第三章 3.2 第2課時

1、第2課時均值不等式的應用學習目標1.熟練掌握均值不等式及變形的應用.2.會用均值不等式解決簡單的最大(小)值問題.3.能夠運用均值不等式解決生活中的應用問題.知識點一均值不等式及變形思考使用均值不等式證明：(a>0，b>0)，并說明什么時候等號成立.答案a>0，b>0，2>0，即(a>0，b>0)，當且僅當，即ab時，等號成立.梳理以下是均值不等式的常見變形，試用不等號連接，并說明等號成立的條件.當a>0，b>0時，有；當且僅當ab時，以上三個等號同時成立.知識點二用均值不等式求最值思考因為x212x，當且僅當x1時取等號.所以當x1時，(

2、x21)min2.以上說法對嗎？為什么？答案錯.顯然(x21)min1.x212x，當且僅當x1時取等號.僅說明拋物線yx21恒在直線y2x上方，僅在x1時有公共點.使用均值不等式求最值，不等式兩端必須有一端是定值.如果都不是定值，可能出錯.梳理均值不等式求最值的條件：(1)x，y必須是正數；(2)求積xy的最大值時，應看和xy是否為定值；求和xy的最小值時，應看積xy是否為定值，即“和定積大，積定和小”.(3)等號成立的條件是否滿足.1.函數yx的最小值是2.(×)2.函數ysin x，x的最小值為2.(×)3.若2，則必有x>0，y>0.(×)類型

3、一均值不等式與最值例1(1)若x>0，求函數yx的最小值，并求此時x的值；(2)設0<x<，求函數y4x(32x)的最大值；(3)已知x>2，求x的最小值；(4)已知x>0，y>0，且 1，求xy的最小值.解(1)當x>0時，x24，當且僅當x，即x24，x2時取等號.函數yx(x>0)在x2時取得最小值4.(2)0<x<，32x>0，y4x(32x)22x(32x)22.當且僅當2x32x，即x時，等號成立.函數y4x(32x)的最大值為.(3)x>2，x2>0，xx22226，當且僅當x2，即x4時，等號成立.x

4、的最小值為6.(4)方法一x>0，y>0，1，xy(xy)1061016，當且僅當，又1，即x4，y12時，不等式取等號.故當x4，y12時，(xy)min16.方法二由1，得(x1)(y9)9(定值).由1可知x>1，y>9，xy(x1)(y9)1021016，當且僅當x1y93，即x4，y12時不等式取等號，故當x4，y12時，(xy)min16.反思與感悟在利用均值不等式求最值時要注意三點：一是各項均為正；二是尋求定值，求和式最小值時應使積為定值，求積式最大值時應使和為定值(恰當變形，合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧)；三是考慮等號成立的條件是否具備.跟蹤訓練

5、1(1)已知x>0，求f(x)3x的最小值；(2)已知x<3，求f(x)x的最大值；(3)設x>0，y>0，且2x8yxy，求xy的最小值.解(1)x>0，f(x)3x212，當且僅當3x，即x2時取等號，f(x)的最小值為12.(2)x<3，x3<0，f(x)xx333231，當且僅當3x，即x1時取等號.f(x)的最大值為1.(3)方法一由2x8yxy0，得y(x8)2x.x>0，y>0，x8>0，y，xyxx(x8)1021018.當且僅當x8，即x12時，等號成立.xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x>0，y&

6、gt;0，得1.xy(xy)1021018.當且僅當，即x2y12時等號成立.xy的最小值是18.類型二均值不等式在實際問題中的應用例2(1)用籬笆圍一個面積為100 m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？(2)一段長為36 m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解(1)設矩形菜園的長為x m，寬為y m，則xy100，籬笆的長為2(xy) m.由，可得xy2，2(xy)40.當且僅當xy10時等號成立.所以這個矩形的長、寬都為10 m時，所用籬笆最短，最短籬笆為40 m.(2)設矩形菜園的長為x m，寬

