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用答案解析設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為a，b，則1ab2，解得ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，所以直角三角形的面積Sab，即S的最大值為.8.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x_.考點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用題點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用答案20解析總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和f(x)4x×

17、;44x2160，當(dāng)且僅當(dāng)4x，即x20時(shí)取等號(hào).9.設(shè)0<x<2，則函數(shù)y的最大值為_.考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本不等式求最值答案4解析0<x<2，0<3x<6,83x>2>0，y4，當(dāng)且僅當(dāng)3x83x，即x時(shí)，取等號(hào).當(dāng)x時(shí)，y有最大值4.10.設(shè)x>1，則函數(shù)y的最小值是_.考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本不等式求最值答案9解析x>1，x1>0，設(shè)x1t>0，則xt1，于是有yt5259，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x1.當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y取得最小值9.三、解答題11.已知不等式x25axb>0的解集為

18、x|x>4或x<1.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若0<x<1，f(x)，求函數(shù)f(x)的最小值.考點(diǎn)基本不等式求最值題點(diǎn)利用基本不等式求最值解(1)依題意可得方程x25axb0的根為4和1，即(2)由(1)知f(x)，0<x<1，0<1x<1，>0，>0，x(1x)5259，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)，等號(hào)成立，f(x)的最小值為9.12.某建筑公司用8 000萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少12層，每層4 000平方米的樓房.經(jīng)初步估計(jì)得知，如果將樓房建為x(x12)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為Q(x)3 00050x(單位：元).為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？每平方米的平均綜合費(fèi)用最小值是多少？(注：平均綜合費(fèi)用平均建筑費(fèi)用平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用)考點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用題點(diǎn)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用解設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)元，依題意得f(x)Q(x)50x3 000(x12，xN*)，f(x)50x3 00023 0005 000(元).當(dāng)且僅當(dāng)50x，即x20時(shí)，上式取等號(hào)，所以當(dāng)x20時(shí)，f(x)取得最小值5 000 元.所以為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為20層，每平方米的平均綜合費(fèi)用的