第十三章SECTION3線性微分方程

1、§3 線性微分方程一、一般概念齊次線性微分方程與非齊次線性微分方程 設(shè)微分方程 (1)如果方程中的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，這種方程稱為線性微分方程.因為，所以（1）稱為n階線性微分方程. 當，(1)稱為齊次線性微分方程.當，(1)稱為非齊次線性微分方程.如果都是常數(shù)，(1)就稱為常系數(shù)線性微分方程.解的存在和唯一性定理 如果和在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且，那末對任意給定的初始條件方程(1)存在唯一解，式中為實數(shù).函數(shù)的線性相關(guān)性 對于一組函數(shù)，如果有不全為零的常數(shù),使等式在區(qū)間上成立，則稱這組函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān).否則稱這組函數(shù)線性無關(guān)（線性獨立）.朗斯基行列式 如果是個次可微的函數(shù)，則

2、稱行列式為函數(shù)的朗斯基行列式.朗斯基行列式具有以下性質(zhì)：1o如果函數(shù)線性相關(guān)，那末它們的朗斯基行列式2o如果函數(shù)是某齊次線性微分方程的解，那末它們線性相關(guān)的充分必要條件是它們的朗斯基行列式n階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 如果階齊次線性微分方程， 有個線性無關(guān)的解.那末它的通解是這個解的線性組合，即其中是任意常數(shù).這時又稱為所給齊次線性微分方程的一組基本解.階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 非齊次線性微分方程的通解是它的一個特解與對應(yīng)齊次方程的通解之和，即式中為任意常數(shù).二、常系數(shù)線性微分方程1.齊次線性微分方程通解的求法特征方程與特征根對于階實常系數(shù)齊次線性微分方程 (2)作相應(yīng)的次代數(shù)方程 (3)

3、稱它為微分方程(2)的特征方程，特征方程(3)的個根稱為相應(yīng)微分方程(2)的特征根.齊次方程的通解 為了求階常系數(shù)齊次線性微分方程(2)的通解，只要找出它的個線性無關(guān)的特解就可以了.根據(jù)其全體特征根的各種情況，分別列出對應(yīng)的線性無關(guān)特解. 特 征 根對應(yīng)的線性無關(guān)特解(j = 1,2,n)是互異實根yj(x) = (j = 1,2,n)是特征方程的單根，則也是特征方程的單根y1(x) = cosxy2(x) = sinx是特征方程的r重實根y1(x) = , y2(x) = x,，yr(x) = xr-1是特征方程的r重復(fù)根，則也是r重復(fù)根2.非齊次線性微分方程特解的求法給定階非齊次線性微分方

4、程它的特解可用下面兩種方法來求.常數(shù)變易法 設(shè)其相應(yīng)的齊次線性微分方程的通解是那末非齊次線性微分方程有一個特解式中是待定函數(shù)，它們的導(dǎo)數(shù)滿足方程組例求微分方程的通解.解先求其相應(yīng)的齊次方程的通解.因特征方程，有特征根.于是齊次方程的通解為利用常數(shù)變易法求非齊次方程的一個特解y*(x) .令而c1(x),c2(x)由下列方程組確定解方程組得積分后得（k1,k2是任意常數(shù)）（因為只要一個特解，可令k1=k2=0）,所以原方程的通解為待定系數(shù)法對特殊類型的，可把特解的待定表達式及其相應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)代入原微分方程，然后比較同類項系數(shù)，定出的待定表達式里所含的系數(shù)，最后得出方程的特解.現(xiàn)在把部分情況下的特

5、解形式列表如下：R(x)類型特解y*(x)的待定表達式表中為已知常數(shù)；是正整數(shù)，如果的兩個多項式的次數(shù)不相同，則取為次數(shù)較大者；是待定常數(shù).表中右欄表達式分別是（自上而下）在不是其特征根的情形下的特解的待定表達式；如果它們是特征方程的重根，那末在表中的表達式上再乘以.例求解微分方程解先求相應(yīng)的齊次線性方程y(4)+2y"+y=0的通解.由特征方程4+22+1=(2+1)2=0可知特征根=i都是二重根.所以齊次方程的通解為y(x)=c1cosx+c2sinx+c3x cosx+c4x sinx利用待定系數(shù)法，求非齊次線性方程的一個特解.由于R(x)=sin2x，屬于表中第二類表達式(a

6、=0,b=1,=2)，同時i=2i不是特征根，所以特解應(yīng)為y*(x)=Acos2x+Bsin2x.代入原方程，比較同類項系數(shù)得所以特解是原方程的通解為式中c1,c2,c3,c4是任意常數(shù).三、 歐拉方程具有形狀 (是常數(shù))的方程稱為歐拉方程.歐拉方程可以通過變量替換或化成未知函數(shù)關(guān)于新自變量的常系數(shù)線性微分方程.例求解歐拉方程解令或t=lnx，原方程變成特征方程是是二重根.通解為y=e-t(c1+c2t)所以原方程的通解是四、齊次線性微分方程的冪級數(shù)解法 具有冪級數(shù)形式的解 一般變系數(shù)的齊次線性微分方程，不一定能找到用初等函數(shù)表示的解，這時可以考慮求具有冪級數(shù)形式的解.現(xiàn)以二階齊次線性微分方程

7、為例說明解法（高階方程同樣適用）.設(shè)其中和在可展成冪級數(shù).要求方程在附近的解，只要先假定這個解具有冪級數(shù)形式然后形式地算出所需的各階導(dǎo)數(shù)，代入原方程變成恒等式，確定待定的系數(shù)從而得出所求的冪級數(shù)解.如果，在不能展成冪級數(shù)，比如是x的有理分式，而分母在等于零，這時可試求具廣義冪級數(shù)形式的解，其中a和都是待定常數(shù).求勒讓德方程的解方程稱為勒讓德方程，它的解稱為勒讓德函數(shù).在x=0附近，方程的系數(shù)可以展成冪級數(shù)，令代入原方程，可以定出兩個線性無關(guān)解所以勒讓德方程的通解為式中A,B是任意常數(shù)，是高斯超幾何級數(shù).若n為整數(shù)，則與中有一個為多項式，另一個仍然是無窮級數(shù).適當選取任意常數(shù)A,B,使當x=1時，多項式的值為1，這個多項式稱為勒讓德多項式，記作，它屬于第一類勒讓德函數(shù).另一個則與線性無關(guān)，它是無窮級數(shù)，記作，屬于第二類勒讓德函數(shù).此時，勒讓德方程的通解為式中A,B為任意常數(shù).求貝塞耳方程的解方程稱為v階貝塞耳方程，式中v為任意實數(shù)（或復(fù)數(shù)），它的解稱為貝塞耳函數(shù).因方程系數(shù),在x=0不能展成冪級數(shù)，而是x的有理分式.令代入原方程，令x各次冪的系數(shù)等于零，得，先取=v，得所以取，得貝塞耳方程的一個特解，記作它稱為v階第一類貝塞耳函數(shù)