7、為y m，則2(xy)36，xy18，矩形菜園的面積為xy m2.由9，可得xy81，當且僅當xy9時，等號成立.所以這個矩形的長、寬都為9 m時，菜園的面積最大，最大面積為81 m2.反思與感悟利用均值不等式解決實際問題時，一般是先建立關于目標量的函數關系，再利用均值不等式求解目標函數的最大(小)值及取最大(小)值的條件.跟蹤訓練2某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4 800 m3，深為3 m，如果池底每1 m2的造價為150元，池壁每1 m2的造價為120元，問怎樣設計水池才能使總造價最低？最低總造價是多少？解設水池底面一邊的長度為x m，則另一邊的長度為 m.又設水池總造價為y元

8、，根據題意，得y150×120×240 000720×240 000720×2297 600(元)，當且僅當x，即x40時，y取得最小值297 600.所以水池底面為正方形且邊長為40 m時總造價最低，最低總造價為297 600元.例3某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1 800元，面粉的保管費及其他費用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運費900元.求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？解設該廠每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸.由題意可知，面粉的保管及其他費用為3×6x6(x1)6

9、(x2)6×19x(x1).設平均每天所支付的總費用為y元，則y9x(x1)9006×1 8009x10 809210 80910 989(元)，當且僅當9x，即x10時，等號成立.所以該廠每10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少.引申探究若受車輛限制，該廠至少15天才能去購買一次面粉，則該廠應多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的費用最少？解設x1，x215，)，且x1x2.則9(x1x2)900(x1x2)(x1x2).15x1x2，x1x20，x1x2225，(x1x2)0，即y9x10 809在15，)上為增函數.當x15，即15天購買一次面粉，平

10、均每天支付的費用最少.反思與感悟應用題，先弄清題意(審題)，建立數學模型(列式)，再用所掌握的數學知識解決問題(求解)，最后要回應題意下結論(作答).使用均值不等式求最值，要注意驗證等號是否成立，若等號不成立，可考慮利用函數單調性求解.跟蹤訓練3一批貨物隨17列貨車從A市以v千米/小時勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車的間距不得小于2千米，那么這批貨物全部運到B市，最快需要 小時.答案8解析設這批貨物從A市全部運到B市的時間為t，則t28(小時)，當且僅當，即v100時，等號成立，所以這批貨物全部運到B市，最快需要8小時.1.設x>0，y>0，且xy18，

11、則xy的最大值為()A.80 B.77 C.81 D.82答案C解析x>0，y>0，即xy281，當且僅當xy9時，(xy)max81.2.已知a(x1，2)，b(4，y)(x，y為正數)，若ab，則xy的最大值是()A. B. C.1 D.1答案A解析ab，a·b0，4(x1)2y0，2xy2，xy(2x)·y·2×2，當且僅當2xy1時，等號成立.3.設x，y為正數，則(xy)的最小值為()A.16 B.9 C.12 D.15答案A解析因為x，y為正數，所以(xy)1916，當且僅當y3x時，等號成立.4.已知x，則f(x)的最小值為 .

12、答案1解析f(x)1.當且僅當x2，即x3時等號成立.1.用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通過恒等變形，以及配湊，造就“和”或“積”為定值，從而求得函數最大值或最小值.這種方法在應用的過程中要把握下列三個條件：“一正”各項為正數；“二定”“和”或“積”為定值；“三相等”等號一定能取到.這三個條件缺一不可.(2)利用均值不等式求最值的關鍵是獲得定值條件，解題時應對照已知和欲求的式子運用適當的“拆項、添項、配湊、變形”等方法創(chuàng)建應用均值不等式的條件.(3)在求最值的一些問題中，有時看起來可以運用均值不等式求最值，但由于其中的等號取不到，所以運用均值不等式得到的結果往往是錯誤的，這時通?？梢?/p>

