第2講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用

1、第2講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)算1、3、4、7、8利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性2、5、9利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極(最)值6、10、11、12一、選擇題1.(2013雅安市高三第三次診斷)已知函數(shù)f(x)=+xln x,則曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為(C)(A)x-y-3=0(B)x-y+3=0(C)x+y-3=0(D)x+y+3=0解析:f(x)=-+ln x+1.f(1)=-1,y=f(x)在x=1處的切線方程為y-2=-1×(x-1).即x+y-3=0,故選C.2.對(duì)于R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x),若滿足(x-a)f(x)0,則必有(A)(A)f(

2、x)f(a)(B)f(x)f(a)(C)f(x)>f(a)(D)f(x)<f(a)解析:當(dāng)x>a時(shí),(x-a)f(x)0f(x)0,所以f(x)在(a,+)上單調(diào)遞增,當(dāng)x<a時(shí),(x-a)f(x)0f(x)0,所以f(x)在(-,a)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=a時(shí),f(x)取得最小值,所以f(x)f(a).故選A.3.(2013湖南懷化高三一模)已知直線y=kx與曲線y=lnx有公共交點(diǎn),則k的最大值為(B)(A)1(B) (C)(D)解析:由函數(shù)圖象知,過原點(diǎn)的直線y=kx與y=ln x的圖象相切時(shí),k值最大.設(shè)切點(diǎn)(x0,y0),k=y=,其切線方程為y-y0=(x-

3、x0),即y=x-1+y0.這條切線過原點(diǎn),-1+y0=0.即ln x0=1,x0=e,k=.選B.4.設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且f(x)是偶函數(shù),則曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為(B)(A)y=3x(B)y=-3x(C)y=-3x+1(D)y=3x-1解析:f(x)=3x2+2ax+(a-3),f(x)是偶函數(shù),a=0.在原點(diǎn)處f(0)=a-3=-3.切線方程為y-0=-3(x-0),即y=-3x,選B.5.(2013山東濰坊高三二模)定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),已知f(x+1)是偶函數(shù),且(x-1)f(x)<0.若

4、x1<x2,且x1+x2>2,則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是(C)(A)f(x1)<f(x2)(B)f(x1)=f(x2)(C)f(x1)>f(x2)(D)不確定解析:由(x-1)f(x)<0可知,當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0,函數(shù)f(x)遞減.當(dāng)x<1時(shí),f(x)>0,函數(shù)f(x)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)f(x+1)是偶函數(shù),所以f(x+1)=f(1-x),函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=1,且f(x)f(1).x1+x2>2,>1,即兩點(diǎn)(x1,y1)與(x2,y2)連線段的中點(diǎn)在函數(shù)對(duì)稱軸的右邊.又x1<x2,故點(diǎn)(x1,y1)比

5、點(diǎn)(x2,y2)離對(duì)稱軸更近.f(x1)>f(x2),選C.6.設(shè)函數(shù)y=f(x)在(-,+)內(nèi)有定義,對(duì)于給定的實(shí)數(shù)k,定義函數(shù)g(x)=設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+-3,若對(duì)任意的x(-,+)恒有g(shù)(x)=f(x),則(A)(A)k的最大值為-2(B)k的最小值為-2(C)k的最大值為2(D)k的最小值為2解析:由題意f(x)k對(duì)xR恒成立,由f(x)=x2+x+-3得f(x)=2x+1-,令f(x)=0,即2x+1=（）x,由圖象知x=0.在x(-,0)內(nèi),f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.在x(0,+)內(nèi),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.f(x)min=f(0)=-2,k

6、-2,選A.二、填空題7.設(shè)f(x)=ax3+3x2+2,若f(x)在x=1處的切線與直線x+3y+3=0垂直,則實(shí)數(shù)a的值為. 解析:f(x)=3ax2+6x,f(1)=3a+6,由題意得,3a+6=3,a=-1.答案:-18.已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)+f（）=3x,則f(x)=. 解析:由2f(x)+f（）=3x得2f（）+f(x)=,解得f(x)=2x-.f(x)=2+.答案:2+9.(2013浙江省金華十校高三一模)設(shè)函數(shù)y=f(x),xR的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且f(x)=f(-x),f(x)<f(x),則下列三個(gè)數(shù):ef(2),f(3),e2f(-1)從

7、小到大依次排列為.(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). 解析:f(x)<f(x),記=F(x),則F(x)=<0.F(3)<F(2)<F(1).<<.f(3)<ef(2)<e2f(1).由f(x)為偶函數(shù),f(3)<ef(2)<e2f(-1).答案:f(3)<ef(2)<e2f(-1)三、解答題10.(2013北京順義高三二模)已知函數(shù)f(x)=,其中a為正實(shí)數(shù),x=是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).(1)求a的值;(2)當(dāng)b>時(shí),求函數(shù)f(x)在b,+)上的最小值.解:f(x)=(1)因?yàn)閤=是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),所

8、以f（）=0,因此,a-a+1=0,解得a=.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)a=時(shí),x=是y=f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),故所求a的值為.(2)由(1)可知,f(x)=,令f(x)=0,得x1=,x2=.f(x)與f(x)的變化情況如下:x（-,）（,）（,+）f(x)+0-0+f(x)所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-,）,（,+）,單調(diào)遞減區(qū)間是（,）.當(dāng)<b<時(shí),f(x)在b,）上單調(diào)遞減,在（,+）上單調(diào)遞增.所以f(x)在b,+)上的最小值為f（）=.當(dāng)b時(shí),f(x)在b,+)上單調(diào)遞增,所以f(x)在b,+)上的最小值為f(b)=.11.已知冪函數(shù)f(x)=(mZ)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+)上

9、是單調(diào)增函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+ax3+x2-b(xR),其中a,bR.若函數(shù)g(x)僅在x=0處有極值,求a的取值范圍.解:(1)f(x)在區(qū)間(0,+)上是單調(diào)增函數(shù),-m2+2m+3>0即m2-2m-3<0,-1<m<3,又mZ,m=0,1,2.而m=0,2時(shí),f(x)=x3不是偶函數(shù),m=1時(shí),f(x)=x4是偶函數(shù),f(x)=x4.(2)g(x)=x(x2+3ax+9),顯然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根.為使g(x)僅在x=0處有極值,必須x2+3ax+90恒成立,即有=9a2-360,解不等式,得a-2,

10、2.這時(shí),g(0)=-b是唯一極值.a-2,2.12.(2013北京東城區(qū)高三一模)已知函數(shù)f(x)=mln x+(m-1)x(mR).(1)當(dāng)m=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程;(2)討論f(x)的單調(diào)性;(3)若f(x)存在最大值M,且M>0,求m的取值范圍.解:(1)當(dāng)m=2時(shí),f(x)=2ln x+x.f(x)=+1=.所以f(1)=3.又f(1)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程是y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=+m-1=.當(dāng)m0時(shí),由x>0知f(x)=+m-1<0恒成立,此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減.當(dāng)m1時(shí),由x>0知f(x)=+m-1>0恒成立,此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增.當(dāng)0<m<1時(shí),由f(x)>0,得x<,由f(x)<0,得x>,此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(,+)內(nèi)單調(diào)遞減.(3)由(2)知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),