13、借助函數yx(p>0)的單調性求得函數的最值.2.求解應用題的方法與步驟：(1)審題；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.一、選擇題1.已知x>1，y>1且lg xlg y4，則lg xlg y的最大值是()A.4 B.2 C.1 D.答案A解析x>1，y>1，lg x>0，lg y>0，lg xlg y24，當且僅當lg xlg y2，即xy100時取等號.2.已知點P(x，y)在經過A(3，0)，B(1，1)兩點的直線上，則2x4y的最小值為()A.2 B.4 C.16 D.不存在答案B解析點P(x，y)在直線AB上，x2y3.2x4y22

14、4.當且僅當2x4y，即x，y時，等號成立.3.函數ylog2(x>1)的最小值為()A.3 B.3 C.4 D.4答案B解析x>1，x1>0，x5(x1)6268，當且僅當x1，即x2時，等號成立.log23，ymin3.4.已知a>0，b>0，ab2，則y的最小值是()A. B.4 C. D.5答案C解析ab2，1.2，故y的最小值為.5.設正實數x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當取得最大值時，的最大值為()A.0 B.1 C. D.3答案B解析由x23xy4y2z0且z0得1，24·，3·14·.1，當且僅當即x2y時取等

15、號.max1，此時x2y，zxy2y2.211.當1即y1時取等號.max1.6.已知x1，y1，且ln x，ln y成等比數列，則xy的最小值為()A. B.2 C.e D.e2答案C解析由題意得2ln x·ln y，ln x·ln y，x1，y1，ln x·ln y0，又ln(xy)ln xln y21，當且僅當ln xln y時，等號成立，xye.即xy的最小值為e.7.已知直線axbyc10(b，c>0)經過圓C：x2y22y50的圓心，則的最小值是()A.9 B.8 C.4 D.2答案A解析圓C：x2y22y50化成標準方程，得x2(y1)26，所

16、以圓心為C(0，1).因為直線axbyc10經過圓心C，所以a×0b×1c10，即bc1.因此(bc)5.因為b，c>0，所以24，當且僅當時等號成立.由此可得b2c且bc1，即b，c時，取得最小值9.二、填空題8.若xy是正數，則22的最小值是 答案4解析22x2y21124，當且僅當xy或xy時取等號.9.若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是 m2.答案25解析設矩形的一邊為x m，則另一邊為×(202x)(10x)m，yx(10x)225，當且僅當x10x，即x5時，ymax25.10.設0<x<2，則函數y的最

17、大值為 .答案4解析0<x<2，0<3x<6，83x>2>0，y4，當且僅當3x83x，即x時，取等號.當x時，y有最大值4.11.設x>1，則函數y的最小值是 .答案9解析x>1，x1>0，設x1t>0，則xt1，于是有yt5259，當且僅當t，即t2時取等號，此時x1.當x1時，函數y取得最小值9.12.已知x>0，y>0，且3x4y12，則lg xlg y的最大值為 .答案lg 3解析由x>0，y>0，且3x4y12，得xy·(3x)·(4y)23.所以lg xlg ylg(xy)lg

18、 3，當且僅當3x4y6，即x2，y時，等號成立.故當x2，y時，lg xlg y的最大值是lg 3.三、解答題13.某建筑公司用8 000萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少12層，每層4 000平方米的樓房.經初步估計得知，如果將樓房建為x(x12)層，則每平方米的平均建筑費用為Q(x)3 00050x(單位：元).為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？每平方米的平均綜合費用最小值是多少？(注：平均綜合費用平均建筑費用平均購地費用，平均購地費用)解設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，依題意得f(x)Q(x)50x3 000(x12，xN)，f(x)50x3 00023 0005 000(元).當且僅當50x，即x20時，上式取等號，所以當x20時，f(x)取得最小值5 000(元).所以為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為20層，每平方米的平均綜合費用最小值為5 000元.四、探究與拓展14.已知a>0，b>0，若不等式2ab9m恒成立，則m的最大值為 .答案6解析由已知，可得61，所以2ab6·(2ab)66×(54)54，當且僅當，即ab時等號成立，所以9m54，即m6.15.如圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成，現有可圍3